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        高三二輪“微專題”復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與思考
        ——以“數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題”的教學(xué)為例

        2021-10-21 10:24:04周星月江蘇省南京市中華中學(xué)210019
        中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2021年10期
        關(guān)鍵詞:微專題整數(shù)方程

        周星月 (江蘇省南京市中華中學(xué) 210019)

        二輪復(fù)習(xí)是整個(gè)高三復(fù)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié),相對于一輪復(fù)習(xí)的重基礎(chǔ)、講知識、建體系而言,二輪復(fù)習(xí)的關(guān)鍵在于知識點(diǎn)再次深入、重難點(diǎn)尋求突破、思想方法交融升華.微專題因具實(shí)效性、針對性、靈活性、細(xì)致性、深刻性的特點(diǎn),近年來正成為大家廣泛認(rèn)同的二輪復(fù)習(xí)模式.微專題的質(zhì)量直接影響二輪復(fù)習(xí)的效果,因而微專題如何選擇、微專題教學(xué)如何實(shí)施自然成為了高三教師關(guān)注的話題.本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)際,以“數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題”的教學(xué)為例,談?wù)劰P者對微專題復(fù)習(xí)課的思考.

        1 微專題與微專題的設(shè)置

        1.1 微專題

        微專題通常立足于學(xué)情、教情、考情,是圍繞復(fù)習(xí)的重點(diǎn)知識和關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)、利用若干緊密相關(guān)的知識或思想方法形成的專項(xiàng)研究,或是結(jié)合學(xué)生的疑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)整合的、能夠在短時(shí)間內(nèi)解決的問題集.

        1.2 二輪復(fù)習(xí)微專題的內(nèi)容設(shè)計(jì)

        二輪復(fù)習(xí)要求做到:夯實(shí)基礎(chǔ),查漏補(bǔ)缺;抓住主干,突出重、難點(diǎn);提升能力,關(guān)注熱點(diǎn).為此,筆者認(rèn)為可以從以下幾方面入手,選取適合學(xué)生二輪復(fù)習(xí)的微專題.

        (1)基于考點(diǎn)選取的微專題:圍繞教材的主干內(nèi)容以及高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)知識,打破書本章節(jié)原有的知識體系設(shè)置微專題,就考試重點(diǎn)細(xì)化重組,提升針對性.具體而言:圍繞考綱中的8個(gè)C級考點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì),如直線與圓、基本不等式的深度研究;圍繞近幾年高考中出現(xiàn)的熱點(diǎn)問題進(jìn)行設(shè)計(jì),如復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題等.

        (2)挖掘生長點(diǎn)的微專題:關(guān)注知識的整合和聯(lián)系,探尋其本源,挖掘生長點(diǎn),尤其是能主動地與別的知識點(diǎn)聯(lián)接,揭示所學(xué)知識的背景.例如,2016年南京市一模第20題,學(xué)生解答得并不理想,其實(shí)這道題的“生長點(diǎn)”就是倒敘相加思想,在教材的向量部分就已經(jīng)滲透,在學(xué)習(xí)“等差數(shù)列求和”和“二項(xiàng)式定理”時(shí)得到鞏固.教師可由這樣的“點(diǎn)”入手設(shè)計(jì)微專題,串點(diǎn)成線,將教材知識點(diǎn)不斷外延.

        (3)解決易錯(cuò)點(diǎn)的微專題:“常做,常講,常錯(cuò)”的重、難點(diǎn)知識,究其原因,是學(xué)生沒有真正理解.教師可以以這些錯(cuò)誤為基礎(chǔ),挖掘錯(cuò)誤背后的知識漏洞和思維缺陷,精設(shè)微專題.例如,換元法的靈活運(yùn)用一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn),可設(shè)計(jì)微專題將教材中涉及換元法的內(nèi)容串聯(lián)起來,集中講練.

        (4)關(guān)注突破點(diǎn)的微專題:高考不僅考查對知識點(diǎn)的掌握情況,對數(shù)學(xué)能力的考查也十分重視,因而可以設(shè)置解題方法、解題思想類的微專題,關(guān)注解決一類問題的突破點(diǎn).例如,“數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題”是數(shù)列存在性問題的一種常見類型,是多年考試的熱點(diǎn),對學(xué)生邏輯思維能力、代數(shù)推理能力要求較高,常讓學(xué)生感到無從下手.筆者針對解決不定方程整數(shù)解問題的方法、思想設(shè)置微專題,通過不同側(cè)面的模型構(gòu)建,讓學(xué)生掌握數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題的常用處理策略,提升學(xué)生分析、轉(zhuǎn)化、解決問題的能力.

        2 微專題的實(shí)施過程設(shè)計(jì)——以微專題“數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題”為例

        2.1 基礎(chǔ)鋪墊,梳理基本方法

        問題1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n,是否存在正整數(shù)p,q,r(p

        生1:假設(shè)存在p,q,r(p

        教師用“希沃教學(xué)助手”展示采集的學(xué)生解答過程,規(guī)范書寫格式.

        師:一般地,不定方程正整數(shù)解無解的情況如何處理?

        生4:考慮等式兩邊的“范圍”是否一致,如:從奇數(shù)與偶數(shù)、整數(shù)與分?jǐn)?shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)角度得到矛盾,進(jìn)而判斷方程無解.

        評析問題1是一個(gè)既典型又不復(fù)雜的不定方程整數(shù)解問題,留足時(shí)間讓學(xué)生自己思考、講解思路,一題多解,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教師通過展示學(xué)生的解答點(diǎn)撥方法、糾正錯(cuò)誤、規(guī)范格式,對不定方程正整數(shù)解無解類型的問題進(jìn)行方法梳理,引導(dǎo)學(xué)生將知識條理化、網(wǎng)格化.課堂教學(xué)中,能讓學(xué)生表達(dá)的盡量讓學(xué)生表達(dá),能讓學(xué)生思考的教師就不要代替,只有經(jīng)過學(xué)生思考所得的,才能轉(zhuǎn)化為其內(nèi)在的能力.

        2.2 逐步深化,強(qiáng)化方法意識

        問題2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,求正整數(shù)m,k,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.

        生5:求和公式代入整理得am+am+1+am+2+…+am+k=(k+1)(2m+k-1)=65(*).

        師:非常好!明確不定方程.下面如何處理?

        師:很好!生5觀察方程結(jié)構(gòu)形式,化歸為整除性質(zhì)中的約數(shù)討論.還有沒有其他做法?

        生6:由(*)式因式分解,直接討論k+2m-1,k+1為65的約數(shù).

        師:能否不討論?

        師:生6利用因式分解的方法,結(jié)合變量范圍控制,簡化了討論,非常好.

        生7.

        評析例題精講是微專題的核心部分,也是學(xué)生思維提升的主要環(huán)節(jié).問題2、3均是可從多角度認(rèn)識和解決的例題,具有一定的思維含量,有深入探究的價(jià)值.一題多解,讓學(xué)生參與討論、總結(jié)規(guī)律、歸納方法、感悟技巧,師生共同總結(jié)出可以通過整除性(約數(shù))、因式分解、范圍控制等方法處理不定方程正整數(shù)解存在類的問題.

        師:數(shù)列比較抽象時(shí),如何具體化?

        師:有什么發(fā)現(xiàn)?

        師:如何證明單調(diào)性?

        師:如何求q呢?

        師:太棒了,生9從特殊到一般,發(fā)現(xiàn)單調(diào)性,從而控制變量范圍.

        評析問題4對學(xué)生思維要求較高,筆者設(shè)計(jì)了一連串從易到難的“問題鏈”,逐步啟發(fā)滲透特殊到一般的思想,讓學(xué)生探索規(guī)律,發(fā)現(xiàn)單調(diào)性,強(qiáng)化控制范圍的方法.把學(xué)生引入“思考者”的角色,讓他們經(jīng)過思考獲得結(jié)果,暴露學(xué)生思維過程、研究過程.學(xué)生在層層的問題設(shè)置中有一定的自我修正能力,這對學(xué)生的思維品質(zhì)提高是非常有效的.

        2.3 歸納小結(jié),形成解題框架

        師:通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲?

        生10:我了解到對于數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題,針對是否存在解,可作如下處理:

        評析總結(jié)、升華,讓學(xué)生在一節(jié)微專題課后能夠收獲一些思想性、規(guī)律性的知識,形成良好的知識網(wǎng)絡(luò),這樣學(xué)生再遇問題時(shí)才能順利地逢山開路、遇水搭橋.在微專題的教學(xué)過程中,筆者建議用學(xué)生歸納的方式來進(jìn)行課堂小結(jié),教師引領(lǐng)學(xué)生回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)、研究過程,明確所研究的內(nèi)容、方法.積極發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性,使學(xué)生在“學(xué)會”的基礎(chǔ)上,逐步做到“會學(xué)”.

        2.4 真題訓(xùn)練,鞏固教學(xué)效果

        評析暢銷書《異類》提出“練習(xí)一萬小時(shí)成天才”的口號,已在各個(gè)行業(yè)被廣泛證實(shí).“刻意訓(xùn)練”同樣適用于數(shù)學(xué)教學(xué):例題講解應(yīng)充分啟發(fā)思維,給學(xué)生以好的思維導(dǎo)向,但一旦形成這樣的思維,又應(yīng)通過及時(shí)的練習(xí)來鞏固和應(yīng)用,完成“知識的遷移”.筆者精選最近幾年的??碱}、高考題,有效整合,提煉出與本專題密切相關(guān)的問題,作為鞏固練習(xí).

        3 基于核心素養(yǎng)的二輪復(fù)習(xí)微專題教學(xué)思考

        《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:高中教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).核心素養(yǎng)的提升是日積月累的結(jié)果,基于核心素養(yǎng)的二輪復(fù)習(xí)微專題教學(xué)應(yīng)整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施,要為形成和發(fā)展核心素養(yǎng)提供助力.

        3.1 微專題的教學(xué)應(yīng)發(fā)揮學(xué)生在復(fù)習(xí)中的主體地位

        教師在設(shè)計(jì)和組織二輪復(fù)習(xí)時(shí),應(yīng)落實(shí)“以學(xué)生為本”的教育理念,突出學(xué)生的主體作用,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識,提高學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力.

        (1)因?qū)W施教:每個(gè)學(xué)校甚至每個(gè)班級的學(xué)生不同,復(fù)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)也不盡相同,微專題的選擇要具有針對性,起點(diǎn)適度,內(nèi)容適量.面對學(xué)生普遍感覺較難的一類數(shù)列存在性問題,課例只選擇涉及不定方程整數(shù)解問題基本方法、思想的四個(gè)問題,由淺入深、由易到難,幫助學(xué)生樹立解題信心,實(shí)現(xiàn)步步登高;用希沃教學(xué)助手展示學(xué)生解答,有針對性地進(jìn)行講解.

        (2)注重學(xué)生(思維)活動參與:二輪復(fù)習(xí)不能因?yàn)檎n時(shí)緊、趕進(jìn)度,而忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)感受,應(yīng)該讓學(xué)生在經(jīng)歷分析、探究與解決問題的過程中學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué).微專題的設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注讓學(xué)生親身經(jīng)歷什么活動、解決什么問題、對問題進(jìn)行哪些思考與探索.課例采用先解答再講評的策略,注重學(xué)生思維的暴露與分析,給學(xué)生留足思維空間和表達(dá)時(shí)間,帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行求不定方程整數(shù)解方法的比較、辨析與歸納,從學(xué)生的角度去進(jìn)行真正的查漏補(bǔ)缺.

        3.2 微專題的教學(xué)應(yīng)以“問題串”驅(qū)動

        問題串是圍繞一個(gè)核心知識內(nèi)容或主題按一定的邏輯結(jié)構(gòu)設(shè)置的一組問題.設(shè)置問題串是編制微專題的有效策略,它能把學(xué)生認(rèn)知、思維、情感有機(jī)地統(tǒng)一在課堂互動中,讓學(xué)生在掌握知識的同時(shí)提高自身的思維能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).具體而言:

        (1)貫通思維活動.精心編制的問題串、多梯度的問題預(yù)設(shè)、多角度的問題引導(dǎo),把微專題中看似零散的概念、方法有機(jī)地滲透在問題探究的全過程,依托問題串輻射出學(xué)生豐富的、深層的思維活動,也自然地衍生出完整的知識結(jié)構(gòu).微專題建構(gòu)可用以下結(jié)構(gòu)模式的問題串:

        結(jié)構(gòu)內(nèi)涵與特點(diǎn)優(yōu)勢及適用舉例遞進(jìn)式問題難度不同,一般由易到難,層層遞進(jìn)分解難度,促進(jìn)思維向深度、廣度發(fā)展(如本課例)并列式問題沒有主次之分,是相互并列的邏輯關(guān)系多角度認(rèn)識同一概念、方法,便于對比延展式問題在邏輯上存在總分關(guān)系,在解決一個(gè)中心問題時(shí)進(jìn)行一系列的問題的拓展延伸網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化知識梳理,如一題多解問題總結(jié)式從不同的既相關(guān)又獨(dú)立的幾個(gè)問題分別研究,分析差異,歸納類比,找出共性問題較抽象或涉及范圍較大時(shí),便于概括本質(zhì)特征,如多題一解問題

        (2)滲透思想方法.全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,高考考綱要求數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法的考查并重.微專題的教學(xué)過程中,教師應(yīng)讓思維呈立體狀、多維度、由點(diǎn)到面,通過“問題串”的拓展,使數(shù)學(xué)思維能力得到更深度的訓(xùn)練和提高.如課例中筆者以問題串引導(dǎo)學(xué)生觀察方程結(jié)構(gòu)特征,將化歸與轉(zhuǎn)化的思想落到實(shí)處.

        (3)激發(fā)思考興趣.利用富有思考性和挑戰(zhàn)性的問題串,讓學(xué)生獨(dú)立自主地發(fā)現(xiàn)、解決問題,可以激發(fā)學(xué)生探究的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力.教師基于微專題的邏輯順序提一些開放式的問題,利用變式教學(xué)、一題多解、多題一法,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考,喚起學(xué)生的好奇心和求知欲,產(chǎn)生主動參與的學(xué)習(xí)動力,保持其參與活動的興趣和熱情.

        (4)啟迪思路方向.針對教學(xué)中的重、難點(diǎn)問題,教師應(yīng)預(yù)設(shè)問題串啟發(fā)學(xué)生思考,使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時(shí)學(xué)會如何思考問題,“授之以漁”,如課例中教師處理問題4時(shí)的引導(dǎo)過程.

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