陸一烽 張嶺芝 (江蘇省無錫市青山高級中學(xué) 214036)

核心素養(yǎng)為綱的理念如何轉(zhuǎn)化為學(xué)校教育教學(xué)的實際行動，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，教學(xué)該如何做？[1]數(shù)學(xué)運算是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.[2]筆者在高三教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，高三學(xué)生在數(shù)學(xué)運算方面不同程度地存在著以下問題:有的不會根據(jù)題目條件選擇合理的運算思路，有的不能在具體的題境中明確合適的運算對象.運算來源于情境，本文以高三解析幾何復(fù)習(xí)中一類題型為例，從模塊化設(shè)計的角度談?wù)勗谂囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算這一核心素養(yǎng)上的一些嘗試.

本題考查直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者從學(xué)生的解答發(fā)現(xiàn)，第一問解答較好，但是第二問情況差了很多,很多學(xué)生沒有對直線進行分類討論,也不知道如何在直線l與x軸不重合不垂直的情況下與橢圓聯(lián)立來證明∠OMA=∠OMB.這個問題在教師眼里看似簡單，但是在剛進入高三的學(xué)生眼里卻可能是陌生的.對于這一點，筆者很快在講評課中得到了驗證.有學(xué)生回答：這是一個幾何結(jié)論,通過角平分線定理來證明兩角相等.筆者表揚了學(xué)生扎實的平面幾何知識,列出了角平分線定理的式子,并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)后面的計算量不小(運算思路).還有什么方法?考慮到在l與x軸不重合不垂直的情境中,兩角相等有沒有什么等價的代數(shù)形式？經(jīng)過引導(dǎo)，讓學(xué)生考慮斜率和傾斜角的關(guān)系，大部分學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)只要證明kMA+kMB=0(運算對象).最后留給學(xué)生課后思考:如果以后要證明α=2β,應(yīng)該怎么證呢?

問題中,學(xué)生的困惑主要體現(xiàn)在如何證明∠OMA=∠OMB.怎樣在教學(xué)中幫助學(xué)生選擇合理的運算思路，明確合適的運算對象呢？筆者想到了模塊化.

生活中,模塊化設(shè)計已經(jīng)成為很多產(chǎn)品的設(shè)計主流，所謂模塊化設(shè)計就是將產(chǎn)品分成幾個部分，也就是幾個模塊，通過不同模塊的排列組合可以形成不同的產(chǎn)品.模塊化設(shè)計效率高，執(zhí)行快.就數(shù)學(xué)運算而言,那些經(jīng)常使用，根據(jù)題設(shè)條件呈現(xiàn)的相應(yīng)數(shù)學(xué)知識,都可以歸為基礎(chǔ)模塊.常見的基礎(chǔ)模塊有：設(shè)點或直線的方程、點在線(或曲線)上、韋達定理、三點共線、斜率之和(積)、向量的線性表示等.而根據(jù)題目目標建立目標的等價性轉(zhuǎn)化，如將α=2β轉(zhuǎn)化為證明tanα=tan 2β，或者根據(jù)求解目標的特征建立基礎(chǔ)模塊之間的新組合來創(chuàng)造性地解決問題,則屬于創(chuàng)意模塊.

1 基礎(chǔ)模塊反映了數(shù)學(xué)運算應(yīng)該滲透對通性通法的掌握

解析幾何的基本思想方法就是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，問題的形式有新有舊，但其解決離不開這一基本思想.所以要鼓勵學(xué)生把顯性或者隱性的幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)條件，形成基礎(chǔ)模塊.像上述問題,如果學(xué)生能夠有意識地假設(shè)出過點F的直線方程和點A,B的坐標,并能夠聯(lián)立直線與橢圓的方程,形成韋達定理,就會逐步接近設(shè)計出kMA+kMB=0這一運算對象.下面再舉例說明.

例1(2019·北京理第18題第二問)已知拋物線C：x2=-4y，設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．

分析 從邏輯推理的角度,要證明以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點，就要先求出圓的方程，而要求圓的方程就要求出A,B兩點的坐標，這就是整個題目的運算程序.所以設(shè)M,N坐標，直線l:y=kx-1，求出A,B坐標，這些都是基礎(chǔ)模塊，在圓心和半徑的化簡過程中還用到了韋達定理這一常用基礎(chǔ)模塊.教師在教學(xué)實踐中應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生不要匆匆做題，而要耐心審題、讀題，逐一分析表達，讓學(xué)生感受運算程序的完整性．

2 創(chuàng)意模塊充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算承擔(dān)著從已知到未知、化難為易的重任

除了建立目標的等價性轉(zhuǎn)化是創(chuàng)意模塊,根據(jù)求解目標的代數(shù)特征,執(zhí)果索因,建立基礎(chǔ)模塊之間的新組合來解決問題,也是創(chuàng)意模塊.在一些數(shù)學(xué)運算中，運算對象并不明顯，運算思路并不容易.

圖1

圖2

圖3

綜上,模塊化設(shè)計首先要把源頭和底層的東西搞清楚.在解析幾何這一類問題中，教師要在教學(xué)中鼓勵學(xué)生把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言,形成基礎(chǔ)模塊，再通過代數(shù)式的運算來解決問題.沒有基礎(chǔ)就沒有創(chuàng)造.創(chuàng)意模塊的設(shè)計,需要追根溯源，善于發(fā)現(xiàn)幾何與代數(shù)問題間的等價性轉(zhuǎn)換,運用常數(shù)代換、部分替換、配湊等運算技能，分解目標式，巧妙組裝基礎(chǔ)模塊，打通障礙，直至得到結(jié)果，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算從已知到未知、化繁為簡、化難為易的功能.