孔幫新 (江蘇省丹陽(yáng)市第五中學(xué) 212300)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來(lái)自四星級(jí)普通高中重點(diǎn)班，基礎(chǔ)較好，有一定的自學(xué)能力、推理能力及運(yùn)算能力．

1.2 教材分析

所用教材為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(必修4)》(蘇教版)，“兩角和與差的余弦公式”為第3章“三角恒等變換”第1節(jié)內(nèi)容，它揭示了單角正、余弦值與和、差角余弦值之間的內(nèi)在聯(lián)系，是在研究了同一個(gè)角的三角函數(shù)變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，是誘導(dǎo)公式的推廣，是后面推導(dǎo)兩角和、差，倍角、半角等三角恒等變換公式的基礎(chǔ)和核心，也是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)．教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在公式生成過(guò)程中體驗(yàn)式子中的角度變換、式子的結(jié)構(gòu)形式變換以及不同三角函數(shù)之間的變換，領(lǐng)悟換元、化歸、特殊與一般等思想方法，理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，為熟練運(yùn)用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、恒等式證明打好基礎(chǔ)，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力．

教學(xué)目標(biāo) (1)經(jīng)歷運(yùn)用幾何法推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式的過(guò)程，體驗(yàn)、感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂(lè)；(2)能用兩角和與差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值．

教學(xué)重點(diǎn) 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究和合作討論，推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式．

教學(xué)難點(diǎn) 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式的思路．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 自然引入

對(duì)于兩角和與差的余弦公式的引入，我們以問(wèn)題串形式形成如下設(shè)計(jì)方案：

問(wèn)題1在銳角范圍內(nèi)我們常用的特殊角有哪些？

問(wèn)題2這些特殊角的三角函數(shù)值大家都很熟悉了，如何求cos 15°,cos 75°？

問(wèn)題3由于15°=45°-30°=60°-45°， 75°=30°+45°，那么cos 15°=cos(45°-30°)= cos 45°-cos 30°成立嗎？你能檢驗(yàn)嗎？cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°+cos 45°成立嗎？你能檢驗(yàn)嗎？

學(xué)生根據(jù)知識(shí)的負(fù)遷移得出錯(cuò)誤結(jié)論，在教師的指導(dǎo)下學(xué)生合作交流，很自然地得到cos(45°-30°)≠cos 45°-cos 30°，cos(30°+ 45°)≠cos 30°+cos 45°．

問(wèn)題4cos 15°,cos 75°與30°,45°,60°的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

問(wèn)題5更一般地，cos(α+β)=？cos(α-β)=？cos(α+β),cos(α-β)與角α,β的三角函數(shù)有何關(guān)系？

通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境自然地提出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生積極地思考，從而很順暢地引入研究的課題，這樣有利于激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，使學(xué)生目標(biāo)明確、迅速進(jìn)入角色．這種設(shè)計(jì)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律以及兩角和與差公式產(chǎn)生的過(guò)程．

2.2 自主探究

(1)探究點(diǎn)1：如何自主地在直角坐標(biāo)系中作出α+β,α-β？

為了設(shè)計(jì)得更自然，我們以問(wèn)題串的形式進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

問(wèn)題6我們研究任意角三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式都是借助于直角坐標(biāo)系和單位圓研究的，那么如何研究?jī)山呛团c差的三角函數(shù)呢？

問(wèn)題7我們將角α,β分別放在兩個(gè)直角坐標(biāo)系中(圖1、圖2)，將角β拿出來(lái)，在第一個(gè)坐標(biāo)系中如何作出α+β？(讓學(xué)生上黑板用道具進(jìn)行拼接)有幾種拼接方案？(圖3、圖4)

圖1 圖2

圖3 圖4

問(wèn)題8第一種拼接方案中(圖3)，α+β的始邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？α+β的終邊與單位圓的交點(diǎn)C的坐標(biāo)又是什么？

問(wèn)題9第二種拼接方案中(圖4)，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)A的坐標(biāo)是什么？角-β的終邊與單位圓的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是什么？

問(wèn)題10我們將角α,β分別放在兩個(gè)坐標(biāo)系中，將角β拿出來(lái)，在第一個(gè)坐標(biāo)系中如何作出α-β？(讓學(xué)生上黑板用道具進(jìn)行拼接)有幾種拼接方案？(圖5、圖6)

圖5 圖6

問(wèn)題11第一種拼接方案中(圖5)，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)A的坐標(biāo)是什么？角β的終邊與單位圓的交點(diǎn)B的坐標(biāo)是什么？

問(wèn)題12第二種拼接方案中(圖6)，α-β的始邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？α-β的終邊與單位圓的交點(diǎn)B′的坐標(biāo)又是什么？

將兩個(gè)角分別作在兩個(gè)直角坐標(biāo)系里，這個(gè)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單自然，是本節(jié)課設(shè)計(jì)上的一個(gè)創(chuàng)新，它使得學(xué)生不受其他圖形的干擾，通過(guò)道具演示拼接好兩種情況，從而很輕松地作出α+β,α-β，再加屏幕展示清晰直觀，整個(gè)教學(xué)過(guò)程自然流暢．

(2)探究點(diǎn)2：如何自主地尋求到等量關(guān)系？

觀察圖形，我們先探究α+β的三角函數(shù)與角α及角β的三角函數(shù)的等量關(guān)系.為了使學(xué)生更自主地尋求到等量關(guān)系，我們?cè)O(shè)計(jì)如下問(wèn)題串：

問(wèn)題13觀察兩個(gè)圖形，你們能發(fā)現(xiàn)什么等量關(guān)系？

問(wèn)題14觀察兩個(gè)圖形，兩個(gè)等圓中，由圓心角相等能得出什么等量關(guān)系？

問(wèn)題15這幾種等量關(guān)系中，哪種等量關(guān)系能用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)？并且坐標(biāo)中含有角α+β的三角函數(shù)與角α,β的三角函數(shù)．

尋求等量關(guān)系是這節(jié)課的難點(diǎn)，也是關(guān)鍵之所在，多次試講都發(fā)現(xiàn)學(xué)生不知如何找到等量關(guān)系，如何突破？首先我們?cè)O(shè)計(jì)將兩條線(xiàn)段分別放在兩個(gè)單位圓中，這種簡(jiǎn)單自然的創(chuàng)意可使學(xué)生不受其他圖形干擾，使學(xué)生更易找到線(xiàn)段的等量關(guān)系；其次教師提出更具啟發(fā)性和目標(biāo)性的問(wèn)題也是促使學(xué)生更容易地找到等量關(guān)系的關(guān)鍵．通過(guò)以上設(shè)計(jì)，學(xué)生很快就能找到最有用的等量關(guān)系，即PC=AD，然后將其坐標(biāo)化即可．

2.3 自主建構(gòu)

為了再現(xiàn)公式發(fā)現(xiàn)的“再創(chuàng)造”過(guò)程，我們讓學(xué)生上黑板進(jìn)行板演，共同發(fā)現(xiàn)公式的產(chǎn)生過(guò)程.為了讓學(xué)生自主生成公式，我們?cè)O(shè)計(jì)如下問(wèn)題串．

問(wèn)題16兩角和的余弦公式是什么？

問(wèn)題17上面兩個(gè)圖形所畫(huà)的角都在[0,π)內(nèi)，而且α>β，那么對(duì)任意的角α,β，上述公式是否成立？

我們可以引導(dǎo)學(xué)生自主地討論四種情況：(1)α在[0,π)內(nèi)，β在[π,2π)內(nèi)；(2)β在[0,π)內(nèi)，α在[π,2π)內(nèi)；(3)α,β都在[π,2π)內(nèi)；(4)α,β都大于2π.經(jīng)過(guò)學(xué)生自主探究，運(yùn)用誘導(dǎo)公式將角都轉(zhuǎn)化到[0,π)內(nèi)，從而證明在四種情況下兩角和的余弦公式都成立．

再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所涉及的角進(jìn)行推廣，使公式的得出具備一般性．

問(wèn)題18大家想一想，我們得到了兩角和的余弦公式，對(duì)于兩角差的余弦公式還需不需要再去進(jìn)行這種重復(fù)的運(yùn)算？

問(wèn)題19兩角和的余弦公式與兩角差的余弦公式之間有什么轉(zhuǎn)化關(guān)系？

問(wèn)題20兩個(gè)公式的特點(diǎn)是什么？

歸納公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，給出記憶口訣：CCSS，符號(hào)相反．

得到兩個(gè)公式后我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)公式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即用-β代換β，這有利于學(xué)生在大腦中進(jìn)行公式的自主建構(gòu)．最后由公式特點(diǎn)歸納出記憶口訣，簡(jiǎn)單自然，瑯瑯上口，易于學(xué)生記憶．學(xué)生在“自主生成、自主探究”的課堂中自主建構(gòu)了兩角和與差的三角函數(shù)公式．

2.4 自主應(yīng)用

問(wèn)題21現(xiàn)在你能求出cos 15°,cos 75°了嗎？

前后呼應(yīng)，運(yùn)用公式解決問(wèn)題，讓學(xué)生親身體會(huì)獲得成功的喜悅！問(wèn)題的解決是公式的簡(jiǎn)單正用．

例題設(shè)計(jì)：

1.計(jì)算：cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°．

變式 (1) cos 80°cos 20°+sin 80°cos 70°；(2) cos 80°sin 70°+sin 100°sin 20°．

3.計(jì)算：cos215°-sin215°,推廣至一般情況cos2α-sin2α=cos 2α．

例題的設(shè)計(jì)意圖：第1題的兩個(gè)變式和第2題，讓學(xué)生初步體會(huì)公式的逆用和變形；第3題推廣到一般情況為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊；第4題中的正負(fù)取舍是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)．

通過(guò)層層深入的例題與習(xí)題的配置，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，自主解決問(wèn)題，使學(xué)生從“懂”到“會(huì)”再到“悟”，并將所學(xué)知識(shí)納入到新的知識(shí)體系中．

2.5 自主總結(jié)

課堂小結(jié)是在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生自主歸納：(1)數(shù)形結(jié)合推導(dǎo)出兩角和與差的余弦，兩個(gè)公式之間可以相互轉(zhuǎn)化；(2)兩角和與差的余弦公式為cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ，記憶口訣為“CCSS，符號(hào)相反”；(3)公式的靈活運(yùn)用；(4)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握了一些探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法．

自主總結(jié)可以使學(xué)生加深對(duì)公式和推導(dǎo)過(guò)程的理解，并明確學(xué)習(xí)本節(jié)課所要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)．

3 回顧與反思

3.1 設(shè)計(jì)思路

(1)公式推導(dǎo)思路的設(shè)計(jì)

由于和、差、倍角的三角函數(shù)之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，可以選取一個(gè)基礎(chǔ)公式來(lái)推理得到其他公式，這不是唯一的.教材之所以選用兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，是緣于向量工具的提前引入，但現(xiàn)在面對(duì)的學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)向量，所以選擇幾何法證明兩角和與差的余弦公式，而用幾何法推導(dǎo)兩角和的余弦公式和兩角差的余弦公式所用的方法是一樣的，基于此，我們選擇將兩角和的余弦公式的推導(dǎo)作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)．

(2)本節(jié)課引入的設(shè)計(jì)

根據(jù)已學(xué)的知識(shí)引出新問(wèn)題，然后拋給學(xué)生，讓學(xué)生探究，學(xué)生大膽猜想，后又自主探究推翻猜測(cè)，教師適時(shí)引導(dǎo)，兩角和與差的余弦公式究竟是什么？這就非常自然地引出本節(jié)課需要探究的問(wèn)題．通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)置，使學(xué)生思維迅速處于“憤”“悱”狀態(tài)，產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，積極主動(dòng)地投入學(xué)習(xí)．

(3)突破公式推導(dǎo)難點(diǎn)的設(shè)計(jì)

我們沒(méi)有讓學(xué)生對(duì)在直角坐標(biāo)系里的單位圓中是作出α+β還是α-β作選擇，而是讓學(xué)生既作出α+β又作出α-β．但如何讓學(xué)生比較自然地作出α+β和α-β并且能非常容易地尋求到等量關(guān)系是本環(huán)節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)．我們將角α和β分別放在兩個(gè)直角坐標(biāo)系中，將角β拿出來(lái)，此處借助道具讓學(xué)生拼接，迅速找到作出α+β和α-β的兩種方法，并且用課件的形式分別呈現(xiàn)在兩個(gè)單位圓中，然后由教師提出具有啟發(fā)性和目標(biāo)性的問(wèn)題，以便學(xué)生更容易地找到等量關(guān)系，至此難點(diǎn)一步步得到化解．在推導(dǎo)過(guò)程中，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩角和的余弦公式，對(duì)于兩角差的余弦公式可以同理得到．得到兩個(gè)公式后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)公式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．至此難點(diǎn)逐一得以突破．

3.2 教學(xué)反思

(1)課堂教學(xué)要通過(guò)設(shè)計(jì)教學(xué)主線(xiàn)推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程

基于整章教學(xué)要求的考慮，本節(jié)課將“兩角和的余弦公式的探究”作為課堂教學(xué)的明線(xiàn)，核心指導(dǎo)思想——轉(zhuǎn)化思想作為一條暗線(xiàn)來(lái)推進(jìn)課堂教學(xué)．本節(jié)課一開(kāi)始就讓學(xué)生求15°和75°的余弦值，學(xué)生就能想到轉(zhuǎn)化為特殊角去處理．在后面公式推導(dǎo)的過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生在參與公式推導(dǎo)的探究活動(dòng)中，深刻體會(huì)未知角向已知角的轉(zhuǎn)化，體會(huì)未知值向已知值的轉(zhuǎn)化以及未知范圍向已知范圍的轉(zhuǎn)化等，切實(shí)理解公式產(chǎn)生的來(lái)龍去脈、結(jié)構(gòu)特征與內(nèi)在聯(lián)系，從而有助于學(xué)生熟練、靈活地駕馭公式，切實(shí)提高課堂教學(xué)的有效性[1]．

(2)課堂教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多種思路探究公式

本節(jié)課由于面對(duì)的學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)向量知識(shí)，所以只能選擇幾何法證明兩角和與差的余弦公式，并且選擇了兩角和的余弦公式證明作為本節(jié)課的重點(diǎn)，這是本節(jié)課在公式推導(dǎo)方面的一點(diǎn)遺憾．如果學(xué)習(xí)了向量，則可以通過(guò)代數(shù)法(向量法)和幾何法推導(dǎo)出兩角和與差的公式，兩種推導(dǎo)方法(代數(shù)與幾何)相得益彰，充分凸顯向量方法的工具作用，讓學(xué)生在公式的推導(dǎo)和探究過(guò)程中體驗(yàn)、感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂(lè)，體會(huì)向量和三角函數(shù)間的聯(lián)系，從而有效地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

(3)課堂教學(xué)要指導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)探究問(wèn)題的方法

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們也要為學(xué)生歸納總結(jié)出一個(gè)探究問(wèn)題的思路和方法：①善于運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)，將研究的新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行處理和解決；②知識(shí)體系建構(gòu)要由淺入深、循序漸進(jìn)、逐步推進(jìn)，由學(xué)生自主探究、自主建構(gòu)自己的知識(shí)體系．我們認(rèn)為這種探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．后續(xù)新公式的探究就可以放手讓學(xué)生去自主探究，這對(duì)學(xué)生自主建構(gòu)公式網(wǎng)絡(luò)體系、培養(yǎng)自學(xué)能力給予了很好的方法上的指導(dǎo)，這才是本節(jié)課教學(xué)中最應(yīng)該讓學(xué)生掌握的東西．