赫文豪，付楷涵，李懂文，李帥霖

(1.中國石油大學(xué)(北京) 油氣光學(xué)探測技術(shù)北京市重點實驗室，北京 102249；2.中國石油大學(xué)(北京) 理學(xué)院，北京 102249；3.中國石油大學(xué)(北京) 石油工程學(xué)院，北京 102249)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)液體的形狀與重力加速度的關(guān)系，利用半導(dǎo)體激光器測量和研究了旋轉(zhuǎn)液體在激光照射下的物理特性。重力加速度是通過測量入射點以及反射點間的距離而推導(dǎo)出來的[1-3]。在理論推導(dǎo)實驗原理和計算實驗結(jié)果的不確定度的基礎(chǔ)上通過對不同實驗誤差下實驗結(jié)果不確定度的分析，指出了不同誤差對實驗結(jié)果的影響。進(jìn)而推導(dǎo)出了對實驗結(jié)果影響較大的實驗誤差，實驗結(jié)果可為減小旋轉(zhuǎn)液體測量重力加速度誤差提供理論依據(jù)，進(jìn)而提高實驗結(jié)果的精度。

1 實驗原理

旋轉(zhuǎn)液體特性試驗裝置如圖1所示.當(dāng)含有甘油的圓柱形容器在轉(zhuǎn)盤上勻速旋轉(zhuǎn)時，通過測量激光照射透明擋板入射點和反射點之間的距離d，可以對液體的物理性質(zhì)進(jìn)行一系列的研究，進(jìn)而計算重力加速度[4-5]。

圖1 實驗裝置

圖2 實驗裝置截面圖

如圖2旋轉(zhuǎn)液體截面圖，在液體拋物面上任取一點滿足：

其中：m為該點液體質(zhì)量；N為該點所受合力；θ為拋物面切向與水平面的夾角；w為液體轉(zhuǎn)動的角速度；Fn為液體的非慣性力，R為裝有液體的圓柱體的半徑。

由上述方程組解得：

(1)

推導(dǎo)出液面與軸截面的交線方程為：

(2)

由(2)解得：

(3)

將(2)式與(3)式聯(lián)立得到液面方程：

(4)

由入射激光反射的幾何關(guān)系有：

(5)

上式中，d為激光照射到透明擋板上的毫米刻度與透明擋板上反射點的毫米刻度之間的直接測量距離；H為轉(zhuǎn)臺與透明擋板之間的垂直距離。

聯(lián)立(1)(5)式解得：

(6)

2 旋轉(zhuǎn)液體特性實驗測量重力加速度不確定性研究

通過對實際問題的分析，實驗結(jié)果的不確定度通常是由以下實驗操作引起的：①透明擋板水平位置偏差引起的不確定度②激光垂直入射點左右偏差而產(chǎn)生的不確定度③激光入射方向偏離垂直方向而產(chǎn)生的不確定度[6-8]。在不同條件下的不確定度的分析中，以實驗數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，記重力加速度為9.80 m/s2，分析了多種因素的不確定度，研究采用的實驗數(shù)據(jù)如下。

表1 實驗誤差分析所用數(shù)據(jù)

(7)

2.1 透明擋板偏離水平位置而產(chǎn)生的不確定度

(1)透明擋板向下傾斜而產(chǎn)生的不確定度

現(xiàn)假設(shè)在實驗過程中透明擋板BC′相比水平位置BC向下偏移了r(0°≤r≤5°)角(如圖3)，這會導(dǎo)致由實際測量的d0與入射點和反射點間的真實距離d1不相等，由公式(5)可知tan2θ的值出現(xiàn)偏差，從而最終計算得到的重力加速度g產(chǎn)生不確定度。

在三角形ABC中過C′點向AB作垂線交AB于點D，根據(jù)幾何關(guān)系ΔAC′D～ΔABC得：

(8)

CB=d1，C′D=d0cosr，AB=H-h0，AD=H-h0-d0sinr由(8)解出：

(9)

由(6)和(7)得到重力加速度g關(guān)于d的不確定度σg：

(10)

由(7)和(8)得到真實距離d1的不確定度σd1：

(11)

其中D2=h0-H+dsinr

將(11)帶入(10)便可求得重力加速度的不確定度σg與直接測量的角度σr的不確定度的關(guān)系

(12)

圖3 毫米刻度坐標(biāo)透明屏幕下偏

(2)透明擋板向上傾斜而產(chǎn)生的不確定度

圖4 毫米刻度坐標(biāo)透明屏幕上偏

如圖4，當(dāng)毫米刻度坐標(biāo)透明擋板相比水平位置BC向上偏轉(zhuǎn)了r(0°≤r≤5°)角度時，過C′點向AB的延長線作垂線交AB延長線于點D，根據(jù)幾何關(guān)系ΔACD～ΔABC得：

(13)

CB=d1，C′D=d0cosr，AB=H-h0，AD=H-h0+d0sinr由(13)解出：

(14)

由(7)和(14)得到真實距離d1的不確定度σd1：

(15)

其中D2=h0-H+dsinr。

將(15)帶入(10)便可求得重力加速度的不確定度σg與直接測量的角度σr的不確定度的關(guān)系：

(16)

設(shè)毫米刻度坐標(biāo)透明擋板向下偏的角度r為正，向上偏的角度r為負(fù)，根據(jù)上述公式繪出不確定度-偏轉(zhuǎn)角度圖像。

圖5 透明擋板上下偏移產(chǎn)生的不確定度

從圖5可以看出毫米刻度坐標(biāo)透明擋板向上偏轉(zhuǎn)和向下偏轉(zhuǎn)時對于測量得到的g的準(zhǔn)確程度近似相同，透明屏幕上下偏轉(zhuǎn)5°而產(chǎn)生的不確定度大小均近似為1.496 3m/s2。

2.2 激光垂直入射點偏離目標(biāo)點造成的誤差

圖6 激光垂直入射點向左偏離目標(biāo)點

(17)

當(dāng)向右偏移△x時，入射點照射到x1=x0+△x時，代入(2)有：

(18)

由(7)和(18)解出豎直高度h的不確定度σh：

(19)

由(6)和(7)得到重力加速度g關(guān)于h的不確定度σg：

(20)

將(19)代入(18)中求得重力加速度的不確定度σg與直接測量的長度σ△x的不確定度的關(guān)系：

(21)

設(shè)激光垂直入射點向左偏離目標(biāo)點Δx時為負(fù)，向右偏離目標(biāo)點Δx時為正，根據(jù)上述公式得到不確定度-偏離距離圖像。

圖7 激光垂直入射點偏離目標(biāo)點造成的誤差

從圖7可以看出激光垂直入射點向左或向右偏離目標(biāo)準(zhǔn)點時對于計算得到的g產(chǎn)生的不確定度情況近似相同，激光左右偏移5mm產(chǎn)生的不確定度大小均為1.004 4m/s2。

2.3 激光入射方向偏離垂直方向造成的誤差

在標(biāo)準(zhǔn)實驗測定過程中，激光入射方向應(yīng)與垂直方向重合。但在實際操作過程中，學(xué)生容易出現(xiàn)激光入射方向向左或向右偏離垂直方向，但因為液體旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致激光折線照射x0情況產(chǎn)生不確定度。

當(dāng)液面沒有旋轉(zhuǎn)時由折射定律(本實驗所用的甘油的折射率n=1.473 0)：

(22)

由(22)解得液面靜止時折射角r1：

(23)

根據(jù)幾何關(guān)系有：

(24)

(1)激光入射方向向右偏移產(chǎn)生不確定度

如圖8由(24)解得激光與液面交點的橫坐標(biāo)：

圖8 激光入射方向向右偏移

x1=x0+htanr1

(25)

由(1)、(23)、(25)得激光與液面交點切線方程的傾角：

(26)

由(2)、(23)、(25)得激光與液面交點的高度：

(27)

由幾何關(guān)系實際測量激光入射點與反射點距離d：

d=(H-y)tanβ+(H-y)tan(2θ+β)

(28)

聯(lián)立(7)、(26)、(27)、(28)得到d的不確定度：

(29)

其中：

將(29)帶入至(10)求得重力加速度的不確定度σg與直接測量的角度σβ的不確定度的關(guān)系：

(30)

(2)激光入射方向向左偏移產(chǎn)生不確定度

按照向右偏移的情況可得出激光與液面交點的橫坐標(biāo)：

圖9 激光入射方向向左偏移

x2=x0-htanr1

(31)

激光與液面交點切線方程的傾角：

(32)

激光與液面交點的高度：

(33)

同理激光向右偏移(如圖9)，則有(7)(10)(26)(27)(31)(32)(33)便可得到激光向左偏移時的不確定度。

設(shè)激光入射方向向右偏移為正，激光入射方向向左偏移為負(fù)，根據(jù)上述公式得到不確定度-偏轉(zhuǎn)角度圖像。

從圖10可以看出激光向右偏移5°產(chǎn)生的不確定度大小為1.551 5m/s2，激光向左偏移5°產(chǎn)生的不確定度大小為1.250 8m/s2。

圖10 激 光入射方向偏離垂直方向造成的誤差

3 結(jié) 語

由此可見，三種不同類型的實驗誤差對重力加速度測量結(jié)果的準(zhǔn)確度有不同的影響規(guī)律：透明擋板上下偏轉(zhuǎn)5°而產(chǎn)生的不確定度大小均為1.496 3m/s2；激光左右偏移5mm產(chǎn)生的不確定度大小均為1.004 4m/s2；激光相對豎直方向向左偏移5°產(chǎn)生的不確定度大小為1.551 5m/s2，激光相對豎直方向向右偏移5°產(chǎn)生的不確定度大小為1.252 8m/s2。不確定度是反映物理量計算的準(zhǔn)確程度，不確定度越大表明物理量計算越不準(zhǔn)確，三種類型的實驗誤差中激光向右偏移所造成的實驗誤差最大。因此，在旋轉(zhuǎn)液體的物理特性實驗中，可以參考本研究的實驗誤差分析，指導(dǎo)學(xué)生測量旋轉(zhuǎn)液體的重力加速度。特別在測試過程中，激光必須保持垂直，在一定程度上減小了測量誤差，提高了學(xué)生重力加速度的測量精度。