沈昊琛，劉寧亮，丁馳竹

(華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430070)

托里拆利定律(Torricelli’s Law)是流體力學(xué)中伯努利定律(Bernoulli’s Law)的一個(gè)特例，他指出了當(dāng)液體因重力作用從容器壁開孔流出的流速與開孔上方液體高度之間的關(guān)系[1，2]。雖然托里拆利定律原理簡(jiǎn)單，但要對(duì)他進(jìn)行驗(yàn)證，或是測(cè)量結(jié)果不夠精確，或是實(shí)驗(yàn)儀器和操作復(fù)雜。本文提出了一種基于數(shù)字圖像處理技術(shù)的方法，通過(guò)讀取數(shù)碼照片上的液面高度差和水流軌跡曲線，并根據(jù)水流軌跡推算出水速度，從而對(duì)托里拆利定律進(jìn)行驗(yàn)證。該方法裝置簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，且從一次實(shí)驗(yàn)中可以得到多張不同液面高度差的照片，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明有較高的精確性。

1 實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)液體因重力作用從容器側(cè)壁的小孔流出時(shí)，根據(jù)能量守恒定律，忽略能量的損失，開孔處液體獲得的動(dòng)能等于重力勢(shì)能差，即

其中，h是小孔距液面的高度差，v0是開孔處的出水速度，可推導(dǎo)得到

這個(gè)規(guī)律即為托里拆利定律。但在實(shí)際過(guò)程中，由于沿程能量損失和局部能量損失，出水速度小于該理論值[3-6]。本文對(duì)水從薄壁小圓孔流出的情況進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量。

2 實(shí)驗(yàn)方法

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，采用普通的圓柱形礦泉水瓶，瓶壁上開有半徑1 mm的小圓孔，在瓶壁上畫出不同高度的刻度線作為輔助；在實(shí)驗(yàn)區(qū)墻面粘貼50 mm×50 mm方格紙作為定標(biāo)工具，利用鉛準(zhǔn)線確保方格水平；為了減小拍攝誤差，瓶子和墻面上的方格紙應(yīng)盡量貼近，水流軌跡與墻面盡量平行；在地面放置水盆，以接住流出的水；調(diào)整水瓶和數(shù)碼相機(jī)高度，使實(shí)驗(yàn)區(qū)域位于畫面中心，并保拍攝圖像清晰。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置照片(不包括數(shù)碼相機(jī))

將液體(純水)灌入水瓶，待水面靜止后使水從小孔自然流出，在液面高度差h分別為170 mm、150 mm、130 mm、110 mm、90 mm、70 mm、50 mm時(shí)拍攝圖像。

2.2 數(shù)據(jù)處理方法

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，因孔壁等因素干擾，出水水流并非平拋運(yùn)動(dòng)，且水流軌跡的后半段裂碎分散，落點(diǎn)散布大，故不能僅測(cè)量水流落點(diǎn)處的水平位移和垂直落差，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)方程推算出水速度v0；而是采用截取水流軌跡穩(wěn)定的上半段，擬合斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程，推算出水速度v0。具體數(shù)據(jù)處理方法如下：

(1)用電腦上的“畫圖”軟件打開數(shù)碼照片，利用方格紙進(jìn)行定標(biāo)。選取方格紙上離出水口較近的兩個(gè)在水平和豎直方向均相距為100 mm的十字交叉點(diǎn)，讀取這兩個(gè)定標(biāo)點(diǎn)在照片中的位置(單位：pix)，計(jì)算出照片在水平和豎直方向的放大倍率β1、β2(單位：m/pix)。

(2)在照片上讀取出水口和液面的像素位置，根據(jù)照片的放大倍率β2，計(jì)算出液面高度差h。

(3)在照片上讀取包括出水口在內(nèi)的水流軌跡上11個(gè)點(diǎn)的像素位置，根據(jù)照片的放大倍率β1、β2，計(jì)算出這11個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)位置(單位：m)，并進(jìn)行空間坐標(biāo)平移，使出水口坐標(biāo)為(0，0)。

(4)根據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)方程：

當(dāng)x0=0，y0=0時(shí)，斜拋運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：

用拋物線方程y=ax2+bx擬合第(3)步得到的10個(gè)水流軌跡點(diǎn)，可由系數(shù)根據(jù)a、b的數(shù)值反推出vx0、vy0，進(jìn)而求得出水的流速v0：

(6)對(duì)多張照片重復(fù)步驟(1)～(5)，得到不同液面高度差時(shí)的U、K值，繪制U-K曲線。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 液面高度差和出水速度測(cè)定

以一張圖像的處理過(guò)程為例。選取方格紙上兩個(gè)在水平和數(shù)值方向均相距為100 mm的定標(biāo)點(diǎn)，讀取在圖像中的像素坐標(biāo)分別為(1 341，1 185)和(1 110，1 417)。計(jì)算出照片在水平和豎直方向的放大倍率均為4.3×10-4m/pix。讀取液面高度和出水口高度的像素坐標(biāo)分別為806和1 205，計(jì)算出液面高度差為0.172 0 m。讀取水流軌跡上點(diǎn)的像素坐標(biāo)，計(jì)算平移后的空間坐標(biāo)，數(shù)據(jù)列于表1，擬合軌跡圖見圖2。

表1 水流軌跡取樣點(diǎn)坐標(biāo)

圖2 水流軌跡擬合圖

根據(jù)擬合的拋物線方程系數(shù)，可求得v0測(cè)=1.600m/s。而測(cè)得的液面高度差為h=0.172m，根據(jù)式(2)，理論上v0理=1.836m/s(g取9.80m/s2)，說(shuō)明有較大的能量損失。

3.2 U-K曲線測(cè)定

為了對(duì)該實(shí)驗(yàn)方法的精確性進(jìn)行驗(yàn)證，選取多張不同液面高度差的圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，計(jì)算結(jié)果列于表2中。當(dāng)液面高度差為0.015m時(shí)，水基本停止從小孔中流出。如圖3所示，用Origin軟件對(duì)測(cè)得的U、K值進(jìn)行線性擬合，得到K=0.840U-0.152，斜率和截距的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.016 83和0.018 49，校正后的決定系數(shù)為0.997 2，說(shuō)明測(cè)量結(jié)果具有合理性，證明該實(shí)驗(yàn)方法是可行的。

表2 不同液面高度差時(shí)的測(cè)量結(jié)果

圖3 U-K曲線圖

4 結(jié) 語(yǔ)

基于數(shù)字圖像處理技術(shù)，提出了一種托里拆利定律實(shí)驗(yàn)的方法。該實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低廉，直觀性強(qiáng)，且從一次實(shí)驗(yàn)中可以拍攝多張圖像，從而得到多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確，具有很強(qiáng)的可操作性。該方法還可進(jìn)一步用于探討開孔形狀等因素對(duì)能量損失的影響，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。