趙小俠，袁宇博，楊 迪，鄒呈祥，王 浩，賀俊芳，王碧熙，王紅英，付福興

(西安文理學(xué)院 機械與材料工程學(xué)院，陜西 西安 710065)

光波是極高頻率的電磁波(可見光波段頻率ν：7.5×1014～4.1×1014Hz)，因此它的波長很短(可見光波段波長λ：390～760 nm，1 nm=10-9m)。相對于日常所見的宏觀物體來說，光波的波長實在是太小了，根據(jù)光的衍射條件，光在行進中遇到的障礙物的尺寸與光的波長可比擬才可以觀察到光的衍射現(xiàn)象。因此實際生活中，光雖然在傳播過程中具有波動性，但是在實際問題的處理中均以幾何光學(xué)即光在均勻介質(zhì)中是直線傳播的，不考慮光遇到障礙物的衍射現(xiàn)象。在考慮光的波動性，討論光遇到障礙物的衍射現(xiàn)象時，根據(jù)光源與障礙物以及觀察屏的遠近，又人為的分為菲涅爾衍射(近場衍射)和夫瑯禾費衍射(遠場衍射)。本文利用惠更斯-菲涅爾原理與基爾霍夫標(biāo)量衍射理論[1-5]在分析夫瑯禾費衍射光強的基礎(chǔ)上，設(shè)計了遠場的夫瑯禾費衍射實驗光路，對不同形狀的衍射物的夫瑯禾費衍射光強進行了研究。使衍射的理論公式更為形象，有利于對光的衍射規(guī)律的理解。

1 理論分析

根據(jù)惠更斯一菲涅爾原理得出的單縫夫瑯禾費衍射光強[6]分布可知，單縫衍射的中央亮紋位置，由

sinu=0

(1)

決定，其中u=(πbsinθ)/λ，λ為單色光波長，b為單縫的寬度，θ為衍射角。

這樣滿足方程u0=(πbsinθ0)/λ

(2)

的方向，即衍射角sinθ0=0(衍射中央最大值的位置即透鏡焦點F0處)，IPo是在透鏡焦點F0處的光強：

Ipo=A2

(3)

其中A為振幅大小，這時衍射光強為最大值。

如果在透鏡的物方焦平面上光源S有變動得到單縫衍射的光強公式普遍形式[7]，

(4)

其中IP為觀察屏上任一點P的衍射光強，I0為焦點F0處的最大光強，φ為光源的方位角，θ0為衍射角。

胡柯[8]利用數(shù)值積分精確計算了各級明暗環(huán)衍射角、中央艾里斑與衍射圖樣中各級明環(huán)光強和各級明環(huán)峰值光強，并利用最小二乘法探討了各級明暗環(huán)衍射角與相對光強隨衍射級次的變化規(guī)律，得到圓孔夫瑯禾費衍射光振幅徑向分布的積分表達式的相對光強分布：

(5)

其中IP是觀察屏上任一點P的光強，I0為中央艾里斑光強度，EP和E0分別為P點和中心處的振幅強度，x′=x/R為積分路徑，R為圓孔的半徑，x為選取的直條形面元距中心的距離，m=kRsinθ，k為波數(shù)，θ為衍射角。

由公式(4)和(5)理論上可以分析得到衍射屏上各處的單縫和圓孔衍射光強，為了使上面衍射光強分布直觀，設(shè)計了下面圖1所示的夫瑯禾費衍射光路圖，將不同形狀和大小的障礙物作為衍射物進行了實驗研究。

2 夫瑯禾費實驗光路設(shè)計

夫瑯禾費實驗實物光路圖見圖1。

圖1 夫瑯禾費衍射實驗實物光路圖

圖1中從左到右依次為：(1)532 nm的激光器作實驗光源；(2)圓形可調(diào)衰減器；(3)空間濾波器；(4)焦距為100.0 mm的準(zhǔn)直透鏡；(5)可變光闌；(6)衍射物；(7)焦距為100.0 mm的透鏡；(8)CMOS數(shù)字相機，通過數(shù)據(jù)線與電腦連接。

搭建調(diào)試好如上圖1的夫瑯禾費衍射光路后，讓經(jīng)前面光路準(zhǔn)直后的平行光投射在衍射物上，經(jīng)過聚焦透鏡7的變換，將CMOS相機放置在透鏡焦平面上，通過調(diào)節(jié)數(shù)字?jǐn)z像機CMOS的成像參數(shù)，把采集到的衍射圖樣通過數(shù)據(jù)線傳輸?shù)诫娔X中進行觀察。

3 不同衍射物的夫瑯禾費衍射實驗結(jié)果及分析

3.1 夫瑯禾費單縫衍射實驗

圖2所示的是衍射物6為不同寬度的單縫的夫瑯禾費衍射實驗圖，圖中左邊為CMOS相機采集到的衍射圖樣，右邊為經(jīng)過軟件處理后的衍射圖樣的光強分析圖。

圖2 夫瑯禾費單縫衍射圖

圖2左邊從上到下狹縫寬度依次為150 μm、250 μm、350 μm、450 μm。圖中右邊為經(jīng)過軟件處理的對應(yīng)單縫縫寬時衍射光強分布。從圖2可以看出亮紋最大光強值是不相等的，中央最大值的光強是最大，等于其他亮條紋亮度的二倍。隨著單縫寬度b的增大，衍射現(xiàn)象變得不明顯，各級次極大光強逐漸增大。

3.2 夫瑯禾費圓孔衍射實驗

圖3為衍射物6為不同尺寸的圓孔時的夫瑯禾費衍射實驗圖。圖3左邊為CMOS相機采集到的衍射圖樣，右邊為經(jīng)過軟件處理后的衍射圖樣的光強分析圖。

圖3 夫瑯禾費圓孔夫瑯禾費衍射圖

比較圖2和圖3夫瑯禾費單縫衍射和圓孔衍射，可以看出這兩者在定性方面是一致的，圓孔衍射只有形狀和因數(shù)1.22不同。中間零級光強較強；除中間亮斑外，光強沿徑向，呈現(xiàn)強弱相間分布，并且隨著極徑增大其峰值逐漸減小。

3.3 夫瑯禾費正六邊形衍射實驗

圖4為衍射物6為不同尺寸的正六邊形的夫瑯禾費衍射圖樣，圖4左邊為CMOS相機采集到的衍射圖樣，右邊為經(jīng)過軟件處理后的衍射圖樣的光強分析圖。

圖4 夫瑯禾費正六邊形夫瑯禾費衍射圖

圖4左邊從上到下六邊形內(nèi)切圓半徑依次為150 μm、250 μm、350 μm、450 μm。由上圖可以清楚地看到當(dāng)六邊形衍射圖樣，與理論分析的規(guī)律一致[9]。當(dāng)六邊形內(nèi)切圓半徑較小時的衍射圖樣與圓孔衍射相似，隨著內(nèi)切圓半徑的增大，六邊形各邊的衍射逐漸明顯，從衍射圖樣可以看出六邊形的每一邊對應(yīng)的衍射圖樣相當(dāng)于一個單邊衍射[10]，六邊形每一邊的衍射圖樣中也存在許多次極大值，這是由于在其他方向上的衍射光線疊加后光強很弱所造成的。當(dāng)正偶數(shù)多邊形的邊數(shù)增加時，每組相對的平行邊的同級衍射明條紋會逐漸靠近，可以推測當(dāng)邊數(shù)趨于無窮大時衍射圖樣應(yīng)該與圓孔衍射的圖樣一致。

3.4 夫瑯禾費單邊衍射實驗

為了驗證對六邊形衍射圖樣的猜想，隨后又做了夫瑯禾費單邊衍射的實驗，將衍射物6換為單邊，經(jīng)CMOS相機采集到的單邊夫瑯禾費衍射圖樣如圖5所示。

圖5 夫瑯禾費單邊衍射的衍射圖樣

圖5的夫瑯禾費單邊衍射的衍射圖樣，與上述六邊形中一個邊的衍射圖樣是一致的，也與下面圖6所做的正方形的夫瑯禾費衍射圖樣中單邊衍射圖樣一致。

3.5 夫瑯禾費正方形衍射實驗

圖6為衍射物6為不同尺寸的正方形的夫瑯禾費衍射圖樣。

圖6 夫瑯禾費正方形衍射圖樣

圖6中從左到正方形邊長依次為150 μm、250 μm、350 μm、450 μm。當(dāng)正方形邊長比較小時，夫瑯禾費衍射圖樣模糊，且接近于圓孔衍射，隨著正方形邊長的增大，可以清楚地看到正方形衍射圖樣與理論分析一致[11，12]，且衍射條紋也變得越來越清晰。正方形每一邊都呈現(xiàn)的是單邊直邊衍射現(xiàn)象。中央亮紋強度最大，中央亮紋寬度是各次級大亮紋寬度的2倍，所以中央亮紋光強是相對的兩邊直邊衍射的疊加。其他亮紋強度隨著級數(shù)的增加，迅速減弱，這與圖5的單邊衍射圖樣是一致的。

3.6 夫瑯禾費正三角形衍射實驗

圖7為衍射物6為正三角形的夫瑯禾費衍射圖樣。

圖7 夫瑯禾費三角形衍射圖樣

圖7為衍射物是正三角形的夫瑯禾費衍射圖樣，從左到三角形內(nèi)切圓直徑依次為150 μm、250 μm、350 μm、450 μm。由圖中可以清楚看到當(dāng)三角形外切圓直徑值很小時，衍射圖樣變得模糊。隨著三角形內(nèi)切圓的直徑增大，衍射圖樣變得清晰可見。三角形各邊顯示單邊衍射圖樣與前面討論一致，當(dāng)光通過三角形兩邊夾角處時，因為滿足光的干涉條件，在兩邊夾角處又同時發(fā)生了光的干涉。所以一幅三角形夫瑯禾費衍射圖樣中既有單邊衍射，又有兩邊之間的干涉，是干涉和衍射同時存在，這正是光學(xué)的魅力所在。

4 結(jié) 語

本文在分析單縫和圓孔夫瑯禾費衍射光強的基礎(chǔ)上，設(shè)計了夫瑯禾費衍射實驗光路，對不同單縫寬度的單縫、不同圓孔直徑衍射物的夫瑯禾費衍射光強進行了定性和定量研究。使衍射的理論公式更形象，有利于對衍射規(guī)律的理解。隨后又實驗了不同尺寸的六邊形、正方形衍射物的夫瑯禾費衍射圖樣，根據(jù)所得的衍射圖樣猜想圖樣中的衍射含有單邊直邊衍射，接著實驗得到單邊夫瑯禾費衍射的衍射圖樣，單邊衍射圖樣能夠很好地解釋六邊形和正方形的夫瑯禾費衍射圖樣。這樣可以把單縫夫瑯禾費衍射圖樣看成是兩個間距與波長可比擬的相互平行的兩個單邊衍射之間的干涉圖樣，正方形夫瑯禾費衍射圖樣看成是在正方形兩相對邊間的單邊衍射之間的干涉圖樣和兩對相互垂直方向上的干涉圖樣的非相干疊加的結(jié)果。由圖4和圖7的正六邊形和正三角形夫瑯禾費衍射圖樣可以看出他們是各自的單邊衍射和各邊間的干涉共同作用的結(jié)果，對于正六邊形來說相鄰兩邊夾角為120°，等邊三角形的相鄰兩邊間的夾角為60°，因此對于相鄰的兩邊間的單邊衍射之間的干涉來說，三角形的光強在平行方向上的分量大于六邊形，這也是三角形衍射圖樣中相鄰兩邊間干涉圖樣比六邊形衍射圖樣中相鄰兩邊間干涉圖樣較為明顯的原因。對多邊形衍射圖樣的分析可以看出是他們的衍射圖樣都可以看成是各邊的單邊夫瑯禾費衍射的衍射圖樣和相鄰兩邊間干涉的共同作用結(jié)果。