洪汪寶
(安徽省安慶市第一中學(xué) 246004)
題目已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB.
(1)若a,b,c成等比數(shù)列,試判斷△ABC的形狀;
(2)若a=2,c=3,點(diǎn)D在邊AC上,且BD平分∠ABC,求BD的長.
本題是我校2020屆高三第三次模擬考試的理科第17題,主要考查三角恒等變換、特殊角的三角函數(shù)值、等比數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理等多個(gè)知識點(diǎn),對學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力要求較高,要求學(xué)生具備扎實(shí)的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
1.第(1)小題的解法
由a,b,c成等比數(shù)列知b2=ac.
方法2由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),b2=ac,因此△ABC是等邊三角形.
點(diǎn)評解法1直接利用余弦定理并整理得到完全平方式;解法2利用重要不等式,巧用取等條件,將解三角形與重要不等式相結(jié)合,是我們常見的一個(gè)綜合點(diǎn);解法3發(fā)現(xiàn)所給等式的兩邊均為二次,利用正弦定理,將邊化為角,再利用三角恒等變換,對學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高;解法4引入公比q,實(shí)際上是為了消元,將多元化為一元,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.
2.第(2)小題的解法
點(diǎn)評解法1,2,3主要都是利用正弦定理和余弦定理,思路比較自然.根據(jù)已知條件,在△ABC中,已知兩邊及其夾角,該三角形是唯一確定的,所以其內(nèi)角平分線的長也是唯一的.解法1中出現(xiàn)兩解,要注意取舍,而且整個(gè)計(jì)算過程比較繁瑣,不少學(xué)生應(yīng)用了該解法,但算出來的不多;解法2的后面利用了正弦定理,效果比較好;解法3挖掘出隱藏條件∠ADB+∠CDB=π,要注意這個(gè)模型的應(yīng)用.
1.理清知識要點(diǎn),正確選用定理
解三角形是每年高考的必考知識點(diǎn),我們在復(fù)習(xí)過程中必須理清知識要點(diǎn),弄清知識要點(diǎn)的來龍去脈.比如說正弦定理,我們知道它反映了同一三角形的邊角之間的等量關(guān)系,在一輪復(fù)習(xí)中可以設(shè)計(jì)如下的問題鏈:
(1)正弦定理的具體內(nèi)容是什么?(文字語言、圖形語言、符號語言等)
(2)如何證明正弦定理?常見證法有哪些?(作高、面積法、作外接圓、向量法等)
(4)何時(shí)利用正弦定理來解三角形?(已知兩角與一邊,已知兩邊與其中一邊的對角)
(5)利用已知的兩邊與其中一邊的對角解三角形時(shí),要注意什么?
2.開展一題多解,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)
考試或作業(yè)時(shí)因時(shí)間有限,大部分學(xué)生解完題目就認(rèn)為萬事大吉了,沒時(shí)間進(jìn)一步思考,制約了學(xué)生的思維質(zhì)量與思維層次,不利于學(xué)生思維的培養(yǎng).于是要求老師在批閱試卷和作業(yè)時(shí)要注意搜集典型題目和解法,筆者在初次見到上面的題目時(shí),感覺很平常的一道問題,但在批閱試卷時(shí),驚喜連連,上面提供的解法基本上都是學(xué)生考試中運(yùn)用的方法,只不過有的解法學(xué)生用的比較多,有的用的比較少.
3.精心組織微專題,提升復(fù)習(xí)效率
在一輪復(fù)習(xí)過程中,大部分老師都喜歡直接利用一輪復(fù)習(xí)用書,按照書上的要求進(jìn)行講解,沒有自己的再加工,長此以往,學(xué)生對復(fù)習(xí)必將失去興趣,影響復(fù)習(xí)效果.微專題教學(xué)是時(shí)下比較流行的教學(xué)方式,特別在復(fù)習(xí)課中應(yīng)用比較廣泛,微專題具有切口小、選題精、角度新、針對性強(qiáng)等特點(diǎn),這樣可有效抓住熱點(diǎn),突出重點(diǎn),突破難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn),從而備受廣大一線教師的青睞.所以要求老師精心挑選組織微專題,微專題的選擇要“微”在定點(diǎn)突破,“微”在精心預(yù)設(shè),“微”在互動生成.