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        構(gòu)造圓求解平面向量模的最值和范圍問題

        2021-10-21 00:25:44李文東
        數(shù)理化解題研究 2021年28期
        關(guān)鍵詞:思考問題代數(shù)最值

        李文東

        (廣東省中山市中山紀念中學 528454)

        平面向量作為一種重要的數(shù)學工具,具有代數(shù)和幾何的雙重特性,這就導(dǎo)致求解平面向量問題方法的多樣性和復(fù)雜性.在各地的高考和高三模擬試題中,經(jīng)常出現(xiàn)平面向量模的最值和范圍問題,這類問題若用代數(shù)方法求解,首先需要將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,然后綜合運用函數(shù)和不等式的知識求解,往往比較復(fù)雜.我們也可以借助平面向量的幾何意義,構(gòu)造幾何圖形來求解,往往能起到避繁就簡的效果,下面舉例說明.

        例1(2017浙江15)向量a、b滿足|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|a-b|的取值范圍.

        圖1

        例2若非零向量a,b的夾角為60°,|a-b|=1,求|a+b|的取值范圍.

        圖2

        圖3 圖4

        點評本題利用模的三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解:

        例4設(shè)a、b為單位向量,且a·b=0,c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值為____.

        圖5 圖6

        圖7

        涉及到向量問題,我們可以從代數(shù)和幾何的角度去思考問題,代數(shù)解法需要將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,然后用函數(shù)與不等式等知識解決,而幾何法則是借助向量的幾何意義,利用軌跡的思想去思考問題,往往能夠達到意想不到的效果.

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