王焱萍， 毛維濤， 趙秋玲， 張清悅， 王 霞

(青島科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院；山東省新型光電材料與技術(shù)工程實驗室，山東 青島 266061)

近年來隨著拓?fù)浣^緣體[1-2]概念的提出，拓?fù)湮锢韺W(xué)發(fā)展迅速[3-6]，拓?fù)涔庾咏Y(jié)構(gòu)也很快引起人們的極大關(guān)注。香港科技大學(xué)CHAN教授課題組理論研究了在一維拓?fù)涔庾咏Y(jié)構(gòu)中產(chǎn)生光學(xué)界面態(tài)(interface state)的條件，并指出在同一帶隙內(nèi)，表面阻抗符號相反的兩個半無限大光子結(jié)構(gòu)可通過組合產(chǎn)生界面態(tài)[7]。由于單個結(jié)構(gòu)的反轉(zhuǎn)對稱性，這類界面態(tài)具有拓?fù)浔Ｗo(hù)特征，對實驗噪聲具有很強(qiáng)的魯棒性[8-9]，此外層狀光子結(jié)構(gòu)通過常規(guī)的電子束蒸鍍等技術(shù)易于實現(xiàn)制備[10]，因此對具有反轉(zhuǎn)對稱特征的層狀光子結(jié)構(gòu)的光學(xué)特性做進(jìn)一步的分析研究具有實際的應(yīng)用意義[11-16]。本研究基于傳輸矩陣方法研究了具有反轉(zhuǎn)對稱特征的層狀光子結(jié)構(gòu)的光譜輪廓曲線和表面阻抗特性，分析了反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗符號在不同帶隙內(nèi)的變化規(guī)律。

1 一維無限大反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)的反射光譜

1.1 傳輸矩陣法分析光子結(jié)構(gòu)的反射光譜

考慮由兩種材料構(gòu)成的二元層狀光子結(jié)構(gòu)，如圖1所示，根據(jù)元胞分布不同將結(jié)構(gòu)分為兩種類型，分別定義為PCI結(jié)構(gòu)和PCII結(jié)構(gòu),藍(lán)色方框部分對應(yīng)PCI結(jié)構(gòu)的一個元胞，由厚度為xda的介質(zhì)A、厚度為db的介質(zhì)B以及厚度為(1-x)da的介質(zhì)A構(gòu)成；紅色方框部分對應(yīng)PCII結(jié)構(gòu)的一個元胞，由厚度為xdb的介質(zhì)B、厚度為da的介質(zhì)A以及厚度為(1-x)db的介質(zhì)B構(gòu)成。x為厚度系數(shù)，取值范圍為0～1。當(dāng)x=0.5時，兩種結(jié)構(gòu)均為反轉(zhuǎn)對稱層狀結(jié)構(gòu)，其中PCI結(jié)構(gòu)各層介質(zhì)厚度分布為0.5da-db-0.5da-0.5da-db-0.5da……-0.5da-db-0.5da，即反轉(zhuǎn)對稱中心位于介質(zhì)B中；PCII結(jié)構(gòu)的各層介質(zhì)厚度分布為0.5db-da-0.5db-0.5db-da-0.5db……-0.5db-da-0.5db，反轉(zhuǎn)對稱中心位于介質(zhì)A中。當(dāng)x取其它值時，兩種結(jié)構(gòu)均不具備反轉(zhuǎn)對稱性?？紤]實際應(yīng)用，在計算中選取SiO2和TiO2兩種常用的氧化物材料分別作為介質(zhì)A和介質(zhì)B，兩種材料在光學(xué)波段的折射率[17]分別為nTiO2=2.068+1.25×10-2·λ-2+4.90×10-4·λ-4、nSiO2=1.435+7.49×10-3·λ-2-5.07×10-4·λ-4，式中波長取μm的單位。這兩種氧化物介質(zhì)的折射率對比度較高，且在光學(xué)波段范圍內(nèi)的光吸收可以忽略不計。

圖1 由A和B兩種材料構(gòu)成的PCI和PCII兩種光子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Photonic structures of PCI and PCII consisting of A and B materials

傳輸矩陣方法是基于麥克斯韋方程組計算和分析一維光子結(jié)構(gòu)常用的方法，光波垂直通過厚度為dj的第j層介質(zhì)的傳輸規(guī)律可用傳輸矩陣Pj表示為[18]

(1)

(2)

圖1(a)所示的PCI光子結(jié)構(gòu)一個元胞的矩陣TABA可表示為

TABA(x)=P(ka,x·da)·Ma→b·P(kb,db)·

其中，

(3)

同理，圖1(b)所示的PCII光子結(jié)構(gòu)的一個元胞的矩陣TBAB可表示為

TBAB(x)=P(kb,x·db)·Mb→a·P(ka,da)·

其中，

(4)

比較PCI和PCII結(jié)構(gòu)元胞的矩陣元素a1、a2可知，a1、a2與x無關(guān)且有a1=a2，此處令a1=a2=a。根據(jù)文獻(xiàn)[19]可知，該矩陣元素a對應(yīng)的表達(dá)式即為光子結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系表達(dá)式，又可以表示為

a=cos(KΛ)=cos(kada)cos(kbdb)-

(5)

其中，K為布洛赫波數(shù)，Λ=da+db為一個元胞的周期。由于該式中不含有結(jié)構(gòu)厚度因子x，所以反轉(zhuǎn)對稱與非對稱光子結(jié)構(gòu)的帶隙位置是相同的。圖2為光子結(jié)構(gòu)能帶圖及反射光譜輪廓曲線。圖2(a)給出了由SiO2和TiO2兩種材料構(gòu)成的層狀光子結(jié)構(gòu)的帶結(jié)構(gòu)分布，圖中黃色區(qū)域表示的即為帶隙位置,兩種介質(zhì)的厚度分別為da=173 nm，db=428 nm，圖2(b)給出相應(yīng)范圍的a的取值，在帶隙范圍內(nèi)，有|a|=|cos(KΛ)|>1，K是復(fù)數(shù)。

一束光波從空氣垂直入射到PCI光子結(jié)構(gòu)后再透射進(jìn)入空氣，該光子結(jié)構(gòu)的總傳輸矩陣TPCI可表示為

其中，

(6)

同理，可得PCII光子結(jié)構(gòu)的總傳輸矩陣為

其中，

(7)

根據(jù)公式(6)和(7)可知，A1=A2，為簡化分析，令A(yù)1=A2=A。

當(dāng)單位振幅的光波正入射時，經(jīng)過光子結(jié)構(gòu)的傳輸規(guī)律有

(8)

將光子結(jié)構(gòu)的總傳輸矩陣代入式(8)，可得到PCI和PCII兩個結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)分別為

(9)

圖2(c)～(f)給出結(jié)構(gòu)元胞數(shù)目N=30情況下的光子結(jié)構(gòu)的反射光譜，其中(c)和(d)給出兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)的反射光譜，(e)和(f)分別給出x=0.9條件下兩個結(jié)構(gòu)的反射光譜，可以看到每一個結(jié)構(gòu)的反射光譜表現(xiàn)出的帶隙位置均相同。

1.2 無限大光子結(jié)構(gòu)的反射光譜

由圖2可知，元胞數(shù)目有限大的光子結(jié)構(gòu)的反射光譜存在很強(qiáng)的振蕩，元胞數(shù)越多，振蕩峰越多，但這些振蕩峰值的輪廓分布與光子結(jié)構(gòu)的類型有關(guān)，對于PCI和PCII兩種類型的結(jié)構(gòu)，在x取不同值時，結(jié)構(gòu)的反射光譜輪廓是不同的。當(dāng)光子結(jié)構(gòu)的元胞數(shù)目N趨向于無窮大時，振蕩峰無限多，反射光譜就演變?yōu)橛邢薮蠊庾咏Y(jié)構(gòu)的反射光譜的輪廓曲線或包絡(luò)曲線。為了進(jìn)一步分析不同類型光子結(jié)構(gòu)的光譜輪廓分布特征，現(xiàn)在對公式(6)和(7)中的各矩陣元素作進(jìn)一步分析。

圖2 光子結(jié)構(gòu)能帶圖及反射光譜輪廓曲線Fig.2 Band diagram reflection spectrums and envelops of photonic crystal structures

rPCI(N→∞)=

(10)

rPCII(N→∞)=

(11)

由式(3)、(4)及式(6)、(7)可知，當(dāng)x=0.5時，有c1=0，c2=0，以及C1=0，C2=0，此時結(jié)構(gòu)為反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)，從而PCI和PCII兩個無限大反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)在通帶內(nèi)的反射系數(shù)可表示為

rPCI(N→∞,x=0.5)=

(12)

rPCII(N→∞,x=0.5)=

(13)

2 反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗在不同帶隙內(nèi)的分布規(guī)律

2.1 表面阻抗

在研究光子結(jié)構(gòu)的理論中，表面阻抗是一個重要的概念。表面阻抗的定義與結(jié)構(gòu)入射端的電場E0+和磁場H0+有關(guān)，其分別為E0+=(1+r)Ei，E0+=(1+r)Ei，其中Ei、Hi為入射光波的電場和磁場。表面阻抗定義為

(14)

(15)

(16)

其中，rR、rI分別為反射系數(shù)的實部和虛部。由式(15)知，表面阻抗的實部大于或等于零。當(dāng)光子結(jié)構(gòu)為半無限大時，帶隙內(nèi)的反射率R=1，從而帶隙內(nèi)的表面阻抗實部等于零，即在帶隙內(nèi)表面阻抗是一個純虛數(shù)。由(16)式可知表面阻抗的虛部與反射系數(shù)的虛部正相關(guān)，根據(jù)式(9)，PCI以及PCII光子結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)可進(jìn)一步表示為

(17)

(18)

由式(17)～(18)可知，PCI和PCII的反射系數(shù)分母的值大于0，因此兩個光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部的符號分別與-(B1C1+AD1)和-(B2C2+AD2)有關(guān)。

對于反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)有C1和C2為0，可得其反射系數(shù)為

(19)

(20)

因此反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)表面阻抗的虛部符號僅取決于-AD1和-AD2。

2.2 表面阻抗虛部在不同帶隙內(nèi)的分布

為了進(jìn)一步分析反轉(zhuǎn)對稱層狀光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗在不同帶隙內(nèi)的分布規(guī)律，根據(jù)式(6)、(7)，-AD1和-AD2可寫成

(21)

(22)

其中，

(23)

(24)

(25)

在帶隙內(nèi)|a|>1，可知-AD1與-AD2的分母大于0，所以帶隙內(nèi)阻抗虛部的符號由分子pq1和pq2決定。

比較公式(12)～(13)和(24)～(25)可知，對于反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)，q1=0和q2=0的位置即對應(yīng)光子結(jié)構(gòu)反射光譜輪廓曲線的零點，如圖3所示。每經(jīng)過一個反射光譜輪廓曲線零點，q在帶隙內(nèi)的符號就會發(fā)生改變，所以光子結(jié)構(gòu)在經(jīng)過含有奇數(shù)個反射光譜輪廓曲線零點的通帶時，通帶前后的兩個帶隙內(nèi)q的符號是相反的，而經(jīng)過含有偶數(shù)個反射光譜輪廓曲線零點的通帶時，通帶前后的兩個帶隙內(nèi)q的符號相同。

由前述分析可知，p的符號在相鄰帶隙中是相反的，若某通帶對應(yīng)的光譜輪廓曲線中含有偶數(shù)個零點時，則該通帶前后的帶隙內(nèi)q的符號相同，從而該通帶前后兩個帶隙內(nèi)的表面阻抗的虛部符號相反；若通帶對應(yīng)的光譜輪廓曲線中含有奇數(shù)個零點時，則該通帶前后的帶隙內(nèi)q的符號相反，從而該通帶前后兩個帶隙內(nèi)的表面阻抗虛部符號相同。

另外通過計算表明，PCI和PCII兩個光子結(jié)構(gòu)的q1、q2在奇數(shù)帶隙內(nèi)符號相反，在偶數(shù)帶隙內(nèi)相同，比較圖3中的(a)和(b)可見，在第一個和第三個帶隙內(nèi)，q1與q2符號是相反的，而在第二個帶隙內(nèi)兩者的符號相同。又因為兩個結(jié)構(gòu)中p的符號相同，所以反轉(zhuǎn)對稱的PCI和PCII兩個光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部在奇數(shù)帶隙內(nèi)異號，而在偶數(shù)帶隙內(nèi)同號，該結(jié)論與圖3給出的兩個結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部曲線一致。

圖3 PCI和PCII兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部在前三個帶隙范圍內(nèi)的分布，結(jié)構(gòu)元胞數(shù)目N=30Fig.3 Imaginary parts of the surface impedances of PCI and PCII structures with inversion symmetry in first three bandgaps, the unit cells number is N=30

3 基于表面阻抗特性分析組合結(jié)構(gòu)產(chǎn)生界面態(tài)的應(yīng)用

基于兩個反轉(zhuǎn)對稱中心不同的光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部在奇數(shù)帶隙內(nèi)符號相反、而在偶數(shù)帶隙內(nèi)符號相同的性質(zhì)，將PCI和PCII兩個光子結(jié)構(gòu)進(jìn)行組合，進(jìn)一步分析了在組合結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生界面態(tài)的分布特征。圖4給出了組合結(jié)構(gòu)的反射光譜以及兩個光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部之和，其中圖4(a)和(b)分別給出的是單個光子結(jié)構(gòu)元胞數(shù)為N=10和N=5的結(jié)果。由圖中的曲線可見，組合結(jié)構(gòu)在第一個和第三個帶隙均出現(xiàn)了界面態(tài)，并且在界面態(tài)頻率處，兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部之和等于零，這說明在界面態(tài)處，兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部大小相等，符號相反。而在偶數(shù)帶隙中由于兩個光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部符號相同，不存在表面阻抗虛部之和等于零的條件，所以在第二個帶隙中沒有出現(xiàn)界面態(tài)。另外，光子結(jié)構(gòu)元胞數(shù)越多，帶隙特征越顯著，出現(xiàn)的界面態(tài)銳度也越好，根據(jù)圖4(b)可知，即使在單個結(jié)構(gòu)元胞數(shù)N=5的條件下，組合結(jié)構(gòu)在第一個和第三個帶隙內(nèi)產(chǎn)生的界面態(tài)也表現(xiàn)出良好的特征，其中心頻率對應(yīng)的反射率均為零，譜線寬度分別為0.011 6和0.006 1 μm-1(R=0.5對應(yīng)的界面態(tài)寬度)，而該結(jié)構(gòu)通過電子束蒸鍍技術(shù)易于實現(xiàn)制備，因此反轉(zhuǎn)對稱層狀光子結(jié)構(gòu)通過組合產(chǎn)生界面態(tài)，對窄帶濾波器、光纖通信、傳感器等方面具有重要的應(yīng)用意義。

圖4 反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)PCI和PCII的組合結(jié)構(gòu)在前三個帶隙的反射光譜以及兩個結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部之和Fig.4 The reflection spectrum of the combined structure and the sum of imaginary parts of the surface impedances between PCI and PCII in the first three bandgaps

4 結(jié) 語

本研究基于傳輸矩陣法，對具有反轉(zhuǎn)對稱特征的層狀光子結(jié)構(gòu)的光學(xué)特性進(jìn)行了計算研究。構(gòu)建結(jié)構(gòu)參數(shù)相同、反轉(zhuǎn)對稱中心不同的兩個光子結(jié)構(gòu)PCI和PCII，兩個結(jié)構(gòu)的帶隙位置相同，但帶隙光譜輪廓分布不同，通過推導(dǎo)分析結(jié)構(gòu)元胞數(shù)N趨于無窮大時的反射系數(shù)，計算了結(jié)構(gòu)的反射光譜輪廓曲線；在此基礎(chǔ)上分析了光子結(jié)構(gòu)的表面阻抗虛部在不同帶隙內(nèi)的分布，結(jié)果表明表面阻抗虛部的符號在不同帶隙內(nèi)的分布與反射光譜輪廓曲線零點的分布有關(guān)，若某通帶中的反射光譜輪廓曲線含有奇數(shù)個零點，則表面阻抗虛部在該通帶后相鄰帶隙內(nèi)的符號與前一個帶隙相同，若某通帶中的反射光譜輪廓曲線含有偶數(shù)個零點，則表面阻抗虛部在該通帶后相鄰帶隙內(nèi)的符號與前一個帶隙相反；另外計算分析表明，PCI和PCII兩個光子結(jié)構(gòu)由于反轉(zhuǎn)對稱中心不同，表面阻抗虛部的符號在奇數(shù)帶隙內(nèi)相反、在偶數(shù)帶隙內(nèi)相同。若將兩個對稱中心不同的光子結(jié)構(gòu)進(jìn)行組合，其組合結(jié)構(gòu)在所有奇數(shù)帶隙內(nèi)存在界面態(tài)，并且在界面態(tài)頻率處，兩個反轉(zhuǎn)對稱光子結(jié)構(gòu)的阻抗虛部之和等于零。研究結(jié)果可以為一維光子結(jié)構(gòu)在產(chǎn)生界面態(tài)等方面的應(yīng)用提供理論參考。