馬克輝， 任傳波， 張永國， 許 震， 周鵬程， 陳雅潔

(山東理工大學交通與車輛工程學院， 淄博 255000)

隨著汽車技術的發(fā)展，人們對車輛乘坐的舒適性有了更高的要求。為了適應不同路面工況，人們在傳統(tǒng)被動懸架的基礎上開發(fā)出了各種可控的主動懸架。但是在所有的主動懸架控制系統(tǒng)中，車輛狀態(tài)傳感器數(shù)據(jù)采集時間、懸架系統(tǒng)振動控制量計算時間、作動器的響應時間等都不可避免地存在滯后現(xiàn)象[1]。時滯不僅會降低控制精度，甚至會導致穩(wěn)定性的喪失和分岔混沌現(xiàn)象的發(fā)生。為避免時滯其對控制系統(tǒng)的不利影響，文獻[2-3]對系統(tǒng)時滯進行補償。然而，有些學者發(fā)現(xiàn)將時滯作為一種狀態(tài)反饋控制量，有意識的控制其大小，使之與反饋系統(tǒng)合理的搭配，則能有很好的減振效果。

許多學者對振動控制系統(tǒng)中的時滯問題做了大量的研究。Olgac等[4-5]將時滯反饋作為輸入量應用在吸振器上，構成一個“時滯動力吸振器”，通過仿真表明含時滯反饋的吸振器的減振效果優(yōu)于被動吸振器。Zhao等[6]、趙艷影等[7]以利用時滯主動控制的積極作用，研究了時滯動力吸振器在非線性振動系統(tǒng)中對主系統(tǒng)的減振效果。Sun等[8]通過試驗驗證了時滯減振的有效性。陳龍祥等[9-10]平研究了柔性梁旋轉運動與受迫振動的時滯主動控制。隨后，陳龍等[11]研究了時滯對半主動懸架的影響。付文強等[12]探究了含時滯天棚阻尼半主動懸架控制系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性機理。朱坤等[13]基于輪胎位移時滯反饋控制提高車輛懸架的性能。閆蓋等[14]考慮了懸架系統(tǒng)的固有時滯，利用狀態(tài)變化法將時滯反饋應用于車輛懸架控制。趙艷影等[15]研究了高速列車車體為反饋對象的非線性時滯反饋控制。吳凱偉等[16]將輪胎位移時滯反饋控制應用于提高車輛座椅的舒適性。

綜上所述，盡管時滯減振理論在車輛懸架應用中已經(jīng)有了較大的進展。目前研究大多是基于模型某一時滯反饋對車身減振的影響，而對不同狀態(tài)反饋之間的區(qū)別鮮有研究。為此，分析了車身位移和輪胎位移時滯狀態(tài)反饋特性及穩(wěn)定性區(qū)間。在穩(wěn)定性區(qū)間內對控制參數(shù)進行優(yōu)化，并分別在不同外部激勵下對時滯反饋控制的主動懸架進行了仿真驗證，探索了不同時滯反饋控制對車身減振的影響。

1 1/4車輛主動懸架系統(tǒng)模型

1.1 主動懸架模型的建立

將車輛模型簡化為含時滯反饋控制的1/4車輛主動懸架模型，如圖1所示。

ms、mt分別為車身質量和輪胎質量； ks、cs分別為懸架的剛 度和阻尼系數(shù)；kt、ct分別為輪胎的剛度和阻尼系數(shù)；xs、xt 和xr分別為車身質心、輪胎質心和外部垂直激勵位移；un(n=s, t) 為時滯控制力，當n=s時，表示車身位移時滯反饋控制， 當n=t時，表示輪胎位移時滯反饋控制圖1 時滯反饋控制主動懸架模型Fig.1 Active suspension model with time-delay feedback control

利用該模型來研究不同位移時滯反饋控制對車身減振的影響，車輛懸架模型參數(shù)如表1所示。

表1 車輛系統(tǒng)模型參數(shù)

以xs、xt為廣義坐標，根據(jù)拉格朗日法可列出1/4車輛含時滯狀態(tài)反饋控制懸架的動態(tài)方程為

(1)

式(1)中：ut=gtxt(t-τt)為輪胎位移時滯反饋控制；us=gsxs(t-τs)為車身位移時滯反饋控制；gs、gt分別為車身和輪胎反饋控制增益系數(shù)；τs、τt分別

為車身和輪胎位移反饋控制時滯量；t為時間。

1.2 系統(tǒng)模型無量綱化

為了便于獲得系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)間，對式(1)進行無量綱化,可表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

通過式(2)可以將表1車輛懸架模型參數(shù)轉化為無量綱化的參數(shù)如表2所示。

表2 無量綱模型參數(shù)

2 穩(wěn)定性分析

2.1 穩(wěn)定性分析方法

根據(jù)時滯微分方程理論，可得系統(tǒng)的特征方程為

det(sI-A-Be-sτ)=0

(12)

式(12)中:s為方程的特征根；I為單位矩陣。

由式(4)可得特征方程的展開多項式為

D(s,τ)=P(s)+Q(s)e-sτ=0

(13)

式(5)中：D(s,τ)為變量為s、τ的多項式；P(s)、Q(s)為實系數(shù)多項式。

當系統(tǒng)僅滿足①時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是發(fā)生切換的。對于條件①的判別比較容易。判斷條件②的方法可以通過利用歐拉公式e-iw0τ=cos(w0τ)-isin(w0τ)對D(iw0,τ)=0進行化簡。將s=iw0代入式(5)分離多項式P(iw0)，實部和虛部，分別表示如下：PI(w0)=Im[P(iw0)]，PI(w0)=Im[P(iw0)]；分離多項式Q(iw0)實部和虛部，分別表示為：QR(w0)=Re[Q(iw0)]，QI(w0)=Im[Q(iw0)]。可得

D(iw0,τ)=PR(w0)+iPI(w0)+[QR(w0)+

iQI(w0)][cos(w0τ)-isin(w0τ)]

(14)

若式(14)為零，那么實部和虛部分別為零。即

(15)

對式(15)進行聯(lián)立求解，可得到一個不含時滯量τ的多項式，令F(w0)=PR(w0)2+PI(w0)2-[QR(w0)2+QI(w0)2]，據(jù)此可得系統(tǒng)的判別多項式為

(16)

設l為判別式序列非零項數(shù)，k為判別式序列號符號變化數(shù)，則F(w)有l(wèi)-2k個不同的實根。若l-2k=0，多項式F(w0)無實根，說明隨時滯量增大，系統(tǒng)特征根不穿過虛軸，系統(tǒng)穩(wěn)定性不會發(fā)生改變，此時系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于無時滯時系統(tǒng)是否為漸進穩(wěn)定。若l-2k>0，多項式F(w0)存在實根時，即參數(shù)落在全時滯穩(wěn)定性區(qū)間以外，整個系統(tǒng)穩(wěn)定性隨時滯改變發(fā)生穩(wěn)定性變化。由式(15)可以求得臨界時滯為

(17)

式(17)中：ω0為多項式F(ω0)的正實根；τ0為初始臨界時滯；i表示多項式F(ω0)的第i個正實根ω0；j表示第j個臨界時滯；τi,j表示第i個正實根對應的第j個臨界時滯。

2.2 車身位移時滯反饋控制穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(3)建立車身位移時滯反饋系統(tǒng)控制方程，式(12)和式(13)確定系統(tǒng)特征方程和特征方程的多項式。利用時滯無關穩(wěn)定性條件①在選定的參數(shù)范圍內畫出Routh-Hurwitz穩(wěn)定性區(qū)域。然后將多項式(16)中的系數(shù)b1、b2、b3和b4代入Sturm判據(jù)，畫出判別式序列系數(shù)dj=0(j=0,1,…,6)，可以得到選取參數(shù)范圍內的函數(shù)圖像。取與Routh-Hurwitz穩(wěn)定性區(qū)域的交集，可以得到穩(wěn)定性區(qū)域，如圖2所示。多項式F(w0)的判別式序列符號如表3所示。

表3 車身位移時滯反饋判別式序列符號

參數(shù)范圍被劃分為15個部分。在S1、S3、S5、S7、 S9和S11區(qū)域，判別式序列非零項數(shù)為8，符號變化數(shù)為2，此時多項式存在2個互異的正實根。在S4、S8、S12區(qū)域，判別式序列非零項數(shù)為8，符號變化數(shù)為3，此時多項式存在1個正實根。S2、 S6、S10區(qū)域，判別式序列非零項數(shù)為8，符號變化數(shù)為4，多項式無實根。由上述分析可得，圖2藍色區(qū)域不符合時滯無關穩(wěn)定性條件①，在τ=0時不滿足Hurwitz穩(wěn)定，此范圍的參數(shù)使系統(tǒng)失穩(wěn)；橙色區(qū)域存在實根，需要先確定臨界時滯，根據(jù)穩(wěn)定性切換方法來確定穩(wěn)定性區(qū)間；綠色區(qū)域不存在實根，是時滯無關穩(wěn)定性區(qū)域，不會隨著時滯的增加發(fā)生穩(wěn)定性切換。

圖2 車身位移時滯反饋穩(wěn)定性區(qū)域Fig.2 Stability region of vehicle body displacement feedback with time-delay

2.3 輪胎位移時滯反饋控制穩(wěn)定性分析

對于含輪胎位移時滯反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，采用上述相同分析方法可以得到穩(wěn)定性區(qū)域，如圖3所示。以輪胎位移時滯反饋控制的多項式F(w0)判別式序列符號如表4所示。在選取的參數(shù)范圍內都滿足Routh-Hurwitz穩(wěn)定。參數(shù)范圍被劃分為9個區(qū)域。圖3中，在Z1、Z2和Z6區(qū)域，判別式序列非零項數(shù)為8，符號變化數(shù)為4，多項式無實根；Z3、Z4、Z5和Z7區(qū)域，判別式序列非零項數(shù)為8，符號變化數(shù)為2，此時多項式存在2個互異的正實根；Z8、Z9區(qū)域，判別式序列非零項數(shù)為8，符號變化數(shù)為0，此時多項式存在4個正實根；橙色區(qū)域存在實根，需要根據(jù)穩(wěn)定性切換方法來確定穩(wěn)定性區(qū)間；綠色區(qū)域是時滯無關穩(wěn)定性區(qū)域，不會隨著時滯的增加發(fā)生穩(wěn)定性切換。

表4 輪胎位移時滯反饋判別式序列符號

3 時滯方程求解方法

將式(3)中的時滯項和第三項外界激勵均看作激勵項，則方程的解可表示為

(18)

式(18)中：x為狀態(tài)變量節(jié)點。

對式(18)進行數(shù)值離散，令時間步長Δt=tk+1-tk，若仿真時長為T，則總步數(shù)時間步長n=T/Δt，可以得到每個步長為Δt的時刻，則式(18)可以化為

xk+1=exp(AΔt)xk+

(19)

進一步可表示為

xk+1=exp(AΔt)xk+

(20)

通過求解方程可得每個時間節(jié)點的系統(tǒng)振動響應為

(21)

4 參數(shù)的優(yōu)化及分析

4.1 目標函數(shù)的建立

在滿足上述約束條件下，含時滯反饋控制的懸架系統(tǒng)優(yōu)化目標要最大可能的降低車身的振動響應量。針對不同的外部激勵，定義車身的加速度、速度和位移來評價不同位移時滯反饋控制對車身振動的影響?？傻媚繕撕瘮?shù)為

J=e1J1+e2J2+e3J3

(22)

式(22)中：J1為車身加速度的均方根值；J2為車身速度的均方根值；J3為車身位移的均方根值；e1、e2、e3為權重系數(shù)。

4.2 約束條件

為了保證含時滯反饋控制汽車的行駛安全性，除了要滿足時滯穩(wěn)定條件外，還必須要滿足以下兩個約束條件。

(1)為了保障車輛的行駛安全性，懸架動撓度在懸架限位塊的范圍內，即

xs(ti)-xt(ti)

(23)

式(23)中：xs(ti)為每個時間節(jié)點的車身位移；xt(ti)為每個時間節(jié)點的輪胎位移；xR為允許的最大懸架動撓度。

(2)為了保證車輛的路面附著性和操縱穩(wěn)定性，時滯反饋控制系統(tǒng)下的輪胎動位移需要將輪胎動位移限定在一定范圍內，即

(24)

式(24)中：xr(ti)每個時間節(jié)點的路面激勵；xT為被動懸架輪胎動位移均方根值。

4.3 目標函數(shù)優(yōu)化步驟

對目標函數(shù)進行優(yōu)化分為以下7個步驟，流程如圖4所示。

圖4 優(yōu)化程序流程圖Fig.4 Flowchart of the optimization procedure

步驟1初始化優(yōu)化算法參數(shù)，τn(n=s, t)∈[0,1]，gn(n=s, t)∈[-30 000， 30 000]區(qū)域內,隨機產(chǎn)生50個粒子，即種群數(shù)量。迭代次數(shù)N=200，最大速度為Vmax，初始位置為Xid，初始速度為Vid，慣性權重為wk，學習因子c1=1.2、c2=1.2。粒子在每個維度上的位置被限制在選定區(qū)域內，最大速度為每個維度搜索空間范圍的某個分數(shù)。

步驟 2隨機產(chǎn)生初始種群，并暫時記為群體最優(yōu)，在群體內找到最優(yōu)粒子記為全局最優(yōu)。

步驟3對系統(tǒng)迭代次數(shù)進行記錄，并將當前迭代次數(shù)與最大迭代次數(shù)進行比較。

步驟4在原有的群體基礎上，通過粒子群算法更新群體位置進行迭代，可表示為

(25)

式(25)中：k為當前迭代次數(shù)；r1和r2為在[0,1]產(chǎn)生隨機參數(shù)；Pid為個體最優(yōu)粒子位置；Pgd為全局最優(yōu)粒子位置；Vid為粒子飛行速度；Xid為粒子當前位置。

為提高算法的收斂性，采用變慣性權重。起始慣性權重wstart=0.9，終止慣性權重wend=0.4，當前慣性權重為

wk=wstart-k(wstart-wend)/N

(26)

步驟5適應度函數(shù)，時滯懸架性能和穩(wěn)定性由時滯量和反饋增益系數(shù)K=[gn,τn]所決定，通過優(yōu)化這兩個參數(shù)來得到車身能量的最小值，因此含時滯反饋控制的懸架目標優(yōu)化設計問題可表示為

J(K)=e1J1+e2J2+e3J3

(27)

式(19)中：J為K的目標函數(shù)。

步驟6在步驟4更新的粒子位置代入步驟5中函數(shù)，計算獲得新的自適應函數(shù)值。在迭代尋優(yōu)過程中把每個粒子適應度值進行比較，保留產(chǎn)生較小自適應函數(shù)的粒子。

步驟7當循環(huán)次數(shù)達到所設定的迭代次數(shù)N時，系統(tǒng)輸出優(yōu)化后的最優(yōu)參數(shù)。

4.4 優(yōu)化參數(shù)的穩(wěn)定性分析

在隨機激勵下，以車身位移時滯反饋得到系統(tǒng)的優(yōu)化參數(shù)為τs=0.309 8 s，gs=-7 060 N/m。優(yōu)化參數(shù)在圖2的穩(wěn)定性區(qū)域S6，屬于全時滯穩(wěn)定區(qū)域。以輪胎位移時滯反饋控制得到的系統(tǒng)優(yōu)化參數(shù)τt=8.335 8×10-5s；gt=14 862 N/m處于圖3的Z2區(qū)域，處于全時滯穩(wěn)定區(qū)域，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

5 仿真分析

5.1 簡諧激勵仿真分析

將得到的優(yōu)化參數(shù)代入式(3)，在簡諧激勵xr=0.05sin(10t)的作用下，分別對車身和輪胎位移時滯狀態(tài)反饋控制的主動懸架進行仿真。為評價時滯反饋控制對車身振動的影響，基于車身加速度、速度和位移為車身振動性能的評價指標。其仿真結果如圖5所示，車身各項性能指標如表5所示。

表5 簡諧激勵下性能評價指標

由圖5和表5可得，無論輪胎位移時滯反饋控制還是車身位移時滯反饋控制相對于被動懸架都對車身加速度、速度和位移均有明顯衰減，基于車身位移時滯反饋控制的車身加速度、速度和位移均方根由3.399 3、0.341 0、0.034 3分別減小到2.426 5、0.243 2、0.024 6，減小比例分別為28.62%、28.68%、28.28%；基于輪胎位移時滯反饋控制的車身加速度、速度和位移在達到穩(wěn)定狀態(tài)下幾乎可以為零，均方根分別減小到0.315 7、0.034 9、0.005 8，減小比例分別為90.71%、89.76%、83.09%。

圖5 簡諧激勵下仿真對比Fig.5 Simulation comparison under harmonic excitation

簡諧激勵下含不同時滯狀態(tài)反饋控制的主動懸架均對車身振動響應有所衰減，但含輪胎位移時滯反饋控制的主動懸架能極大地減小車身的振動加速度、速度和位移，有更好的車身減振效果，明顯提升車輛乘坐舒適性；同時也能較大程度的改善車輛的行駛安全性和平順性。

5.2 隨機激勵仿真分析

為進一步分析時滯反饋控制在主動懸架中的減振效果，建立隨機路面模型。通常都是在頻率上采用路面功率譜密度(power spectral density, PSD)描述其特性。根據(jù)《車輛振動輸入 路面平度表示方法》(GB7031—1986)，路面功率位移譜密度計算公式為

(28)

式(28)中：nspace為空間頻率；n0為參考空間頻率；Gxr(n0)為路面不平度系數(shù)；ω為頻率指數(shù)；nmin和nmax分別為空間頻率的下限和上限。

通過傅里葉變化將路面不平度分解為含不同頻率和幅值的正弦波疊加。將空間頻率變化到時間頻率[20]，根據(jù)給定的車速u，可以得到時間頻率f=unspace，根據(jù)式(28)可得位移譜密度為

(29)

(30)

式(30)中：θk為在區(qū)間[0,2π]上生成的隨機數(shù)。

(31)

式(23)中：x為路面的長度。

根據(jù)式(23)模擬時域隨機路面，設車速為20 m/s可得到路面隨機激勵時域圖，如圖6所示。

將優(yōu)化出的參數(shù)代入式(3)，在隨機路面激勵下進行仿真。隨機激勵下仿真對比如圖7所示，各項性能評價指標如表6所示。由圖7(a)可以看出，

表6 隨機激勵下性能評價指標

雖然車身位移時滯反饋控制可以減小車身加速度，但控制效果遠不如輪胎位移時滯反饋控制?；谲嚿砦灰茣r滯反饋控制的懸架系統(tǒng)，車身加速度均方根由1.205 4減小到1.163 6，減小比例為3.47%。基于輪胎位移時滯反饋控制的懸架系統(tǒng)，車身加速度均方根由1.205 4減小到1.099 4，減小比例為8.79%。由圖7(b)可知，輪胎位移時滯反饋控制明顯優(yōu)于車身位移時滯反饋控制下的車身速度響應，分別減小了45.58%、18.23%。由圖7(c)、表6可知，輪胎位移時滯反饋控制和車身位移時滯反饋控制的位移響應比被動懸架分別減小了61.27%、3.51%。

圖7 隨機激勵下仿真對比Fig.7 Simulation comparison under random excitation

隨機激勵下基于兩種不同位移時滯反饋控制的懸架與被動懸架相比，輪胎位移時滯反饋控制的系統(tǒng)在車身加速度、速度和位移均方根值都有較大比例的減小，明顯提升了車輛的乘坐舒適性。

6 結論

對比分析了不同時滯反饋控制在1/4車輛模型對車輛的影響，通過仿真分析可以得出如下結論。

(1)針對1/4車輛模型建立含不同位移時滯反饋控制的主動懸架，利用Routh-Hurwitz判據(jù)和多項式判別定理分析了不同時滯反饋控制的穩(wěn)定性區(qū)間。研究表明在車輛模型參數(shù)相同情況下，基于輪胎位移時滯反饋控制的主動懸架全時滯穩(wěn)定性區(qū)域范圍更廣。

(2)在時滯反饋控制下，全時滯穩(wěn)定區(qū)域與懸架阻尼有關，隨懸架阻尼的增加全時滯穩(wěn)定區(qū)域具有更大的范圍。

(3)無論簡諧激勵還是隨機激勵下，輪胎位移時滯反饋控制比車身位移時滯反饋控制對車身有更好的減振效果。