杜振葉，藍(lán)師義

廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，廣西南寧 530006

隨機(jī)Loewner 演變（簡稱SLE） 是Schramm［1］研究回路刪除隨機(jī)游走與一致生成樹的尺度極限時(shí)引入的一類含有一個(gè)參數(shù)的隨機(jī)曲線族。這類隨機(jī)曲線可以通過求解一個(gè)驅(qū)動(dòng)函數(shù)為時(shí)間改變的Brownian 運(yùn)動(dòng)的Loewner 微分方程來描述。已經(jīng)證明，SLE 可以用來描述若干來自統(tǒng)計(jì)力學(xué)的二維離散模型，包括Ising 模型［2-3］、臨界滲流［4］、回路刪除游走［5］、一致生成樹［5］、調(diào)和探索過程［6］、離散Gassian 自由場［7］與q=2的隨機(jī)簇模型［8］等。這為人們嚴(yán)格數(shù)學(xué)理解這些模型開辟了一條的新途徑。同時(shí)，SLE 也使關(guān)于平面Brownian 運(yùn)動(dòng)的若干長時(shí)間公開問題得到了解決，尤其是Mandelbrot 關(guān)于Brownian 運(yùn)動(dòng)邊界的Hausdorff 維數(shù)的猜測［9］與Brownian 運(yùn)動(dòng)相交指數(shù)值的決定［10-12］。近年來，隨著對SLE 研究的不斷深入，導(dǎo)致了人們對Loewner 微分方程的進(jìn)一步研究［13-16］。最常見的Loewner 微分方程有下面3 種類型：一是上半平面內(nèi)的通弦Loewner 方程，它導(dǎo)致的Loewner 鏈?zhǔn)且活悘纳习肫矫娴缴习肫矫孀蛹墓残斡成?；二是單位圓盤內(nèi)的徑向Loewner 方程，其產(chǎn)生的Loewner 鏈?zhǔn)且蛔鍙膯挝粓A盤到單位圓盤子集的共形映射；三是帶形區(qū)域內(nèi)的偶極Loewner 方程，它產(chǎn)生的Loewner 鏈?zhǔn)且活悘膸螀^(qū)域到帶形區(qū)域子集的共形映射。當(dāng)然還有其他變式，有關(guān)Loewner微分方程的理論及其相關(guān)背景知識可參見文［15-16］等。

對于通弦與徑向Loewner 微分方程，文［14］與文［13］已經(jīng)分別討論了它們的解關(guān)于時(shí)間t方向變化的估計(jì)以及對應(yīng)于兩個(gè)驅(qū)動(dòng)函數(shù)的Loewner微分方程的解的差值可以通過這兩個(gè)驅(qū)動(dòng)函數(shù)差的上確界范數(shù)來估計(jì)。在本文，我們所關(guān)心的是偶極Loewner 微分方程的相應(yīng)問題。設(shè)ft(z)是偶極Loewner 微分方程的一個(gè)解，并且固定z，應(yīng)用Bieberbach 定理［17］，我們給出ft(z)依時(shí)間方向變化的一個(gè)估計(jì)，準(zhǔn)確的描述見第2 節(jié)的定理1。對于給定的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)函數(shù)與，設(shè)(z)與(z)為偶極Loewner 方程分別對應(yīng)于與的兩個(gè)解，基于逆時(shí)間的偶極Loewner 方程我們導(dǎo)出了ft(1)(z)與ft(2)(z)的差值可以通過與差的上確界范數(shù)來估計(jì)，準(zhǔn)確的描述見第3 節(jié)的定理2。這將通弦與徑向Loewner 微分方程的一些相應(yīng)結(jié)果推廣到帶形區(qū)域內(nèi)偶極Loewner 微分方程的情形。我們的工作與文［13-14］進(jìn)行比較，雖然方法類似但有許多細(xì)節(jié)是不一樣的，因?yàn)槲覀兯懻撐⒎址匠痰谋磉_(dá)式不同于前者，這導(dǎo)致我們的估計(jì)涉及三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之間的關(guān)系及其相關(guān)性質(zhì)。

1 Loewner微分方程

在這一節(jié)，我們將簡要介紹本文涉及Loewner微分方程的幾個(gè)版本以及一些基本概念，更詳細(xì)的相關(guān)背景知識可參見文［15-16，18-19］等。

1.1 通弦Loewner微分方程

若K是閉上半平面上的一個(gè)緊集使得HK是一個(gè)單連通區(qū)域且，則稱K為上半平面H 的一個(gè)殼。對任意一個(gè)殼K，都存在唯一一個(gè)共形映射gK，將上半平面HK映到H，并且gK(z)滿足規(guī)范化：，當(dāng)z→∞時(shí)，有下面Laurent展開式

其中系數(shù)an(n=1，2，…)都是實(shí)數(shù)。定義a1=a1(K)為殼K的容量。

假設(shè)γ(t)(t≥0)是上一條連續(xù)的路徑且γ(0) ∈R，這里R表示實(shí)軸。規(guī)定γ(t)碰到自身或者R就立即彈到開闊的區(qū)域，這樣隨著時(shí)間的改變，我們就得到了一族遞增的殼{Kt：t≥0}；相應(yīng)地，對于每一個(gè)殼Kt都有一個(gè)容量a1(Kt)，同時(shí)也得到一個(gè)從HKt到H 的共形映射gKt. 由于a1(Kt)是連續(xù)的，因此，我們可以參數(shù)化γ(t)使得a1(Kt)=2t. 在這種情形下，對于每一個(gè)t≥0，記gt∶=gKt，則Loewner 定理給出gt(z)滿足下面通弦Loewner微分方程

反之，若給定一個(gè)定義在[ 0，∞)上的連續(xù)實(shí)值函數(shù)Wt，則對于所有方程(1)在時(shí)間t之前是可解的，其中τ(w)表示gt(z) -Wt等于0 的第一時(shí)間。而且，對于任意t≥0，gt將HK共形映射到H上，我們稱Kt為這個(gè)Loewner鏈{gt}的殼。

如果令ft(z)為gt(z)的逆映射，即ft(z) =g-1t(z)，則對任意的z∈H，ft(z)滿足下面微分方程

1.2 徑向Loewner微分方程

令D表示單位圓盤，若K?是一個(gè)閉集使得DK是一個(gè)包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域，則稱K為D的一個(gè)殼，記為D-殼。同樣地，也存在唯一一個(gè)共形映射gK(z)：DK→D 滿足gK(0)=0，g′K(0) ＞0.K的容量定義為capD(K)=lng′K(0). 在z=0處，gK(z)可以展開為

這里系數(shù)ck是復(fù)數(shù)。

假設(shè)γ(t)是一條在內(nèi)從邊界?D 到原點(diǎn)的連續(xù)路徑，則對每個(gè)t，都產(chǎn)生一個(gè)D-殼(Kt)t≥0與相應(yīng)的一個(gè)共形映射gKt(z)：DKt→D. 同樣地，我們可以參數(shù)化γ(t)，使得lng′K(0) =t，在這種情況下令gt∶=gKt，則gt滿足下面徑向Loewner微分方程

其中驅(qū)動(dòng)項(xiàng)Wt=gt(γ(t)) ∈?D.

反過來，如果給定一個(gè)定義在[ 0，∞)上且取值于?D 的連續(xù)函數(shù)Wt，則對于所有z?Kt={w∈：τ(w) ≤t}，方程(3) 在時(shí)間t之前是可解的，其中τ(w) 表示gt(z)碰到Wt的第一時(shí)間。而且對于任意的t≥0，gt將DKt共形映射到D上，我們稱Kt為這個(gè)Loewner鏈{gt}的殼。

稱方程(4)為單位圓盤D 內(nèi)的徑向Loewner微分方程，該方程的解{ft}(Loewner鏈)，是一類從單位圓盤D 到D的子集的共形映射。

1.3 偶極Loewner微分方程

考慮帶形區(qū)域Sπ={z∈C：0 ＜Imz＜π}. 設(shè)K?是一個(gè)緊集使得SπK是一個(gè)單連通區(qū)域且K=，則稱K為Sπ的一個(gè)殼。對每一個(gè)殼K，存在唯一共形映射gK(z)：SπK→Sπ. 記capSπ(K)為殼K的容量，則有

假設(shè)γ(t)是在Sπ內(nèi)一條從原點(diǎn)出發(fā)到上邊界Rπ={z∈C：Imz=π}的連續(xù)路徑，則對每個(gè)t，都產(chǎn)生一個(gè)Sπ-殼(Kt)t≥0與相應(yīng)的一個(gè)共形映射gKt(z)：SπKt→Sπ. 同樣地，我們可以參數(shù)化γ(t)，使得capSπ(K) =t，在這種情況下令gt?gKt，則gt滿足下面偶極Loewner微分方程

其中驅(qū)動(dòng)項(xiàng)Wt是定義在[ )0，∞上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。

反過來，如果給定一個(gè)定義在[ 0，∞)內(nèi)且取值于實(shí)軸上的連續(xù)函數(shù)Wt，則對于所有τ(w) ≤t}，方程(5) 在時(shí)間t之前是可解的，其中τ(w) 表示gt(z)碰到Wt的第一時(shí)間。而且對于任意的t≥0，gt將SπKt共形映射到Sπ上，我們稱Kt為這個(gè)Loewner鏈{gt}的殼。

固定t∈[ 0，∞)，w∈Sπ，令hs(w)(0 ≤s≤t)，為下面微分方程的解

則稱方程(6)為方程(5)的逆時(shí)間偶極Loewner微分方程。

稱方程(7)為帶形區(qū)域Sπ內(nèi)的偶極Loewner 微分方程，這個(gè)方程的解{ft}(Loewner鏈)是一類從帶形區(qū)域Sπ到Sπ的子集的共形映射。

2 依時(shí)間方向變化的估計(jì)

通弦Loewner 微分方程(2)與徑向Loewner 微分方程(4)的解依時(shí)間變化的估計(jì)已經(jīng)分別在文［5］與［4］中給出。在這一節(jié)應(yīng)用三角函數(shù)與雙曲函數(shù)之間的關(guān)系以及Bieberbach 定理導(dǎo)出了偶極Loewner 微分方程(7)的解按時(shí)間方向變化的一個(gè)估計(jì)，我們有下面的定理。

定理1假設(shè)ft是帶形區(qū)域Sπ內(nèi)偶極Loewner微分方程的解，并且固定z=x+ iy∈Sπ. 則存在一個(gè)常數(shù)C＞0，使得當(dāng)0 ≤s＜1M(y)時(shí)有

且

為了證明定理1，需要下面的引理。首先，關(guān)于三角函數(shù)和雙曲函數(shù)之間的關(guān)系，我們有

引理1令z=x+ iy∈C，則下面等式成立

(ii) csch2z=， 其中X=sinhxcosy，Y=coshxsiny.

證明應(yīng)用歐拉公式并結(jié)合三角函數(shù)恒等式與雙曲函數(shù)的定義容易推出上面等式成立，也可參見文［20］。

其次，文［17］證明了關(guān)于S類單葉函數(shù)的如下結(jié)果。

引理2 (Bieberbach定理)設(shè)f(z) =z+a2z2+ …，z∈D是一個(gè)S類單葉函數(shù)，則有

定理1的證明對偶極Loewner方程(7)兩邊關(guān)于z求偏導(dǎo)并結(jié)合三角形不等式得

此外，由引理1(ii)有

這里X=sinhacosb，Y=coshasinb. 由此可得

從而有

將函數(shù)

在ξ=0處展開得

由引理2得

從而有

最后，將式(12)～(14)代入式(11)得

進(jìn)一步可得

亦即

這推出式(9)成立，其中N. 于是完成了該定理的證明。

3 依驅(qū)動(dòng)函數(shù)的上確界范數(shù)的估計(jì)

文［4-5］分別討論了徑向和通弦Loewner 方程對應(yīng)于兩個(gè)不同驅(qū)動(dòng)函數(shù)的解的差值。這差值可通過這兩個(gè)驅(qū)動(dòng)函數(shù)差的上確界范數(shù)來估計(jì)。本節(jié)中將應(yīng)用逆時(shí)間Loewner 方程(6)導(dǎo)出偶極Loewner 方程(7)的相應(yīng)估計(jì)，確切地說，有

定理2給定0 ＜T＜∞. 假設(shè)對于每一個(gè)t∈[ 0，T]，函數(shù)與分別是驅(qū)動(dòng)項(xiàng)為與的偶極Loewner方程(7)的解。如果令

則對每一個(gè)z=x+ iy∈Sπ，存在一個(gè)依賴于T的常數(shù)c＞1使得

證明首先固定t∈( 0，T]. 對于0 ≤s≤t，記同時(shí)固定z=x+ iy，并令

則有

下面估計(jì)|H(t)|. 對H(s)關(guān)于s求導(dǎo)并結(jié)合式(6)給出

這里

由于H(0)=0，因此有

由此可推出

注意到

從而有

兩邊對s積分就得到

對式(18)關(guān)于z求導(dǎo)，得到

這蘊(yùn)含著

由此推出

兩邊對s求積分得

對于Reψ(s)，有

假定0 ＜ε＜1，則.同時(shí)，偶極Loewner 微分方程給出±capSπ(Ks) . 這蘊(yùn)含存在一個(gè)只依賴于T的常數(shù)c1＞0 使得對于任意z∈Sπ有|H(s)| ≤c1. 從而可知，存在一個(gè)只依賴于T的常數(shù)c2＞0使得. 此外，

這里c＞1是一個(gè)依賴于位置的常數(shù)。于是，由式(21)并結(jié)合Cauchy-Schwarz不等式得

其中c＞1是一個(gè)僅依賴于T的常數(shù)的常數(shù)。因?yàn)?/p>

所以由式(19)，(20)得

對t求積分得

根據(jù)式(22)～(24)得

同時(shí)，由式(19)與式(24)推出

因此將式(25)，(26)代入式(17)且考慮到對任意的t＞0有sinht≥t，可推出式(16)，其中常數(shù)c＞1僅依賴于T.

另外，從ψ與ξ的定義推出一定存在常數(shù)＞0，|ψ(s)| ≤|ξ(s)|. 于是有

這里依賴于位置。把式(27)代入式(17) 并結(jié)合式(26)，可得到式(15)，其中常數(shù)c＞1僅依賴于T. 證畢。