胡 超，沈?qū)殗?guó)，楊 妍，謝中敏

（江蘇航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院航空工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212134）

1 引言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，滾動(dòng)軸承是運(yùn)用最為廣泛同時(shí)也是損壞率最高的部件之一。在以往的故障診斷中，通常采用油液分析法進(jìn)行故障部件識(shí)別［1］。但由于油液分析存在人為因素干擾，導(dǎo)致其應(yīng)用受到限制。隨著轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的深入研究，諸多學(xué)者采用提取振動(dòng)信號(hào)的故障頻率進(jìn)行診斷，如：快速傅里葉變換［2］、小波分析［3］、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解［4］等。但這些方法均存在部分缺陷，如：快速傅里葉屬于整體變換，利用全部時(shí)域信號(hào)，不適宜于處理故障信號(hào)等非性問(wèn)題；小波分析受制于窗口函數(shù)選擇；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解容易產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。

近年來(lái)，奇異譜分析能夠有效地將時(shí)間序列中信號(hào)和噪聲剝離［5］，因此被用于軸承故障診斷中。但奇異譜在構(gòu)造時(shí)，由于子矩陣選擇的不同，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)差異較為明顯。考慮到高維信號(hào)中包含著部分有用信息，因此張量分解被運(yùn)用到奇異譜分析中［6］。由于張量分析能夠有效的將信息從一維映射到高維中，能夠通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)張量分解將純譜信號(hào)從高維中還原。因此，張量奇異譜被運(yùn)用到機(jī)械故障診斷［6］、軸承故障診斷［7］、發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷［8］中。

雖然張量奇異譜能夠很好的對(duì)信號(hào)進(jìn)行分離，但頻譜分析時(shí)如果方法不當(dāng)亦會(huì)導(dǎo)致倍頻混雜難以快速找到。因此，近來(lái)諸多故障診斷采用信號(hào)處理和人工智能結(jié)合的方法，如：支持向量［9-11］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［12，13］、Elman［14］和RBF網(wǎng)絡(luò)［15］對(duì)軸承故障進(jìn)行有效地診斷。諸如BP這些部分前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易陷于局部極值等問(wèn)題，導(dǎo)致在故障診斷中效果較差，因此文獻(xiàn)［16］提出極限學(xué)習(xí)避免傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)學(xué)習(xí)速率、終止條件、易陷于局部極優(yōu)等缺陷，因而得到廣泛運(yùn)用，如：皮駿［17］等用改進(jìn)遺傳算法優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機(jī)并用于軸承故障診斷中。為了更好實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承故障診斷，結(jié)合張量奇異譜和極限學(xué)習(xí)機(jī)對(duì)滾動(dòng)軸承故障樣本實(shí)施診斷。

2 張量奇異譜分析

張量奇異譜分析（Tensor singular spectrum analysis，TSSA）是一種能夠?qū)?shù)據(jù)從低維映射到高維并挖掘信號(hào)高維特征的一種方式［18］。其主要思想是：先將一維時(shí)間序列利用不重疊的時(shí)間窗口將其轉(zhuǎn)換為一個(gè)矩陣；其次，使用相空間重構(gòu)將每行矩陣表示為一個(gè)重構(gòu)的吸引子矩陣，吸引子矩陣形成對(duì)應(yīng)的張量切片，從而得到一個(gè)分解的三維張量［19］；最后，使用標(biāo)準(zhǔn)張量分解法將純譜從高維數(shù)據(jù)中進(jìn)行還原。TSSA主要包括時(shí)域信號(hào)數(shù)據(jù)的嵌入和分解重構(gòu)兩部分。

2.1 嵌入

假設(shè)長(zhǎng)度為n的一維時(shí)間序列x（t），t=1，2，...，n，被嵌入一個(gè)長(zhǎng)度為l的不重疊時(shí)間窗口中形成矩陣T如式（1）所示。

張量X能夠矩陣T得到，將矩陣T視為一個(gè)張量多維矩陣，而T的每一行表示張量切片所形成的一個(gè)吸引子矩陣。在此分割過(guò)程中，在同一個(gè)方向執(zhí)行，其示意圖如圖1所示。

圖1 中，張量X的切片Xi：：是由矩陣T的第i行經(jīng)過(guò)相空間變換重構(gòu)得到的。設(shè)J表示重構(gòu)窗口長(zhǎng)度、K表示重構(gòu)嵌入維度、τ表示延遲時(shí)間、I表示矩陣T的維度I=n/l，則l=（K-1）×τ+J，張量X的切片Xi：：中Xijk可由式（2）計(jì)算的得到：

圖1 張量X的切片構(gòu)造過(guò)程Fig.1 The Construction Process of the Slices of Tensor X

式中：i=1，2，...，I；j=1，2，...，J；k=1，2，...，K。則張量X的切片Xi：：可表示為式（3）：

2.2 分解重構(gòu)

對(duì)獲得的I×J×K維張量X進(jìn)行CANDECOMP/PARAFAC張量分解［7］，將其分解為分秩為1的張量和，CANDECOMP/PARAFAC張量分解與張量分解相似［20］，其分解模型可表示為式（4）所示［21，22］，其示意圖如圖2所示。

圖2 CANDECOMP/PARAFAC張量分解示意圖Fig.2 The Illustration of CANDECOMP/PARAFAC Decompose

式中：R-對(duì)應(yīng)張量X的秩；ar∈RI×1、br∈RJ×1、cr∈RK×1分別為矢量因子矩陣A∈RI×R、B∈RJ×R、C∈RK×R的元素；e-∈RI×J×R表示殘差項(xiàng)。則式（4）可表示為式（5）。

TSSA算法采用最小二乘法求解A、B、C因子矩陣，定義重構(gòu)信號(hào)和原信號(hào)的誤差函數(shù)如式（6）所示。

在求解A、B、C因子矩陣時(shí)，先改變B和C求A，再改變A和C求B，再改變A和B求C，直到收斂位置。

2.3 TSSA方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證TSSA在信號(hào)分解中的有效性，將奇異譜分析（SSA）作為對(duì)比方法，驗(yàn)證TSSA的性能。為了更好的驗(yàn)證TSSA在軸承故障診斷中的性能，采用文獻(xiàn)［23］中的仿真信號(hào)，其信號(hào)可以表示為式（7）所示。

式中：A0-共振振幅；fm-調(diào)制頻率；φA、φw和CA-常量；B-衰減系數(shù)；T=1/fp，fp-故障特征頻率；τi-滑動(dòng)周期產(chǎn)生的平均值時(shí)滯；fn-軸承系統(tǒng)的共振頻率；n（t）-噪聲信號(hào)。對(duì)于軸承外環(huán)故障、內(nèi)環(huán)故障、滾動(dòng)體故障仿真時(shí)，fm-0、fr、fre，其中fr表示旋轉(zhuǎn)頻率、fre表示保持架頻率。三種故障特征頻率如表1所示，對(duì)于三種故障類型仿真參數(shù)取值如表2所示。

表1 三種類型的故障特征頻率Tab.1 The Fault Character Frequency of Three Common Types

表2 三種故障類型的仿真參數(shù)Tab.2 Simulation Parameters of Three Common Types

仿真實(shí)驗(yàn)中，TSSA算法中的l取值200、J取值50、I=n/l=2000/200=10、τi=1。此處仿真實(shí)驗(yàn)以內(nèi)環(huán)故障為例，主要分析內(nèi)環(huán)故障在噪聲下、TSSA和SSA處理的頻譜變換是否能反映出故障特征頻率。仿真實(shí)驗(yàn)中用到的仿真信號(hào)及噪聲如圖3所示，頻譜變換方法采用快速傅里葉變換。含噪聲信號(hào)的頻譜圖如圖4所示，TSSA去噪后的頻譜圖如圖5所示，SSA去噪后的頻譜圖如圖6所示。

圖3 仿真信號(hào)Fig.3 Simulation Signal

圖4 含噪聲信號(hào)的頻域分析Fig.4 Simulation Signal with Noise in Frequency Domain

圖5 基于TSSA的頻域分析Fig.5 Frequency Domain Analysis with TSSA

圖6 基于SSA的頻域分析Fig.6 Frequency Domain Analysis with SSA

從圖4到圖6的頻域圖可以看出，含噪聲信號(hào)的頻譜圖難以找到內(nèi)環(huán)故障特征頻率，而經(jīng)過(guò)TSSA和SSA去噪后的頻譜圖能夠找到對(duì)應(yīng)的倍頻；比較圖5和圖6的頻域圖，雖然均能在頻域圖中找到對(duì)應(yīng)的倍頻，但是TSSA處理后的信號(hào)比SSA效果好些，SSA中的一倍和二倍頻難以找到，TSSA相比SSA其一倍頻較為明顯。但總體而言，經(jīng)過(guò)頻譜變換后的信號(hào)，雖然能夠找到倍頻，但由于噪聲清洗效果不夠明顯，導(dǎo)致其倍頻尋找難度較大，不利于軸承故障的批量診斷，因此后續(xù)軸承診斷過(guò)程采用特征參數(shù)與極限學(xué)習(xí)結(jié)合的方式進(jìn)行。

3 極限學(xué)習(xí)機(jī)

文獻(xiàn)［16］提出極限學(xué)習(xí)機(jī)（Extreme Learning Machine，ELM）算法，能夠克服部分單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的缺陷，且能夠逼近任意非線性分段函數(shù)［24］。

極限學(xué)習(xí)機(jī)理論在文獻(xiàn)［17］中已經(jīng)詳細(xì)敘述，此處不再累述，僅簡(jiǎn)單介紹。ELM網(wǎng)絡(luò)表示如式（8）所示。

式中：H-ELM網(wǎng)絡(luò)輸出矩陣，其值與輸入矩陣、權(quán)值、激活函數(shù)和閾值有關(guān)，具體計(jì)算方法參看文獻(xiàn)［17］；T′-ELM網(wǎng)絡(luò)輸出矩陣T的轉(zhuǎn)置；β-ELM網(wǎng)絡(luò)輸出權(quán)值。輸出權(quán)值β可由最小二乘求得：

式中：H+-輸出矩陣H的Moore-Penrose廣義逆。由于最小二乘法能求得唯一解，因此ELM網(wǎng)絡(luò)使用Moore-Penrose廣義逆能夠極大的提高學(xué)習(xí)效率。常用隱含層激活函數(shù)如下：

（1）Sigmoid（）函數(shù)：

（2）Sin（）函數(shù)：

（3）RBF（）函數(shù)：

（4）Hardlim（）函數(shù)：

4 TSSA與ELM的軸承故障診斷

4.1 滾動(dòng)軸承數(shù)據(jù)來(lái)源

所采用的滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)數(shù)據(jù)源自美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)的軸承數(shù)據(jù)中心［25］。軸承故障模擬試驗(yàn)臺(tái)如圖7所示；軸承類型為6205-2RS-JEM-SKF，其基本尺寸參數(shù)如表3所示；試驗(yàn)中，電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率1772rpm，采用頻率48kHz。

圖7 軸承振動(dòng)分析實(shí)驗(yàn)臺(tái)和采集裝置Fig.7 Bearing Vibration Analysis Test Stand and Experimental Instrument

表3 6205-2RS-JEM-SKF型軸承參數(shù)Tab.3 6205-2RS-JEM-SKF Type Bearing Parameters

診斷實(shí)驗(yàn)中選用的故障類型：內(nèi)環(huán)故障、滾動(dòng)體故障、外環(huán)故障；每類故障樣本數(shù)據(jù)為60組，故障類型標(biāo)簽分別為：1、2、3；三種故障類型的時(shí)域波形圖如圖8所示，圖8中僅呈現(xiàn)4000組樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)。

圖8 三種類的時(shí)域波形圖Fig.8 Time Domain Waveforms of Three Type

4.2 TSSA降噪處理

對(duì)實(shí)驗(yàn)室采集到的三類軸承故障振動(dòng)信號(hào)采用張量奇異譜進(jìn)行分解降噪處理，由于數(shù)據(jù)量較大，因此此處僅呈現(xiàn)振動(dòng)信號(hào)中某一個(gè)整周期的時(shí)域波形圖。三種故障類型經(jīng)過(guò)TSSA處理后的源振動(dòng)信號(hào)、時(shí)域波形圖、噪聲信號(hào)分別如圖9～圖11所示。

圖9 內(nèi)環(huán)故障Fig.9 Fault of Inner Ring

由圖9到圖11所示，TSSA將部分噪聲信號(hào)從原始振動(dòng)信號(hào)中剝離，使得有效振動(dòng)信號(hào)變化趨勢(shì)更為明顯，且降噪后的振動(dòng)信號(hào)振動(dòng)幅值明顯減小。在2.3節(jié)中的仿真實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)降噪后的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行頻域變換能夠?qū)崿F(xiàn)軸承故障的診斷，但此方法效果不太顯著，因此提取時(shí)域統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)實(shí)施診斷。

圖11 外環(huán)故障Fig.11 Fault of Outer Ring

4.3 時(shí)域特征參量的提取

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，部分時(shí)域特征能夠有效反映振動(dòng)信號(hào)的原始特征、減小對(duì)信號(hào)的扭曲作用，且無(wú)需對(duì)特征數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化操作，因此文中提取時(shí)域特征參數(shù)如下：平均值、峰峰值、均方根值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峭度、波峰因子和變異系數(shù)。由于每組數(shù)據(jù)60組，共計(jì)180組數(shù)據(jù)，因此文中數(shù)據(jù)部分呈現(xiàn)，如表4所示。

表4 時(shí)域特征參量Tab.4 Time-Domain Characteristic Parameters

圖10 滾動(dòng)體故障Fig.10 Fault of Ball

4.4 ELM網(wǎng)絡(luò)設(shè)置

極限學(xué)習(xí)機(jī)采用三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，輸入層神經(jīng)元由輸入變量決定，由于時(shí)域特征變量8個(gè)，因此輸入層神經(jīng)元數(shù)量為8；由于隱含層激活函數(shù)和神經(jīng)元數(shù)量影響ELM診斷效果，因此隱含層的設(shè)置在后續(xù)進(jìn)行討論選擇；輸出層為1，直接輸出故障類型標(biāo)簽。

5 算法驗(yàn)證

5.1 ELM網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的選擇

如文獻(xiàn)［17］中所述，極限學(xué)習(xí)機(jī)雖然優(yōu)勢(shì)較強(qiáng)，但其診斷效果受到隱含層的參數(shù)設(shè)置。合理選擇有效激活函數(shù)和神經(jīng)元數(shù)量能夠?qū)υ\斷效果產(chǎn)生積極作用，因此為了后續(xù)診斷效果較佳，此處分析激活函數(shù)和神經(jīng)元數(shù)量給網(wǎng)絡(luò)診斷結(jié)果帶來(lái)的影響。Sigmoid（）函數(shù)、Sin（）函數(shù)、RBF（）函數(shù)、Hardlim（）函數(shù)隨神經(jīng)元數(shù)量變化給診斷結(jié)果帶的影響，如圖12、圖13所示。

圖12 和圖13的診斷結(jié)果均在訓(xùn)練集樣與測(cè)試集樣本比例為2：1時(shí)的結(jié)果，由圖可知，ELM網(wǎng)絡(luò)選擇不同神經(jīng)元時(shí)其診斷準(zhǔn)確率存在差異。由圖12可知，當(dāng)激活函數(shù)選擇Sin（）、Sigmoid（）函數(shù)時(shí)，隱含層神經(jīng)元數(shù)量超過(guò)40時(shí)，其二者對(duì)訓(xùn)練集診斷準(zhǔn)確率達(dá)到100%；但如圖13所示在測(cè)試集診斷中，當(dāng)神經(jīng)元數(shù)量超過(guò)60時(shí)，二者差異較小，但診斷準(zhǔn)確率略有下降；當(dāng)激活函數(shù)采用Sigmoid（）且神經(jīng)元數(shù)量較少時(shí)，診斷準(zhǔn)確率較高。綜上所述，后續(xù)滾動(dòng)軸承故障診斷隱含層激活函數(shù)采用Sigmoid（），神經(jīng)元數(shù)量設(shè)置在（20～30）之間。

圖12 訓(xùn)練集診斷準(zhǔn)確率Fig.12 Diagnostic Accuracy of Training Set

圖13 測(cè)試集診斷準(zhǔn)確率Fig.13 Diagnostic Accuracy of Test Set

5.2 對(duì)比算法參數(shù)設(shè)置

為驗(yàn)證ELM網(wǎng)絡(luò)在滾動(dòng)軸承故障診斷中的有效性，將BP、SVM作為對(duì)算法。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，輸入層神經(jīng)元數(shù)為8、隱含層為17、輸出層為1，即8-17-1的結(jié)構(gòu)；BP中權(quán)值、閾值隨機(jī)產(chǎn)生，隱含層神經(jīng)元采用S型正切函數(shù)tansig，輸出層神經(jīng)元采用S型對(duì)數(shù)函數(shù)logsig，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練函數(shù)為trainlm。SVM中罰參數(shù)和核參數(shù)采用隨機(jī)賦值方式，核函數(shù)采用RBF核函數(shù)。

5.3 滾動(dòng)軸承故障診斷結(jié)果

使用ELM、SVM、BP網(wǎng)絡(luò)對(duì)滾動(dòng)軸承故障實(shí)施診斷，其中ELM、BP呈現(xiàn)結(jié)果均為10次診斷平均值，SVM為重復(fù)執(zhí)行4次中最佳值。診斷測(cè)試過(guò)程中，樣本比例分別為：2：1、1：1、1：2，其診斷結(jié)果，如表5所示。

表5 診斷結(jié)果Tab.5 Diagnostic Results

由表5可知，ELM、SVM對(duì)滾動(dòng)軸承故障的振動(dòng)效果較佳；BP由于隨機(jī)初始權(quán)值和閾值問(wèn)題，導(dǎo)致結(jié)果較差；SVM由于是重復(fù)執(zhí)行選擇最佳結(jié)果，因此其效果較為理想；ELM網(wǎng)絡(luò)能夠逼近任意非線性函數(shù)，因此其診斷結(jié)果較佳。隨著樣本比例的遞減，其診斷結(jié)果也逐漸變差；ELM和BP的平均診斷時(shí)間比SVM要低。綜合診斷準(zhǔn)確率和診斷時(shí)間，ELM網(wǎng)絡(luò)相比其他對(duì)比方法效果明顯，因此更適宜于軸承故障診斷。

6 結(jié)論

為解決滾動(dòng)軸承故障診斷難度較大問(wèn)題，提出基于張量奇異譜分解和極限學(xué)習(xí)機(jī)相結(jié)合的故障診斷方法。

（1）通過(guò)軸承信號(hào)仿真結(jié)果表明，TSSA相比SSA的去噪效果明顯，其頻域分析能夠找到故障特征的倍頻；

（2）由于頻譜分析需要尋找倍頻，如果去噪效果不明顯，將增加難度，因此提出TSSA與ELM結(jié)合的診斷方式，先用TSSA對(duì)軸承故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理并提取時(shí)域特征參量，再用ELM進(jìn)行診斷；

（3）ELM網(wǎng)絡(luò)的隱含層神經(jīng)元數(shù)量、激活函數(shù)以及訓(xùn)練集和測(cè)試集數(shù)據(jù)樣本比例會(huì)對(duì)診斷結(jié)果造成影響，因此使用時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)選擇；將BP、SVM作為比算法，其診斷結(jié)果表明：ELM網(wǎng)絡(luò)在診斷準(zhǔn)確率和診斷時(shí)間上均占據(jù)優(yōu)勢(shì)。