鐘 巍， 田 宙， 壽列楓,3

(1.西北核技術(shù)研究所， 西安 710024； 2.北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 北京 100871； 3.北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室， 北京 100081)

近幾十年來，復(fù)雜城市環(huán)境和地下空間等的爆炸沖擊波傳播和毀傷研究受到學(xué)者們極大的重視[1-6]，這實際上是爆炸沖擊波在復(fù)雜幾何布局條件下的傳播問題[7-9]，為此，學(xué)者們通常將城市環(huán)境或地下空間等簡化為各種復(fù)雜的幾何布局進行研究，如長直坑道、十字坑道等[10-11]，針對這類問題主要采用數(shù)值模擬[12-16]和實驗方法[10, 17-19]，解析方法研究主要集中在自由場爆炸沖擊波傳播方面[20-25]，對于簡單的坑道模型有學(xué)者基于數(shù)值模擬和實驗數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)擬合得到了解析計算公式[26]。何翔等[27-28]評估了磚隔墻毀傷后的沖擊波破壞效應(yīng)，對有無磚隔墻空氣沖擊波實測波形進行了分析，得到了合理設(shè)置磚隔墻有利于提高防爆性能的結(jié)論。駱浩浩等[29]開展了井下爆破直通巷道沖擊波超壓的預(yù)測研究，給出了超壓峰值預(yù)測公式適用于預(yù)測井下直通巷道的沖擊波超壓峰值。孫中博等[30]開展了豎井橫通道爆炸沖擊波傳播規(guī)律的試驗研究，分析了豎井橫通道炸藥爆炸試驗的實測沖擊波數(shù)據(jù)特征，對于研究受限空間內(nèi)爆炸沖擊波的傳播規(guī)律具有借鑒意義。鄧照玉[31]采用數(shù)值模擬手段對瓦斯爆炸對巷道壁面損傷破壞情況進行了研究，結(jié)果表明整體超壓峰值在巷道內(nèi)會出現(xiàn)振蕩波動，并且瓦斯區(qū)壁面承受的載荷最大，研究結(jié)果可為優(yōu)化巷道結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供參考。萬宇等[32]利用機器學(xué)習(xí)和特征優(yōu)化算法提出了信息增益與支持向量機的組合模型預(yù)測瓦斯爆炸的風險，其正確率高于其他預(yù)測模型，證明了其優(yōu)越性。

在許多工程實際應(yīng)用中，常常需要快速估算某些復(fù)雜幾何布局條件下的爆炸沖擊波參數(shù)，甚至可以適當降低對計算精度的要求，而數(shù)值模擬從幾何建模、網(wǎng)格劃分、數(shù)值計算到結(jié)果后處理等常常需要花費大量的時間，實驗研究周期更長且需要更大的經(jīng)濟和人力成本。此時，對復(fù)雜幾何條件下爆炸沖擊波參數(shù)的解析計算具有重要意義。

為此，基于量綱分析和Taylor展開，將對空中爆炸自由場沖擊波超壓峰值計算公式進行嚴格的推導(dǎo)，基于推導(dǎo)過程引入能量密度因子方法，將自由場沖擊波超壓峰值計算公式推廣到復(fù)雜幾何布局情形。最后通過與剛性地面爆炸沖擊波超壓峰值計算經(jīng)驗公式、兩端開放無限長坑道爆炸沖擊波超壓峰值實驗結(jié)果比較，對所推導(dǎo)的解析計算公式進行驗證。

1 自由場超壓峰值解析公式推導(dǎo)

1.1 超壓峰值計算公式

關(guān)于確定爆炸沖擊波參數(shù)不同學(xué)者開展了大量研究工作，得到了大量的解析計算公式、圖表[21, 23,33-36]，這些公式或者圖表主要是基于對各種各樣的實驗數(shù)據(jù)的分析獲得的。在處理實驗數(shù)據(jù)時，通常采用的方法是將沖擊波參數(shù)表示為比例距離的函數(shù)，比例距離定義為

(1)

式(1)中：R為爆心距離，m，量綱為L；W為等效TNT爆炸當量，kg，量綱為M。

(1)Brode[33-34]沖擊波超壓峰值表達式為

(2)

式(2)中：Δp為超壓峰值， MPa，量綱為ML-1T-2。

(2)Henrych[35]沖擊波超壓峰值表達式為

(3)

(3)Naumyenko等[36]沖擊波超壓峰值表達式為

(4)

(4)張守中[37]沖擊波超壓峰值表達式為

1 m/kg1/3≤Z≤15 m/kg1/3

(5)

1.2 基于量綱分析和Taylor展開的公式推導(dǎo)

觀察沖擊波超壓峰值計算公式[式(2)～式(5)]可知，式(2)～式(5)都是關(guān)于比例爆心距離Z的倒數(shù)的多項式函數(shù)，不同之處在于各個公式的適用范圍和多項式系數(shù)不相同?；诹烤V分析和Taylor展開對沖擊波超壓峰值計算公式進行推導(dǎo)，并利用推導(dǎo)過程解釋上述現(xiàn)象。

1.2.1 基于量綱分析推導(dǎo)定性函數(shù)表達式

將自由場爆炸近似看作是點爆炸，則爆炸后會產(chǎn)生向外擴展的球形沖擊波，決定沖擊波強度特征的參量主要來自以下三個方面。

(1)炸藥屬性：W為等效TNT爆炸當量，kg；ρe為裝藥密度，kg/m3，量綱為ML-3；單位質(zhì)量炸藥爆炸釋放的能量為Ee，J/kg，量綱為L2T-2；爆炸產(chǎn)物的膨脹指數(shù)為γe，SI，量綱為S。

(2)空氣屬性：pa為初始壓力，Pa，量綱為ML-1T-2；初始密度ρa，kg/m3，量綱為ML-3；絕熱指數(shù)γa，SI，量綱為SI。

(3)爆心距離：R為爆心距離，m，量綱為 L；用沖擊波超壓峰值Δp來表征沖擊波的強度，則可表示為物理量的函數(shù)：

Δp=Ψ(W,ρe,Ee,γe;pa,ρa,γa;R)

(6)

式(6)涉及的物理量總數(shù)為9個，共有3個基本量，分別為質(zhì)量、長度、時間，對應(yīng)的基本量綱為M、L、T。因此，根據(jù)定理[38]可知。式(6)可表示為6個無量綱量的函數(shù)形式。通過量綱分析[39]，可以得到這6個無量綱量為

(7)

則可得無量綱函數(shù)關(guān)系式為

(8)

對于一般空氣條件下同種類型炸藥爆炸，存在

(ρe,Ee,γe;pa,ρa,γe)=const

(9)

式(9)中：const為常數(shù)。

去掉無量綱常量后，式(8)可化簡為

(10)

在約定好單位后，可以繼續(xù)去掉式(10)中的常量，即式(10)可以進一步簡化為

(11)

式(11)表明，自由場空氣爆炸沖擊波超壓峰值可以表示為比例距離的函數(shù)關(guān)系式。

1.2.2 利用Taylor展開得到多項式形式函數(shù)表達式

爆心距離越大，超壓峰值越?。槐ó斄吭酱?，超壓峰值越大，即“超壓峰值與爆心距離成反比，與爆炸當量成正比”。為了體現(xiàn)這一物理性質(zhì)，記

(12)

將式(11)改寫為

(13)

從大量的實驗數(shù)據(jù)[40]觀測到自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值隨比例距離的衰減規(guī)律，如圖1所示。

t1、t2、t3表示3個不同時刻圖1 自由場爆炸沖擊波超壓峰值曲線Fig.1 The overpressure-time curve of free-field explosion

根據(jù)圖1，假設(shè)函數(shù)f(Z)是充分光滑的，即在數(shù)學(xué)上假設(shè)f(Z)∈C∞(Z)，其中C∞(Z)表示在定義域Z上足夠光滑，則在Z∈(0,+∞)區(qū)間內(nèi)關(guān)于w的函數(shù)g(ω)滿足g(ω)∈C∞(ω)，對式(13)作Taylor展開得

hk(ω0)(Δω)n+1

(14)

式(14)中：Δω=ω-ω0；ω0=1/Z0，其中Z0為指定值，余項為高階項。因此，可以忽略式(14)中的高階小量，化簡為

(15)

式(15)中:g(k)(ω0)表示在ω0處的k階導(dǎo)數(shù)。進一步可將式(15)寫為

(16)

式(16)中：χi為常系數(shù)，i=0,1,…，N為足夠大的正整數(shù)。

于是式(16)給出了自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值關(guān)于比例距離的多項式函數(shù)關(guān)系式。顯然，式(2)～式(5)均滿足式(16)的形式。正如式(2)～式(5)所表現(xiàn)出來的一樣，截至目前，尚未有學(xué)者從理論上提出式(16)中常系數(shù)χi(i=0,1,…,N)的計算方法，因此，工程上學(xué)者們通常是基于式(16)的形成利用實驗結(jié)果進行數(shù)據(jù)擬合得到一定范圍內(nèi)的系數(shù)χi(i=0,1,…,N)，而由于實驗受到各種條件的影響，每個研究者所掌握的實驗結(jié)果存在差異，從而擬合出的系數(shù)也差別較大，這也是目前存在許多不同自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值計算公式的原因。

2 能量密度因子方法與自由場爆炸沖 擊波超壓峰值解析計算公式的推廣

2.1 方法描述

式(16)是通過量綱分析和Taylor展開得到的，而量綱分析的結(jié)果是物理本質(zhì)的體現(xiàn)，Taylor展開屬于嚴密的數(shù)學(xué)處理，即式(16)是符合物理規(guī)律的。進一步考慮式(16)中的無量綱變量Z，從能量的角度來考慮它的定義[式(1)]，容易發(fā)現(xiàn)無量綱變量Z本質(zhì)上反映的是體積能量密度，即爆炸沖擊波超壓峰值是關(guān)于體積能量密度的形如式(16)所示的多項式函數(shù)。因此，如果體積能量密度相同，則按式(16)計算得到的超壓峰值相等。

基于上述原理，對于非自由場空氣中的爆炸，如復(fù)雜幾何布局條件下的爆炸等，可以通過某種合理的方法轉(zhuǎn)換為體積能量密度相等的自由場空氣中爆炸，然后使用已有的自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值計算公式進行計算，而這種合理的轉(zhuǎn)換方法即為這里所提的能量密度因子方法。

如圖2所示，以一端封閉一端開放坑道內(nèi)爆炸為例給出能量密度因子的定義。已知爆炸TNT當量為W，假設(shè)圖2中T點處的超壓達到峰值時爆炸沖擊波擴散到的空間為圖2中灰色圓柱體區(qū)域，該區(qū)域顯然不是自由空間，而是一端開放一端封閉的約束空間，這里仍稱為坑道(實際上只是坑道的一段)。記該坑道體積為V，則T處的體積能量密度為

圖2 一端封閉一端開放坑道內(nèi)爆炸示意圖Fig.2 Sketch map of explosion for the one closed-end tunnel

(17)

以爆心為球心，以爆心到T點的距離R為半徑作一個球體，若在球心處以W*為TNT當量發(fā)生的自由空間爆炸沖擊波傳播到T點時的體積能量密度也為ωT，則按式(16)計算得到的自由場空氣中以W*為TNT當量爆炸距離R處的超壓峰值即為所要求的坑道中T點的超壓峰值。于是，主要問題是求出W*。

顯然，對于等效的自由場爆炸易得其體積能量密度為

(18)

由式(17)、式(18)可得

(19)

(20)

VECF是從空間體積的影響這個角度考慮的，將這種思路推廣到能量密度因子(energy concentration factor，ECF)，則還可以將其他影響因素考慮進來。如考慮介質(zhì)特性的影響，顯然對于地面爆炸絕對剛性地面(地面是鋼板、混凝土、硬巖等情況)和非絕對剛性地面(地面是沙、黏土、軟巖等情況)對爆炸能量的吸收和反射是不一樣的，經(jīng)過相關(guān)處理，這種差別也可以體現(xiàn)到能量密度中去，從而得到對應(yīng)這種處理的ECF；又如可以從面積能量密度的角度提出面能量密度因子(surface energy concentration factor，SECF)，可表示為

(21)

式(21)中：SSph為等效球體的球面面積，SSph=4πR2；S為實際情況下爆炸沖擊波與靜止空氣接觸界面的表面積。文獻[36]中給出的坑道內(nèi)爆炸沖擊波超壓峰值計算公式本質(zhì)上是利用面能量密度因子方法所得。

盡管上述面能量密度因子在工程應(yīng)用上來講不會有大的問題，但結(jié)合第1節(jié)推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，按式(20)定義的體能量密度因子是完全符合物理本質(zhì)的，也應(yīng)該更符合實際物理現(xiàn)象，這一點將在后文的算例分析中得到驗證。因此，采用體能量密度因子。

將式(19)代入式(16)即得基于自由場公式推廣的沖擊波超壓峰值解析計算公式，可表示為

(22)

式(22)中：Z*為等效比例距離。

(23)

式(23)中：W為實際TNT爆炸當量；R為實際的爆心距離；VECF為體能量密度因子。

2.2 幾種典型幾何布局的能量密度因子

比較常見復(fù)雜幾何布局條件下的體能量密度因子和面能量密度因子。同樣，假設(shè)示意圖(圖3、圖4)中T點處的超壓達到峰值時爆炸沖擊波擴散到的空間為圖3、圖4中灰色區(qū)域，同樣的，這些區(qū)域顯然不是自由空間。

(1)剛性地面爆炸，如圖3所示。

圖3 剛性地面爆炸示意圖Fig.3 Sketch map for the rigid ground explosion

(24)

(25)

(2)兩端開放通道爆炸，如圖4所示。

圖4 兩端開放通道爆炸示意圖Fig.4 Sketch map for the two open-end tunnel explosion

(26)

(27)

式中：VTun_Open為開放坑道的體積；STun_Open為坑道開放端與空氣接觸表面的面積。

(3)一端封閉一端開放通道爆炸，如圖2所示。

(28)

(29)

式中:VTun_Close-end為一端封閉一端開放坑道的體積；STun_Close-end為該坑道開放端與空氣接觸表面的面積。

(4)圓柱形截面十字通道爆炸，如圖5所示。

(30)

(31)

式中:VTun_Crossed為十字交叉坑道的體積；STun_Crossed為該坑道開放端與空氣接觸表面的總面積。

(5)四周開放的兩剛性夾層間爆炸，如圖6所示，兩剛性夾層間距為H。

(32)

(33)

式中:VCyl為圖6中灰色圓柱體的體積；SCyl為該圓柱體側(cè)面(即與空氣接觸表面)的面積。

圖6 四周開放的建筑層間爆炸示意圖Fig.6 Sketch map for the explosion of the open-sided multi-storey buildings

3 算例和驗證分析

3.1 與解析公式對比驗證

文獻[37]中給出的位于鋼板、混凝土、巖石等剛性地面的爆炸沖擊波超壓峰值計算公式為

(34)

式(34)中：1.259 m/kg1/3≤Z≤18.899 m/kg1/3。

由式(24)可知，此時VECF=2，將其代入式(23)，再用式(23)計算得到的等效比例距離Z*代替文獻[37]中給出的自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值計算公式，即式(5)中的Z，可得

(35)

式(35)中：1.259 9 m/kg1/3≤Z≤18.898 8 m/kg1/3。比較式(34)、式(35)，發(fā)現(xiàn)它們是高度一致的，只是在小數(shù)位數(shù)上存在細微的差別，這表明使用體能量密度因子方法推導(dǎo)得到的剛性地面爆炸沖擊波超壓峰值計算公式是合理的。

文獻[35,37]指出在計算地面接觸爆炸的沖擊波超壓峰值時，采用自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值公式，將式中當量乘以2即可。這種處理本質(zhì)上是利用了“能量密度”概念，引入體能量密度因子方法給出了比較規(guī)范的物理和數(shù)學(xué)推導(dǎo)與證明。

3.2 與實驗結(jié)果對比驗證

文獻[26]中給出了250 kg TNT裝藥在截面面積為 10 m2的坑道內(nèi)爆炸時不同位置處的沖擊波超壓峰值實驗測試結(jié)果和數(shù)值計算結(jié)果，如表1所示。

表1 不同位置處沖擊波超壓峰值實驗結(jié)果[26]Table 1 Experimental results of shock wave overpressure peak at different positions[26]

文獻[26]利用三維數(shù)值模擬計算程序?qū)嶒炃闆r進行了大量的數(shù)值計算，從而擬合出計算該坑道內(nèi)沖擊波超壓峰值的經(jīng)驗公式為

(36)

式(36)中：Δp為超壓峰值，MPa；W′為TNT爆炸當量，kg；A為坑道截面面積，m2；R為爆心距離，m。

利用體能量密度方法對文獻[26]中的情況進行計算，并與實驗結(jié)果進行比較分析。

(37)

用式(37)中的Z*代替式(5)中的Z，即得文獻[37]中給出的坑道內(nèi)爆炸解析計算公式。上述推導(dǎo)過程也證明了文獻[37]本質(zhì)上是利用了面體能量密度因子的概念計算坑道內(nèi)爆炸沖擊波超壓峰值。

根據(jù)上述方法，得到不同計算公式下超壓峰值隨爆心距離變化曲線(圖7)，可以看出，基于體能量密度因子得到的計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合得很好，而基于面能量密度因子得到的計算結(jié)果與實驗結(jié)果誤差比較大。以文獻[36-37]中的自由場超壓峰值計算公式為基準的計算結(jié)果與實驗和數(shù)值模擬結(jié)果高度吻合。表2給出了3個位置處數(shù)值計算結(jié)果、基于式(5)的體能能量密度因子法和面能量密度因子法計算結(jié)果與實驗測量數(shù)據(jù)的比較，同樣證明了上述結(jié)論。

表2 不同位置處沖擊波超壓峰值結(jié)果對比Table 2 Comparison of peak values of shock wave overpressures at different locations

圖7 不同方法得到的坑道內(nèi)沖擊波超壓峰值結(jié)果比較Fig.7 Comparison of peak values of shock wave overpressure in tunnel computed by different methods

因此，對于兩端開放無限長坑道內(nèi)的爆炸，采用體能量密度因子方法計算超壓峰值是可行的。

4 結(jié)論

基于量綱分析和Taylor展開推導(dǎo)了自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值多項式形式的解析計算公式，引入體能量密度因子方法將上述公式推廣到復(fù)雜幾何布局情形，為快速計算復(fù)雜幾何布局條件下爆炸沖擊波超壓峰值提供了有效的方法。通過與地爆解析公式、實驗數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬結(jié)果比較，對本文方法進行了驗證，得出以下結(jié)論。

(1)目前工程上普遍使用的自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值經(jīng)驗公式，可以通過量綱分析和Taylor展開從物理和數(shù)學(xué)上比較嚴格的推導(dǎo)出其統(tǒng)一的形式，如式(16)所示。

(2)基于上述推導(dǎo)過程，深刻理解式(16)所代表的物理本質(zhì)，進而引入體能量密度因子的概念，將自由場空氣中爆炸沖擊波超壓峰值解析計算公式推廣到復(fù)雜幾何布局的情形，如式(22)、式(23)所示。

(3)工程上普遍使用的地爆沖擊波超壓峰值解析計算公式可以通過提出的體能量密度因子方法推導(dǎo)得到，即目前已有的地爆超壓峰值解析計算公式可以看作是由體能量密度因子方法得到的一個特例。

(4)使用本文方法解析計算的結(jié)果與坑道內(nèi)爆炸實驗數(shù)據(jù)符合得較好，這表明本文方法可以應(yīng)用于工程領(lǐng)域復(fù)雜幾何布局條件下爆炸沖擊波超壓峰值的快速估算。