徐立，阮旻智，李華，周亮

1. 海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院， 武漢 430033

2. 海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院， 武漢 430033

3. 海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 武漢 430033

航空、航天裝備保障活動(dòng)十分復(fù)雜，備件保障能力是影響裝備保障效果的關(guān)鍵因素之一。通用件是在不同類型或同類型不同規(guī)格的裝備中具有互換性的零部件單元[1]。通用件的使用不僅可縮短新產(chǎn)品設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)周期，減少專用件的數(shù)量，簡(jiǎn)化生產(chǎn)制造過(guò)程，還可降低供應(yīng)商提前期的不確定性，提高保障效率。通用件逐漸成為裝備制造與保障領(lǐng)域發(fā)展的重點(diǎn)。與此同時(shí)，由于通用件使用范圍廣、頻率高，與專用件相比，其短缺會(huì)帶來(lái)更大范圍的影響[2]。在通用件中，機(jī)械類部件如滾珠軸承、繼電器、陀螺、電動(dòng)機(jī)、航空發(fā)電機(jī)、齒輪等[3-4]部件壽命服從威布爾分布，應(yīng)用廣泛、需求量大。威布爾型通用件的保障效能——備件滿足率能否滿足裝備保障需求是保障部門(mén)關(guān)注的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。

備件配置問(wèn)題長(zhǎng)期受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，提出了多種備件需求預(yù)測(cè)方法。一類是基于備件消耗的單項(xiàng)備件預(yù)測(cè)方法，該方法應(yīng)用更新過(guò)程理論得到不同分布類型部件的平均備件需求量模型[5]，提出了基于需求的多分布類型備件預(yù)測(cè)方法[6-8]，但是這些模型形式較為復(fù)雜，難以通過(guò)解析計(jì)算得到封閉解，運(yùn)用較為困難；另一方面，從備件保障效能出發(fā)，研究了多種備件配置評(píng)估優(yōu)化模型[9-10]，反映備件配置對(duì)裝備保障效能的影響。在裝備實(shí)際保障過(guò)程中，備件配置方案根據(jù)裝備任務(wù)特點(diǎn)，通常選用滿足率作為制定備件配置方案的度量指標(biāo)。文獻(xiàn)[3]針對(duì)裝備保障過(guò)程需求，給出了備件滿足率的統(tǒng)計(jì)定義。程海龍等[11]在備件供應(yīng)規(guī)劃中分析備件滿足率與備件短缺量的數(shù)學(xué)含義和物理意義，針對(duì)部件壽命分布服從指數(shù)分布的情況，在METRIC模型尋優(yōu)方法基礎(chǔ)上，考慮費(fèi)用的影響，對(duì)比驗(yàn)證備件滿足率和備件短缺量的適用范圍。張志華等[12]針對(duì)備件滿足率只有統(tǒng)計(jì)定義的問(wèn)題，研究了單備件滿足率和串聯(lián)系統(tǒng)備件滿足率的概率性質(zhì)，給出了概率模型。Sapna[13]以排隊(duì)論方法為基礎(chǔ)，在系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)，得到系統(tǒng)不缺備件的概率。這些模型的求解以解析方法的形式給出，當(dāng)系統(tǒng)備件種類多、數(shù)量大時(shí)難以通過(guò)解析方式給出備件配置方案與備件滿足率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在開(kāi)展非指數(shù)部件的備件需求預(yù)測(cè)時(shí)，由于非指數(shù)分布部件保障效能計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，一般采用等效思想將非指數(shù)分布部件的壽命等效為指數(shù)分布，以此來(lái)降低計(jì)算難度，提高計(jì)算效率。邵松世等[14]通過(guò)貝葉斯理論將有壽件的壽命等效為正態(tài)分布，提出了一種基于正態(tài)等效的有壽件備件方案確定方法。劉任洋等[15]通過(guò)可靠度等效方法將系統(tǒng)中的非指數(shù)單元轉(zhuǎn)化為指數(shù)單元，將多指數(shù)單元表決系統(tǒng)等效為伽瑪系統(tǒng)給出備件需求量解析方法。Perez和Montoro[16]提出一種新的分布位相型分布來(lái)替代其他分布，并采用馬爾科夫到達(dá)過(guò)程預(yù)測(cè)備件需求。由于通用件使用范圍廣，裝機(jī)數(shù)量多，在開(kāi)展備件庫(kù)存配置時(shí)有其特殊需求。Baker[17]研究了通用件策略對(duì)于安全庫(kù)存水平的影響，獨(dú)立于傳統(tǒng)的Zσ原則給出了通用件儲(chǔ)存策略。Gerchak和Henig[18]在多產(chǎn)品多零部件環(huán)境下，考慮產(chǎn)品需求服從一般分布，建立了多周期庫(kù)存模型。Ma等[19]研究了多產(chǎn)品、多周期、多級(jí)裝配、隨機(jī)需求的通用件問(wèn)題，考慮了通用件成本結(jié)構(gòu)、補(bǔ)貨提前期和裝配時(shí)間等因素。Sengupta和Shun[20]綜合部件通用性和供應(yīng)鏈決策，給出了通用件收益評(píng)估方法。Deza等[21]介紹了一種根據(jù)部件通用程度進(jìn)行庫(kù)存控制的方法。

綜合以上文獻(xiàn)可知，在威布爾通用備件配置方案評(píng)估及優(yōu)化方面存在以下3個(gè)方面的不足：① 備件滿足率只有統(tǒng)計(jì)方面的定義，難以建立起威布爾通用備件保障能力評(píng)估指標(biāo)與裝備數(shù)量、使用情況及備件配置數(shù)量的聯(lián)系；② 理論上計(jì)算備件數(shù)量為k時(shí)的備件滿足率涉及單元壽命分布函數(shù)的k重卷積計(jì)算。而威布爾分布的k重卷積解析式較為復(fù)雜，難以推導(dǎo)得出該解析式，實(shí)際計(jì)算較為繁瑣；③ 進(jìn)行裝備通用備件的需求量計(jì)算時(shí)，通常采用分別計(jì)算各裝備的備件需求量，再將備件數(shù)量之和作為總的備件需求量的方法。這種計(jì)算方法容易造成通用備件的過(guò)度采購(gòu)，引起資源浪費(fèi)。本文針對(duì)威布爾通用備件保障能力評(píng)估及配置方案優(yōu)化問(wèn)題，采用等效原理，將威布爾型部件消耗過(guò)程等效為伽瑪沖擊過(guò)程，建立威布爾型通用備件滿足率評(píng)估模型，并在備件滿足率指標(biāo)約束下，開(kāi)展威布爾通用備件的配置方案優(yōu)化。通過(guò)仿真對(duì)比驗(yàn)證本文所建模型及方法的計(jì)算精度和適用范圍。為裝備保障部門(mén)開(kāi)展威布爾型通用備件配置方案評(píng)估與優(yōu)化提供理論支撐和決策支持。

1 問(wèn)題描述及模型假設(shè)

1.1 保障過(guò)程描述

假設(shè)某威布爾型通用件分別在N臺(tái)裝備中使用，已知該通用件在裝備n中每年計(jì)劃工作時(shí)間為T(mén)n,1≤n≤N，當(dāng)該通用件發(fā)生故障時(shí)，采用換件維修的方式排除故障。由于各裝備工作時(shí)間的差異，裝備n對(duì)通用件j會(huì)產(chǎn)生不同的備件需求，記為λjn，裝備備件需求關(guān)系如圖1所示。現(xiàn)在備件倉(cāng)庫(kù)需配置該通用件數(shù)年的備件，備件數(shù)量記為s。在整個(gè)觀察周期內(nèi)，備件數(shù)量能夠滿足各裝備的備件需求的概率稱為備件滿足率。通常裝備保障部門(mén)會(huì)對(duì)備件滿足率設(shè)置指標(biāo)要求，要求其不得低于門(mén)限值P0，要達(dá)到精確化保障的目的，需在已知裝備工作計(jì)劃的前提下，合理配置備件數(shù)量，以求在觀測(cè)周期內(nèi)，備件滿足率不低于相關(guān)指標(biāo)要求。

圖1 通用件需求示意圖Fig.1 Sketch map of demand for component commonality

1.2 模型假設(shè)

一般情況下，為使裝備盡快投入使用，降低裝備現(xiàn)場(chǎng)維修時(shí)間，裝備使用現(xiàn)場(chǎng)通常對(duì)故障部件進(jìn)行換件維修。另一方面，裝備的部分通用件維修效益較低，不具備維修價(jià)值。除此之外，在裝備批次采購(gòu)部件之間的時(shí)間間隔內(nèi)，開(kāi)展臨時(shí)訂貨周期較長(zhǎng)。因此，為了研究的方便，本文在進(jìn)行建模和優(yōu)化時(shí)做如下假設(shè)：① 觀測(cè)周期內(nèi)不考慮通用件的補(bǔ)給；② 裝備部件發(fā)生故障僅進(jìn)行換件維修；③ 更換后的故障部件不進(jìn)行修理。

2 威布爾型通用件備件滿足率模型

2.1 等效原理

對(duì)于部件壽命X服從形狀參數(shù)為m,特征壽命為η的威布爾分布，記作X～W(m,η)，則可得其平均壽命為

(1)

方差為

(2)

式中:Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

根據(jù)等效的原則，若需威布爾分布X～W(m,η)等效為伽瑪分布X′～Ga(α,λ)，則需二者的平均壽命與方差相等。伽瑪分布其均值為

(3)

方差為

(4)

聯(lián)立方程式(1)、式(2)、式(3)、式(4)可得

(5)

2.2 威布爾型通用備件滿足率模型

對(duì)于單個(gè)伽瑪型部件，若其壽命X～Ga(α,λ),工作時(shí)間為T(mén)i，則其在工作時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的概率為

(6)

在可靠性理論中，部件壽命服從伽瑪分布可用沖擊模型進(jìn)行解釋。假若產(chǎn)品能經(jīng)受若干次外界沖擊，但當(dāng)產(chǎn)品受沖擊次數(shù)累積到α次時(shí)就產(chǎn)生失效。此時(shí)，產(chǎn)品壽命T就是第α次沖擊來(lái)到的時(shí)間[22]。根據(jù)伽瑪分布的沖擊理論，若某部件i，其備件配置數(shù)量為si,則在任務(wù)期間Ti內(nèi)，在故障率為λ保持不變的情況下，若單個(gè)部件受α次沖擊導(dǎo)致故障，相應(yīng)的，在有si個(gè)備件時(shí)，其不能承受α(si+1)次沖擊的概率為

(7)

當(dāng)si=0時(shí)，表示對(duì)部件i不配置備件。

則備件配置數(shù)量為恰能夠滿足裝備需求的概率密度函數(shù)為

f(si,Ti)=F(si-1,Ti)-F(si,Ti)

(8)

即為

(9)

當(dāng)si=0時(shí)，表示對(duì)部件i不配置備件恰能滿足裝備備件需求的概率。

根據(jù)卷積性質(zhì)，設(shè)W與Y為2個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為pW(w)和pY(y)，則其和Z=W+Y的密度函數(shù)為

若對(duì)于裝備1中部件i，任務(wù)時(shí)間為T(mén)1時(shí)，需si1備件滿足其正常運(yùn)轉(zhuǎn)；若對(duì)于裝備2中部件i，任務(wù)時(shí)間為T(mén)2時(shí)，需si2備件滿足其正常運(yùn)轉(zhuǎn)；如此類推，對(duì)于裝備n中部件i，任務(wù)時(shí)間Tn，需sin備件滿足其正常運(yùn)轉(zhuǎn)。T1至Tn分別表示在觀測(cè)期內(nèi)，裝備1到n的計(jì)劃工作時(shí)間，相互獨(dú)立。則在一定觀測(cè)期內(nèi)，對(duì)于不同任務(wù)時(shí)間、不同裝備，當(dāng)備件總量為si時(shí)，恰能滿足裝備備件需求的概率為

f(si)=f(si1,Ti)*f(si2,Ti)*…*f(sin,Tn)

(10)

式中：“*”號(hào)表示卷積，si=si1+si2+…+sin，若si=0，則表示對(duì)于裝備1至n均不配置備件時(shí)，恰能滿足裝備備件需求的概率。

則對(duì)于裝備1到n，配備備件數(shù)量為si(si可為0)時(shí)，滿足這些裝備備件需求的備件滿足率為

(11)

3 備件配置方案優(yōu)化方法

備件配置優(yōu)化采取逐步優(yōu)化的方法開(kāi)展，設(shè)置滿足率門(mén)限值P0。

步驟1初始化備件庫(kù)存，令si=0;若部件i壽命服從X～W(m,η)的威布爾分布，根據(jù)公式(5)，將其等效為X～Ga(α,λ)的伽瑪分布，求取等效后的α和λ。

步驟2根據(jù)式(9)、式(10)、式(11)求取各觀測(cè)時(shí)間內(nèi)，裝備在總的備件配置數(shù)量為si時(shí)的備件滿足率Pm。

步驟3若Pm≥P0,則輸出此時(shí)的備件配置方案，即為所求；否則，令si=si+1；轉(zhuǎn)步驟 2，繼續(xù)開(kāi)展相關(guān)迭代，直至Pm≥P0輸出最終優(yōu)化后的備件配置方案。

4 仿真算法設(shè)計(jì)與分析

在裝備數(shù)量為N，部件壽命服從威布爾分布，參數(shù)為m,η，各裝備任務(wù)時(shí)間T=[T1,T2,…,TN]確認(rèn)之后，開(kāi)始仿真，所有部件按照分布規(guī)律產(chǎn)生故障。每次故障后，判斷故障發(fā)生時(shí)機(jī)是否在任務(wù)時(shí)間范圍內(nèi)。若是在任務(wù)時(shí)間范圍之外，則認(rèn)為不需要備件；若是在任務(wù)時(shí)間范圍內(nèi)部件發(fā)生故障，則產(chǎn)生一次備件需求，此時(shí)若有備件，則備件滿足，同時(shí)備件庫(kù)存量減1，若無(wú)備件，則備件滿足失敗。如此，直到各裝備的任務(wù)時(shí)間均達(dá)到觀測(cè)周期內(nèi)的計(jì)劃時(shí)間，判斷本次仿真?zhèn)浼?shù)量是否滿足需求，如此直至simN次仿真結(jié)束，統(tǒng)計(jì)成功滿足備件需求的總次數(shù)M，仿真過(guò)程見(jiàn)圖2。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，根據(jù)大數(shù)定律，兩者之比即可作為備件滿足率的近似值，即為

圖2 仿真流程圖Fig.2 Simulation flow chart

(12)

5 算例分析

5.1 仿真分析

選取威布爾型各部件壽命分布參數(shù)如表1所示。

表1 各部件壽命分布參數(shù)Table 1 Life distribution parameters of each component

假設(shè)裝備在觀測(cè)周期內(nèi)的工作時(shí)間為400 h，取本文方法、仿真方法和文獻(xiàn)[23]中近似法進(jìn)行對(duì)比，求得數(shù)值分別對(duì)應(yīng)圖3至圖8中解析值、仿真值和近似法對(duì)應(yīng)的曲線，對(duì)比情況如圖3至圖8 所示。

圖3 方案1不同方法滿足率對(duì)比情況Fig.3 Comparison of spare parts fill rates of Component 1 by different methods

圖4 方案2不同方法滿足率對(duì)比情況Fig.4 Comparison of spare parts fill rates of Component 2 by different methods

圖5 方案3不同方法滿足率對(duì)比情況Fig.5 Comparison of spare parts fill rates of Component 3 by different methods

圖6 方案4不同方法滿足率對(duì)比情況Fig.6 Comparison of spare parts fill rates of Component 4 by different methods

圖7 方案5不同方法滿足率對(duì)比情況Fig.7 Comparison of spare parts fill rates of Component 5 by different methods

圖8 方案6不同方法滿足率對(duì)比情況Fig.8 Comparison of spare parts fill rates of Component 6 by different methods

由圖3至圖8可知，對(duì)于不同壽命分布的威布爾型部件，本文方法求得的備件滿足率與仿真結(jié)果基本吻合。文獻(xiàn)[23]所示方法在威布爾型部件壽命形狀參數(shù)與特征壽命值之比較小時(shí)計(jì)算得到的備件滿足率與仿真結(jié)果較為一致，但誤差仍大于本文方法，如圖3,圖6,圖7,圖8所示；當(dāng)形狀參數(shù)與特征壽命比值較大時(shí)，計(jì)算得到的備件滿足率與仿真結(jié)果誤差較大，如圖4和圖5所示。

當(dāng)各裝備工作時(shí)間不同時(shí)，傳統(tǒng)方法難以開(kāi)展備件滿足率相關(guān)運(yùn)算，而本文方法仍具有較強(qiáng)的適用性。假設(shè)有5臺(tái)裝備的威布爾型通用件壽命參數(shù)如表1所示。在觀測(cè)期內(nèi)的工作時(shí)間分別為400、500、300、600、800 h。

針對(duì)不同壽命分布部件，采用本文所建模型計(jì)算威布爾型通用部件的備件滿足率隨備件數(shù)量的變化情況，并與仿真值進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算結(jié)果如圖9 至圖14所示，觀察對(duì)比圖形可知，對(duì)于不同壽命分布的威布爾型通用備件和不同的備件配置數(shù)量，本文所建模型均具有較高的評(píng)估精度，可為后續(xù)開(kāi)展通用備件配置方案優(yōu)化打下良好基礎(chǔ)。

圖9 方案1備件滿足率對(duì)比情況Fig.9 Comparison of spare parts fill rates of Component 1

圖10 方案2備件滿足率對(duì)比情況Fig.10 Comparison of spare parts fill rates of Component 2

圖11 方案3備件滿足率對(duì)比情況Fig.11 Comparison of spare parts fill rates of Component 3

圖12 方案4備件滿足率對(duì)比情況Fig.12 Comparison of spare parts fill rates of Component 4

圖13 方案5備件滿足率對(duì)比情況Fig.13 Comparison of spare parts fill rates of Component 5

圖14 方案6備件滿足率對(duì)比情況Fig.14 Comparison of spare parts fill rates of Component 6

5.2 算例分析

假設(shè)5臺(tái)不同類型的裝備中都裝備有某同一類型通用件，已知該通用件的壽命服從威布爾分布W(240,2.3),根據(jù)裝備年工作計(jì)劃，5臺(tái)裝備每年的工作時(shí)間分別為400、500、300、600、800 h，某倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)欲確定該通用件2年的用量，使其備件滿足率不低于0.9。

根據(jù)第2節(jié)描述的威布爾部件備件滿足率求解方法與第3節(jié)所提備件優(yōu)化方法求解備件的配置數(shù)量，與此同時(shí)對(duì)備件配置情況進(jìn)行仿真評(píng)估，在備件配置數(shù)量的迭代過(guò)程中，文中備件滿足率計(jì)算所得結(jié)果與仿真評(píng)估結(jié)果基本相同，具體對(duì)比如表2所示。由該表可知，本文解析方法在備件配置數(shù)量較低時(shí)，備件滿足率較低，二者相差較大，當(dāng)備件滿足率在0.1以下時(shí)，二者誤差在10%以上，這是由于備件滿足率較低時(shí)，若此時(shí)計(jì)算誤差比值，分母即仿真值較小，解析值與仿真值之間的誤差值對(duì)蒙特卡洛仿真值的波動(dòng)較為敏感，輕微的波動(dòng)即會(huì)帶來(lái)誤差比值的變化，體現(xiàn)出誤差較大；隨著備件配置數(shù)量的增加，裝備備件滿足率逐漸升高，此時(shí)解析方法計(jì)算得到的備件滿足率與仿真評(píng)估結(jié)果基本一致，尤其是在備件配置數(shù)量達(dá)到21個(gè)以上時(shí)，二者誤差基本可以忽略不計(jì)。而在實(shí)際進(jìn)行備件配置時(shí)，備件滿足率較低的方案通常不會(huì)采納，僅會(huì)考慮備件滿足率在門(mén)限值附近或以上的備件配置方案，此時(shí)，本文所提方法精度較高，結(jié)果可信。

表2 迭代過(guò)程中備件滿足率計(jì)算結(jié)果對(duì)比

如果在備件滿足率指標(biāo)為0.9的前提下，分別計(jì)算各裝備獨(dú)立的備件需求,可得其備件配置數(shù)量如表3所示。

將表2和表3數(shù)據(jù)對(duì)比可知，若單獨(dú)考慮各裝備的備件需求而不進(jìn)行統(tǒng)一考慮時(shí)，所需備件數(shù)量為每個(gè)裝備所需備件數(shù)量之和為30個(gè)；若將各裝備作為一個(gè)整體，考慮其總的備件滿足率，備件數(shù)量為26個(gè)，這與備件配置過(guò)程中的“集聚效應(yīng)”相一致。也能體現(xiàn)出集中采購(gòu)?fù)ㄓ眉诠?jié)省備件購(gòu)置費(fèi)用的優(yōu)勢(shì)。

表3 單個(gè)裝備備件需求量計(jì)算結(jié)果

對(duì)于不同壽命分布的威布爾型部件，壽命分布如表4所示。5臺(tái)裝備每年計(jì)劃工作時(shí)間分別為400、500、300、600、800 h，倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)需儲(chǔ)存其2年的用量，欲使其備件滿足率不低于0.9。采用本文所提方法與仿真方法對(duì)比情況如表4所示。

由表4可知，對(duì)于不同壽命分布的威布爾通用件，本文備件優(yōu)化配置方法均具有較強(qiáng)的適用性，計(jì)算精度較高，可采用該方法作為工程計(jì)算威布爾型部件備件配置數(shù)量的方法。

表4 不同壽命分布部件備件優(yōu)化配置結(jié)果對(duì)比

6 結(jié) 論

1) 針對(duì)威布爾型通用件備件滿足率評(píng)估問(wèn)題，采用壽命等效原理，將威布爾型備件消耗過(guò)程轉(zhuǎn)換為伽瑪沖擊過(guò)程，建立了威布爾型通用備件的滿足率評(píng)估模型。通過(guò)仿真對(duì)比分析，本文所建模型對(duì)于不同壽命分布的威布爾型通用備件配置方案，均能夠準(zhǔn)確評(píng)估其備件滿足率。

2) 在備件滿足率指標(biāo)約束下，給出了備件配置方案優(yōu)化方法。在備件方案迭代優(yōu)化過(guò)程中，在裝備保障部門(mén)關(guān)注的高備件滿足率指標(biāo)范圍內(nèi)，各備件配置方案所對(duì)應(yīng)的備件滿足率均能與仿真值較好貼合，優(yōu)化后的備件配置方案能夠有效滿足裝備備件需求。整體考慮通用備件的配置情況能夠利用備件“集聚效應(yīng)”減少通用件配置總量，提高備件配置效率。本文威布爾型通用備件配置方案評(píng)估及優(yōu)化方法能夠?yàn)楸Ｕ喜块T(mén)評(píng)估威布爾型通用備件配置效果，制定配置方案提供決策支持和理論支撐。