王敏,吳軍衛(wèi),蒲華燕,孫翊,彭艷,謝少榮,羅均,2,丁基恒,3,*

1. 上海大學(xué) 無人艇工程研究院，上海 200444

2. 重慶大學(xué) 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044

3. 同濟大學(xué) 上海智能科學(xué)與技術(shù)研究院，上海 200082

遙感衛(wèi)星的光學(xué)成像是當(dāng)前不受現(xiàn)實環(huán)境和地域限制的空間信息獲取的主要手段。其可廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航定位、海洋預(yù)報、災(zāi)難監(jiān)測和軍事偵察等多個領(lǐng)域，在國民經(jīng)濟、軍事科技方面起到非常重要的作用。遙感衛(wèi)星中的主要工作部分是高分辨率鏡頭，其工作環(huán)境的好壞對整個系統(tǒng)影響至關(guān)重要。遙感衛(wèi)星在軌工作時，由于太陽能電板的運轉(zhuǎn)、動量輪的高速轉(zhuǎn)動都會造成高分辨率鏡頭的微小振動，會使得高分鏡頭產(chǎn)生米級的成像誤差。航空光學(xué)設(shè)備成像精度的持續(xù)增加來源于隔振性能的改善。在很多精密設(shè)備的工作環(huán)境中，通常將多個單自由度的隔振器以一定的形式并聯(lián)起來構(gòu)成6自由度隔振平臺，這是較常用的隔振器構(gòu)型[1-3]。

在多自由度平臺中有一種叫Stewart構(gòu)型的平臺廣泛應(yīng)用于航空航天、精密機床、飛行器模擬等精密設(shè)備中，其具有精度高、承載能力強等特點[4-5]。北京航空航天大學(xué)李偉鵬[6]研制了一種空間高穩(wěn)定精密更碎Stewart平臺，該平臺基于“滾珠絲杠+壓電陶瓷”復(fù)合作動器組成。此種復(fù)合執(zhí)行器式Stewart平臺從執(zhí)行器角度以滾珠絲杠執(zhí)行器為宏動部分、壓電執(zhí)行器為微動部分的大行程高頻響精密復(fù)合執(zhí)行器。其復(fù)合執(zhí)行器作動行程超過50 mm，經(jīng)微動部分補償后的整體定位誤差小于1 μm。指向機構(gòu)采用6-SPS并聯(lián)式Stewart構(gòu)型,可實現(xiàn)高精度、大范圍指向，實驗測試也證明其對指向機構(gòu)具有較高的跟蹤精度能力，但其存在抑振能力不足的缺點。比利時布魯塞爾大學(xué)(ULB)研制的“軟式”六桿Stewart抑振平臺[7]，每根桿上集成主被動混合抑振系統(tǒng)，包含一個音圈電機(集成柔性片)、一個力傳感器和兩個柔性鉸鏈。它可以有效抑制帶寬5～400 Hz的振動信號，在50～200 Hz之間實現(xiàn)最大-40 dB的振動衰減，同樣由于其“軟”式結(jié)構(gòu)，無法承載較大質(zhì)量，且無結(jié)構(gòu)保護裝置，限制了其使用范圍。

Stewart隔振平臺主要由負載平臺、基礎(chǔ)平臺以及6條隔振單腿組成[8-9]。Stewart隔振平臺主要分為立方體構(gòu)型和非立方體構(gòu)型2種，立方體構(gòu)型的新型Stewart隔振平臺相較于非立方體構(gòu)型平臺的優(yōu)勢有：每條腿給整個平臺提供的剛度均勻，各方向受力均勻，各條單腿之間的耦合最小，運動學(xué)、動力學(xué)關(guān)系簡單，機械結(jié)構(gòu)設(shè)計起來簡單等[10]。

由于一般線性減振器的剛度是固定的，當(dāng)剛度較大時具有較強的靜載荷能力，但同時其固有頻率也較大，其對低頻振動的抑制效果就較差；而當(dāng)剛度較小時，其低頻處的減振效果較好，但靜載荷能力卻較差[11-17]。系統(tǒng)的固有頻率不能一味的降低，要根據(jù)系統(tǒng)應(yīng)用場景進行調(diào)整。為了解決減振器的這一矛盾，本文提出了一種具有高靜剛度低動剛度特性的多邊形膜片彈簧。其可以根據(jù)被減振物體的實際重量來設(shè)計膜片彈簧的參數(shù)，從而得到能滿足減振需求的膜片彈簧。

然而，僅僅靠膜片彈簧減振有個很明顯的缺點，其只能起到隔振作用，減振系統(tǒng)在共振峰處的峰值還是較大[18-23]。為了削弱共振峰值，給膜片彈簧串聯(lián)一個壓電致動器和力傳感器。并采用基于天棚阻尼的比例積分力(PIF)反饋控制算法進行控制。天棚阻尼算法能夠有效克服在低頻隔振性能與高頻高衰減性能之間的矛盾，其不僅可有效降低固有頻率處共振峰的幅值，而且能夠保證高頻的高衰減性的隔振性能；而本文中基于天棚阻尼的PIF反饋控制算法，不僅可以實現(xiàn)天棚阻尼的效果，而且能夠依靠比例環(huán)節(jié)改變系統(tǒng)的負載質(zhì)量矩陣系統(tǒng)，從而進一步降低系統(tǒng)固有頻率。

被動減振系統(tǒng)能夠有效降低高頻的振動，但是對于低頻和固有頻率附近處卻無能無力，此處的振動信號不僅無法得到衰減，反而會共振放大。主動反饋控制能夠有效解決固有頻率處信號被放大這個問題，即共振峰衰減的問題。與傳統(tǒng)的相對阻尼反饋控制相比，采用絕對阻尼反饋的天棚阻尼(Sky-Hook Damping)技術(shù)能夠有效克服在低頻減振性能與高頻高衰減性能之間的矛盾，其不僅可有效降低固有頻率處共振峰的幅值，而且能夠保證高頻的高衰減性的減振性能。然而，天棚阻尼技術(shù)卻無法改變減振系統(tǒng)的固有頻率和主動減振帶寬的問題。眾所周知，固有頻率的降低和主動減振帶寬的拓寬能夠有效提高系統(tǒng)的減振性能。

本文綜合考慮傳統(tǒng)的Stewart平臺，采用具有明顯優(yōu)勢的立方體構(gòu)型Stewart平臺，在單腿結(jié)構(gòu)上創(chuàng)新性的采用具有高靜剛度低動剛度并加上壓電執(zhí)行器和力傳感器使之具有主動抑制能力。相較于現(xiàn)有的減振方案，本文所提方法有以下創(chuàng)新性：

1)提出一種基于Stewart構(gòu)型的新型減振裝置，降低了裝置復(fù)雜程度。

2)采用新型多邊形膜片彈簧，使系統(tǒng)固有頻率明顯前移，使之具有較強隔振能力。

3)采用主動執(zhí)行器運用控制算法，整個系統(tǒng)固有頻率處的共振峰將明顯下降，使之減振能力進一步加強。

1 隔振器的構(gòu)型及組成

圖1為本文所設(shè)計的Stewart型隔振器的三維模型。其主要由4部分組成：① 航空高分鏡頭；② 上平臺(負載平臺)；③ 單桿隔振單元；④下平臺(基礎(chǔ)平臺)。其中單桿隔振單元長度為94 mm，上下平臺布局根據(jù)立方體排布的6個單桿隔振單元來限定。對于多自由系統(tǒng)，不同方向的振動會互相耦合，為此，有必要對平臺進行解耦處理。對這種6自由度Stewart平臺進行解耦可以通過將平臺設(shè)計成立方體構(gòu)型來解決[24]。所謂立方體構(gòu)型就是6條單腿在空間上組成一個立方體，相鄰2條單腿在空間上互相垂直。這樣一來就能將多自由度求解問題轉(zhuǎn)換成了多個單自由度的求解問題[25]。立方體構(gòu)型使得Stewart隔振平臺的結(jié)構(gòu)得到簡化，各條單腿之間的耦合性低，整個隔振平臺各向的隔振性能更加統(tǒng)一。

圖1 隔振器三維模型Fig.1 3D model of vibration isolator

圖2為單腿隔振單元，其包含：① 柔性鉸鏈；② 壓電陶瓷；③ 多邊形膜片彈簧；④ 力傳感器；⑤ 柔性鉸鏈。其中起隔振作用的關(guān)鍵部件就是多邊形膜片彈簧，柔性鉸鏈具有高軸向剛度和低彎曲和扭曲剛度的特點，可以有效克服間隙和摩擦，能保證單腿在整個隔振平臺中只提供軸向的力。

圖2 單桿隔振單元Fig.2 Single leg vibration isolation unit

2 多邊形膜片彈簧的設(shè)計

作為隔振器的關(guān)鍵元件，多邊形膜片彈簧的性能與隔振器的性能直接相關(guān)。本文采用靜力學(xué)方法對多邊形膜片彈簧進行分析，建立起力學(xué)及剛度模型。圖3為本文所設(shè)計的多邊形膜片彈簧三維模型。圖中帶有圓孔的面為彈簧的上面和下面，這2個面通過螺栓、螺母與桿件連接從而組成隔振單腿。膜片彈簧的厚度為h，寬度為b，多邊形每條邊的長度為Li(i=1,2，…，8)。

圖3 多邊形膜片彈簧三維模型Fig.3 3D model of polygonal diaphragm spring

將多邊形膜片彈簧的6條邊看成是彎曲桿，則整個膜片彈簧的總剛度則由所有的彎曲桿等效剛度串并聯(lián)而成。由于彈簧的上面和下面較厚，因此將上下面等效成剛性面。圖4(a)為膜片彈簧的等效模型，整個膜片彈簧的剛度由桿件L1-L7所對應(yīng)的軸向等效剛度k1-k7組成。由于整個機構(gòu)呈左右對稱設(shè)計，如圖4(b)所示,取左半部分進行具體的分析，左半部分的總剛度K1由等效剛度k1、k2、k3組成，根據(jù)剛度的串聯(lián)原理其關(guān)系可表示為

圖4 膜片彈簧原理圖Fig.4 Schematic diagram of diaphragm spring

(1)

整個膜片彈簧的等效剛度K為左半部分等剛度K1與右半部分等效剛度K2并聯(lián)而成：

K=K1+K2=2K1

(2)

如圖4(b)所示，膜片彈簧的等效剛度k1由桿件L1彎曲形成，等效剛度k2由桿件L2軸線拉壓形成，等效剛度k3由桿件L3彎曲形成，Δy為受載荷力L4在Y方向的位移量，F(xiàn)x1，F(xiàn)y1分別為L1在X，Y方向上的受力大小,Fx2，F(xiàn)y2分別為L2在X，Y方向上的受力大小，F(xiàn)x3，F(xiàn)y3分別為L3在X，Y方向上的受力大小，α為L1/L3膜片與水平方向夾角。由于整個機構(gòu)上下也對稱，即桿件L1與L3的性質(zhì)完全相同，因此首先將桿件L1單獨拿出來分析，如圖5所示。圖中Δx1，Δy1分別為L1在X，Y方向上的位移變化量；α為L1膜片與水平方向夾角；θ為角α的變化量。

圖5 桿件L1的受力分析圖Fig.5 Stress analysis diagram of bar L1

實心矩形截面的慣性矩為

(3)

懸臂梁在受到靜載荷Fw1下的撓度w為

(4)

轉(zhuǎn)角為

(5)

懸臂梁在受到靜載荷Fw1作用下，當(dāng)梁的轉(zhuǎn)角很小時，點2在Y方向上的位移可近似為Δy1：

(6)

式中：E為材料的彈性模量；I為實心矩形截面的慣性矩。根據(jù)式(6)可得，彎曲梁在單腿軸向的等效剛度k1就是梁的彎曲剛度k在Y方向上的分量：

(7)

圖6為左半部分膜片彈簧工作時的力位移曲線。Fcr為桿件L2的歐拉臨界載荷。當(dāng)負載小于Fcr時，桿件L2不彎曲可以看成是一個剛體，此時只有L1和L3起隔振作用，膜片彈簧整體剛度相對較大，能承受較大靜載荷。由于L1和L3剛度相同，他們串聯(lián)后的剛度為k1/2。而當(dāng)負載大于Fcr時，此時桿件L2開始彎曲，不再看成是一個剛體，即桿件L2此時進入隔振工作狀態(tài)，此時膜片彈簧的總剛度由桿件L1、L2、L33個剛度串聯(lián)而成如式(1)所示。此時，膜片彈簧的整體剛度較小。研究設(shè)計的工作狀態(tài)就是負載大于Fcr后的區(qū)間，此時整個膜片彈簧的剛度較小，這意味著隔振系統(tǒng)的固有頻率較低，具有較寬的隔振帶寬[26-27]。

圖6 膜片彈簧的力位移曲線(左半部分)Fig.6 Force-displacement curve of diaphragm spring (left half)

圖7為側(cè)邊桿件L2受力分析圖，曲桿在受到載荷力F后在Y方向上表現(xiàn)出彈性特性，可作為隔振器的彈性元件。整個桿件看成是一個抗彎剛度為EI的彎曲梁，L為梁件的初始長度，Δy2為上端點在Y方向上的位移，F(xiàn)為軸向載荷，梁在y處沿X軸方向的撓度為w(y)。

圖7 側(cè)邊桿件L2受力分析圖Fig.7 Force analysis diagram of side bar L2

梁彎曲后平衡狀態(tài)描述為[28]

(8)

式中：Fcr為歐拉臨界載荷。將式(8)兩邊各乘Fcr可得

(9)

由于Fcr為常數(shù)，其與材料性質(zhì)以及梁形狀有關(guān)，因此此彎曲梁L2的剛度為

(10)

由于整個膜片彈簧呈上下對稱設(shè)計，則梁L3的剛度以及位移特性與梁L1相同。左半邊膜片彈簧的總剛度由梁L1、L2、L3的3個剛度k1、k2、k3串聯(lián)而成，將式(7)和(10)代入式(1)中得到左半部分膜片彈簧的剛度為

(11)

將式(11)代入式(2)得，整個膜片彈簧的等效剛度為

(12)

從上面的分析可以得知，當(dāng)整個系統(tǒng)處于靜止或者微小振動時，其剛度是較大的，能夠很好地承受很大的質(zhì)量；當(dāng)整個系統(tǒng)處于較強振動時，即整個系統(tǒng)運動行程超過圖6所示的Fcr/k1時，系統(tǒng)剛度較低，即降低了裝置的固有頻率，達到了隔振效果。

3 采用PIF反饋控制算法的簡化模型

基于天棚阻尼控制技術(shù)，結(jié)合本文設(shè)計的并聯(lián)式減振結(jié)構(gòu)，采用動態(tài)力傳感器與壓電執(zhí)行器的組合，設(shè)計PIF主動減振控制算法來對并聯(lián)式減振平臺進行主動振動控制。PIF不僅可以通過增加比例環(huán)節(jié)改變系統(tǒng)的負載質(zhì)量矩陣系統(tǒng)，從而有效降低系統(tǒng)的固有頻率；而且可以通過積分環(huán)節(jié)改變系統(tǒng)的阻尼，形成天棚阻尼效果，從而保證高頻高衰減率的同時抑制諧振峰處的振動幅值，實現(xiàn)了變質(zhì)量矩陣和天棚阻尼的雙重效果。

根據(jù)前文中提出的結(jié)構(gòu)，設(shè)計單自由度PIF反饋控制的原理簡圖如圖8所示。在圖8中，壓電致動器由壓電伸長量δ表示。單自由度PIF反饋控制的主動振動控制方式為：動態(tài)力傳感器采集到動態(tài)力的信號，經(jīng)過去噪聲干擾濾波后，在主動控制單元中完成比例積分(PI)計算補償后，將控制信號傳遞給壓電致動器，完成主動控制。其中，PI控制器(M·?！+M·Ψ)/kηs由一個增益為kp=M·Γ的比例控制器(Γ為比例增益補償器)和一個增益為ki=M·Ψ的積分控制器(Ψ為積分增益補償器)組成,M為負載質(zhì)量。

圖8 單自由度PIF反饋控制的原理簡圖Fig.8 Schematic diagram of single degree of freedom PIF feedback control

天棚阻尼的控制律和基于天棚阻尼技術(shù)的PIF的控制律分別為

(13)

(14)

式中：Λ為天棚阻尼技術(shù)的增益系數(shù)；kp=M·Γ為PIF反饋控制的比例增益系數(shù)；ki=M·Ψ為PIF反饋控制的積分增益系數(shù)。

根據(jù)圖8所示，單自由度PIF反饋控制隔振系統(tǒng)的運動控制方程為

Ms2xo=-ms2xi=kη(xi-xm)=F

(15)

δ=xo-xm

(16)

式中:x0為負載的位移量;xi為基礎(chǔ)擾動位移量;xm為中間段位位移量。

壓電致動器的伸長量δ和力傳感器的輸出量F之間的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

(17)

根據(jù)式(14)中PIF算法的比例增益系數(shù)和PIF算法的積分增益系數(shù)，進行整理計算可得中間段位移xm為

(18)

單自由度結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)在分別采用傳統(tǒng)天棚阻尼控制算法和PIF反饋控制算法下的傳遞率函數(shù)分別為

(19)

(20)

其中:c為系統(tǒng)阻尼值，當(dāng)增益系數(shù)Λ?c,Ψ?c時，隔振系統(tǒng)的等效阻尼可被忽略。

根據(jù)式(19)和式(20)所示，將采用不同控制方式的仿真曲線繪制如圖9所示。圖中，紅線為質(zhì)量M=1.7 kg，剛度kη=9.79×104N/m，阻尼c=69 N·s/m的被動隔振系統(tǒng)的傳遞率曲線；綠線為采用絕對速度反饋的天棚阻尼主動控制技術(shù)的傳遞率曲線；藍線為采用PIF主動反饋控制的傳遞率曲線。從圖中曲線可以看出，天棚阻尼技術(shù)不僅能夠抑制固有頻率處的共振峰幅值，而且能夠維持被動隔振系統(tǒng)在高頻的高衰減性，高頻的傳遞斜率可達到-40 dB/decade。進一步地，PIF反饋控制在保證天棚阻尼技術(shù)的優(yōu)勢后，能夠進一步的降低隔振系統(tǒng)的固有頻率，使得固有頻率前移，隔振帶寬拓寬，隔振性能進一步提高。

圖9 采用天棚阻尼反饋與PIF反饋控制的傳遞率仿真對比曲線Fig.9 Simulation comparison curve of Sky-Hook Damping feedback and PIF feedback control

采用PIF反饋控制后新形成的主動隔振系統(tǒng)與原始被動隔振系統(tǒng)相比，系統(tǒng)的阻尼和固有頻率之間的關(guān)系變?yōu)?/p>

(21)

(22)

式中：ωn為原被動隔振系統(tǒng)的固有頻率；ε為隔振系統(tǒng)的阻尼比；ωc為采用PIF反饋控制后的主動隔振系統(tǒng)的固有頻率。

根據(jù)式(21)和式(22)可知，采用PIF反饋控制后的主動減振系統(tǒng)的固有頻率取決于比例增益補償器Γ，阻尼則依賴于積分增益補償器Ψ。因此，隔振系統(tǒng)的閉環(huán)剛度系統(tǒng)的閉環(huán)剛度與比例增益成反比、閉環(huán)阻尼與積分增益成正比。反饋回路中采用的力傳感器加PI控制器，構(gòu)成的PIF反饋控制，等同于增加系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和營造出天棚阻尼的效果。因此，PIF反饋不僅可以保證固有頻率處的共振峰峰值衰減和高頻的高衰減率，而且還可以改變系統(tǒng)的固有頻率。

4 基于天棚阻尼的PIF反饋控制仿真分析

根據(jù)圖8所示的單自由度PIF反饋控制的原理簡圖，通過雅庫比矩陣計算將單自由度問題轉(zhuǎn)換成整個Stewart平臺的多自由度問題后進行仿真分析。一個1.7 kg的負載質(zhì)量塊被添加到Stewart平臺的上端，下端放置一個1.1 kg的基礎(chǔ)質(zhì)量塊，構(gòu)成一個多自由度系統(tǒng)的負載平臺與基礎(chǔ)平臺。減振系統(tǒng)在Z方向上的等效剛度為9.79×104N/m。此時，系統(tǒng)的固有頻率為36.8 Hz，系統(tǒng)的阻尼經(jīng)過大致計算約為69 N·s/m，其他方向上的值也相同。將采用PIF反饋控制的單自由度系統(tǒng)在開環(huán)和不同參數(shù)的閉環(huán)情況，在MATLAB中進行傳遞率曲線仿真對比分析，采用不同控制參數(shù)的PIF反饋控制的傳遞率曲線和采用不同控制參數(shù)的PIF反饋控制的時域圖分別如圖10和圖11所示。將圖10和圖11中所采用的仿真參數(shù)及仿真結(jié)果數(shù)值列舉在表1中。

表1 PIF反饋控制的仿真參數(shù)及仿真結(jié)果

從圖10可以看出，隨著不同反饋增益系數(shù)Γ和Ψ的增大，主動控制效果越明顯，固有頻率下降越明顯，從36.8 Hz降低至15.9 Hz，共振峰幅值衰減越有效果，從16.1 dB降低至4.91 dB。同樣從圖中也可以看出，隨著反饋增益系數(shù)Γ和Ψ的增大，負載平臺的時域信號也得到不斷的衰減，從±0.6g降低至±0.07g，振動衰減達88%。

圖10 不同控制參數(shù)的PIF反饋控制傳遞率曲線對比圖Fig.10 Comparison of transfer rate curve of PIF feedback control with different control parameters

圖11 不同控制參數(shù)的PIF反饋控制時域?qū)Ρ惹€圖Fig.11 Comparison curve of PIF feedback control with different control parameters in time-domain

5 結(jié) 論

1) 本文提出了一種基于Stewart構(gòu)型的多自由度主被動復(fù)合減振器方案，確定了減振器的構(gòu)型及主被動減振元件組成，大大降低了此結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度。

2) 根據(jù)減振器高靜-低動特性的需求，確定了減振器的關(guān)鍵原件膜片彈簧的工作原理，確定了膜片彈簧的構(gòu)型，建立了膜片彈簧的剛度模型。

3)為了解決被動減振低高頻矛盾問題以及共振峰問題，提出了一種基于天棚阻尼的PIF反饋控制算法。對所提出的控制算法進行了仿真驗證，結(jié)果表明在該算法控制下的減振器不僅固有頻率更低，共振峰問題也得到了很好地解決，同時高頻處的衰減率也得到維持。