敬彤，臧朝平,*，張濤，Yevgen Pavlovich PETROV

1. 南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院，南京 210016

2. 中國航空發(fā)動機集團有限公司 中國燃氣渦輪研究院，成都 610500

3. 英國薩塞克斯大學(xué)，倫敦 BN1 9RH

葉盤結(jié)構(gòu)，在工作時受到復(fù)雜的多諧波激勵，具有密集的共振頻譜，易產(chǎn)生高周疲勞而損傷[1-2]。眾所周知，葉片失諧會導(dǎo)致葉盤結(jié)構(gòu)的幅值放大效應(yīng)，即失諧葉盤的強迫振動幅值高于其諧調(diào)狀態(tài)[3]。在早期，Slater等[4]對失諧葉盤強迫振動問題做了詳細介紹。其后，Krack等[5]用諧波平衡法計算了失諧葉盤在周期、穩(wěn)態(tài)激勵下強迫振動和自激振動。段勇亮等[6]提出了一種失諧葉盤減縮建模及動力響應(yīng)預(yù)測方法，可以高效精確地預(yù)測失諧葉盤在諧波激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。然而，大量的發(fā)動機試車數(shù)據(jù)分析指出，在發(fā)動機的啟動和停車過程中，渦輪葉盤亦表現(xiàn)出較為劇烈的振動問題。因此，在空間諧波成分復(fù)雜且具有不確定性特征的發(fā)動機階次激勵，以及變轉(zhuǎn)速服役條件所致時變激勵條件下，真實渦輪葉盤結(jié)構(gòu)的動力學(xué)設(shè)計和優(yōu)化，面臨著巨大的挑戰(zhàn)。

Dresig和Fidlin[7]首次通過無阻尼單自由度(SDOF)系統(tǒng)分析了具有時變頻率成分的復(fù)雜激勵作用下的瞬態(tài)振動響應(yīng)預(yù)測問題。Markert和Seidler[8]利用Faddeeva函數(shù)得到了SDOF系統(tǒng)的瞬態(tài)振動響應(yīng)解析解。其后，瞬態(tài)響應(yīng)分析方法逐漸拓展應(yīng)用于多自由度葉盤系統(tǒng)。此外，Ayers等[9]提出了一種利用模態(tài)振動方程的數(shù)值積分來預(yù)測高加速度下葉盤瞬態(tài)振動響應(yīng)的方法。Yasutomo[10]采用模態(tài)疊加法對葉盤等效彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的運動方程進行數(shù)值積分求解，對經(jīng)過共振區(qū)的失諧葉盤進行了瞬態(tài)振動分析。Hartung和Hackenberg[11-12]通過數(shù)值仿真預(yù)測了不同行波掃掠速率和阻尼水平下單葉片瞬態(tài)振動響應(yīng)幅值，并通過實驗驗證了數(shù)值仿真結(jié)果的正確性。Bonhage等[13-14]提出了一種失諧葉盤瞬態(tài)振動響應(yīng)的半解析求解方法。數(shù)值仿真和實驗結(jié)果表明，失諧葉盤瞬態(tài)振動幅值放大因子可能超過穩(wěn)態(tài)振動失諧幅值放大因子。Siewert和Stüer[15]基于時間積分法，將發(fā)動機轉(zhuǎn)速變化的離心力的影響通過添加幾何剛化矩陣和旋轉(zhuǎn)柔度矩陣實現(xiàn)，對葉片的瞬態(tài)強迫響應(yīng)進行了詳細分析，比較了失諧葉盤的瞬態(tài)振動響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)。

渦輪葉盤結(jié)構(gòu)瞬態(tài)強迫響應(yīng)首先要考慮葉盤結(jié)構(gòu)的氣動載荷的確定，發(fā)動機上游導(dǎo)向器葉片或支板的尾流或下游的勢流擾動會引起高階次激勵[16-18](High Engine Order excitation, HEO)，這種激勵通常會激發(fā)葉盤結(jié)構(gòu)的高節(jié)徑模態(tài)。高階次激勵的主要諧波成分一般可以根據(jù)葉盤結(jié)構(gòu)前一級靜子葉片數(shù)目來確定，其實際激發(fā)的葉盤耦合振動模態(tài)與動/靜葉柵中的葉片數(shù)有關(guān)。而由航空發(fā)動機內(nèi)部結(jié)構(gòu)流動對稱性的損失會引發(fā)低階次激勵[19-21](Low Engine Order excitation, LEO)，這在高壓渦輪和低壓渦輪中尤為常見。例如，燃燒器出口流場堵塞，燃燒室出口溫度不均勻變化以及渦輪導(dǎo)向器葉片喉道寬度變化等均可能誘發(fā)形成低階次激勵。低階次激勵的主要特征是變化性和不確定性，這給實驗測試帶來了巨大困難，這也導(dǎo)致低階次激勵的主要空間諧波成分難以確定。而實際旋轉(zhuǎn)渦輪葉盤所受氣動激勵是由高階次激勵和低階次激勵組合而成的。多級渦輪上下游導(dǎo)向器產(chǎn)生的高階次激勵，疊加上具有不確定性本質(zhì)特征的低階次激勵，使得準(zhǔn)確預(yù)估渦輪葉盤結(jié)構(gòu)在復(fù)雜激勵下的動態(tài)響應(yīng)變得更為困難。

除了氣動載荷空間分布的復(fù)雜性外，氣動載荷隨時間變化的復(fù)雜性也是不可避免的。在航空發(fā)動機啟動和停車的過程中，隨著轉(zhuǎn)速升高或降低，旋轉(zhuǎn)葉盤結(jié)構(gòu)將承受加速/減速型行波激勵，其激勵頻率將隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化。加速/減速型行波激勵頻率的時變特性取決于發(fā)動機的轉(zhuǎn)速控制。這種瞬態(tài)激勵在旋轉(zhuǎn)渦輪葉盤結(jié)構(gòu)的服役過程中十分常見，但目前仍缺少實際工況下加速/減速型行波激勵的實驗測試或數(shù)值仿真數(shù)據(jù)。

本文提出了在實際激勵載荷下預(yù)測失諧葉盤高保真有限元模型位移響應(yīng)的瞬態(tài)振動分析方法。首先，基于傳遞函數(shù)的自由度減縮方法[1]，建立了失諧葉盤結(jié)構(gòu)和諧調(diào)葉盤結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，并僅選取少量“主節(jié)點”進行分析計算，大幅減少了其他從屬自由度的計算。其次，考慮復(fù)雜的空間諧波成分和變轉(zhuǎn)速下的氣動負載，用Tyler-Sofrin激勵模型[22-23]來表示包含HEO和LEO的多諧波激勵，用3次樣條插值的方法來表示各諧波激勵頻率和幅值隨葉盤結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)速的變化函數(shù)，同時考慮轉(zhuǎn)速變化對葉片的固有頻率和模態(tài)特性的影響。最后，通過推導(dǎo)任意時變激勵下失諧葉盤瞬態(tài)響應(yīng)的解析表達式，以計算失諧葉盤的瞬態(tài)強迫響應(yīng)。以具有170萬自由度以上的渦輪葉盤有限元模型為例，進行了分析驗證，比較了單諧激勵和復(fù)雜激勵下的瞬態(tài)響應(yīng)。并結(jié)合Campbell圖對葉盤共振的轉(zhuǎn)速區(qū)間和引起共振的激勵階次成分進行分析，研究了不同阻尼條件下，旋轉(zhuǎn)加速度對失諧葉盤共振響應(yīng)幅值和失諧幅值放大因子的影響。

1 瞬態(tài)響應(yīng)分析方法

復(fù)雜時變激勵下失諧葉盤瞬態(tài)強迫響應(yīng)的高效計算分析，涉及到失諧葉盤的減縮建模、葉片表面復(fù)雜時變激勵的描述、具有不確定性的轉(zhuǎn)速變化歷史的數(shù)學(xué)函數(shù)表達、隨轉(zhuǎn)速變化的固有頻率和振型的描述及瞬態(tài)強迫響應(yīng)的解析表達式等多方面下文將分別探討。

1.1 失諧葉盤模型減縮方法

受激振力作用的葉盤結(jié)構(gòu)的運動方程可以寫成一般形式:

(1)

式中:K=K0+δK,C=C0+δC和M=M0+δM分別是失諧葉盤的剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣；它們分別被表示成一個諧調(diào)矩陣(如K0)與一個失諧攝動矩陣(如δK)疊加而成。u(t)是隨時間變化的葉盤節(jié)點位移離散向量:

u(t)=[u1(t),u2(t), …,uN(t)]T

(2)

其中：N為葉盤結(jié)構(gòu)節(jié)點總數(shù)。外激勵矩陣F(t)可以表示為

F(t)=[f1(t),f2(t), …,fN(t)]T

(3)

其中fj(t) (j=1,2,…,N) 是每個節(jié)點上的激勵。物理位移則可以通過模態(tài)振型和模態(tài)位移的乘積獲得:

u(t)=Φy(t)

(4)

式中：Φ=[φ1,φ2,…,φNm]為模態(tài)振型；Nm是減縮模型的模態(tài)數(shù)量,y(t)=[y1(t),y2(t),…,yNm(t)]T是模態(tài)位移。

將式(4)代入式(1)并且左乘ΦT，利用振型的正交性和質(zhì)量歸一化，可以得到關(guān)于模態(tài)位移的解耦運動方程。因此，第m階模態(tài)自由度的受迫響應(yīng)為

(5)

式中：ξm和ωm是m階模態(tài)阻尼和固有頻率；gm(t)是模態(tài)力。

采用參考文獻[6]中提出的方法計算葉盤結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，基于循環(huán)對稱特性，利用調(diào)諧葉盤單個扇區(qū)的有限元模型計算整個調(diào)諧葉盤的模態(tài)特性，用于創(chuàng)建一個葉盤結(jié)構(gòu)的減縮模型。通過定義特殊的失諧矩陣，模擬實驗測量的葉片動力學(xué)特性，建立葉片失諧模型。根據(jù)這種方法，結(jié)構(gòu)的特征值問題為

(K0+δK)Φ=(M0+δM)ΦΛ

(6)

建立失諧葉盤模態(tài)振型Φ和協(xié)調(diào)葉盤模態(tài)振型Φ0的傳遞函數(shù)：

Φ=Φ0cΦ

(7)

式中:cΦ為傳遞系數(shù)矩陣，將式(7)代入式(6)并左乘ΦT重塑失諧結(jié)構(gòu)的特征值問題，得到：

(Λ0+ΦTδKΦ)cΦ=(I+ΦTδMΦ)cΦΛ

(8)

其中:Λ0為諧調(diào)葉片盤特征值的對角矩陣。求解這個方程可得到傳遞系數(shù)矩陣cΦ和失諧結(jié)構(gòu)的特征值Λ，之后利用式(7)可求出失諧葉盤的振型。相比于結(jié)構(gòu)的特征值問題式(6)，重塑后的特征值問題式(8)的求解顯然消耗更少的計算資源。對于瞬態(tài)響應(yīng)分析，可通過解析式(5)求解任意時變載荷下的模態(tài)位移響應(yīng)，再利用這些解和式(4)可計算出葉片任意節(jié)點處的物理位移響應(yīng)。

1.2 隨時間變化的模態(tài)力計算

外激勵的主要來源是葉盤結(jié)構(gòu)經(jīng)過非均勻流場產(chǎn)生的非定常氣動力，該激勵分布在葉片表面，其力的幅值及分布情況隨轉(zhuǎn)速的變化而變化。Tyler-Sofrin激勵模型[22-23]可以用來描述外激勵在柱坐標(biāo)系上的分布。隨時間變化的外激勵的一般表達式則可以寫成如下形式:

(9)

(10)

式中：F(t)為葉盤減縮模型中的所有節(jié)點力，通?？梢酝ㄟ^CFD計算每一時刻的節(jié)點力，并將每一時刻的節(jié)點力以式(9)的形式表示。然而，通過CFD計算每一時刻的節(jié)點力，所需的計算工作量巨大，這樣計算外激勵就需要花費大量時間。因此，本文對激振力進行了適當(dāng)簡化，假設(shè)葉片上的激振力分布隨轉(zhuǎn)速的變化而變化，外激勵沿周向以傅里葉級數(shù)展開:

(11)

式中：ω(t)為葉盤轉(zhuǎn)速,在感興趣的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，模態(tài)力可表示為

(12)

k=1,2,…,Nω-1

(13)

1.3 轉(zhuǎn)速變化歷史描述

轉(zhuǎn)速隨時間的變化歷史是由飛行員在飛行過程中對燃氣輪機的操作決定的。轉(zhuǎn)速在發(fā)動機加速過程中增大，在減速過程中減小。函數(shù)在實際情況下轉(zhuǎn)速變化是復(fù)雜的，假設(shè)它是已知的并使用分段線性函數(shù)近似，如圖1所示。圖中共NT個時間區(qū)間,在第k個時間區(qū)間[tk,tk+1]內(nèi),隨時間變化的轉(zhuǎn)速可以表示為

圖1 轉(zhuǎn)速隨時間變化的描述方法Fig.1 Approximation of rotation speed varying with time

ω=ω(tk)+αk(t-tk)

(14)

式中：ω(tk)為時間tk處的轉(zhuǎn)速；αk為旋轉(zhuǎn)角加速度，在時間區(qū)間[tk,tk+1]內(nèi)為常數(shù)。

描述葉盤轉(zhuǎn)動引起的激振力相位變化的函數(shù),θ(t),可用如下形式計算得到：

(15)

式中：θ(tk)為時間tk處的相位角，可以通過對t0到tk時間歷史上的轉(zhuǎn)速進行積分獲得：

(16)

1.4 隨轉(zhuǎn)速變化的模態(tài)特性

剛度矩陣包括描述離心力剛化效應(yīng)下的幾何剛化矩陣和由于離心力方向改變影響的旋轉(zhuǎn)軟化矩陣，它隨轉(zhuǎn)速的變化而變化。對于失諧葉盤的模態(tài)振型φm(ω)和固有頻率ωm(ω)也均與轉(zhuǎn)速有關(guān)。在關(guān)心的轉(zhuǎn)速變化范圍內(nèi)，通過計算若干轉(zhuǎn)速下葉片的振型和固有頻率，可以確定模態(tài)特性和轉(zhuǎn)速的關(guān)系。

參考轉(zhuǎn)速的個數(shù)取決于模態(tài)特性對轉(zhuǎn)速的靈敏度，通?？梢赃x取 2～8個轉(zhuǎn)速點，使用三次樣條多項式近似描述轉(zhuǎn)速與固有頻率、模態(tài)振型的函數(shù)關(guān)系，從而可計算出任何轉(zhuǎn)速和時間下的模態(tài)參數(shù):

ωm(ω(tk)<ω(t)≤ω(tk+1))=

(17)

φm(ω(tk)<ω(t)≤ω(tk+1))=

(18)

圖2 固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化的描述方法Fig.2 Approximation of natural frequencies varying with rotation speed

1.5 瞬態(tài)響應(yīng)的計算方法

運用初始條件，受激勵的單自由度系統(tǒng)的微分方程式(5)在每個模態(tài)坐標(biāo)下的位移和速度響應(yīng)可以通過杜哈梅積分(Duhamel’s integral)進行求解:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中幾個積分函數(shù)如下所示：

(25)

(26)

在積分求解時，假定在區(qū)間[tk,tk+1]內(nèi)的轉(zhuǎn)速隨時間線性變化，并利用式(15)進行計算。此外，在此極小的時間區(qū)間內(nèi)，假定固有頻率和模態(tài)振型為常數(shù)，并利用式(17)和式(18)給出的三次樣條多項式來計算。完成對系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和模態(tài)力相位的數(shù)學(xué)描述后，可以推導(dǎo)出積分式(25) 和式(26)的解析表達式:

(27)

(28)

(29)

(30)

其中的一些參數(shù)如下所示:

(31)

(32)

(33)

w(-iz±(tk)))

(34)

(35)

其中:w(x)為Faddeeva函數(shù)[24]，可以表示為

(36)

2 數(shù)值分析與討論

2.1 精度分析

為了評估本文方法的誤差和合理性，本文以成熟地用于求解非線性常微分方程的Runge-Kutta法作為參考，雖然該方法在計算大規(guī)模有限元模型時缺乏經(jīng)濟性，但在模型規(guī)模較小時具有精度高和易使用的優(yōu)點。因此，本文采用一個簡單的2自由度集總質(zhì)量模型來分析新方法的精度，如圖3所示。該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量(m1=4和m2=2)和阻尼(c1=0.4和c2=0.2)為不隨時間變化的常數(shù)，剛度隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化。彈簧k1隨轉(zhuǎn)速升高而減小，用來模擬結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)；彈簧k2隨轉(zhuǎn)速升高而減小，用來模擬結(jié)構(gòu)的應(yīng)力剛化效應(yīng)，如圖4所示。

圖3 2自由度的集總參數(shù)模型Fig.3 Lumped parameter model of 2 degrees of freedom

圖4 隨轉(zhuǎn)速變化的彈簧剛度Fig.4 Spring stiffness varying with rotational speed

首先，分別在轉(zhuǎn)速為0、2.5 r/s，5 r/s，7.5 r/s和10 r/s共計5處計算系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，利用三次樣條函數(shù)來描述轉(zhuǎn)速對頻率和振型的影響。其次，在質(zhì)量m2上施加頻率為2倍轉(zhuǎn)速的加速行波激勵。最后，使用本文提出的新方法求解2自由度系統(tǒng)的瞬態(tài)位移響應(yīng)，并與相同外激勵下Runge-Kutta法計算的瞬態(tài)響應(yīng)進行對比，如圖5所示。局部放大觀察發(fā)現(xiàn)，新方法的響應(yīng)計算結(jié)果與Runge-Kutta法的計算結(jié)果基本相同。它們之間的相對誤差，最大誤差不超過0.14%，如圖6所示。

圖5 兩種方法下的瞬態(tài)響應(yīng)Fig.5 Transient responses in both methods

圖6 兩種方法下瞬態(tài)響應(yīng)的相對誤差Fig.6 Relative error of transient responses in both methods

在新方法中使用三次樣條近似是誤差的主要來源，尤其是為了減少模態(tài)分析的次數(shù)在較大的轉(zhuǎn)速區(qū)間只使用5個轉(zhuǎn)速點的模態(tài)參數(shù)來擬合時變的模態(tài)參數(shù)。取點不足導(dǎo)致較大誤差，采用更多的點來構(gòu)建三次樣條函數(shù)可以提高該方法的精度。計算不同插值點數(shù)目下新方法與Runge-Kutta法的相對誤差，如圖7所示。結(jié)果表明，隨著插值點數(shù)目從5個增加到2 000個，響應(yīng)計算誤差從0.14%減小至10-6%。因此，可以根據(jù)使用者對精度和經(jīng)濟性的需求來選擇插值點的數(shù)目。

圖7 相對誤差隨插值點數(shù)目的變化Fig.7 Relative error varying with purpose of interpolation points

2.2 渦輪葉盤

本文的計算模型為有86個葉片的某渦輪葉盤，其有限元模型如圖8所示，圖8(a)為葉盤整體模型，圖8(b)為單個扇區(qū)模型。以10節(jié)點187單元劃分網(wǎng)格，單個葉片共56 982個節(jié)點、31 062個單元。葉盤材料彈性模量為210 GPa，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.3。在數(shù)值分析中，假設(shè)葉片根部與盤之間固支連接，失諧葉盤的結(jié)構(gòu)和氣動能量耗散效應(yīng)使用模態(tài)阻尼比來表征，模態(tài)阻尼比假設(shè)默認為0.001，如果使用其他阻尼因子值(例如0.003和0.01)，則在文中指出。

圖8 渦輪葉盤Fig.8 Turbine bladed disk analysed

首先，基于諧調(diào)葉盤的循環(huán)對稱特性，通過單個扇區(qū)的有限元模型得到諧調(diào)葉盤的固有頻率和相對應(yīng)的模態(tài)振型，諧調(diào)葉盤的固有頻率與節(jié)徑的關(guān)系如圖9所示?？紤]葉盤不同節(jié)徑下的前10階固有模態(tài)，葉盤的節(jié)徑從0變化到43，計算了葉片前860個固有頻率和振型，并用于瞬態(tài)力響應(yīng)分析。根據(jù)模態(tài)特性與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，對均勻分布在0～200 r/s頻率范圍內(nèi)的5種轉(zhuǎn)速進行模態(tài)分析。為了不顯著增加計算消耗，著重計算葉片尖端的瞬態(tài)位移。

圖9 調(diào)諧葉盤的固有頻率Fig.9 Natural frequencies of tuned bladed disk

其次，將分布在葉片表面的質(zhì)量附加到葉片上，使單個葉片一階固有頻率在±5%范圍內(nèi)發(fā)生偏移，從而模擬葉片的失諧。用于模擬葉片表面的失諧質(zhì)量節(jié)點均勻分布在葉片表面的所有節(jié)點上。失諧排布采用隨機形式，使葉盤所有葉片發(fā)生不同程度的頻率偏移，如圖10所示。

圖10 隨機產(chǎn)生的葉片失諧排布形式Fig.10 Randomly generated blade mistuning pattern

2.3 復(fù)雜激勵

葉盤結(jié)構(gòu)葉片上真實且復(fù)雜的非定常氣動載荷的分布，采用參考文獻[21]中的氣體流動計算數(shù)據(jù)進行模擬，為了方便描述葉片表面氣動載荷沿葉型分布的函數(shù)，根據(jù)不同弦長和葉高上的位置建立坐標(biāo)系，如圖11所示。

圖11 葉片表面不同弦長和葉高上的位置Fig.11 Positions on different chords and spans of blade surface

不同葉高處的表面壓力幅值沿葉型弦長方向變化實例如圖12所示。3個不同葉高的例子在圖中展示，它們分別是30%葉高處，50%葉高處和80%葉高處。用三次樣條擬合來描述這種壓力幅值的變化。

圖12 葉片表面不同弦長和葉高上的非定常激振力分布Fig.12 Unsteady excitation force distribution on different chords and spans of blade surface

在不同的葉高位于弦長20%處選取的3個節(jié)點。葉盤旋轉(zhuǎn)一周，3個節(jié)點上隨所承受的氣動載荷如圖13(a)所示。不同節(jié)點上的氣動載荷都有所不同，這些載荷的諧波組成如圖13(b)所示。在葉盤前方靜子葉柵數(shù)量為24時，高階次激勵(HEO)包含：24EO、48EO、72EO、96EO、120 EO、144 EO、168 EO和192 EO等，分別是是轉(zhuǎn)子葉盤前方靜子葉片擾動產(chǎn)生的1～8階諧波。低階次激勵(LEO)包含：2EO、4EO、6EO、8EO和10EO，它們通常是由一些不確定因素產(chǎn)生?；赥yler-Sofrin模型，將葉片表面上每一個節(jié)點的激勵都表示為多個幅值隨空間坐標(biāo)和時間變化的加速/減速行波激勵的線性疊加。之后，將節(jié)點力轉(zhuǎn)化為模態(tài)力施加在減縮模型上進行計算。

圖13 分葉片表面單節(jié)點(1,2,3)非定常激勵力Fig.13 Unsteady excitation force on one node (1, 2, 3) of blade surface

2.4 共振轉(zhuǎn)速的確定

考慮轉(zhuǎn)速對固有頻率的影響，共振頻率是根據(jù)Campbell圖確定的。圖14(a)給出了0到200 r/s 的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，24節(jié)徑振型模態(tài)族的固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化的Campbell圖。本文重點研究45 r/s到70 r/s轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的共振點，同時此范圍將被用于瞬態(tài)響應(yīng)分析。可以看到在轉(zhuǎn)速范圍45～70 r/s內(nèi)有一個共振點由24EO激發(fā)，該模態(tài)為24節(jié)徑模態(tài)族的第1階模態(tài)。圖14(b)展示了38節(jié)徑模態(tài)族的固有頻率，給定的激勵階次中只有48EO能激起該節(jié)徑模態(tài)，如圖所示在轉(zhuǎn)速范圍45～70 r/s內(nèi)一個共振點被激發(fā)(第4階模態(tài))。圖14 (c)展示的則是10節(jié)徑振型模態(tài)族的固有頻率，給定的激勵階次中只有10EO和96EO能激起該節(jié)徑模態(tài)，其中96EO激發(fā)一個共振點(第4階模態(tài))，而10EO沒有激發(fā)共振。

圖14 轉(zhuǎn)速對固有頻率和共振的影響Fig.14 Effect of rotation speed on natural frequencies and resonances

2.5 簡諧和復(fù)雜激勵下的瞬態(tài)強迫響應(yīng)

各諧波單獨激勵和整體復(fù)雜激勵下的諧調(diào)葉盤瞬態(tài)響應(yīng)如圖15 (a)所示。此時阻尼比為0.001，旋轉(zhuǎn)加速度為1 r/s2。通過調(diào)諧葉片圓盤

圖15 旋轉(zhuǎn)加速度1 r/s2下的瞬態(tài)響應(yīng)Fig.15 Transient responses under rotation speed acceleration 1 r/s2

穩(wěn)態(tài)強迫響應(yīng)最大振幅值，對葉盤響應(yīng)振幅進行歸一化。由24EO激發(fā)的第1模態(tài)的共振峰達到最高響應(yīng)水平，其歸一化幅值約為0.6，遠遠高于由48EO激發(fā)的第2模態(tài)(0.08)和96EO激起的第4模態(tài)(0.02)。對于相同激勵條件下的失諧如圖15 (b)所示，由24EO激發(fā)的第1模態(tài)的共振峰達到最高響應(yīng)水平，其歸一化幅值約為1，遠遠高于由48EO激發(fā)的第2模態(tài)(0.1)和96EO激起的第4模態(tài)(0.03)。

轉(zhuǎn)速加速度10 r/s2時的瞬態(tài)響應(yīng)如圖16 (a)所示。由24EO激發(fā)的第1模態(tài)的共振峰達到最高響應(yīng)水平，其歸一化幅值約為0.3，遠遠高于由48EO激發(fā)的第2模態(tài)(0.03)和96EO激起的第4模態(tài)(0.01)。對于相同激勵條件下的失諧如圖16 (b)所示，由24EO激發(fā)的第1模態(tài)的共振峰達到最高響應(yīng)水平，其歸一化幅值約為0.4，遠遠高于由48EO激發(fā)的第2模態(tài)(0.06)和96EO激起的第4模態(tài)(0.02)。

圖16 旋轉(zhuǎn)加速度10 r/s2下的瞬態(tài)響應(yīng)Fig.16 Transient responses under rotation speed acceleration 10 r/s2

2.6 阻尼和旋轉(zhuǎn)加速度對瞬態(tài)強迫響應(yīng)的影響

考慮阻尼比值分別為0.001、0.003和0.01，旋轉(zhuǎn)加速度分別為1 r/s2和10 r/s2時，對葉盤結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)進行預(yù)測，并與穩(wěn)態(tài)振動情況下的響應(yīng)進行了比較。當(dāng)阻尼比取0.001時，諧調(diào)葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的對比如圖17(a)所示。諧調(diào)葉盤的穩(wěn)態(tài)振動的歸一化振幅為1，對葉盤響應(yīng)振幅歸一化后可以看出，隨著旋轉(zhuǎn)加速度增加到10 r/s2，歸一化瞬態(tài)振幅明顯減小為0.25。最大瞬態(tài)響應(yīng)所在的轉(zhuǎn)速相較于穩(wěn)態(tài)最大響應(yīng)從53 r/s 偏移至54 r/s。失諧葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖17(b)所示。當(dāng)阻尼比取0.003時，諧調(diào)葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的對比如圖18(a)所示。隨著旋轉(zhuǎn)加速度增加到10 r/s2，歸一化瞬態(tài)振幅相對于穩(wěn)態(tài)振幅減小為0.6。失諧葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖18(b)所示。當(dāng)阻尼比提高到0.01，諧調(diào)葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖19(a)所示。隨著旋轉(zhuǎn)加速度增加到10 r/s2，歸一化瞬態(tài)振幅僅僅減小10%。失諧葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖19(b)所示。

圖17 阻尼比0.001下的歸一化振幅Fig.17 Normalized amplitude with damping ratio of 0.001

圖18 阻尼比0.003下歸一化振幅Fig.18 Normalized amplitude with damping ratio of 0.003

圖19 阻尼比0.01下歸一化振幅Fig.19 Normalized amplitude with damping ratio of 0.01

圖20比較了不同阻尼下，大范圍旋轉(zhuǎn)加速度對瞬態(tài)響應(yīng)幅值的影響?？梢钥吹疆?dāng)旋轉(zhuǎn)加速度小于某一數(shù)值時，瞬態(tài)響應(yīng)接近于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，超過這一數(shù)值到更高的加速度過程中，歸一化振幅則顯著減小。阻尼比為0.001時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)加速度從0.03 r/s2增加到10 r/s2過程中，失諧葉盤的歸一化振幅從1.27減小到0.4，降低了68%左右。

圖20 在轉(zhuǎn)速范圍為46 r/s到60 r/s的高轉(zhuǎn)速下歸一化最大振幅Fig.20 Normalized maximum amplitudes in high rotation speed in rotation speed range from 46 r/s to 60 r/s

阻尼比為0.003時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)加速度從0.3 r/s2增加到10 r/s2過程中，失諧葉盤的歸一化振幅從1.4減小到0.9。阻尼比為0.01時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)加速度從3 r/s2增加到10 r/s2過程中，失諧葉盤的歸一化振幅僅從1.6減小到1.5。在低阻尼的情況下，歸一化振幅隨轉(zhuǎn)速加速度的增大而減小更為顯著。

失諧振幅放大因子，即失諧葉盤與諧調(diào)葉盤的最大振幅的比值，隨旋轉(zhuǎn)加速度的變化如圖21所示。引入瞬態(tài)振幅放大因子與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析中常使用的放大因子做類比，用于研究不同瞬態(tài)條件對失諧葉盤振動特性的影響。可以觀察到，葉盤的失諧幅值放大因子在瞬態(tài)條件下大于穩(wěn)態(tài)條件下。在阻尼比為0.001時，瞬態(tài)振幅放大因子最大值達到1.67，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1.28，增幅超過30%。阻尼比增大為0.003時，瞬態(tài)振幅放大因子最大值達到1.58，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1.41，增幅超過12%。阻尼比最大取0.01時，瞬態(tài)振幅放大因子最大值達到1.65，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1.60，增幅僅為3%。

圖21 轉(zhuǎn)速范圍為46 r/s～60 r/s的瞬態(tài)振幅放大系數(shù)Fig.21 Transient amplitude amplification factor in rotation speed range from 46 r/s to 60 r/s

3 結(jié) 論

本文提出了一種高效的失諧葉盤瞬態(tài)強迫響應(yīng)分析方法。針對實際工業(yè)尺寸的葉盤高保真有限元模型，通過葉盤的模型減縮，極大地減少了自由度數(shù)目，同時可精確地描述失諧葉盤結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性；采用Tyler-Sofrin激勵模型和三次樣條近似方法，用簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)描述了葉盤變轉(zhuǎn)速工況條件下分布在葉片表面節(jié)點上的氣動激勵和模態(tài)特性；將失諧葉盤位移響應(yīng)在模態(tài)坐標(biāo)下的展開，推導(dǎo)出任意時變激勵下失諧葉盤的瞬態(tài)強迫響應(yīng)解析式，從而，避免了耗時的積分運算，大幅提高了響應(yīng)預(yù)測的效率。

以某86個葉片的渦輪葉盤為例，通過共振分析確定了葉盤共振的轉(zhuǎn)速區(qū)間和引起共振的激勵階次成分。分別計算了葉盤加速旋轉(zhuǎn)時，單諧波激勵和復(fù)雜多諧波激勵下諧調(diào)和失諧渦輪葉盤的瞬態(tài)響應(yīng)。對比分析發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜激勵中引起共振峰的激勵階次成分與共振分析的結(jié)果一致。

計算了不同阻尼條件下的葉盤結(jié)構(gòu)在不同旋轉(zhuǎn)加速度下的瞬態(tài)強迫響應(yīng)。分析了穩(wěn)態(tài)強迫響應(yīng)和不同旋轉(zhuǎn)加速度下失諧葉盤響應(yīng)幅值放大因子的變化。結(jié)果表明，相同阻尼條件下，失諧葉盤的瞬態(tài)強迫響應(yīng)幅值隨旋轉(zhuǎn)加速度升高而降低最多可達68%，但同時其失諧幅值放大因子隨旋轉(zhuǎn)加速度升高而增加，增幅超過30%。