謝晨月，王建春,*，萬(wàn)敏平，陳十一

1. 南方科技大學(xué) 工學(xué)院 力學(xué)與航空航天工程系， 深圳 518055

2. 南方科技大學(xué) 粵港澳數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)下的流體力學(xué)與工程應(yīng)用聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室， 深圳 518055

大渦模擬方法適用于研究復(fù)雜湍流問(wèn)題，比如航空航天、大氣、海洋、能源、天體物理等領(lǐng)域中遇到的湍流問(wèn)題[1-7]。湍流大尺度結(jié)構(gòu)主導(dǎo)著動(dòng)量、能量和熱量的傳輸。受限于目前計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，無(wú)法使用直接數(shù)值模擬(DNS)方法獲得高雷諾數(shù)湍流在各個(gè)尺度上的所有流場(chǎng)信息。大渦模擬方法主要通過(guò)使用較粗的網(wǎng)格求解湍流中的大尺度結(jié)構(gòu)，同時(shí)構(gòu)造近似的亞格子(SGS)模型表達(dá)小尺度結(jié)構(gòu)對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)的影響[8-10]。在可壓縮湍流中，熱力學(xué)量和速度之間相互耦合，旋渦、聲波、膨脹波以及激波之間存在著非線性作用[7-8,11-17]。可壓縮湍流的速度脈動(dòng)和溫度脈動(dòng)存在多尺度級(jí)串現(xiàn)象，相關(guān)研究有助于發(fā)展可壓縮湍流的亞格子模型[16-17]?？蓧嚎s湍流的大渦模擬需要封閉動(dòng)量方程和能量方程中出現(xiàn)的亞格子項(xiàng)，包括亞格子應(yīng)力和亞格子熱通量。國(guó)家數(shù)值風(fēng)洞(NNW)工程自主研發(fā)了功能先進(jìn)、種類(lèi)齊全的國(guó)家空氣動(dòng)力數(shù)值模擬平臺(tái)。在國(guó)家數(shù)值風(fēng)洞工程框架下，發(fā)展適用于高雷諾數(shù)的高精度和高穩(wěn)定性的可壓縮湍流亞格子模型對(duì)航空、航天、能源等領(lǐng)域中的重大工程問(wèn)題至關(guān)重要[18]。

濾波寬度Δ是建立亞格子模型的核心參數(shù)。特征尺度接近濾波寬度Δ的湍流結(jié)構(gòu)對(duì)重構(gòu)亞格子不封閉項(xiàng)起著重要的作用，比如變分多尺度Smagorinsky模型考慮到了這部分湍流結(jié)構(gòu)的影響[19]。從湍流多尺度級(jí)串過(guò)程的空間局部性分析得知，特征尺度在Δ/2～2Δ之間的湍流結(jié)構(gòu)對(duì)濾波寬度為Δ的亞格子動(dòng)能流量起主要作用[20]，這給發(fā)展高精度亞格子模型提供了理論依據(jù)。

近年來(lái)，機(jī)器學(xué)習(xí)方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用在湍流建模問(wèn)題中，包括雷諾平均方法(RANS)和大渦模擬方法兩大類(lèi)[21-52]，比如：嵌入不變性特征的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RANS模型[21]、基于貝葉斯框架含物理約束的RANS模型[22]、基于全連接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的亞格子模型[25]、基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的反卷積亞格子模型[28,30,32]、基于循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Mori-Zwanzig公式的時(shí)空亞格子模型[37]、基于不同空間位置上的流動(dòng)結(jié)構(gòu)的各類(lèi)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)亞格子模型[28,35,38-46]、以及基于局部坐標(biāo)系的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)雷諾平均模型[47]等。

最近，針對(duì)不可壓縮湍流和弱可壓縮湍流的大渦模擬，一類(lèi)基于湍流的多尺度空間結(jié)構(gòu)特性的高精度空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(SANN)被提出[41-43]。通過(guò)使用直接數(shù)值模擬的湍流數(shù)據(jù)訓(xùn)練之后，SANN模型能夠精確地表達(dá)特征尺度在Δ/2～2Δ范圍內(nèi)的湍流結(jié)構(gòu)和濾波寬度為Δ的各個(gè)亞格子項(xiàng)之間的高維度、非線性的映射關(guān)系，克服了傳統(tǒng)建模方法在高維數(shù)據(jù)擬合方面的局限性。SANN模型和文獻(xiàn)中已有的其他亞格子模型的一個(gè)重要區(qū)別是：該模型精確地表達(dá)了尺度在Δ/2～Δ范圍內(nèi)的湍流結(jié)構(gòu)的作用，而之前的建模方法主要考慮尺度在Δ之上的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。由于尺度在Δ/2～Δ范圍內(nèi)的湍流結(jié)構(gòu)對(duì)濾波寬度為Δ的亞格子動(dòng)能流量起重要作用[20]，傳統(tǒng)模型無(wú)法精確地表示這一作用，因此在先驗(yàn)分析中的相對(duì)誤差會(huì)很大。SANN模型彌補(bǔ)了這一缺點(diǎn)，從而能夠在先驗(yàn)分析的精度上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)傳統(tǒng)的大渦模擬模型[41-43]。另一方面，傳統(tǒng)大渦模擬采用的網(wǎng)格尺度一般等于濾波尺度Δ，從而一直存在數(shù)值誤差和亞格子模型誤差之間相互影響的問(wèn)題。在先驗(yàn)分析中具有很高精度的亞格子模型(例如：梯度模型)，由于數(shù)值誤差的干擾，會(huì)有不穩(wěn)定的現(xiàn)象，在實(shí)際大渦模擬中的計(jì)算結(jié)果誤差比較大，比不上強(qiáng)耗散亞格子模型(例如：Smagorinsky模型)。大渦模擬采用尺度為Δ/2的密網(wǎng)格，從而能夠有效地抑制數(shù)值誤差的影響，并體現(xiàn)出亞格子模型的高精度特性。傳統(tǒng)的強(qiáng)耗散亞格子模型由于在濾波尺度附近的耗散過(guò)大，超過(guò)了物理上的亞格子耗散，從而導(dǎo)致流場(chǎng)在小尺度上的動(dòng)能偏小，而在較大尺度上的動(dòng)能偏大，在流動(dòng)結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為旋渦結(jié)構(gòu)偏大，在統(tǒng)計(jì)特征上表現(xiàn)為能譜會(huì)有一定的傾斜。SANN模型克服了這個(gè)問(wèn)題，所預(yù)測(cè)的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)在各個(gè)尺度上都和濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果很接近，所得能譜在各個(gè)波數(shù)上都幾乎和濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果重合[41-43]。

在本文中，SANN模型被用來(lái)開(kāi)展強(qiáng)可壓縮湍流的大渦模擬研究。訓(xùn)練SANN模型使用的直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)是網(wǎng)格分辨率為1 0243的可壓縮均勻各向同性湍流[16-17]。SANN模型2個(gè)重要控制參數(shù)和湍流馬赫數(shù)對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響被系統(tǒng)地評(píng)估。通過(guò)先驗(yàn)和后驗(yàn)分析得到，SANN模型比動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型(DSM)、動(dòng)態(tài)混合模型(DMM)等傳統(tǒng)模型更精確，能更好地預(yù)測(cè)強(qiáng)可壓縮湍流的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。

1 控制方程和數(shù)值方法

(1)

(2)

(3)

可壓縮湍流的泰勒雷諾數(shù)Reλ和湍流馬赫數(shù)Mat分別定義為[11-12]

(4)

(5)

柯?tīng)柲缏宸虺叨圈呛头e分尺度LI分別定義為[11-12]

(6)

其中：ε=σijSij/(Reρ)為單位質(zhì)量的耗散率；E(k)為單位質(zhì)量的能譜，滿足E(k)dk=(urms)2/2。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2 可壓縮湍流的直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)

表1 網(wǎng)格規(guī)模為1 0243的可壓縮各向同性湍流直接數(shù)值模擬的參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量

本文采用盒式濾波器對(duì)物理量進(jìn)行濾波，從而獲得濾波后的物理量和亞格子應(yīng)力τij和亞格子熱通量Qj。一維的盒式濾波器定義為[16,56]

(14)

式中：濾波寬度Δ=nδx，本文采用的濾波寬度Δ=32δx。如圖1所示，E(k)為動(dòng)能能譜,濾波寬度位于慣性區(qū)，同時(shí)流場(chǎng)中有約10%的湍動(dòng)能被濾掉。

圖1 可壓縮湍流直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)的動(dòng)能能譜(菱形表示濾波寬度為Δ/δx=32)Fig.1 Kinetic energy spectrum from direct numerical simulations of compressible turbulence (diamond represents filter width Δ/δx=32)

3 空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(SANN)

圖2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of artificial neural network structure

(15)

輸出層的激活函數(shù)為線性函數(shù)σ(a)=a。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)定義為(XO-τij)2或(XO-Qj)2。通過(guò)反向傳播算法最小化損失函數(shù)[41-45]。

基于湍流能量傳輸?shù)亩喑叨瓤臻g特性，特征尺度接近濾波寬度Δ的湍流結(jié)構(gòu)對(duì)構(gòu)造亞格子模型起著重要的作用[19-20,41-45,62-66]，SANN模型構(gòu)建了濾波后的速度和溫度梯度與亞格子不封閉項(xiàng)之間的非線性關(guān)系[41-45]。SANN模型有2個(gè)重要的控制參數(shù)：輸入量的空間模板寬度Δs和濾波寬度Δ之比：Rs=Δs/Δ；濾波寬度Δ和空間模板的網(wǎng)格尺度Δg之比：Rg=Δ/Δg。SANN模型的輸入?yún)?shù)為

(16)

q1,q2,q3∈{1,2,…,RsRg}

(17)

(18)

本文的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集是從直接數(shù)值模擬的可壓縮湍流數(shù)據(jù)中提取的包含15×643個(gè)點(diǎn)的空間子集，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集分為2部分：70%數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集，30%數(shù)據(jù)為測(cè)試集。SANN(Rs,Rg)模型的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)Adam算法迭代優(yōu)化1 000次[67]，同時(shí)訓(xùn)練樣本集大小(Batch size)為1 000。SANN(Rs,Rg)模型的交叉驗(yàn)證可以參考文獻(xiàn)[41-45]。在本研究中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練采用GPU核心，4個(gè)并行GPU核心(NVIDIA Tesla K80 GPU)同時(shí)訓(xùn)練SANN(Rs,Rg)網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練1 000次需要的GPU時(shí)間與Rs和Rg的關(guān)系如表2所示，隨著Rs和Rg增加，輸入層神經(jīng)元數(shù)M增加，GPU計(jì)算時(shí)間相應(yīng)地增加。

表2 SANN模型在不同的Rs和Rg情況下輸入層參數(shù)個(gè)數(shù)M和訓(xùn)練1 000次需要的GPU時(shí)間

4 SANN模型的先驗(yàn)和后驗(yàn)分析

SANN模型應(yīng)用在不可壓縮湍流和弱可壓縮湍流的大渦模擬中的結(jié)果可參考文獻(xiàn)[41-45]。強(qiáng)可壓縮湍流場(chǎng)中出現(xiàn)更多的激波結(jié)構(gòu)，給大渦模擬計(jì)算帶來(lái)了挑戰(zhàn)。本文開(kāi)展SANN模型在強(qiáng)可壓縮湍流(Mat=0.6,0.8,1.0)中的先驗(yàn)分析和后驗(yàn)分析。在先驗(yàn)分析中，通過(guò)直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)計(jì)算的亞格子應(yīng)力和亞格子熱通量的相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差的變化反映了各類(lèi)參數(shù)Rs、Rg和Mat對(duì)SANN模型預(yù)測(cè)精度的影響。在后驗(yàn)測(cè)試中，通過(guò)和傳統(tǒng)的隱式大渦模擬(ILES)、動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型(DSM)、動(dòng)態(tài)混合模型(DMM)進(jìn)行比較， SANN模型能夠高精度地預(yù)測(cè)強(qiáng)可壓縮湍流的能譜、速度結(jié)構(gòu)函數(shù)、速度散度概率密度分布函數(shù)和瞬態(tài)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。

4.1 先驗(yàn)測(cè)試

SANN(Rs,Rg)模型預(yù)測(cè)的亞格子不封閉項(xiàng)Hmodel與真實(shí)亞格子不封閉項(xiàng)H的相關(guān)系數(shù)C(H)和相對(duì)誤差Er(H)分別為

C(H)=

(19)

(20)

3種傳統(tǒng)的亞格子模型分別為[68-71]

(21)

(22)

(23)

表3 SANN(2,1)模型在訓(xùn)練集和測(cè)試集上預(yù)測(cè)τ11,τ22,τ33,τ12,τ13,τ23,Q1,Q2,Q3的相關(guān)系數(shù)

表4 SANN(2,1)模型在訓(xùn)練集和測(cè)試集上預(yù)測(cè)τ11,τ22,τ33,τ12,τ13,τ23,Q1,Q2,Q3的相對(duì)誤差

表5 不同亞格子模型預(yù)測(cè)τ11的相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差(Mat=1.0，Rs=2, Rg=1)

表6 不同亞格子模型預(yù)測(cè)τ12的相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差(Mat=1.0, Rs=2, Rg=1)Table 6 Correlation coefficient and relative error of τ12 for different SGS models (Mat=1.0, Rs=2, Rg=1)

表7 不同亞格子模型預(yù)測(cè)Q1的相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差 (Mat=1.0, Rs=2, Rg=1)Table 7 Correlation coefficient and relative error of Q1 for different models (Mat=1.0, Rs=2, Rg=1)

圖3展示了在測(cè)試集上不同參數(shù)Rg和Mat對(duì)SANN(Rs,Rg)模型預(yù)測(cè)亞格子應(yīng)力分量τ11的影響，其中Rs=2。VG1梯度模型預(yù)測(cè)的相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.92，當(dāng)Rg≥1時(shí)，SANN模型預(yù)測(cè)的相關(guān)系數(shù)超過(guò)0.99同時(shí)相對(duì)誤差小于0.1。隨著Rg增加，SANN模型預(yù)測(cè)的亞格子不封閉項(xiàng)與濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果的相關(guān)系數(shù)增大，相對(duì)誤差減小。特別地，湍流馬赫數(shù)Mat對(duì)SANN(Rs,Rg)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果影響不大。

圖3 不同亞格子模型預(yù)測(cè)的不同Mat下τ11的相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差Fig.3 Correlation coefficient and relative error of τ11for different SGS models at different Mat

圖4 或?qū)Ζ?1的貢獻(xiàn)(Mat=1.0) to τ11 (Mat=1.0)

上述先驗(yàn)結(jié)果表明：在湍流馬赫數(shù)為Mat=0.6,0.8,1.0情況下的高可壓縮湍流中，相比傳統(tǒng)的亞格子模型(DSM，DMM，VG1，VG1m，AD4)，SANN(Rs,Rg)模型預(yù)測(cè)的亞格子應(yīng)力和亞格子熱通量更接近濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果：相關(guān)系數(shù)更高，相對(duì)誤差更小。

4.2 后驗(yàn)測(cè)試

動(dòng)態(tài)Smagorinsky模型使用了渦黏假設(shè)，能夠?qū)ν牧鞯膭?dòng)能產(chǎn)生耗散作用，在統(tǒng)計(jì)平均意義上和湍流能量從大尺度轉(zhuǎn)移到小尺度的物理級(jí)串過(guò)程類(lèi)似[1,8,56,72]。對(duì)于可壓縮湍流的大渦模擬，基于渦黏假設(shè)，亞格子應(yīng)力和亞格子熱通量分別近似為[41-45]

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

DMM由尺度相似項(xiàng)和渦黏耗散項(xiàng)組成[38,68-69,74]。對(duì)于可壓縮湍流的大渦模擬，DMM的基本形式為[41-45]

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

同理，亞格子熱通量Qj可以表述為

(34)

(35)

(36)

(37)

SANN(2,1)模型和傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)的動(dòng)能能譜和溫度譜ET(k)如圖5～圖6所示。亞格子模型預(yù)測(cè)的能譜誤差隨著波數(shù)增加而變大。對(duì)于不加任何亞格子模型的情況，即No-model模型或隱式大渦模擬(ILES)，由于耗散不足，所預(yù)測(cè)的能譜高于濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果(fDNS)；DSM和DMM模型在低波數(shù)k≤10的情況下出現(xiàn)能量聚集，同時(shí)在高波數(shù)耗散過(guò)大。SANN(2,1)模型預(yù)測(cè)的能譜更接近濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果(fDNS)，幾乎與fDNS的結(jié)果重合。

圖5 不同模型預(yù)測(cè)的動(dòng)能能譜(Reλ≈250)Fig.5 Kinetic energy spectrum predicted by different models (Reλ≈250)

圖6 不同模型預(yù)測(cè)的溫度譜 (Reλ≈250)Fig.6 Temperature spectrum predicted by different models (Reλ≈250)

圖7 Mat=1.0和Reλ≈250情況下的速度結(jié)構(gòu)函數(shù)Fig.7 Structure functions of velocity at Mat=1.0 and Reλ≈250

圖8 不同模型預(yù)測(cè)的歸一化速度散度的概率密度函數(shù)(Reλ≈250)Fig.8 PDFs of normalized velocity divergence predicted by different models (Reλ≈250)

此外，本文評(píng)估了不同亞格子模型預(yù)測(cè)瞬態(tài)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)。以濾波后的直接數(shù)值模擬流場(chǎng)的瞬態(tài)數(shù)據(jù)作為初始條件，使用DSM、DMM和SANN(2,1)模型開(kāi)展可壓縮湍流的大渦模擬。各類(lèi)大渦模擬模型所預(yù)測(cè)的歸一化速度散度云圖如圖9所示。不同模型均能預(yù)測(cè)出大尺度激波結(jié)構(gòu)，SANN(2,1)模型比DSM和DMM模型重構(gòu)出更多的小尺度結(jié)構(gòu)，更接近濾波后的直接數(shù)值模擬結(jié)果。綜上所述，SANN(2,1)模型可以高精度地預(yù)測(cè)不同湍流馬赫數(shù)情況下的強(qiáng)可壓縮湍流的統(tǒng)計(jì)特性和瞬態(tài)空間結(jié)構(gòu)，在預(yù)測(cè)效果上優(yōu)于傳統(tǒng)的DSM和DMM模型。

圖9 Mat=1.0和t/τ=3.21 (τ≡LI/urms為大渦翻轉(zhuǎn)時(shí)間) 情況下的歸一化速度散度云圖Fig.9 Contours of normalized velocity divergence at Mat=1.0 and t/τ=3.21 (τ≡LI/urms is large-eddy turnover time)

5 結(jié) 論

本文采用空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型SANN(Rs,Rg)對(duì)湍流馬赫數(shù)為0.6、0.8、1.0情況下的強(qiáng)可壓縮湍流開(kāi)展了大渦模擬研究，分析了不同的參數(shù)Rs、Rg和Mat對(duì)SANN(Rs,Rg)模型預(yù)測(cè)亞格子應(yīng)力和亞格子熱通量的影響，并在先驗(yàn)分析和后驗(yàn)分析中，測(cè)試了SANN(Rs,Rg)模型在強(qiáng)可壓縮湍流中重構(gòu)流場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和瞬態(tài)結(jié)構(gòu)的精確度，結(jié)果表明：

1) 與傳統(tǒng)的梯度模型VG1、待定系數(shù)的梯度模型VG1m以及近似反卷積模型AD4相比， 空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型SANN(Rs,Rg)在高湍流馬赫數(shù)情況下的先驗(yàn)預(yù)測(cè)精度更高，相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.995，相對(duì)誤差小于11%。SANN(Rs,Rg)能夠高精度地重構(gòu)出亞格子應(yīng)力、亞格子熱通量與濾波后速度梯度之間的高維非線性映射關(guān)系。

綜上所述，空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SANN)模型可以精確地重構(gòu)出強(qiáng)可壓縮湍流的亞格子應(yīng)力和亞格子熱通量，并在大渦模擬中能夠精確地預(yù)測(cè)湍流場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和空間結(jié)構(gòu)。空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的主要優(yōu)勢(shì)是充分利用了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立高維度、強(qiáng)非線性映射關(guān)系的能力，并充分體現(xiàn)了湍流的多尺度結(jié)構(gòu)對(duì)亞格子項(xiàng)的作用，因此具有非常高的精度，可以為發(fā)展其他大渦模擬模型提供精度上的參考標(biāo)準(zhǔn)。另一方面，空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)黑箱過(guò)程，雖然輸入物理量的選取保證了伽利略不變性，但該模型無(wú)法保證所預(yù)測(cè)的亞格子應(yīng)力滿足嚴(yán)格的對(duì)稱性和可實(shí)現(xiàn)性等條件。為了優(yōu)化人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，關(guān)于亞格子項(xiàng)的更多的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和先驗(yàn)知識(shí)將被引入到模型中，使得新的模型具備對(duì)稱性、可實(shí)現(xiàn)性和伽利略不變性等性質(zhì)[45]。為了進(jìn)一步發(fā)展高效率、高精度、適用范圍廣的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)亞格子模型，不僅需要進(jìn)一步研究人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的可解釋性，同時(shí)還需要將更多的湍流物理特性融入人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架，比如：湍流的統(tǒng)計(jì)特性與相干結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，渦結(jié)構(gòu)與激波結(jié)構(gòu)之間的相互作用，速度場(chǎng)與熱力學(xué)參數(shù)之間的非線性耦合以及亞格子不封閉項(xiàng)的時(shí)空特征等。

本文對(duì)湍流馬赫數(shù)分別為0.6、0.8、1.0的可壓縮湍流開(kāi)展了大渦模擬研究。此外，文獻(xiàn)[41-43]討論了空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在不可壓縮湍流和弱可壓縮湍流(湍流馬赫數(shù)為0.4)中的應(yīng)用。因此，這類(lèi)模型在不可壓縮湍流和湍流馬赫數(shù)1.0以下的可壓縮湍流中均具有很好的預(yù)測(cè)能力。這些結(jié)果表明空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有較為廣泛的適用范圍。另一方面，航空航天領(lǐng)域面臨的湍流問(wèn)題會(huì)涉及各類(lèi)復(fù)雜的條件，包括：復(fù)雜的流動(dòng)結(jié)構(gòu)、復(fù)雜的幾何外形、湍流燃燒過(guò)程、高溫氣體效應(yīng)等。

當(dāng)前空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型主要針對(duì)均勻各向同性湍流展開(kāi)，只能保證適用于充分發(fā)展的湍流區(qū)域中，具有一定的局限性。接下來(lái)壁面效應(yīng)、湍流燃燒以及高溫氣體效應(yīng)等因素的影響將被加入到空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中。比如，文獻(xiàn)[47]用機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)周期山狀流進(jìn)行了雷諾應(yīng)力建模。國(guó)家數(shù)值風(fēng)洞工程致力于自主研發(fā)功能先進(jìn)的CFD軟件系統(tǒng)。結(jié)合湍流的多尺度性質(zhì)和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的高精度大渦模擬方法有潛力適用于各類(lèi)工程湍流問(wèn)題，將其發(fā)展成為NNW自主研發(fā)軟件系統(tǒng)的一個(gè)模塊，可為解決航空航天相關(guān)的湍流問(wèn)題提供支撐。