林永霖 黎亞軍

摘 ?要：文章針對(duì)耳機(jī)主被動(dòng)降噪問題，提出了一種聲學(xué)邊界元與有限元聲振耦合算法，構(gòu)建某型軍用耳機(jī)的聲場(chǎng)分析模型，完整建立耳罩內(nèi)部各腔體以及振動(dòng)單體，研究了耳機(jī)在不同耳罩結(jié)構(gòu)時(shí)的內(nèi)外聲場(chǎng)分布，為耳機(jī)被動(dòng)降噪提供了依據(jù)，為了進(jìn)一步提高主動(dòng)降噪性能，建立以耳罩聲壓頻響為目標(biāo)參數(shù)，指出了不同麥克風(fēng)位置時(shí)的聲壓頻響差異，該研究結(jié)果為耳機(jī)主動(dòng)降噪工程研發(fā)提供了一種方法。

關(guān)鍵詞：聲學(xué)邊界元;聲振耦合;耳機(jī);耳罩;主動(dòng)降噪;被動(dòng)降噪;有限元

中圖分類號(hào)：TB535;O39 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：2096-4706（2021）06-0042-06

Acoustic Vibration Coupling Analysis and Sound Field Optimization of

Earphone Based on Boundary Element Method

LIN Yonglin1，LI Yajun2

（1.No.701 Factory of PLA（N），Beijing ?100015，China;2.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing ?100049，China）

Abstract：Aiming at the problem of active and passive noise reduction of earphones，this paper proposes an acoustic boundary element and finite element acoustic vibration coupling algorithm，constructs a sound field analysis model of a certain type of military earphone，and establishes the internal cavities and vibration monomer of the earmuffs completely，and studies the internal and external acoustic field distribution of earphones with different earmuff structures，which provides a basis for passive noise reduction of earphones. In order to further improve the active noise reduction performance，the target parameter of the sound pressure frequency response of the earmuffs is established，and the difference of sound pressure frequency response at different microphone positions is pointed out. The research results provide a method for the research and development of active noise reduction engineering of earphones.

Keywords：acoustic boundary element;acoustic vibration coupling;earphone;earmuff;active noise reduction;passive noise reduction;finite element

0 ?引 ?言

邊界元法[1]（Boundary element method，BEM）對(duì)具有復(fù)雜幾何構(gòu)造的無限域問題，會(huì)大大降低處理工作量。從20世紀(jì)60年代開始，邊界元法逐漸應(yīng)用于結(jié)構(gòu)聲學(xué)、結(jié)構(gòu)聲輻射和聲散射問題，它是將HelmholtZ[2]方程邊值問題轉(zhuǎn)化為邊界積分方程，以格林函數(shù)為基本解，利用有限元法[3，4]計(jì)算聲場(chǎng)域內(nèi)的物理量[5]。同有限元法相比，邊界元法有許多優(yōu)點(diǎn)：首先，邊界元法將流體域內(nèi)的計(jì)算轉(zhuǎn)化到邊界上，使問題的維數(shù)降低了一維，從而減少了問題的自由度和原始信息量;其次，由于利用的微分方程的解析基本解作為邊界積分方程的核函數(shù)，具有半解析半數(shù)值方法的特點(diǎn)，因而具有較高的精度;最后，對(duì)于無限域或半無限域問題，邊界元法十分適合，無須在遠(yuǎn)場(chǎng)邊界離散，所有計(jì)算都在結(jié)構(gòu)表面進(jìn)行，大大減小了計(jì)算域。由于邊界元法的這些優(yōu)點(diǎn)，邊界元法在結(jié)構(gòu)聲學(xué)計(jì)算的數(shù)值方法中占據(jù)主導(dǎo)地位。結(jié)構(gòu)聲學(xué)邊界元法還可分為直接邊界元法[6]（Direct Boundary Element Method，DBEM）和間接邊界元法[7]（Indirect Boundary Element Method，IBEM）。目前已有多種方法來克服基于邊界元法外部解的非唯一性問題[8，9]，主要有兩種方法，一是CHIEF方法[10-12]，但對(duì)于復(fù)雜模型和高頻問題，CHIEF點(diǎn)很難選擇。另一種方法是Burton-Miller方法[13]，它是由邊界積分方程及其對(duì)源點(diǎn)法向?qū)?shù)方程線性組合而成，由于其便于構(gòu)造并已在許多問題下獲得驗(yàn)證，逐漸被廣泛采用?；贐urton-Miller法的多重邊界積分法（Dual BEM）[14]會(huì)導(dǎo)致解的奇異性。針對(duì)不同單元類型，目前已有很多方法，如Hadamard有限項(xiàng)積分[15]、高階Galerkin方法[16]、核函數(shù)相減方法[17]及場(chǎng)相減方法等。

本文首先簡述了邊界元的基本理論，然后分析了邊界元與有限元聲振耦合算法[18，19]基本過程，此后基于此方法構(gòu)建了某型軍用耳機(jī)的聲場(chǎng)分析模型，分析了耳機(jī)在不同耳罩結(jié)構(gòu)時(shí)的內(nèi)外聲場(chǎng)分布，研究結(jié)果為類似工程問題提供了參考依據(jù)。

1 ?BEM基本理論

滿足理想流體介質(zhì)假設(shè)下聲波波動(dòng)方程為：

（1）

式中?2表示Laplace算子，p（r，t）表示t時(shí)刻位于域中的聲壓，Ωa表示流體域，對(duì)于穩(wěn)態(tài)簡諧聲場(chǎng)，p（r，t）= p（r）ejωt，由此可得Helmholtz方程：

?2p（r）+k2p（r）=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

式中k=ω/c為復(fù)波數(shù)，ω為角頻率，c為聲速。當(dāng)存在外部源，波動(dòng)方程滿足：

（3）

為源強(qiáng)，j表示虛數(shù)單位，點(diǎn)聲源作為聲場(chǎng)中最典型的激勵(lì)源，可用格林函數(shù)表示，G（x，y）為三維自由空間的格林函數(shù)，滿足以下：

（4）

純聲場(chǎng)域內(nèi)聲學(xué)邊界條件為三類即聲壓、法向速度和聲阻抗邊界;外場(chǎng)除了滿足三類基本邊界條件外，還要滿足無限域的sommerfeld邊界[20]。

將格林函數(shù)代入格林公式的第二類表達(dá)式，從而得到直接邊界積分方程為：

（5）

為積分點(diǎn)，為源點(diǎn)，C（x）為積分點(diǎn)位置函數(shù)，n為單元法線方向，當(dāng)x在域內(nèi)、光滑邊界上和域外分別取1、1/2和0。

對(duì)于開口邊界或者同時(shí)求解內(nèi)部和外部聲場(chǎng)的情況，聲學(xué)域在邊界的內(nèi)外同時(shí)存在，需要同時(shí)考慮內(nèi)外邊界，從而得到：

（6）

當(dāng) ?在Ωa上時(shí)為超奇異積分，采用Hadamard原理降低奇異性。

將邊界離散為單元，在每個(gè)小單元內(nèi)通過單元形函數(shù)建立單元內(nèi)的變量與單元尺寸的關(guān)系，生成了單元代數(shù)方程組，然后由全局形函數(shù)，節(jié)點(diǎn)i屬于哪一個(gè)單元，全局形函數(shù)就是那個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)，其他節(jié)點(diǎn)為0，建立單元求解，得到：

（7）

進(jìn)一步得到全局形函數(shù)：

（8）

為1×na維， ?和 ?為na×1未知節(jié)點(diǎn)自由度。對(duì)于未知自由度的求解，將全局形函數(shù)代入邊界積分方程中，遍及邊界上的所有節(jié)點(diǎn)，得到總體方程組：

（9）

[A]=[B]為na×na維，方程為na代數(shù)方程組，具有2na個(gè)未知自由度，由邊界條件可得每個(gè)節(jié)點(diǎn)的預(yù)知聲壓或法向速度或者法向聲阻抗率，因此可以求得na個(gè)未知數(shù)。對(duì)于場(chǎng)點(diǎn)的自由度求解，直接利用已求得的邊界值，代入邊界積分方程中可得：

（10）

間接邊界元建模過程與直接邊界元類似，不同的是間接邊界元單元首先求解邊界上的單層勢(shì)和雙層勢(shì)，由于在某些位置上間接邊界元的求解需要數(shù)值計(jì)算hadamard有限積分項(xiàng)，使得直接使用邊界積分方程建模困難，為此，用一種變量公式，壁面超奇異積分，確保了邊界單元方程矩陣的對(duì)稱性。

將離散化后的邊界模型代入基于雙層勢(shì)和單層勢(shì)建立的積分方程中，可得到關(guān)于未知量的邊界單元積分方程：

（11）

其中：

，

接下來，同直接邊界元，對(duì)于域內(nèi)不屬于邊界Ωa上任意場(chǎng)點(diǎn)的未知量，直接由邊界上的已知量代入間接邊界積分方程求得：

（12）

其中：

，

邊界單元模型的計(jì)算精度主要依賴于單元個(gè)數(shù)和形函數(shù)，形函數(shù)的完整性和對(duì)稱性。

內(nèi)部聲振耦合邊界條件除了原來的三種，聲學(xué)邊界包含了彈性結(jié)構(gòu)邊界，還要保證表面的法向速度連續(xù)條件，即結(jié)構(gòu)與流體耦合界面處的流體法向速度等于結(jié)構(gòu)法向速度：

（13）

由聲場(chǎng)壓力引起結(jié)構(gòu)的載荷變化，得到耦合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程：

（14）

其中，[K]為剛度矩陣;[C]指阻尼矩陣;[M]指質(zhì)量矩陣耦合矩陣為ns×na1：

（15）

相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移引起耦合面上聲域法向質(zhì)點(diǎn)速度變化。從而得到耦合聲場(chǎng)方程：

（16）

結(jié)合耦合動(dòng)力學(xué)方程和聲場(chǎng)邊界積分方程可得耦合總體方程：

（17）

其中：

，

對(duì)于有限元與間接邊界元的耦合，同理可將邊界元表面看作兩部分，一部分與結(jié)構(gòu)有限元耦合nμ1，另一部分為已知法向速度nμ2，邊界條件和直接邊界元耦合邊界條件已知，在耦合面上法向速度相等。結(jié)構(gòu)有限元模型和聲學(xué)間接邊界元模型：

（18）

（19）

聲學(xué)間接邊界元方程：

（20）

其中：

，

，

合并結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程和間接邊界元方程可得聲振耦合方程：

（21）

其中：

，

特別的，當(dāng)邊界元表面全部由彈性結(jié)構(gòu)所組成時(shí)，耦合方程變?yōu)椋?/p>

（22）

其中：

綜上，耦合有限元比邊界元在計(jì)算內(nèi)場(chǎng)時(shí)有更高的效率，比如汽車和航空，但是對(duì)于像揚(yáng)聲器設(shè)計(jì)和隔聲墻之類的外場(chǎng)或開口聲振耦合問題，邊界元耦合比有限元更具優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗詣?dòng)滿足外場(chǎng)sommerfeld遠(yuǎn)程輻射邊界條件，在有限元中只能用一種近似的方式來模擬。

2 ?耳罩模型的數(shù)值驗(yàn)證

2.1 ?問題分析

主動(dòng)降噪耳機(jī)作為近年來發(fā)展快速的聲學(xué)器件，對(duì)其頻響和三維聲場(chǎng)的準(zhǔn)確模擬一直以來都是研究的重點(diǎn)，Borwick等總結(jié)了耳機(jī)結(jié)構(gòu)類比集總參數(shù)模型，給出了不同形狀腔體和導(dǎo)管的仿真方法，Slotte等人在此基礎(chǔ)上優(yōu)化研究，但高頻段由于結(jié)構(gòu)尺寸不再遠(yuǎn)小于聲波波長，集總參數(shù)模型仿真誤差增大，另外由于耳機(jī)腔體內(nèi)部不規(guī)則，耳內(nèi)聲場(chǎng)并不是單向行進(jìn)的平面波，故傳輸線模型也有局限。

為此，本文提出了基于聲學(xué)邊界元的結(jié)構(gòu)聲振耦合分析，完整建立耳罩內(nèi)部各腔體以及振動(dòng)單體，振動(dòng)部分采用有限元求解保證頻響精度，然后基于聲振耦合理論建立聲場(chǎng)邊界，進(jìn)而可以獲得寬頻空間聲場(chǎng)分布特性。

2.2 ?參數(shù)設(shè)置

建立耳罩式耳機(jī)模型如圖1所示，計(jì)算平臺(tái)為個(gè)人PC，配置為Intel Core（TM）i7-3840QM@2.8 GHz和RAM 16 GB。

將模型離散為三角形常單元，最大單元長度0.02 mm，可計(jì)算最高頻率8 500 Hz，根據(jù)腔體結(jié)構(gòu)組成，分析三個(gè)工況，分別為前腔+揚(yáng)聲器、前腔+內(nèi)腔+揚(yáng)聲器、前腔+內(nèi)腔+后腔+揚(yáng)聲器。主要求解參數(shù)如表1所示。

3 ?結(jié)果分析

3.1 ?結(jié)構(gòu)模態(tài)

聲振耦合分析首先需要求解結(jié)構(gòu)有限元模型的振動(dòng)參數(shù)，為此，本模型中以揚(yáng)聲器為聲振耦合對(duì)象，分析了振膜的振動(dòng)模態(tài)，表2為前10階固有頻率，圖2為前6階振型，根據(jù)理論解可以求得解析解，，看出與理論解非常一致。

3.2 ?聲場(chǎng)分布

結(jié)構(gòu)邊界條件為振膜外沿固定約束，聲學(xué)邊界條件為在耳機(jī)正前方1 m處平面波，p（x）=pae-jkx幅值為1 Pa，初相位為0，計(jì)算聲波傳播以及與振膜耦合后總聲場(chǎng)。分三種工況（如前述）進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)束后可獲得聲場(chǎng)中任一點(diǎn)處的聲壓，為便于分析，提取耳機(jī)中心對(duì)稱面上的內(nèi)外聲場(chǎng)云圖。

另外，基于人耳對(duì)聲波不同頻率的響應(yīng)靈敏度不同，依次選取為500 Hz、1 000 Hz、2 000 Hz、3 000 Hz的4個(gè)最典型頻率。在只有前腔和內(nèi)腔時(shí)，隨著頻率升高，耳罩殼體對(duì)聲場(chǎng)的散射作用逐漸增強(qiáng)，前腔主要影響耳外特別是出聲孔前方的聲場(chǎng)，內(nèi)腔主要影響耳內(nèi)揚(yáng)聲器振膜背部的聲場(chǎng)。在500～1 000 Hz兩個(gè)較低頻率處，聲場(chǎng)比較均勻，聲壓最高值主要集中在揚(yáng)聲器振膜背部，但后兩個(gè)頻率處聲壓最高值主要集中在內(nèi)腔，說明隨著頻率增高，聲振耦合作用增強(qiáng)，振膜背部的振動(dòng)使得后腔有限容積的聲場(chǎng)共振，特別是2 000 Hz處，內(nèi)腔共振非常明顯，而3 000 Hz處聲場(chǎng)指向性增強(qiáng)。

隨著頻率升高殼體對(duì)聲場(chǎng)散射影響增強(qiáng)，前2個(gè)頻率處外聲場(chǎng)比較均勻，主要在揚(yáng)聲器振膜背部聲壓較大，后兩個(gè)頻率處聲場(chǎng)指向性增強(qiáng)。不同的是相比于工況1，工況3下由于后殼為凸型結(jié)構(gòu)，有利用聲擴(kuò)散從而使得聲場(chǎng)最大聲壓由明顯的降低，被動(dòng)降噪效果顯著，另外，由于后腔容積增大，使得耳腔內(nèi)的共振頻率向低頻移動(dòng)，相比于工況1，2 000 Hz處的聲壓明顯降低23 dB，同時(shí)1 000 Hz處由2 dB增大，除此之外，還可以得出，由于后腔的不規(guī)則形狀，使得耳內(nèi)和耳外的聲場(chǎng)都呈現(xiàn)出不對(duì)稱分布。

在后腔和內(nèi)腔共同作用下，更加復(fù)雜的聲場(chǎng)分布，呈現(xiàn)兼具前兩種工況的各自特點(diǎn)，基于工況2，由于增加了內(nèi)腔，后腔被分解為兩個(gè)腔體，相當(dāng)與兩個(gè)聲容并聯(lián)，使得腔內(nèi)聲場(chǎng)向高頻轉(zhuǎn)移，低頻段聲場(chǎng)分布更具工況2的特點(diǎn)，高頻段分布更具工況1的特點(diǎn)，在500 Hz時(shí)由于增大了背腔，從而內(nèi)腔聲壓級(jí)有一定降低，外場(chǎng)聲壓分布都近似為94 dB，在1 000 Hz時(shí)，由于外腔內(nèi)部結(jié)構(gòu)引起類似于工況2的內(nèi)聲場(chǎng)不均勻性，外聲場(chǎng)依然均勻分布;在2 000 Hz時(shí)內(nèi)腔的影響，使得內(nèi)場(chǎng)聲壓有一定增高，同時(shí)出聲孔處的聲場(chǎng)降低;在3 000 Hz時(shí)由于使得耳內(nèi)聲壓相比工況2增大5 dB，但相比工況1因后腔的影響而有2 dB的下降。

4 ?頻響分析

為了分析人耳接收到的聲壓特性，提取三種工況下耳機(jī)出聲孔中心點(diǎn)的聲壓頻響如圖3所示，結(jié)合上述聲壓分布云圖，可以看出，在耳外聲壓頻響谷值處恰為耳內(nèi)聲振耦合的共振點(diǎn)，對(duì)于只有內(nèi)腔的耳外頻響，在2 000 Hz為最小，耳內(nèi)聲壓為最大，在后腔1 000 Hz附近耳外聲壓谷值處耳內(nèi)聲壓同樣最大，同時(shí)雙腔時(shí)谷值進(jìn)一步向低頻移動(dòng)?？紤]到耳腔結(jié)構(gòu)的不規(guī)則，將引起耳外出聲孔處的聲壓不均勻，為此，將出聲孔表面的聲壓平均，得到三種工況下的平均聲壓頻響如圖4所示，可以看出，平均后的聲壓更能說明聲場(chǎng)特性，也更接近人耳實(shí)際聽到的聲壓，腔體對(duì)2 500 Hz以后的聲壓具有被動(dòng)降噪作用，雙腔的降噪效果大于單獨(dú)內(nèi)腔或后腔，在1 500～2 500 Hz頻段降噪效果具有一定復(fù)雜性，在頻段端兩種腔體基本降噪效果都不明顯，具體降噪頻響如圖5所示，可以看出，雙腔體比單獨(dú)內(nèi)腔降噪效果明顯，最大可達(dá)6 dB，在高頻段平均降低1 dB。

5 ?結(jié) ?論

本文研究了基于Burton-Miller法間接邊界元（BEM）聲振耦合分析在同時(shí)計(jì)算內(nèi)外腔以及開口聲學(xué)邊界下的應(yīng)用，對(duì)某型軍用耳罩式耳機(jī)的腔體聲場(chǎng)分布及人耳處頻響進(jìn)行了分析，分析說明了雙腔體外殼相比于單殼能更好的起到被動(dòng)降噪的作用，內(nèi)腔的存在使得高頻處的耳腔增加，外腔的存在有利于降低耳內(nèi)共振，并使高頻處的被動(dòng)降噪增加，為了被動(dòng)降噪效果，應(yīng)該盡可能增加內(nèi)腔容積或增加吸聲材料，同時(shí)進(jìn)行內(nèi)腔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化，以降低人耳聲壓頻響的不均勻性。本研究結(jié)果說明了間接邊界元法在求解內(nèi)外聲場(chǎng)的有效性，為耳機(jī)聲學(xué)研發(fā)提供了方法指導(dǎo)，關(guān)于腔體與人耳耦合以及更詳細(xì)的聲腔優(yōu)化需要進(jìn)一步的研究。

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作者簡介：林永霖（1979—），男，漢族，福建漳州人，工程師，碩士，研究方向：信號(hào)處理、電子信息;黎亞軍（1986—），男，漢族，甘肅靈臺(tái)人，工程師，博士，研究方向：有源噪聲控制。