李曉輝

(陜西省寶雞教育學(xué)院科研處，陜西 寶雞 721004 )

近年來(lái)，互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展為人們的生活帶來(lái)了許多便利。然而計(jì)算機(jī)信號(hào)的處理方法卻變得越來(lái)越復(fù)雜。與周期平穩(wěn)的計(jì)算機(jī)信號(hào)相比，隨機(jī)信號(hào)在時(shí)域和頻域都具有不確定性。由于隨機(jī)信號(hào)的不確定性，往往需要采用組合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行建模，以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的處理[1]。傳統(tǒng)的組合數(shù)學(xué)模型雖然可以完成基本的分析，但是誤差比較大，精度不高[2]，因此有必要對(duì)計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)控制組合數(shù)學(xué)模型展開(kāi)研究。通過(guò)將控制組合算法與數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，可將計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)的時(shí)間特征函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性表達(dá)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言[3]。本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)證明控制組合數(shù)學(xué)模型對(duì)隨機(jī)信號(hào)的計(jì)算有效性，同時(shí)驗(yàn)證該模型的收斂速度和控制效率。

1 數(shù)字信號(hào)處理

1.1 數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)

數(shù)字信號(hào)的幅值都是離散的，且都處于有限的數(shù)值范圍內(nèi)。數(shù)字信號(hào)可以由數(shù)字電路進(jìn)行處理[4]，處理后抵抗外界噪聲的能力增強(qiáng)。對(duì)于計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)字信號(hào)，需要先將其轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)。信號(hào)的數(shù)字化處理一般包含3個(gè)步驟，即抽樣、量化和編碼[5]。抽樣的目的是將原始信號(hào)每間隔一段等量時(shí)間進(jìn)行抽取，由離散的信號(hào)幅值序列代替原先時(shí)間域上的連續(xù)信號(hào)。按照奈奎斯特采樣定理進(jìn)行抽樣[6]，可以保證還原信號(hào)與原始信號(hào)一致。信號(hào)幅值的量化是用有限個(gè)幅度值近似代替連續(xù)變化的信號(hào)值[7]。量化操作雖然可以減少量化失真，但不可避免會(huì)產(chǎn)生量化誤差，該量化誤差主要源于高階非線性失真[8]。由于量化誤差近似于噪聲，因此也被稱為量化噪聲。當(dāng)計(jì)算小幅值信號(hào)時(shí)，量化操作往往會(huì)導(dǎo)致信噪比很小[9]。在對(duì)信號(hào)進(jìn)行量化操作后，對(duì)信號(hào)進(jìn)行編碼，將信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字編碼脈沖。數(shù)字信號(hào)處理流程具體如圖1所示，其中X(t)表示時(shí)間域下的連續(xù)信號(hào)，X(n)表示頻域下的離散信號(hào)。

圖1 數(shù)字信號(hào)處理流程

在數(shù)學(xué)算法分析領(lǐng)域，組合數(shù)學(xué)是重要的研究?jī)?nèi)容之一，組合數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是有限、離散的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其內(nèi)容如圖2所示。在算法設(shè)計(jì)中，一般會(huì)用到分治算法、分支限界法、回溯法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等，先將計(jì)算機(jī)的隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行離散化處理，然后將其變換成一維空間向量，再分別對(duì)寬度向量和延時(shí)向量進(jìn)行邏輯運(yùn)算，輸出離散狀態(tài)的向量序列。

圖2 組合數(shù)學(xué)內(nèi)容

1.2 隨機(jī)信號(hào)傳統(tǒng)處理方法

隨機(jī)信號(hào)的傳統(tǒng)處理方法主要用于分析隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)。首先研究概率分布函數(shù)，假設(shè)tn為時(shí)間變量，xn為隨機(jī)變量，T為時(shí)間變量集合，R為隨機(jī)變量的樣本空間。當(dāng)t1,t2,…,tn∈T,x1,x2,…,xn∈Rn時(shí)，n個(gè)隨機(jī)變量X(t1),X(t2),…,X(tn)的n維聯(lián)合概率分布函數(shù)為：

(1)

式中：f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)為n個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，通過(guò)n維聯(lián)合概率分布函數(shù)對(duì)n個(gè)隨機(jī)變量求導(dǎo)數(shù)可得。

其次分析概率密度函數(shù)，n維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是指對(duì)于聯(lián)合概率分布函數(shù)，存在非負(fù)可積的函數(shù)在積分后可得到聯(lián)合概率分布函數(shù)，那么該非負(fù)可積的函數(shù)稱為概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)表示概率分布函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。概率分布函數(shù)的概率密度函數(shù)為：

f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=

(2)

假設(shè)任意j個(gè)時(shí)刻tj(t1,t2,…,tj∈T)，存在j個(gè)隨機(jī)變量xj(x1,x2,…,xj∈Rj)，各隨機(jī)變量具備獨(dú)立統(tǒng)計(jì)性時(shí)，其聯(lián)合概率分布函數(shù)為：

(3)

2 組合數(shù)學(xué)模型算法建模設(shè)計(jì)

2.1 數(shù)學(xué)模型建立

隨機(jī)信號(hào)在通常情況下不具有傅里葉變換的性質(zhì)，因此計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)的總能量在理論上是無(wú)限的[10]，僅可以計(jì)算出一段時(shí)間內(nèi)的能量譜，即功率譜。隨機(jī)信號(hào)一般可分成平穩(wěn)信號(hào)與非平穩(wěn)信號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)理論，可以計(jì)算出平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜的估計(jì)值，功率譜密度函數(shù)G(f)為：

(4)

式中：T2，T1為信號(hào)x(t)的時(shí)間點(diǎn)；x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)；f為信號(hào)頻率；t為時(shí)間域上的積分時(shí)間。自相關(guān)函數(shù)通過(guò)傅里葉變換為功率譜密度函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)具有偶函數(shù)的特性，功率譜密度函數(shù)經(jīng)過(guò)變換后，其表達(dá)式如式(5)所示，該式也是功率譜常見(jiàn)的表達(dá)形式。

(5)

式中：R(τ)為x(τ)的自相關(guān)函數(shù)；τ為頻域中的頻率變量。非平穩(wěn)信號(hào)的功率譜可以通過(guò)逐段求解的方式得到。隨時(shí)間變量變化的功率譜向量被稱為時(shí)變功率譜。依據(jù)計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)建模原理，利用差分函數(shù)定理可得差分?jǐn)?shù)學(xué)模型。某一個(gè)時(shí)間段內(nèi)隨機(jī)信號(hào)的差分模型如式(6)所示：

(6)

式中：x(r)為計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)的差分函數(shù)；α1為信號(hào)的隨機(jī)阻力值；r為隨機(jī)信號(hào)的數(shù)量；ω(r)為阻力值的零均值；p為隨機(jī)信號(hào)傳播的階數(shù)。將隨機(jī)信號(hào)的表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，讓隨機(jī)信號(hào)具備組合數(shù)學(xué)特征，隨機(jī)信號(hào)的線性表達(dá)式如下：

(7)

式中：αm為權(quán)重系數(shù)。在時(shí)間域上構(gòu)建控制組合數(shù)學(xué)模型，在t時(shí)刻下，該數(shù)學(xué)模型的函數(shù)p(t)為：

p(t)=[f0(q-k)x+q+k]

(8)

式中：f0為隨機(jī)信號(hào)的基函數(shù)；q，k為隨機(jī)信號(hào)的個(gè)數(shù)。計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)矢量與控制組合數(shù)學(xué)模型的控制能力呈現(xiàn)較強(qiáng)的相關(guān)性，越穩(wěn)定的參數(shù)矢量，其控制性越好，越有利于提高控制組合數(shù)學(xué)模型的精度。因此參數(shù)矢量的穩(wěn)定性決定了控制組合模型的準(zhǔn)確度，矢量的階次表征該模型的線性特征參數(shù)。

2.2 算法設(shè)計(jì)

在算法設(shè)計(jì)之前，首先分析隨機(jī)信號(hào)的頻率譜和時(shí)變譜。采用自適應(yīng)算法對(duì)隨機(jī)信號(hào)的線性特征進(jìn)行組合。針對(duì)隨機(jī)信號(hào)，利用組合數(shù)學(xué)控制建模的方式，歸納出計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)的跟蹤函數(shù)。假設(shè)該函數(shù)的跟蹤因子為λ，那么階次等于0的隨機(jī)信號(hào)跟蹤函數(shù)K0(m)：

K0(m)=P(m-1)H′(λ)

(9)

式中：m為隨機(jī)信號(hào)數(shù)；P為遺忘因子；H′為跟蹤性能差。隨機(jī)信號(hào)控制算子K(t)為：

(10)

式中：λ(m)為m個(gè)隨機(jī)信號(hào)的跟蹤因子。通過(guò)最小二乘法適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化計(jì)算步驟，從而可以計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)方程。跟蹤函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)信號(hào)的精準(zhǔn)跟蹤。該控制組合算法可以快速地完成對(duì)隨機(jī)信號(hào)的無(wú)失真控制，對(duì)隨機(jī)信號(hào)的處理效果十分明顯。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析

為驗(yàn)證算法的有效性與準(zhǔn)確性，對(duì)處理后的計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行建模驗(yàn)證。嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)變量，保證其不影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)采用相同時(shí)間函數(shù)特征信號(hào)x(g)，其表達(dá)式為：

(11)

式中：ω(g)為時(shí)間函數(shù)的零均值；g為時(shí)間變量。在計(jì)算過(guò)程中，采用對(duì)比實(shí)驗(yàn)方式對(duì)不同算法進(jìn)行比較，對(duì)比組采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型算法，考察算法的控制精度與收斂速度。標(biāo)準(zhǔn)差是重要的指標(biāo)，尤其對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)來(lái)說(shuō)是至關(guān)重要的。由于算法計(jì)算量過(guò)小會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)對(duì)比效果不明顯，但迭代次數(shù)過(guò)大又會(huì)導(dǎo)致算法速度降低，因此算法迭代的次數(shù)也是考察的指標(biāo)。迭代次數(shù)在本實(shí)驗(yàn)中設(shè)置為500～800次。實(shí)驗(yàn)論證結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表1。

表1 算法的實(shí)驗(yàn)論證結(jié)果對(duì)比

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用固定參數(shù)差分函數(shù)的控制組合數(shù)學(xué)模型可以對(duì)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行有效控制，該模型具備很大的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果也說(shuō)明控制組合數(shù)學(xué)模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)隨機(jī)信號(hào)的無(wú)失真控制。從收斂時(shí)間來(lái)看，控制組合數(shù)學(xué)模型的收斂速度明顯更快，跟蹤控制的時(shí)間更短。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差可以看出，該控制組合數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性也相對(duì)較好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文從數(shù)字信號(hào)處理的角度出發(fā)，針對(duì)計(jì)算機(jī)隨機(jī)信號(hào)的時(shí)變譜特征，結(jié)合組合數(shù)學(xué)的建模算法，構(gòu)建了相應(yīng)的控制組合數(shù)學(xué)模型。本文對(duì)控制組合數(shù)學(xué)模型的算法進(jìn)行了設(shè)計(jì)，保證了處理后的隨機(jī)信號(hào)具備良好的線性特征。對(duì)比實(shí)驗(yàn)分析表明，相比于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，該控制組合數(shù)學(xué)模型算法具備良好的計(jì)算有效性，并且在控制精度方面也有很大的提升，驗(yàn)證了該控制組合數(shù)學(xué)模型的有效性，并對(duì)其準(zhǔn)確性進(jìn)行了分析。本文研究的控制組合數(shù)學(xué)模型為隨機(jī)信號(hào)的后續(xù)研究提供了合理的實(shí)驗(yàn)依據(jù)，對(duì)該領(lǐng)域的發(fā)展具有積極的指導(dǎo)意義。