李文禮, 陸 宇， 郭 棟， 劉永康， 石曉輝， 嚴(yán)海燕

(1. 重慶理工大學(xué) 汽車零部件先進(jìn)制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400054；2. 東風(fēng)汽車股份有限公司 東風(fēng)商品研發(fā)院， 武漢 430056)

伺服系統(tǒng)是一種包括驅(qū)動電機(jī)、傳動機(jī)構(gòu)、負(fù)載和控制系統(tǒng)的典型復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)，其中傳動機(jī)構(gòu)的彈性使得系統(tǒng)本身存在諧振頻率[1-3]。隨著高性能伺服系統(tǒng)帶寬的增加，當(dāng)有諧振頻率的信號作用到系統(tǒng)時，通常會使得系統(tǒng)發(fā)生機(jī)械諧振。這不僅會引起系統(tǒng)控制量振蕩，影響系統(tǒng)的控制性能和精度；還可能會損壞傳動機(jī)構(gòu)、燒毀驅(qū)動電機(jī)。因此，對伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振進(jìn)行分析和抑制具有重要的意義。

為了抑制伺服系統(tǒng)的機(jī)械諧振，所使用的方法一般可分為兩種，即主動抑制方法和被動抑制方法。主動抑制方法是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)，其原理是通過主動改變控制器參數(shù)或控制器結(jié)構(gòu)來消除機(jī)械諧振，包括基于PI(proportional-integral control)的控制、基于模型預(yù)測控制(model predictive control，MPC)等高級控制算法、基于狀態(tài)觀測器的反饋控制等[3-10]。被動抑制方法主要是使用低通濾波器或陷波濾波器等來抑制機(jī)械諧振，但低通濾波器會帶來相位滯后、陷波濾波器對系統(tǒng)參數(shù)變化較敏感等問題，容易導(dǎo)致系統(tǒng)動態(tài)性能變差[11]。杜仁慧等在考慮與機(jī)械諧振密切相關(guān)的系統(tǒng)參數(shù)不確定的情況下，基于反步法設(shè)計(jì)了自適應(yīng)模糊控制器，有效地抑制了系統(tǒng)啟動階段和負(fù)載突變時的機(jī)械諧振。楊明等針對伺服系統(tǒng)中由彈性軸系引起的機(jī)械諧振及軸系安全性進(jìn)行研究，在雙慣量伺服系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上，對比分析了基于PI方法和MPC方法的不同控制效果，理論分析和仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了MPC方法的優(yōu)越性。Wang等[12]設(shè)計(jì)了動態(tài)表面控制與加速度反饋相結(jié)合的機(jī)械諧振抑制方法，利用高階滑模加速度觀測器來估計(jì)加速度信號，引入電機(jī)加速度反饋以減小機(jī)械諧振的影響。王建敏等[13]提出了一種雙二次諧振抑制數(shù)字濾波器，能夠?qū)⒅C振點(diǎn)和反諧振點(diǎn)同時抑制。龔文全等[14]使用改進(jìn)型陷波濾波器進(jìn)行機(jī)械諧振抑制，以減小陷波器引入的相位滯后。

現(xiàn)有對伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振分析及抑制問題的研究，多將伺服系統(tǒng)簡化為雙慣量模型，忽略了傳動機(jī)構(gòu)帶來的影響，如傳動間隙、齒輪嚙合過程中時變嚙合剛度等。但在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中，傳動環(huán)節(jié)存在不確定性，這意味著并不是所有情況都可以忽略傳動機(jī)構(gòu)的傳動間隙、剛度、質(zhì)量等參數(shù)[15-16]。為了更精確地抑制機(jī)械諧振和控制伺服系統(tǒng)，對多慣量伺服系統(tǒng)進(jìn)行建模分析很有必要。相比于雙慣量伺服系統(tǒng)，多慣量伺服系統(tǒng)模型復(fù)雜、諧振峰值不易理論推導(dǎo)，不適合使用被動抑制方法來抑制機(jī)械諧振。而基于MPC的主動抑制方法的預(yù)測方程不需要精確的數(shù)學(xué)模型，同時可處理各種帶約束的線性、非線性問題，理論上可以很好的用于抑制多慣量伺服系統(tǒng)的機(jī)械諧振問題?；谏鲜龇治觯疚目紤]時變嚙合剛度對系統(tǒng)機(jī)械諧振的影響，首先建立四慣量伺服系統(tǒng)模型，并對系統(tǒng)的機(jī)械諧振產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行分析。采用MPC方法對含時變嚙合剛度的四慣量伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振進(jìn)行抑制，通過仿真驗(yàn)證了MPC控制器的有效性。

1 四慣量伺服系統(tǒng)模型及諧振分析

伺服系統(tǒng)在許多工業(yè)領(lǐng)域如數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人、電動汽車驅(qū)動系統(tǒng)、高端試驗(yàn)裝備以及國防工業(yè)中應(yīng)用十分廣泛，其轉(zhuǎn)矩傳遞通常由多個不同的機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)完成。如圖1所示為一個典型的伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，負(fù)載通過聯(lián)軸器、齒輪箱、傳動軸等與驅(qū)動電機(jī)相連。為了更精確地對系統(tǒng)機(jī)械諧振抑制進(jìn)行研究，本文建立考慮時變嚙合剛度的四慣量伺服系統(tǒng)模型。

1.1 四慣量伺服系統(tǒng)

為了便于分析，忽略圖1中電機(jī)的電磁阻尼和電磁剛度、輪齒嚙合綜合誤差，將電機(jī)、齒輪箱的主被動齒輪和負(fù)載簡化為4個集中的轉(zhuǎn)動慣量元件，建立如圖2所示的四慣量伺服系統(tǒng)模型。該模型中電機(jī)轉(zhuǎn)軸通過齒輪副與負(fù)載連接，系統(tǒng)輸入為電機(jī)端電磁轉(zhuǎn)矩Te直接作用于電機(jī)轉(zhuǎn)軸，負(fù)載端傳遞轉(zhuǎn)矩Ts2與負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL共同作用決定負(fù)載端輸出轉(zhuǎn)速，Ts1為電機(jī)轉(zhuǎn)軸與齒輪1之間的傳遞轉(zhuǎn)矩。

圖1 伺服系統(tǒng)示意圖

圖2 四慣量伺服系統(tǒng)模型

圖2所示的系統(tǒng)動力學(xué)方程可以表示為

(1)

式中：θe，θ1，θ2，θL分別為等效電機(jī)軸、齒輪1、齒輪2和負(fù)載的轉(zhuǎn)角；Je，J1，J2，JL分別為電機(jī)、齒輪1、齒輪2和負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量；Wd為輪齒的動態(tài)嚙合力；Rb1，Rb2分別為齒輪1和齒輪2的基圓半徑；C1，C2分別為輸入軸與輸出軸的阻尼系數(shù)；K1，K2分別為輸入軸和輸出軸的剛度系數(shù)；Cm，Km分別為齒輪副的嚙合阻尼和嚙合剛度。

1.2 機(jī)械諧振分析

在實(shí)際伺服系統(tǒng)中，機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)由于不是理想剛體而表現(xiàn)出一定的彈性形變，彈性形變的存在會引起系統(tǒng)的機(jī)械諧振。將齒輪副的嚙合剛度等效為一個定值(即嚙合剛度為定剛度，這里取Km為5×107N/m)時，由式(1)可以得到所建立的四慣量伺服系統(tǒng)中輸入量電磁轉(zhuǎn)矩到輸出量電機(jī)轉(zhuǎn)速的波特圖，如圖3所示。

圖3 電機(jī)端轉(zhuǎn)速反饋時伺服系統(tǒng)波特圖

從圖3中可以看出，系統(tǒng)存在3對諧振點(diǎn)和反諧振點(diǎn)，即系統(tǒng)中輸入軸、輸出軸和齒輪副都將給系統(tǒng)帶來共軛零極點(diǎn)，進(jìn)而產(chǎn)生與其對應(yīng)的機(jī)械諧振。因此，系統(tǒng)電機(jī)轉(zhuǎn)速ωe和電磁轉(zhuǎn)矩Te之間的傳遞函數(shù)可以簡化表示為[17]

(2)

式中：ωbn和ωan分別為第n個諧振環(huán)節(jié)的諧振頻率和反諧振頻率；ξbn和ξan分別為第n個諧振環(huán)節(jié)的諧振阻尼系數(shù)和反諧振阻尼系數(shù)。

由式(2)可得給系統(tǒng)帶來機(jī)械諧振環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(3)

對式(3)分析可知系統(tǒng)的諧振頻率與傳動機(jī)構(gòu)的剛度系數(shù)和系統(tǒng)各部分等效慣量有關(guān)。

為了研究系統(tǒng)負(fù)載端轉(zhuǎn)速控制性能，假設(shè)嚙合定剛度分別為5×107N/m,5×108N/m和5×109N/m，系統(tǒng)其余參數(shù)不變，可以得到如圖4所示的不同嚙合定剛度下四慣量伺服系統(tǒng)中輸入電磁轉(zhuǎn)矩到輸出負(fù)載端轉(zhuǎn)速的波特圖。由圖4可知，定剛度值的變化會改變系統(tǒng)的諧振頻率，即系統(tǒng)諧振頻率值會隨著定剛度值的增加而增加。

圖4 負(fù)載端轉(zhuǎn)速反饋時伺服系統(tǒng)的波特圖

2 時變嚙合剛度

齒輪副嚙合剛度的變化會改變系統(tǒng)的諧振頻率，從而對系統(tǒng)機(jī)械諧振產(chǎn)生影響。時變嚙合剛度產(chǎn)生機(jī)理為在齒輪副嚙合過程中，同時參與嚙合的齒對數(shù)隨時間而周期變化，從而導(dǎo)致嚙合剛度隨時間變化[18]。精確估計(jì)嚙合剛度變化通常使用有限元法，但這種方法建立的模型很難加入到控制系統(tǒng)中。本文使用如圖5所示的時變波形來近似表示嚙合剛度值，以到達(dá)在控制系統(tǒng)中建模的目的。在每個嚙合周期Tsc里，當(dāng)齒輪為雙齒嚙合狀態(tài)時，即(ε-1)Tsc時間段嚙合剛度為最大值，ε為重合度；當(dāng)齒輪為單齒嚙合狀態(tài)時，即(2-ε)Tsc時間段嚙合剛度為最小值。

嚙合周期可以表示為

(4)

式中:Z1，Z2分別為齒輪1和齒輪2的齒數(shù)；f1，f2分別為齒輪1和齒輪2的轉(zhuǎn)動頻率。

為了確保齒輪連續(xù)平穩(wěn)的傳遞動力，重合度需大于1，其表達(dá)式為

(5)

式中:Ra1，Ra2分別為齒輪1和齒輪2的齒頂圓半徑；a為齒輪1和齒輪2的標(biāo)準(zhǔn)中心距；α為壓力角；m為齒輪模數(shù)。

假設(shè)輪齒之間的接觸為赫茲接觸，輪齒的表面可以是圓形或橢圓形[19]。則最小嚙合剛度可計(jì)算為

(6)

式中：E為楊氏模量；W為齒寬；υ為泊松系數(shù)。

最大嚙合剛度為

Kmax=2Kmin

(7)

因此，時變嚙合剛度函數(shù)可以表示為

(8)

式中:λ=ε-1；ωsc=2π/Tsc。

根據(jù)本文選取的齒輪參數(shù),如表1所示，求得重合度ε約為1.8，最小嚙合剛度Kmin約為3.35×109N/m，λ為0.8；當(dāng)轉(zhuǎn)速為2 400 r/min時，輸入軸轉(zhuǎn)速頻率為40 Hz，由于輸入軸齒輪的齒數(shù)為20，齒輪的嚙合頻率為800 Hz，嚙合周期Tsc為0.001 25 s。將上述值代入式(8)可以得到如圖6所示的時變嚙合剛度值，即時變嚙合剛度最小值約為3.35×109N/m，最大值約為6.7×109N/m。

表1 伺服系統(tǒng)主要參數(shù)

圖6 時變嚙合剛度值

為了進(jìn)一步探究時變嚙合剛度對伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振的影響，首先分析時變嚙合剛度范圍內(nèi)諧振頻率的變化范圍，這里取嚙合定剛度分別為時變嚙合剛度的最小值、中間值和最大值的近似值，即3×109N/m, 5×109N/m和7×109N/m，系統(tǒng)其余參數(shù)不變，可以得到系統(tǒng)輸入電磁轉(zhuǎn)矩到輸出負(fù)載端轉(zhuǎn)速的波特圖，如圖7所示。由圖7可以看出時變嚙合剛度帶來的機(jī)械諧振頻率范圍約為17 890～27 160 Hz。

(a)

然后根據(jù)式(1)建立包含時變嚙合剛度的四慣量伺服系統(tǒng)模型，對建立的伺服系統(tǒng)模型，對比分析其在嚙合剛度為時變嚙合剛度(即變剛度)和定剛度(Km為5×109N/m)情況下的機(jī)械諧振情況。當(dāng)給定驅(qū)動電機(jī)為2 400 r/min的階躍指令時，圖8、圖9分別為負(fù)載端傳遞轉(zhuǎn)矩Ts2的時域波形和頻域特性。由圖8可知，在考慮變剛度參數(shù)時，系統(tǒng)傳遞轉(zhuǎn)矩會產(chǎn)生更大的波動。圖9為階躍信號穩(wěn)定后的頻域特性，其中650 Hz和1 900 Hz附近產(chǎn)生諧振的是系統(tǒng)的輸入軸和輸出軸，23 100 Hz附近產(chǎn)生的諧振主要由齒輪副產(chǎn)生。可以看出變剛度系統(tǒng)中傳動軸產(chǎn)生的諧振大于定剛度系統(tǒng)；定剛度系統(tǒng)在23 100 Hz產(chǎn)生較大的諧振，變剛度系統(tǒng)在23 100 Hz諧振不大，但以該頻率為中心產(chǎn)生了兩個較大的諧振帶，且諧振頻率間隔為800 Hz，這與圖7分析的由時變嚙合剛度引起的機(jī)械諧振頻率范圍基本相符。從定剛度和變剛度參數(shù)下系統(tǒng)的諧振情況對比可以看出，在對四慣量伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振分析及抑制方法進(jìn)行研究時，有必要將齒輪嚙合剛度考慮為時變嚙合剛度。

圖8 定剛度和變剛度下伺服系統(tǒng)傳遞轉(zhuǎn)矩Ts2變化

圖9 定剛度和變剛度下伺服系統(tǒng)的頻域特性

3 基于MPC方法的機(jī)械諧振抑制

MPC方法基本原理是根據(jù)系統(tǒng)的預(yù)測模型、當(dāng)前時刻的狀態(tài)和未來的控制量去預(yù)測系統(tǒng)未來一段時域的輸出，通過滾動求解滿足目標(biāo)函數(shù)和各種約束的優(yōu)化問題來得到系統(tǒng)實(shí)際控制輸入量，從而實(shí)現(xiàn)控制目的[20]。為了對建立的包含時變嚙合剛度的四慣量伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振進(jìn)行抑制，基于MPC方法獲得系統(tǒng)控制輸入量Te，控制的目標(biāo)是有效地抑制系統(tǒng)的機(jī)械諧振，同時使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能，即系統(tǒng)輸出負(fù)載轉(zhuǎn)速能很好地跟蹤其參考值。如圖10所示為伺服系統(tǒng)MPC控制框圖，伺服系統(tǒng)處于速度控制模式。

圖10 伺服系統(tǒng)MPC控制框圖

3.1 預(yù)測模型建立

考慮齒輪嚙合剛度為時變嚙合剛度，由式(1)可以得到四慣量伺服系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

(9)

使用前向歐拉法對式(9)進(jìn)行離散化處理，得到離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

(10)

式中：k為當(dāng)前采樣時刻；k+1為下一個采樣時刻。

3.2 目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)

(11)

設(shè)定預(yù)測時域?yàn)镹p，控制時域?yàn)镹c，Nc

Y(k)=Φη(k)+ΨΔU+ΓΔD

(12)

式中:

考慮系統(tǒng)控制目標(biāo)為在不超過最大允許電磁轉(zhuǎn)矩的前提下實(shí)現(xiàn)負(fù)載轉(zhuǎn)速的精確跟蹤，設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(13)

式中:Yref(k+i|k)為系統(tǒng)輸出變量的參考值;(k+i|k)為以k時刻的系統(tǒng)輸出量來預(yù)測k+i時刻的值,其中i=1,2,…,Np；ΔU(k+i)為k+i時刻系統(tǒng)控制輸入增量，即電磁轉(zhuǎn)矩增量，其中i=0,1,…,Nc-1；Q和R為權(quán)重矩陣。

3.3 約束條件設(shè)計(jì)

系統(tǒng)需要對控制輸入的電磁轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩增量及系統(tǒng)輸出施加約束條件，控制輸入及其增量約束條件為

(14)

式中：umin和umax分別為電磁轉(zhuǎn)矩的最小值和最大值；Δumin和Δumax分別為電磁轉(zhuǎn)矩增量的最小值和最大值。

系統(tǒng)輸出約束條件為

γmin≤γ(k+i)≤γmax

(15)

式中，γmin和γmax分別為系統(tǒng)輸出的最小值和最大值。

3.4 優(yōu)化求解

系統(tǒng)優(yōu)化求解問題即在預(yù)測時域里，式(13)在滿足式(14)、式(15)的約束條件下達(dá)到最小。即在每個控制周期里需要解決以下問題

(16)

通過求解二次規(guī)劃問題，可以得到控制時域內(nèi)的系統(tǒng)控制輸入增量為

Nc-1)]T

(17)

將控制輸入增量的第一項(xiàng)Δu(k)取出，即可得到當(dāng)前時刻系統(tǒng)控制輸入為

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(18)

4 仿真及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證MPC方法對包含時變嚙合剛度的四慣量伺服系統(tǒng)的機(jī)械諧振抑制的有效性，并與基于PID方法的控制效果進(jìn)行比較，在MATLAB/Simulink中建立了系統(tǒng)仿真模型。伺服系統(tǒng)主要參數(shù)，如表1所示。

MPC控制器主要參數(shù)設(shè)為：預(yù)測時域Np=20，控制時域Nc=4，權(quán)重取值Q=0.1，R=1，系統(tǒng)控制輸入的電磁轉(zhuǎn)矩范圍|Te|≤60 N·m，系統(tǒng)輸出的轉(zhuǎn)速范圍|γ|≤18 000/π r/min；PID控制器參數(shù)設(shè)為：比例系數(shù)1.35，積分系數(shù)20，微分系數(shù)0.001 5。仿真時轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)參數(shù)設(shè)為：參考轉(zhuǎn)速0～500～1 000 r/min，且在1.4 s突加30 N·m的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

首先對使用MPC方法和未使用MPC方法(即速度控制器中為未經(jīng)優(yōu)化的PI控制)時負(fù)載端轉(zhuǎn)速變化進(jìn)行仿真對比，由圖11轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)可知，當(dāng)伺服系統(tǒng)未使用MPC方法時，伺服系統(tǒng)負(fù)載端轉(zhuǎn)速有很大的周期性振蕩，這是由于系統(tǒng)中存在的機(jī)械諧振未被有效的抑制的原因。利用MPC方法能夠減小負(fù)載端轉(zhuǎn)速的振蕩，即說明MPC能夠抑制所建立的四慣量伺服系統(tǒng)的機(jī)械諧振。

圖11 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)時負(fù)載端轉(zhuǎn)速變化(有無使用MPC方法對比)

為進(jìn)一步對比驗(yàn)證MPC方法的控制性能，利用MPC和PID控制方法對建立的四慣量伺服系統(tǒng)模型進(jìn)行機(jī)械諧振抑制的仿真試驗(yàn)。圖12為兩種控制方法下系統(tǒng)控制輸入的電磁轉(zhuǎn)矩變化，使用MPC方法時控制輸入的電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)時間優(yōu)于PID方法，且總體上振蕩小于PID方法。圖13為階躍響應(yīng)時負(fù)載端轉(zhuǎn)速變化的仿真結(jié)果，可以看出MPC方法下的響應(yīng)時間和超調(diào)量均優(yōu)于PID方法，其中MPC控制下的超調(diào)量約為3%、PID控制下的超調(diào)量約為12%。加入負(fù)載轉(zhuǎn)矩干擾后，MPC方法反應(yīng)迅速，抗干擾能力好。圖14和圖15為階躍響應(yīng)下負(fù)載端傳遞轉(zhuǎn)矩Ts2的變化曲線，由圖14和15可知，在電機(jī)啟動、加速以及負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變時，負(fù)載端傳遞轉(zhuǎn)矩都有較大的振蕩，使用PID方法時傳遞轉(zhuǎn)矩的振蕩大于MPC方法。仿真結(jié)果說明使用MPC方法抑制機(jī)械諧振的有效性且達(dá)到了預(yù)期控制效果。

圖12 MPC和PID方法下轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)時電磁轉(zhuǎn)矩Te變化

圖13 MPC和PID方法下轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)時負(fù)載端轉(zhuǎn)速變化

圖14 MPC和PID方法下轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)時傳遞轉(zhuǎn)矩Ts2變化

圖15 MPC和PID方法下轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)時傳遞轉(zhuǎn)矩Ts2變化(局部放大圖)

5 結(jié) 論

機(jī)械諧振抑制對提高伺服系統(tǒng)的控制品質(zhì)具有重要意義，本文為了更深入的研究多慣量伺服系統(tǒng)振動的機(jī)理、提高伺服系統(tǒng)的控制性能，主要做了以下工作。

(1) 考慮齒輪副時變嚙合剛度對伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振的影響，建立了由電機(jī)、主被動齒輪和負(fù)載組成的四慣量伺服系統(tǒng)模型，分析了系統(tǒng)機(jī)械諧振的產(chǎn)生機(jī)理，對比了有無齒輪時變嚙合剛度的伺服系統(tǒng)模型機(jī)械諧振表現(xiàn)特征，以此說明考慮齒輪時變嚙合剛度可使仿真模型更逼近真實(shí)系統(tǒng)。

(2) 基于包含齒輪時變嚙合剛度的四慣量伺服系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)了模型預(yù)測控制器，驗(yàn)證了MPC方法對考慮齒輪時變嚙合剛度模型的諧振抑制的有效性，并與PID方法的控制性能進(jìn)行了對比。

(3) 仿真結(jié)果表明，在轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)中，MPC方法能有效抑制系統(tǒng)機(jī)械諧振的影響，其控制效果優(yōu)于PID方法。