崔 艷 喬丹妮 (山西師范大學(xué) 山西 臨汾 041004)

0 引 言

近年來(lái)，多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題受到很多關(guān)注。部分原因是它廣泛應(yīng)用于解決移動(dòng)機(jī)器人網(wǎng)絡(luò)、智能交通管理和監(jiān)控系統(tǒng)中的協(xié)調(diào)與合作，為智能制造和系統(tǒng)集成也提供了非常重要的手段。與此同時(shí)，一致性理論在某些方面已成為一個(gè)挑戰(zhàn)，是控制學(xué)科的一個(gè)重要研究課題。很多專家學(xué)者已經(jīng)討論并研究了二階系統(tǒng)的相關(guān)問(wèn)題[2-7]。文獻(xiàn)[2]基于齊次理論，為達(dá)到有限時(shí)間一致性建立一些充分條件。 Khoo等[7]證明了多智能系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致性跟蹤。一些文獻(xiàn)已經(jīng)討論了帶有外部擾動(dòng)的一階多智能體系統(tǒng)的一致性收斂問(wèn)題[8-11]。Cao等[8]通過(guò)應(yīng)用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器提出了一致性算法，該觀測(cè)器是建立在狀態(tài)和擾動(dòng)基礎(chǔ)上的。文獻(xiàn)[9]對(duì)于具有外部擾動(dòng)和普通Lipschitz型非線性網(wǎng)絡(luò)的分布式系統(tǒng)，研究了其分布式一致性問(wèn)題。

此外，專家學(xué)者發(fā)現(xiàn)對(duì)拉氏矩陣的第二個(gè)最小特征值進(jìn)行改進(jìn)可以提高系統(tǒng)漸近收斂的速度[1]。同時(shí)有限時(shí)間一致控制方法比漸近一致性的收斂速度快，而且在存在外部擾動(dòng)的情況下穩(wěn)定性更好。因此，討論有限時(shí)間一致性問(wèn)題非常有意義。

大多數(shù)學(xué)者都討論了線性系統(tǒng)的一致性控制問(wèn)題。然而，很多現(xiàn)實(shí)的控制應(yīng)用大多涉及非線性和非完整。因此，討論非完整系統(tǒng)的一致性控制問(wèn)題也是必要的。文獻(xiàn)[12-14]只考慮了每個(gè)移動(dòng)智能體的部分狀態(tài)向量的協(xié)同控制，而且這些方法專門(mén)針對(duì)特定類別的多智能體系統(tǒng)。文獻(xiàn)[14]討論了協(xié)同控制問(wèn)題在非完整多智能體之間的研究。但是，有限時(shí)間一致性問(wèn)題在非完整移動(dòng)多智能體系統(tǒng)中仍然沒(méi)有太多討論。基于文獻(xiàn)[3]的研究結(jié)果，本文討論了非完整多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問(wèn)題。

目前大多數(shù)專家學(xué)者對(duì)非完整多智能體系統(tǒng)的討論很少考慮環(huán)境不穩(wěn)定的因素，但是真實(shí)網(wǎng)絡(luò)往往處于不穩(wěn)定的通信環(huán)境中，如噪聲干擾、天氣不穩(wěn)定等。因此，在前人研究基礎(chǔ)上，本文通過(guò)將非完整多智能體系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個(gè)等效系統(tǒng)，即一階和二階子系統(tǒng)的混合階系統(tǒng)，分析了具有外部擾動(dòng)的非完整多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1如果存在常數(shù)x*<∞、v*<∞，使得一個(gè)具有外部擾動(dòng)的二階多智能體系統(tǒng)滿足如下條件：

引理1[1]對(duì)于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的無(wú)向圖G，L(A)=[lij]∈Rn×n表示G的拉普拉斯矩陣，則L(A)有以下性質(zhì)成立：

(2) 如果G連通，則L(A)半正定，并且L(A)的特征根滿足0=λ1(L)<λ2(L)≤…≤λn(L)。

引理2[15]對(duì)于非Lipschitz連續(xù)非線性系統(tǒng)，假設(shè)存在一個(gè)C1上的函數(shù)V(x)定義在原點(diǎn)的鄰域，且實(shí)數(shù)c>0,α∈(0,1)使得：

(1)V(x)是正定的；

那么原點(diǎn)是局部有限時(shí)間穩(wěn)定的，且有限時(shí)間T(x(0))與初始狀態(tài)x(0)=x0有關(guān)，滿足T(x(0))≤

引理3[3]對(duì)于一個(gè)具有外部擾動(dòng)的二階多智能體系統(tǒng)：

(1)

式中：[xi,vi]T、ui和di分別表示智能體i的狀態(tài)變量、控制協(xié)議和外部干擾。假設(shè)通信拓?fù)涫沁B通的，并且滿足|di(t)|≤l≤+∞，ui設(shè)計(jì)為：

(2)

引理4對(duì)于一個(gè)一階多智能體系統(tǒng)：

(3)

式中：xi和ui分別表示智能體i的狀態(tài)變量和控制協(xié)議。假設(shè)通信拓?fù)涫沁B通的，ui設(shè)計(jì)為：

(4)

2 問(wèn)題描述

對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)非完整移動(dòng)多智能體的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，將該系統(tǒng)的狀態(tài)描述為：

(5)

式中：q*i=[q1i,q2i,q3i]T表示智能體i的位置狀態(tài);u*i=[u1i,u2i]T表示系統(tǒng)的控制協(xié)議;d是外部干擾。

本文目的是尋找分布式控制器：

(6)

式(1)系統(tǒng)的Ki={k1,k2,…,kmi}?{i}∪Ni具有任意的初始條件，可使式(1)系統(tǒng)在有限時(shí)間T內(nèi)實(shí)現(xiàn)一致性收斂(qij=qim，1≤i≤3, 1≤j≠m≤n)。

為了解決有限時(shí)間一致性問(wèn)題，受文獻(xiàn)[7,9]的啟發(fā)，本文將式(1)系統(tǒng)劃分為一階和二階子系統(tǒng)，分別表示為：

(7)

(8)

3 主要結(jié)果

3.1 定拓?fù)淝樾?/h3>

(9)

(10)

證明：

(1) 當(dāng)T

(11)

由引理3可以得到：

(2) 當(dāng)T≥T1時(shí)，所有智能體的q2i和q3i的狀態(tài)都已經(jīng)達(dá)到了一致性。因此，本文接下來(lái)只需研究一階子系統(tǒng)式(7)即可。根據(jù)引理4，式(7)系統(tǒng)的控制協(xié)議可以設(shè)計(jì)為：

(12)

綜合(1)和(2)可得，當(dāng)1≤i≤n時(shí)，所有智能體的q1i、q2i和q3i的狀態(tài)在有限時(shí)間T=T1+T2內(nèi)可以達(dá)到一致性。

3.2 切換拓?fù)淝樾?/h3>

在多智能體網(wǎng)絡(luò)中，如果兩個(gè)智能體之間存在障礙，則某些現(xiàn)有通信鏈路可能會(huì)失敗，即這種網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)淇梢允乔袚Q的或時(shí)變的。因此，具有切換網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞挠邢迺r(shí)間一致性的研究是必要的。下面討論在切換拓?fù)錀l件下，混合階系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性。

假設(shè)拓?fù)鋱D隨時(shí)間改變而改變，但是任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值不隨時(shí)間而變化，LGc為拓?fù)鋱D的指標(biāo)集，Gc為有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通圖。ω(t):R+→LGc為切換符，t0=0,(t1，t2,…,ts)為切換時(shí)間序列。

證明：與定理1證明過(guò)程相似，同樣利用引理3來(lái)證明切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的情況，從而達(dá)到實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間一致性的要求，此處省略。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)給出了以下兩個(gè)例子：

令網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銰的鄰接矩陣為A：

圖1-圖3分別表示q1、q2和q3在固定拓?fù)錀l件下的狀態(tài)軌跡圖。由圖2和圖3可知，當(dāng)t<15

圖2 定拓?fù)錀l件下的q2的狀態(tài)軌跡

圖3 定拓?fù)錀l件下的q3的狀態(tài)軌跡

參數(shù)的選取和各智能體的初始狀態(tài)與例1中的一樣。令網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銰k的鄰接矩陣為Ak，k=1,2,3,4。

圖4、圖5和圖6分別為q1、q2和q3在切換拓?fù)錀l件下的狀態(tài)軌跡圖。由圖5和圖6可知，當(dāng)t<15

5 結(jié) 語(yǔ)

本文討論了在定變拓?fù)錀l件下的帶有外部干擾的混合階系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問(wèn)題。通過(guò)將原始系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個(gè)等效系統(tǒng)，即一個(gè)一階子系統(tǒng)和一個(gè)二階子系統(tǒng)，得到了解決上述問(wèn)題的充分條件。先利用有限時(shí)間控制器,使二階子系統(tǒng)中的各個(gè)狀態(tài)達(dá)到一致,并獲取達(dá)到一致的時(shí)間上界,將該上界作為切換時(shí)間,切換到另一個(gè)有限時(shí)間控制器,控制一階子系統(tǒng)，從而控制整個(gè)系統(tǒng),最終使得系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和圖論等相關(guān)知識(shí),從理論上證明了定理的正確性,并且提供了一些仿真實(shí)例來(lái)驗(yàn)證獲得的理論結(jié)果的可行性。未來(lái)工作將針對(duì)隨機(jī)干擾做進(jìn)一步的研究，并將相關(guān)結(jié)果擴(kuò)展到高階或離散系統(tǒng)。