范 魯 娜(河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院文化傳播技術(shù)學(xué)院 河南 鄭州 450002)

0 引 言

分?jǐn)?shù)微積分已經(jīng)被研究了將近3個世紀(jì)，并且已經(jīng)被科學(xué)家廣泛應(yīng)用到科學(xué)與控制工程領(lǐng)域中[1]。分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)是由斯洛伐克學(xué)者Podlubny[2]于1994年提出，并應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階模糊系統(tǒng)中。在此項(xiàng)工作之后，其他的工程師應(yīng)用不同的設(shè)計(jì)與調(diào)整方法設(shè)計(jì)出分?jǐn)?shù)階PID控制器。分?jǐn)?shù)階微積分為復(fù)雜成比例的系統(tǒng)過程和事件提供完善的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用于物理、生物與控制理論方面[3-5]。

分?jǐn)?shù)模糊控制器(FFCs)是傳統(tǒng)模糊控制器與分?jǐn)?shù)階算子結(jié)合，在多種動力系統(tǒng)中表現(xiàn)出比傳統(tǒng)的模糊控制器更好的性能。分?jǐn)?shù)階模糊控制器中的參數(shù)估計(jì)問題一般用進(jìn)化算法去優(yōu)化求解，提高控制器的精度與穩(wěn)定性能。例如：用遺傳算法模糊分?jǐn)?shù)階控制器模型問題[6]；用混沌粒子群算法對可再生發(fā)電混合動力系統(tǒng)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階模糊控制器[7]；使用微分和聲搜索算法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階[8]；采用改進(jìn)的重力搜索算法對抽水蓄能水電機(jī)組進(jìn)行快速模糊分?jǐn)?shù)階PID控制[9]；分?jǐn)?shù)階模糊PID控制器在機(jī)械手臂中的應(yīng)用性能分析[10]；社會蜘蛛群算法對分?jǐn)?shù)模糊控制器參數(shù)標(biāo)定[11]。雖然這些算法都獲得比較理想的結(jié)果，但是仍然具有一個很重要的局限性，由于其搜索策略中的勘探與開采之間的平衡關(guān)系，容易陷入局部最優(yōu)的解，這種行為會導(dǎo)致整個種群快速集中在最優(yōu)粒子周圍，容易形成早熟收斂，不利于搜索空間的探索[12-13]。

灰狼優(yōu)化算法是由Mirjalili等[14]于2014年提出的新型群智能優(yōu)化算法。灰狼優(yōu)化算法(GWO)是模擬灰狼的狩獵機(jī)制，包括搜索獵物、追蹤獵物、包圍獵物與捕殺獵物等步驟，與其他的元啟發(fā)式優(yōu)化算法不同，該算法考慮領(lǐng)導(dǎo)階層。由于該算法具有較好的平衡勘探與開采能力，所以該算法越來越受到相關(guān)領(lǐng)域的人們重視，并成功地應(yīng)用于一些實(shí)際工程問題中。如Gupta等[15]利用GWO對電力系統(tǒng)比例積分控制器的參數(shù)進(jìn)行評估，Chaman-Motlagh[16]利用GWO設(shè)計(jì)一種具有三到五根橢圓棒的超陷光子晶體濾波器,Sulaiman等[17]利用GWO解決了電力系統(tǒng)中無功優(yōu)化調(diào)度問題。本文用灰狼優(yōu)化算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)模糊控制器參數(shù)，主要是因?yàn)榛依莾?yōu)化算法原理簡單，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少，而且在尋找全局最優(yōu)解時具有較好的求解效率與較高的求解精度。

1 分?jǐn)?shù)階模糊控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的特征是微分方程，在動力系統(tǒng)或控制算法中，分?jǐn)?shù)階通常用微分或積分模型表示[18-19]。

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分

(1)

式中：a和t表示操作算子的上下限；α表示分?jǐn)?shù)階階次且α∈R；τ表示切向單位向量。最常用的分?jǐn)?shù)階微積分定義是Riemann-Liouvile(RL)和Grunwald-Letnikou(GL)。分?jǐn)?shù)階微分階α被定義如下：

(2)

在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算中，α階導(dǎo)數(shù)在kh(k=1,2,…)點(diǎn)，具體表示如下[11]：

(3)

(4)

然后，分?jǐn)?shù)階差分方程的一般數(shù)值解被定義如下：

(5)

1.2 分?jǐn)?shù)階近似值算子

(6)

式中：hα(k)是脈沖序列；Tc表示采樣頻率。在文獻(xiàn)[23]中已經(jīng)證明了有理式模型比多項(xiàng)式模型具有更快的收斂速度。因此采用Pade近似的方法，利用文中給出的定義，從脈沖響應(yīng)中得到分?jǐn)?shù)階模型，具體模型表示為：

(7)

式中：m、n與參數(shù)ai、bi是通過調(diào)節(jié)hα(k)的系數(shù)m+n+1得到。

2 模糊控制器

模糊控制器是模擬專家的經(jīng)驗(yàn)，并用語言形成嚴(yán)格的控制規(guī)則，然后通過控制規(guī)則控制其計(jì)算，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)任務(wù)。模糊控制器的一個重要的特性是將控制方案劃分為多個區(qū)域[24]。在每個區(qū)域，控制策略都可以通過使用一個規(guī)則來簡單地建模，該規(guī)則將特定的操作按照所形成的區(qū)域關(guān)聯(lián)起來。在所列出的文獻(xiàn)中，盡管提出了幾種模糊控制器模型配置，但是本文選取模糊分?jǐn)?shù)階PDα+I模型結(jié)構(gòu)，因?yàn)榇私Y(jié)構(gòu)具有較好的穩(wěn)定性與魯棒性[6]。

控制器配置如圖1所示。其中：E、DE和IE分別代表誤差、偏導(dǎo)誤差和積分誤差；e表示偏差值；v表示模糊輸出量；Kp、Kd、Ki、Ku為增益值，前三項(xiàng)表示輸入項(xiàng)，后一項(xiàng)為輸出項(xiàng)?？刂坪瘮?shù)u是E、DE和IE的非線性映射函數(shù)，表示如下：

u(k)=(f(E,CE)+IE)Kuu(k)=[(f(Kpe,KdDαe)+KiIe)]·Ku

(8)

圖1 模糊PDα+I控制器

3 GWO

灰狼優(yōu)化算法是新型的群智能優(yōu)化算法[14]，該算法的靈感來源于灰狼群落的領(lǐng)導(dǎo)、指揮與狩獵行為。在該算法中，灰狼群被劃分為四組，分別為α、β、δ、ω，前三種類型是作為領(lǐng)導(dǎo)階層，ω是最底層灰狼種群，追隨前3種種群。α、β、δ灰狼種群的更新公式如下：

D=|C·Xp(t)-X(t)|

(9)

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(10)

A=2a·r1-a

(11)

C=2·r2

(12)

式中：D表示灰狼與獵物之間的位置距離向量；t表示當(dāng)前的迭代時間；A、C是向量系數(shù)；Xp是獵物的位置向量；X是灰狼的位置向量；a是步長因子，隨著迭代次數(shù)的增加由2降到0；r1、r2取[0,1]間的均勻隨機(jī)值。

在GWO中，認(rèn)定α、β、δ為捕食獵物的最好的值，在優(yōu)化的過程中，α、β、δ被認(rèn)為是最好的解，其他灰狼為ω，不斷更新位置朝向α、β、δ種群。根據(jù)以下數(shù)學(xué)模型，調(diào)整ω狼群的位置：

Dα=|C1·Xα-X|

(13)

Dβ=|C2·Xβ-X|

(14)

Dδ=|C3·Xδ-X|

(15)

式中：Xα表示α灰狼的位置;Xβ表示β的位置;Xδ表示δ灰狼的位置;C1、C2、C3是隨機(jī)值；X表示當(dāng)前解決方案位置。用式(13)、式(14)和式(15)分別計(jì)算當(dāng)前解位置與α、β、δ灰狼位置之間的距離。定義距離之后，當(dāng)前解的最終位置計(jì)算如下：

X1=Xα-A1·(Dα)

(16)

X2=Xβ-A2·(Dβ)

(17)

X3=Xδ-A3·(Dδ)

(18)

(19)

式(13)-式(15)定義了ω灰狼步長分別朝向α、β、δ灰狼位置。式(16)-式(19)定義了ω灰狼最終的位置。A、C這兩個向量是隨機(jī)值，能夠有效平衡GWO勘探與開采能力。

Mirjalili 等[14]提出的GWO相比于其他著名的元啟發(fā)式算法具有很高的性能。該算法具有很強(qiáng)的探測能力，而且能夠避免局部最優(yōu)。此外，較強(qiáng)的平衡勘探與開采能力能夠有效解決一些復(fù)雜的工程問題。因此應(yīng)用GWO優(yōu)化模糊控制器參數(shù)問題。

4 用GWO對分?jǐn)?shù)階模糊控制器參數(shù)優(yōu)化

在分?jǐn)?shù)階模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)階段，將參數(shù)計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為一個多維優(yōu)化問題，將分?jǐn)?shù)階模糊控制器參數(shù)作為決策變量。在這種方法中，優(yōu)化問題的復(fù)雜性往往產(chǎn)生多模態(tài)誤差曲面，其代價函數(shù)往往難以最小化。提出一種分?jǐn)?shù)階模糊控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化標(biāo)定算法，采用GWO確定最優(yōu)的參數(shù)值，如圖2所示。

圖2 基于GWO優(yōu)化模糊控制器的參數(shù)問題

在GWO求解模糊控制器參數(shù)問題中，GWO中的最優(yōu)解表示分?jǐn)?shù)階模糊控制器的一組最優(yōu)的參數(shù)。分?jǐn)?shù)模糊控制器參數(shù)(α，Kp,Kd,Ki,Ku)確定GWO候選解的維度。GWO的生物空間對應(yīng)分?jǐn)?shù)模糊控制器參數(shù)整定的解空間。另外，GWO的評價函數(shù)是分?jǐn)?shù)模糊控制器的積分時間絕對誤差(ITAE)[25]。ITAE指標(biāo)J由以下模型定義：

(20)

式中：y(t)表示閉環(huán)階躍響應(yīng)函數(shù);r(t)表示階躍函數(shù)。

最小化目標(biāo)函數(shù)為：

J(X)X=(α,Kp,Kd,Ki,Ku)∈R5

(21)

約束函數(shù)為:

0≤α≤3

0≤Kp≤5

0≤Kd≤5

0≤Ku≤5

控制器的參數(shù)值對控制器的性能具有較高的影響。例如，比例系數(shù)Kp值增加時，系統(tǒng)會變得敏感，響應(yīng)速度更快，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差得以減小，從而使控制的精度提高。GWO優(yōu)化的過程是通過連續(xù)計(jì)算ITAE值來評價該參數(shù)的質(zhì)量，根據(jù)GWO的優(yōu)化規(guī)則，通過連續(xù)迭代求出ITAE的最小值，從而得到一組分?jǐn)?shù)階模糊控制器的控制參數(shù)。

5 實(shí)驗(yàn)仿真

運(yùn)用灰狼算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階模糊控制器的參數(shù)，主要優(yōu)化控制器參數(shù)α、Kp、Kd、Ki、Ku指標(biāo)。在比較算法中，將按照各自算法最優(yōu)的參數(shù)值進(jìn)行設(shè)置，表1給出了算法的初始參數(shù)設(shè)置。

表1 算法的初始參數(shù)設(shè)置

在MATLAB R2012a上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，且設(shè)置實(shí)驗(yàn)算法中統(tǒng)一種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為30次，獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)為15次。為了驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階PID模糊控制器的控制性能，采用隸屬函數(shù)高階系統(tǒng)對該控制器的性能進(jìn)行測試，隸屬函數(shù)高階系統(tǒng)G(s)表示如下：

(22)

式中：s表示傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)域。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果中高階系統(tǒng)G(s)的ITAE表示最優(yōu)值，表2展示不同算法測試隸屬函數(shù)的最好值、最差值、平均值與方差值結(jié)果。

可以看出GWO在優(yōu)化分?jǐn)?shù)模糊控制器參數(shù)上獲得較小的適應(yīng)度值，而且測試隸屬函數(shù)高階系統(tǒng)G(s)，取得最小的誤差。這說明GWO比SSO、PSO、FPA、CS和BA優(yōu)化分?jǐn)?shù)階模糊控制器值獲得較好的結(jié)果。

本文實(shí)驗(yàn)考慮到高階動力系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用，將GWO優(yōu)化分?jǐn)?shù)階模糊控制器的參數(shù)方法與蝙蝠算法、布谷鳥算法、花授粉算法、粒子群算法與社會蜘蛛群算法進(jìn)行比較。響應(yīng)時間設(shè)置為10 s，設(shè)置所有算法的種群數(shù)為30個，最大的迭代次數(shù)也設(shè)置為30次，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)為15次。表3展現(xiàn)了所有算法的優(yōu)化分?jǐn)?shù)階模糊控制器的最佳參數(shù)值以及ITAE的平均值。結(jié)果表明，GWO與BA、CS、FPA、PSO和SSO相比具有更好的性能。

表3 優(yōu)化算法校準(zhǔn)模糊控制器G(s)最佳參數(shù)值

圖3顯示不同算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)模糊控制器參數(shù)的收斂曲線，可以很明顯看出GWO在優(yōu)化分?jǐn)?shù)階問題獲得較快的收斂速度，而且穩(wěn)態(tài)誤差也是最小的。圖4展現(xiàn)高階系統(tǒng)G(s)在不同算法所優(yōu)化最佳參數(shù)值下的階躍響應(yīng)曲線，很明顯在GWO優(yōu)化分?jǐn)?shù)模糊控制器參數(shù)下的隸屬函數(shù)G(s)階躍曲線有著更加平穩(wěn)、超調(diào)量小、調(diào)節(jié)時間短、響應(yīng)時間快等較好的動態(tài)性能。

圖3 G(s)不同算法的收斂比較

6 結(jié) 語

本文提出一種基于灰狼算法的優(yōu)化方法優(yōu)化分?jǐn)?shù)模糊控制器參數(shù)問題。GWO是一種新型的元啟發(fā)式群智能算法，靈感來源于灰狼的捕食與社會等級等習(xí)性。該算法明確個體集中最優(yōu)位置，避免因次優(yōu)解的過早收斂、勘探與開采之間的不平衡關(guān)鍵缺陷。為了說明該算法優(yōu)化參數(shù)問題的有效性與魯棒性，針對高階系統(tǒng)G(s)，通過GWO進(jìn)行實(shí)驗(yàn)評價。為了評估GWO優(yōu)化參數(shù)問題的性能，將該算法與蝙蝠算法、布谷鳥算法、花授粉算法、粒子群算法和社會蜘蛛群算法比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在求解質(zhì)量和收斂性方面優(yōu)于其他方法。