>>>范倩楠

(審稿：何柏林)

(本文責編：趙寧寧)

立體幾何是高中數學的重要模塊之一.包括“空間幾何體”“點、線、面的位置關系”“空間向量和立體幾何”等幾部分。高考立體幾何解答題具有較強的綜合性.重視基礎知識、基本技能和創(chuàng)新意識的考查.突出直觀想象、邏輯推理、數學運算等學科核心素養(yǎng)的檢測.多數采用“一問證明、一問計算”的呈現方式.第一問主要考查點、線、面位置關系的證明.第二問涉及角與距離或體積的計算。本文對2020年全國卷Ⅰ理科第18題的答題情況進行分析.以期對立體幾何的備考提供參考。

一、高考原題

【2020年全國卷Ⅰ，理科數學18題】

(1)證明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

解法示范：

(1)由題設知，△DAE為等邊三角形，設AE=1，

同理PA⊥PC，又PC∩PB=P，所以PA⊥平面PBC.

二、錯例典析

1.邏輯推理欠規(guī)范

2.空間直角坐標系建立不妥當

3.運算出錯

三、備考建議

1.回歸教材

教材是落實學生數學核心素養(yǎng)的重要資源.也是歷年高考命題的重要素材。在立體幾何的教學中.要學會從課本的基本立體圖形中.發(fā)現和探索直線、平面平行(垂直)關系的判定和性質。要善于從一般到特殊.從線到面再到體.完善立體幾何的研究路徑.踐行立體幾何的研究方法.從而發(fā)展學生直觀想象的數學素養(yǎng)。

2.重視“基本圖形”的作用,形成完善的知識與思想方法體系

對于學生來說.總感覺立體幾何圖形線條多.又處在不同平面內.難以發(fā)現要素之間的關系。實際上.空間圖形總有一些簡單的“基本圖形”.教學中應重視基本圖形的作用.立足從“基本圖形”到“變式圖形”再到“綜合圖形”.就能形成完善的知識與方法體系。

3.規(guī)范書寫,發(fā)展邏輯推理的數學素養(yǎng)

學生在立體幾何題解答過程中存在兩個突出問題:一是證明過程表述不規(guī)范.甚至是主觀臆斷；二是使用向量方法時經常出現計算錯誤.將相應點的坐標、向量坐標或平面的法向量求錯.導致失分。因此.對立體幾何定理性質的學習.在重視理解的同時還要強化表述和記憶.特別是“三種語言”——文字語言、符號語言、圖形語言之間的轉換。文字語言有助于記憶；符號語言有助于推理過程的正確書寫；圖形語言有助于從復雜問題情境中提取定理的基本模型。

4.重視向量法的過程性教學

利用向量法快速準確解決立體幾何問題的關鍵是建立合適的空間直角坐標系。常用方法有:

（1）利用共頂點互相垂直的三條棱建立空間直角坐標系.如圖1；

圖1

（2）利用線面垂直關系建立空間直角坐標系.如圖2；

圖2

（3）利用面面垂直關系建立空間直角坐標系.如圖3；

圖3

（4）利用正棱錐的中心與高所在直線建立空間直角坐標系.如圖4。

圖4