孫建偉， 王 賀， 李曉東

(1.長春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 吉林 長春 130012;2.長春工業(yè)大學(xué) 工程訓(xùn)練中心， 吉林 長春 130012)

0 引 言

折紙機(jī)構(gòu)[1]最早起源于折紙藝術(shù)，機(jī)構(gòu)學(xué)家從中受到啟發(fā)，將紙板折疊可形成一定數(shù)目的折痕和紙板單元，將紙板單元等效為構(gòu)件，折痕等效為轉(zhuǎn)動副，紙板則等效為一個具體機(jī)構(gòu)，即折紙機(jī)構(gòu)。在折紙機(jī)構(gòu)應(yīng)用中，目標(biāo)是利用折紙機(jī)構(gòu)具有質(zhì)量輕、存放體積小和便于運輸?shù)慕Y(jié)構(gòu)特點[2-4]。

近年來，很多國內(nèi)外學(xué)者與研究機(jī)構(gòu)依據(jù)折紙機(jī)構(gòu)提出多種行走機(jī)器人，并且在其設(shè)計、材料和制造方面做了大量工作[5-11]。其中將折紙機(jī)構(gòu)運用到仿生爬行類機(jī)器人的方法得到了深入研究[12-15]。但是對于折紙機(jī)構(gòu)的折疊驅(qū)動問題，由于機(jī)構(gòu)折疊順序、角度和方向等參數(shù)多，驅(qū)動相對困難，為折紙機(jī)器人折疊提供有效方法還比較少，因此，完善折紙機(jī)構(gòu)驅(qū)動的理論方法需要在完成有效折疊的同時，盡可能減少對折紙機(jī)構(gòu)折疊不影響的機(jī)構(gòu)參數(shù)。在折紙機(jī)構(gòu)中，剛性折紙機(jī)構(gòu)是應(yīng)用最為廣泛的。

文中通過一種可爬行與轉(zhuǎn)向的折紙機(jī)器人為設(shè)計目標(biāo)，在設(shè)計一種具有雙穩(wěn)態(tài)折紙機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出了將張拉整體結(jié)構(gòu)應(yīng)用到折紙機(jī)構(gòu)的驅(qū)動上，通過對張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動的折紙機(jī)器人建立結(jié)構(gòu)模型、運動仿真和搭建物理樣機(jī)，實現(xiàn)折紙機(jī)器人的爬行與轉(zhuǎn)向。折紙機(jī)器人的長度可以完成從192 mm到144 mm的變化，理論展收比為0.75，爬行速度可達(dá)40 mm/s。

1 折紙機(jī)構(gòu)折疊單元設(shè)計與分析

標(biāo)準(zhǔn)單頂點五折痕構(gòu)型及折疊構(gòu)態(tài)如圖1所示。

(a) 折疊單元平面展開 (b) 折疊單元折展圖1 單頂點五折痕

將圖1中的五條折痕控制3條折痕轉(zhuǎn)角,可以確定兩種折紙機(jī)構(gòu)構(gòu)型形狀。折疊單元的折痕交點即頂點為n，Pi為第i個剛性平面，排序方向為逆時針。折痕分別為f1、f2、f3、f4、f5，其中f1、f2、f4為山折痕(折痕為山峰)，f3和f5為谷折痕(折痕為山谷)。αij為折痕夾角，即折痕i與折痕j的夾角。該設(shè)計結(jié)構(gòu)簡單，能夠?qū)崿F(xiàn)兩種折疊狀態(tài)，完成可移動折紙機(jī)構(gòu)兩自由度移動構(gòu)想。

坐標(biāo)變換過程如圖2所示。

(a) 以z1為旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)變換 (b) 以x2為旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)變換圖2 坐標(biāo)變換過程

將圖2中折痕內(nèi)交點作為原點，以f1為x1軸，方向由原點向外，y1軸垂直于x1軸，z1軸方向與各面垂直組成坐標(biāo)系。其中ρ1為折痕轉(zhuǎn)角，αij為折痕夾角。將坐標(biāo)系O-x1y1z1繞z1軸按逆時針方向轉(zhuǎn)動α12,得到O-x11y11z11，見圖2(a)，變換后的x1與x2重合。再將坐標(biāo)系O-x11y11z11繞x2軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)動ρ1，見圖2(b)，得到O-x12y12z12。此時兩坐標(biāo)系O-x12y12z12與O-x2y2z2重合。同理，按照此類坐標(biāo)變換方式，將坐標(biāo)系O-x1y1z1分別繞z1、x2、z2、x3、z3、x4、z4、x5、z5、x1進(jìn)行10次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換后，O-x1y1z1旋轉(zhuǎn)變換到與自身重合。

將折痕夾角與折痕轉(zhuǎn)角的標(biāo)注簡化，折疊單元的折痕夾角與折痕轉(zhuǎn)角示意圖如圖3所示。

(a) 折痕夾角 (b) 折痕轉(zhuǎn)角圖3 折疊單元的折痕夾角與折痕轉(zhuǎn)角示意圖

由于谷折痕對稱且大小相等，文中定義谷折痕與水平面的夾角，即谷折痕轉(zhuǎn)動角為輸入角θ，為可控輸入值。由于折疊單元水平放置于地面，折疊單元折疊后的ln22n31、ln23n33分別與水平面接觸，即

θ=π-ρ4。

(1)

為了避免折疊過程中相鄰兩剛性面間的結(jié)構(gòu)干涉，需要將折痕轉(zhuǎn)角ρ的范圍限制為

-π<ρ<π。

(2)

通過坐標(biāo)系的多次旋轉(zhuǎn)變換聯(lián)系起來，可以得到折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系方程

Z(α12)X(ρ2)Z(α23)X(ρ3)Z(α34)X(ρ4)×Z(α45)X(ρ5)Z(α51)X(ρ1)=I,

(3)

式中：X(ρ)----繞x軸轉(zhuǎn)動ρ角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,

(4)

Z(α)----繞z軸轉(zhuǎn)動α角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,

(5)

I----單位矩陣,

(6)

分析建立了單頂點五折痕折紙機(jī)構(gòu)折痕轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系方程，對于折痕數(shù)為n的單頂點剛性折紙機(jī)構(gòu)構(gòu)型，均可使用該方法建立折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系方程。

2 可移動折紙機(jī)器人構(gòu)型設(shè)計

折疊單元的兩種折疊構(gòu)態(tài)如圖4所示。

圖4 兩種折疊構(gòu)態(tài)

單頂點折紙機(jī)構(gòu)的自由度等于折痕總數(shù)減3，則對于折痕數(shù)為5的單頂點折紙機(jī)構(gòu)，在確定任意2個折痕轉(zhuǎn)角之后，剩余3個折痕轉(zhuǎn)角可通過式(1)求得。為了保證可移動折紙機(jī)器人行走的穩(wěn)定性和可雙向移動的對稱性，折疊單元在折疊運動時折痕夾角α51=α23,α34=α45和折痕轉(zhuǎn)角ρ1=ρ2,ρ3=ρ5。

其中，如圖4中折疊構(gòu)態(tài)2，由于折痕夾角α51=α23,α34=α45和折痕轉(zhuǎn)角ρ1=ρ2,ρ3=ρ5，建立各折痕轉(zhuǎn)角的關(guān)系方程見式(3)。

式中

(7)

其中，ρ4可由輸入角θ得到，ρ1可由厚板化折紙機(jī)構(gòu)確定。即ρ1(ρ2)、ρ4為已知折痕轉(zhuǎn)角，建立如下各折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系方程

Z(α12)X(ρ1)Z(α23)X(ρ3)Z(α34)X(ρ4)×

Z(α45)X(ρ3)Z(α51)X(ρ1)=I。

其中各折痕夾角為已知，即當(dāng)α12=90°、α23=α51=45°、α45=α51=90°時,求取折痕夾角ρ3(ρ5)

(8)

在折痕轉(zhuǎn)角ρ1(ρ2)、ρ4確定時，ρ3(ρ5)可以由式(6)得出，既而得到單頂點五折痕折疊單元的折疊構(gòu)態(tài)。

經(jīng)計算得出α12為90°時,折疊單元有效折疊最高，采用α12為90°的折疊單元，在確定輸入角θ和折痕轉(zhuǎn)角ρ1可求出其余折痕轉(zhuǎn)角，見表1。

表1 α12=90°時折痕夾角下折痕轉(zhuǎn)角計算結(jié)果 (°)

建立可移動折紙機(jī)器人數(shù)學(xué)模型，在單頂點五折痕折紙機(jī)構(gòu)構(gòu)型的基礎(chǔ)上，對折疊單元進(jìn)行改進(jìn)，使得折疊單元更加適合組裝的同時，保持了剛性折疊的特性，為折疊單元拼接和機(jī)器人剛性折疊運動做基礎(chǔ)。單頂點五折痕折疊單元結(jié)構(gòu)性對稱，重復(fù)性強(qiáng)，參考系坐標(biāo)易于選取，空間各點在折痕轉(zhuǎn)角關(guān)系方程下得到，可以完成折疊單元建模，如圖5所示。

(a) 折疊單元構(gòu)態(tài)1

(b) 折疊單元構(gòu)態(tài)2圖5 折疊單元建模

將兩組折疊單元組合可實現(xiàn)兩種對稱折疊穩(wěn)態(tài),如圖6所示。

(a) 前后足 (b) 左右足圖6 兩折疊單元組成的兩種折疊構(gòu)態(tài)

折紙機(jī)器人折疊模型如圖7所示。

圖7 折紙機(jī)器人折疊構(gòu)型

在前后行走時,前后足與地面接觸，左右足抬起;在左右行走時,左右足與地面接觸，前后足抬起。行走時減少了機(jī)器人其余部分與地面的摩擦，減少能量損耗，提升行走速度。

3 基于張拉整體結(jié)構(gòu)的可移動折紙機(jī)器人行走實驗

3.1 折痕夾角與折痕轉(zhuǎn)角選擇

不同折痕夾角的折疊單元如圖8所示。

圖8 不同折痕夾角的折疊單元

根據(jù)折疊單元構(gòu)型展收比最佳原則,以及考慮折紙機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性對不同折痕夾角的折疊構(gòu)型進(jìn)行選擇。圖8是折痕夾角α12分別為120°、90°、60°的折紙機(jī)構(gòu)單元，對應(yīng)的折痕夾角α23(α51)分別為30°、45°、60°。

基于張拉整體驅(qū)動的折紙機(jī)器人，由于張拉整體結(jié)構(gòu)尺寸的限制與實際裝配要求，折紙機(jī)器人行徑(展收比)不僅與折痕轉(zhuǎn)角和張拉單元的位置關(guān)系有關(guān)，還受到折紙機(jī)構(gòu)構(gòu)型與張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動單元位置關(guān)系的影響。張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動如圖9所示。

圖9 張拉整體結(jié)構(gòu)

根據(jù)不同姿態(tài)下的張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動單元與折紙機(jī)構(gòu)的位置約束條件，匹配合適的軌道拉簧組合。其中短拉簧長度為l1i(i=1，2，3，4)、長拉簧長度為l1j(j=1，2，3，4)、短導(dǎo)軌長度為ld。傳動限位結(jié)構(gòu)的不等式約束條件如下：

(9)

(10)

ld>l11。

(11)

其中張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動中最大拉伸夾角θ3為短導(dǎo)軌與長拉簧的極限接觸位置，即

(12)

式中：r1----短導(dǎo)軌半徑;

d1----短導(dǎo)軌與拉簧極限接觸時短導(dǎo)軌到端點的距離。

3.2 彈簧剛度匹配

折紙機(jī)器人質(zhì)量很輕，垂直方向上所受重力可以忽略不計，只需計算水平方向上的受力分析即可，從而進(jìn)行相應(yīng)彈簧剛度匹配。根據(jù)平行四邊形定則，折紙機(jī)器人完全展開姿態(tài)時每組張拉驅(qū)動單元中各彈簧水平方向的合力最小，隨著折紙機(jī)器人折疊姿態(tài)逐步收攏，各彈簧受到合力逐漸減小。因此,匹配的彈簧剛度只要能夠保證折紙機(jī)器人在完全展開姿態(tài)時穩(wěn)定運行，就可以滿足其他姿態(tài)下折紙機(jī)器人的穩(wěn)定行走。

令實驗折紙機(jī)器人驅(qū)動電機(jī)輸入力為F輸入， 短彈簧受到拉力為Fi(i=1,2,3,4)，彈簧剛度系數(shù)為Ki，短彈簧變化量為Δl1i=l1i-l1i*，彈簧EF受到拉力為FEF。長彈簧受到拉力為Fj(j=1,2,3,4)，彈簧剛度系數(shù)為K2，長彈簧變化量為Δl1j=l1j-l1j*，彈簧AB受到拉力為FAB。由胡克定律得到：

Fi=K1Δl1i,

(13)

Fj=K2Δl2j。

(14)

由于垂直方向上的作用力為折疊折紙機(jī)器人所需力，這里將折痕視為零厚度，垂直方向上的折疊所需力為零，即只分析水平方向力即可。

當(dāng)完全展開時，A點水平方向靜力平衡方程為

FAB=FACcosθ1=2K1Δl1icosθ1。

(15)

當(dāng)輸入力F輸入作用在A點時，A點水平方向靜力平衡方程為：

(16)

(17)

式(15)～式(17)中Δl1i不等，得到：

(18)

(19)

根據(jù)式(15)～式(17)得到：

(20)

(21)

分別將α12、α23、α34、ρ1、ρ4、θ、θ1、θ2、li1(i=1,2,3)、F輸入等代入式(1)～式(21),并利用Matlab計算得出可移動折紙機(jī)器人的具體參數(shù)，見表2。

表2 折紙機(jī)器人參數(shù)

3.3 折紙機(jī)器人驅(qū)動部分設(shè)計及整體實驗

機(jī)構(gòu)的收縮狀態(tài)如圖10所示。

根據(jù)可移動折紙機(jī)構(gòu)的運動幾何特性，由式(1)和式(3)可知，通過改變θ即可控制折紙機(jī)構(gòu)的折疊狀態(tài)，而在其對稱面Pi上，點n22、n24、n42、n4始終共線且相鄰兩點間的直線變換距離相同，這些點的運動規(guī)律恰好可由張拉整體結(jié)構(gòu)中兩桿張拉機(jī)構(gòu)實現(xiàn)。因此，可通過控制兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)的張拉特性來驅(qū)動折紙機(jī)構(gòu)的折展運動，并用于可移動折紙機(jī)器人的設(shè)計，在CATIA軟件中建立虛擬樣機(jī)模型，得到機(jī)構(gòu)的收縮狀態(tài)見圖10(a)。兩桿張拉機(jī)構(gòu)與折紙機(jī)構(gòu)之間是通過將折紙機(jī)構(gòu)從零厚度到厚板化后，將張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動嵌入厚板折紙機(jī)構(gòu)中，見圖10(b)。

(a) 折紙機(jī)器人的折展

(b) 張拉整體結(jié)構(gòu)嵌入式安裝圖10 機(jī)構(gòu)的收縮狀態(tài)

利用3D打印機(jī)打印出厚板構(gòu)件，使用小鉸鏈和兩組拉簧完成折紙機(jī)器人的裝配。完成樣機(jī)實物模型的搭建,如圖11所示。

(a) 機(jī)器人樣機(jī)的平面展開

(b) 機(jī)器人樣機(jī)的折疊圖11 3D打印厚板折紙機(jī)器人

在折紙機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，還需要加上驅(qū)動模塊為機(jī)器人提供動力，驅(qū)動張拉整體結(jié)構(gòu)形變，進(jìn)而實現(xiàn)折紙機(jī)器人的折疊。

折紙機(jī)器人爬行如圖12所示。

圖12 折紙機(jī)器人爬行

折紙機(jī)器人包括一組張拉驅(qū)動單元、厚板化的折紙機(jī)構(gòu)、類棘輪機(jī)構(gòu)足和舵機(jī)。張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動的可移動折紙機(jī)器人運動原理是在確定運動方向后，折紙機(jī)構(gòu)完全展開時電機(jī)轉(zhuǎn)動開始驅(qū)動，電機(jī)轉(zhuǎn)動可以拉動繩索，繩索的另一端通過與特定折紙機(jī)構(gòu)構(gòu)件固定，帶動張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動拉簧收縮，進(jìn)而減小張拉驅(qū)動機(jī)構(gòu)運動方向上的長度，即實現(xiàn)折紙機(jī)構(gòu)的折疊運動。又由于折紙機(jī)器人足部具有類棘輪機(jī)構(gòu)，可實現(xiàn)折紙機(jī)器人運動。同理，在折紙機(jī)器人轉(zhuǎn)向時，改變驅(qū)動電機(jī)即可。

4 結(jié) 語

基于折紙機(jī)構(gòu)提出一種創(chuàng)新型雙穩(wěn)態(tài)單頂點五折痕折紙機(jī)構(gòu)單元，通過機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計制造可移動折紙機(jī)器人。張拉整體結(jié)構(gòu)驅(qū)動的可移動折紙機(jī)器人具有兩個主要特征：一是折紙機(jī)構(gòu)方便運輸和所占空間小等優(yōu)點；二是具有張拉整體機(jī)構(gòu)環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)、穩(wěn)定性好和機(jī)構(gòu)剛度大的特點，通過主動改變折紙機(jī)構(gòu)的輸入角，可以實現(xiàn)穩(wěn)定行走與轉(zhuǎn)向。通過搭建物理樣機(jī)，證明張拉驅(qū)動的折紙機(jī)器人能夠穩(wěn)定折疊與展開，并且可以在展開后實現(xiàn)轉(zhuǎn)向功能，張拉整體機(jī)構(gòu)拓寬了足式行走機(jī)構(gòu)自適應(yīng)性的研究。