陳華鑫，尤晶晶,2，王林康，唐子凱，李成剛

(1.南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2.江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016；3.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引 言

六維加速度傳感器在汽車(chē)安全、機(jī)器人、航空航天等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。目前，六維加速度傳感器還處于理論研究階段，Zou T等人[1]基于8個(gè)線加速度計(jì)，提出一種空間幾何構(gòu)型。孫治博等人[2]提出了一種基于Stewart機(jī)構(gòu)的六維加速度傳感器。尤晶晶等人[3]設(shè)計(jì)了多種構(gòu)型的并聯(lián)式六維加速度傳感器，相比于傳統(tǒng)的由加速度計(jì)和陀螺儀組合而成的系統(tǒng)，有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、精度高、量程大等優(yōu)點(diǎn)。

然而，六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入、輸出量較多，且屬于強(qiáng)非線性耦合系統(tǒng)，這造成傳感器的解耦過(guò)程極其復(fù)雜。研究發(fā)現(xiàn)，如果能夠不考慮質(zhì)量塊相對(duì)于基座的運(yùn)動(dòng)，理論上能夠降低解耦算法的復(fù)雜性，并提高解算效率[4，5]。但是，目前還未有文獻(xiàn)專(zhuān)門(mén)研究上述相對(duì)運(yùn)動(dòng)與待測(cè)體絕對(duì)運(yùn)動(dòng)之間的依賴特性。

本文通過(guò)剖析四種不同構(gòu)型并聯(lián)式六維加速度傳感器因忽略質(zhì)量塊相對(duì)基座的運(yùn)動(dòng)而額外引入的誤差與待測(cè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系，挖掘出4種構(gòu)型傳感器可以忽略相對(duì)運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用場(chǎng)合。最后，通過(guò)計(jì)算并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的條件數(shù)，評(píng)估了構(gòu)型的各向同性，并據(jù)此解釋了上述結(jié)果。本文的研究方法及結(jié)論為六維加速度傳感器解耦算法的進(jìn)一步優(yōu)化提供了理論依據(jù)。

1 并聯(lián)式六維加速度傳感器組成與原理

本文的研究對(duì)象是四種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六維加速度傳感器，每一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)都涉及到多條相同的SPS支鏈，其中S代表球面副，P代表移動(dòng)副，每條SPS支鏈由一根圓柱狀壓電陶瓷和兩個(gè)圓弧形彈性球鉸鏈組成。立方體質(zhì)量塊通過(guò)SPS支鏈與基座相連。9—3,12—6,12—4和9—4構(gòu)型傳感器布局原理分別如圖1所示[6]，其中，9—3構(gòu)型包含3個(gè)位于質(zhì)量塊面的中心的三重復(fù)合球鉸鏈，而12—6構(gòu)型含6個(gè)二重復(fù)合球鉸鏈，其位置在棱邊的中點(diǎn)，12—4構(gòu)型與9—4構(gòu)型相似，復(fù)合鉸鏈位置在質(zhì)量塊的頂點(diǎn)。

圖1 四種構(gòu)型傳感器布局原理圖

在傳感器工作時(shí)，基座和待測(cè)物體穩(wěn)固連接在一起，即基座的加速度和被測(cè)對(duì)象的加速度信息一致。當(dāng)傳感器隨待測(cè)物體做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在慣性力和慣性力矩作用下，質(zhì)量塊壓縮或拉伸各支鏈壓電陶瓷。由于壓電陶瓷質(zhì)量小，并且支鏈兩端連接球面副，故可將SPS支鏈視作二力桿。被壓縮或拉伸的壓電陶瓷由于正壓電效應(yīng)，在沿極化方向作用力下其極化面上會(huì)產(chǎn)生電荷。各個(gè)通道輸出的電荷通過(guò)信號(hào)調(diào)理電路進(jìn)行電壓變換、放大和濾波處理，轉(zhuǎn)換為低輸出阻抗的電壓信號(hào)，再通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字量供計(jì)算機(jī)分析處理[7]。根據(jù)傳感器輸出量，即各支鏈的軸向力，可解耦求得六維加速度傳感器基座加速度的6個(gè)獨(dú)立分量。

2 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

因各支鏈的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳感器質(zhì)量塊的質(zhì)量，且各支鏈的運(yùn)動(dòng)速度很小，使得其阻尼力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于彈性力，因此仿真模型中可以忽略支鏈的質(zhì)量及阻尼；又考慮到以下三點(diǎn)：1)各支鏈為二力桿，作用力方向沿壓電陶瓷軸線方向，鉸鏈的扭轉(zhuǎn)剛度不影響計(jì)算；2)鉸鏈設(shè)計(jì)成球鉸，尺寸很小，且具有非常大的軸向剛度[8，9]；3)壓電陶瓷本身的剛度很大，支鏈變形很小。綜上，模型中使用彈簧代替各支鏈(包括復(fù)合球鉸鏈、壓電陶瓷及球鉸鏈)。理論上，支鏈的剛度應(yīng)為復(fù)合球鉸鏈、壓電陶瓷、中間連接件及球鉸鏈的合成剛度。在對(duì)傳感器進(jìn)行數(shù)值仿真研究時(shí)，只要保證仿真軟件(ADAMS)中彈簧剛度的設(shè)定值與理論模型中的支鏈剛度值一致即可[10]。四種構(gòu)型傳感器的虛擬樣機(jī)中，質(zhì)量塊的邊長(zhǎng)為42 mm，質(zhì)量為0.577 kg，彈簧剛度系數(shù)為2.07×105(N/mm)。

不失一般性地，在傳感器基座上同時(shí)施加直線驅(qū)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，其方向矢量分別為(-0.758，0.379，0.53)和(0.655，0.492，-0.573)，線加速度函數(shù)X1和角加速度函數(shù)X2分別為

Xi=Aicos(Biπ×t)-Ai(m/s2),i=1,2

(1)

式中A1，A2分別為線加速度和角加速度幅值，線加速度、角加速度頻率由B1,B2決定。顯然，線加速度頻率f1,角加速度頻率f2分別為

(2)

本文主要考慮線加速度的幅值A(chǔ)1,頻率f1及角加速度的幅值A(chǔ)2頻率f2對(duì)質(zhì)量塊相對(duì)于基座運(yùn)動(dòng)的影響情況，四種傳感器4個(gè)參量的標(biāo)準(zhǔn)值及最大、最小值如表1、表2所示。受工作頻域上限限制，9—4構(gòu)型傳感器頻率f1最大值取115 Hz，其余參量取值與其它構(gòu)型參量相同。每次仿真時(shí)設(shè)置采樣頻率為驅(qū)動(dòng)頻率的200倍，即采樣步長(zhǎng)為1/(100B)(B為B1和B2中最大值)，仿真終止時(shí)間為2 s。

表1 9—3,12—6,12—4構(gòu)型的仿真輸入?yún)⒘?/p>

表2 9—4構(gòu)型的仿真輸入?yún)⒘?/p>

完成ADAMS建模并確定各參量的考察范圍后即可仿真各參量對(duì)質(zhì)量塊相對(duì)于基座運(yùn)動(dòng)的影響情況。設(shè)定ADAMS所測(cè)定的目標(biāo)函數(shù)為質(zhì)量塊質(zhì)心的各維線加速度和角加速度及傳感器基座中心的各維線加速度和角加速度?；诳刂谱兞糠ㄒ来涡薷氖┘佑诨木€驅(qū)動(dòng)和角驅(qū)動(dòng)的幅值及頻率。引入相對(duì)誤差e來(lái)衡量因忽略質(zhì)量塊相對(duì)于基座的運(yùn)動(dòng)而帶來(lái)的誤差

(3)

式中aabs為質(zhì)量塊質(zhì)心的加速度值,asti為傳感器基座中心的加速度值。n為一個(gè)周期內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)，T量程指的是asti的最大值與最小值之差，故e可表征因忽略質(zhì)量塊相對(duì)于基座的運(yùn)動(dòng)而引入的誤差大小。

從仿真結(jié)果看，4種構(gòu)型傳感器受激勵(lì)加速度幅值影響的相對(duì)誤差始終小于0.001 %。這里僅列出受激勵(lì)加速度頻率影響的相對(duì)誤差曲線圖。其中，激勵(lì)加速度頻率對(duì)9—3和9—4構(gòu)型傳感器相對(duì)誤差的影響如圖2所示。

圖2 激勵(lì)加速度頻率對(duì)9—3和9—4構(gòu)型傳感器相對(duì)誤差的影響曲線

結(jié)果顯示，9—4和9—3構(gòu)型傳感器相對(duì)誤差隨激勵(lì)加速度變化的曲線較為相似，但9—3相對(duì)誤差略大于9—4。當(dāng)角加速度幅值增加時(shí)，角加速度相對(duì)誤差不斷減小；其余情況下，加速度相對(duì)誤差有著不同程度的增加。線加速度頻率、角加速度頻率對(duì)角加速度和線加速度相對(duì)誤差影響較大。當(dāng)9—3構(gòu)型傳感器線加速度頻率及角加速度頻率分別在0.3～12和0.3～21 Hz以內(nèi)，9—4構(gòu)型傳感器線加速度頻率及角加速度頻率分別在0.3～14和0.3～30 Hz以內(nèi)時(shí)，相對(duì)誤差小于0.01 %。若加速度頻率不在此范圍內(nèi)，則忽略相對(duì)運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的誤差較大，此時(shí)加速度解耦計(jì)算時(shí)必須要考慮相對(duì)運(yùn)動(dòng)以保證精度。

激勵(lì)加速度頻率對(duì)12—6和12—4構(gòu)型傳感器相對(duì)誤差的影響如圖3所示。

圖3 激勵(lì)加速度頻率對(duì)第12—6和12—4構(gòu)型傳感器相對(duì)誤差的影響曲線

對(duì)于12—6構(gòu)型傳感器而言，與九支鏈傳感器類(lèi)似，隨著加速度頻率的上升，忽略相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的相對(duì)誤差不斷遞增，但即使激勵(lì)加速度頻率達(dá)到工作頻帶上限，相對(duì)誤差仍處于較低水平。若相對(duì)誤差按0.01 %界定，根據(jù)仿真結(jié)果，12—6構(gòu)型傳感器線加速度頻率需控制在0.3～110 Hz以內(nèi),角加速度頻率需控制在0.3～131 Hz以內(nèi)。12—4構(gòu)型傳感器線加速度頻率需控制在0.3～102 Hz以內(nèi)，角加速度頻率需控制在0.3～180 Hz以內(nèi)。

隨激勵(lì)加速度頻率變化，各方向線加速度相對(duì)誤差、各方向角加速度相對(duì)誤差的最大值如表3所示。

表3 各構(gòu)型傳感器受激勵(lì)加速度頻率影響的相對(duì)誤差最大值 %

對(duì)比4種不同并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六維加速度傳感器的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，12—6和12—4構(gòu)型傳感器在忽略相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)有著更高的精度，并且在工作頻域內(nèi)激勵(lì)加速度的幅值與頻率幾乎不受限制。9—4和9—3構(gòu)型傳感器在實(shí)際使用過(guò)程中需要在計(jì)算效率和解耦精度之間做出取舍，該問(wèn)題將另文研究。

3 構(gòu)型與相對(duì)誤差分析

雅可比矩陣條件數(shù)越接近于1，機(jī)構(gòu)中支鏈的分布越對(duì)稱(chēng)，其受力越均衡，對(duì)應(yīng)的構(gòu)型也越接近于“各項(xiàng)同性構(gòu)型”[11]。這樣，在相同慣性力的作用下，支鏈的平均變形量就越小，對(duì)應(yīng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)也越小。

若雅可比矩陣J是一個(gè)矩陣m×n，其中m

(4)

因此，如果矩陣JTJ的所有特征值都相同且非零，那么該機(jī)構(gòu)就是各向同性的。

對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，前三行是與支鏈方向有關(guān)的向量坐標(biāo)，是無(wú)量綱的，而最后三行的單位是長(zhǎng)度量綱，因此矩陣JTJ的六個(gè)特征值不可以從大到小排序。對(duì)此，為使雅克比矩陣的各行量綱統(tǒng)一，雅可比矩陣的最后三行同除以特征長(zhǎng)度L，使計(jì)算所得矩陣條件數(shù)是無(wú)量綱的[12]。以12—6構(gòu)型為例，式(5)為根據(jù)靜力分析法得到的力雅可比矩陣。式中Bn為質(zhì)量塊上復(fù)合球鉸鏈空間位置矢量，bn為底座上球鉸鏈空間位置矢量，|·|為向量的模

(5)

設(shè)質(zhì)量塊邊長(zhǎng)為2R，支鏈長(zhǎng)M，另外,取L=R,得式(6)

(6)

速度雅可比矩陣J為力雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置，可進(jìn)一步得到

(7)

顯然λmax=λmin=4,根據(jù)式(4)，得

(8)

通過(guò)同樣的方法可以計(jì)算得到12—4,9—4和9—3構(gòu)型的雅可比矩陣條件數(shù)分別為1.414,2和2.484。從雅可比矩陣條件數(shù)的計(jì)算結(jié)果可以看出，12—6構(gòu)型是一個(gè)“各向同性構(gòu)型”。

各構(gòu)型雅可比矩陣條件數(shù)及受激勵(lì)加速度頻率影響的各方向線加速度相對(duì)誤差、各方向角加速度相對(duì)誤差的最大值如圖4所示。從仿真結(jié)果來(lái)看，12—6構(gòu)型傳感器部分相對(duì)誤差最大值略大于12—4構(gòu)型傳感器，但相對(duì)誤差始終低于0.01 %故可忽略不計(jì)。因此，各構(gòu)型條件數(shù)的計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果較為一致，即12—6構(gòu)型與12—4構(gòu)型傳感器相對(duì)誤差明顯小于9—4和9—3構(gòu)型傳感器的相對(duì)誤差，且12—6構(gòu)型傳感器相對(duì)誤差最小，9—3構(gòu)型傳感器相對(duì)誤差最大。

圖4 四種構(gòu)型傳感器雅可比矩陣條件數(shù)及相對(duì)誤差最大值

4 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)四種不同構(gòu)型并聯(lián)式六維加速度傳感器的特點(diǎn)，分析出六維加速度傳感器的加速度解算值與質(zhì)量塊相對(duì)于基座的運(yùn)動(dòng)有關(guān)；若忽略質(zhì)量塊相對(duì)于基座的運(yùn)動(dòng)可以提高傳感器的解耦效率，但也勢(shì)必會(huì)引入一定的誤差。通過(guò)在ADAMS中建模研究線加速度的幅值、頻率及角加速度的幅值、頻率對(duì)質(zhì)量塊相對(duì)于基座運(yùn)動(dòng)的影響，分析得出了在忽略相對(duì)運(yùn)動(dòng)解耦計(jì)算時(shí)各構(gòu)型傳感器加速度輸入量需要滿足的條件。最后計(jì)算了各構(gòu)型雅可比矩陣條件數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)對(duì)應(yīng)構(gòu)型的各向同性，且矩陣條件數(shù)計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果較為一致。因此，在設(shè)計(jì)并聯(lián)式六維加速度傳感器的結(jié)構(gòu)時(shí)，為使輸入量誤差對(duì)輸出量影響最小，應(yīng)盡量設(shè)計(jì)成“各項(xiàng)同性構(gòu)型”，即對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣條件數(shù)盡量接近于1。