張 輝,方曉峰
(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部,陜西 西安 710025)
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[1]125-180是一元函數(shù)微分學(xué)的重要內(nèi)容和難點知識,而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而判定兩個數(shù)的大小關(guān)系是一個常見的問題。在我校2020年秋季學(xué)期高等數(shù)學(xué)(上冊)的期終考試中,就出現(xiàn)了一道判定兩個正冪指數(shù)的大小問題,具體為:若0 一般情形下,判定兩個正數(shù)的大小關(guān)系的方法有兩種,一種是研究這兩個正數(shù)之差與0之間的大小關(guān)系,一種是研究這兩個正數(shù)之比與1之間的大小關(guān)系。在此過程中常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性來判定兩個函數(shù)值的大小關(guān)系。對于此問題,可以首先構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=xa-ax,a≤x≤b,則有f(a)=0,f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且當(dāng)a 解法1當(dāng)a=1時,顯然有ab=1=a 通過上述分析可以發(fā)現(xiàn),即使是同一個解題思路和方法,構(gòu)造不同的輔助函數(shù)也導(dǎo)致求解過程和計算工作量大大不同。因此,需要同學(xué)們在求解問題中,一般構(gòu)造便捷有效的輔助函數(shù)來求解問題,達(dá)到事半功倍的效果。 事實上,此類問題是判定兩個正冪指數(shù)的大小關(guān)系,對于冪指數(shù)往往可以通過取對數(shù)進(jìn)行變形簡化研究,因此也可以采用解法2來求解。 解法2因為對數(shù)函數(shù)lnx為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),所以比較ab和ba的大小關(guān)系就等價于比較lnab和lnba的大小關(guān)系,即比較blna和alnb的大小關(guān)系。現(xiàn)考慮alnb-blna與0的大小關(guān)系。 從上述求解過程可以看出,此種方法不需要證明函數(shù)a-xlna在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取值大于0這個重要結(jié)論,也就是說比第一種方法簡單一些,因此推薦此解法的第二種方法。 在解法2和解法3中,我們是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性通過取對數(shù)進(jìn)行恒等變形進(jìn)行分析研究的,而冪函數(shù)也同樣具有一致的單調(diào)性,這也為我們提供了一種求解思路和方法,于是可得解法4。 在解法2、3和4中,我們是利用對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性通過恒等變形進(jìn)行分析研究的。而指數(shù)函數(shù)也同樣具有一致的單調(diào)性,這同樣也為我們提供了一種新的求解思路和方法,于是可得解法5。 解法5當(dāng)a=1時,則有ab=1=a 下面分兩種情形討論分析,當(dāng)0f(b),從而0>alogab-b,即alogabab,故有ba>ab;當(dāng)a>1時,lna>0和f′(x)>0,即f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增,有f(a) 需注意的是,上面構(gòu)造的輔助函數(shù)只含有a并不含有b,求解過程較為復(fù)雜。若構(gòu)造另一個輔助函數(shù)只含有b并不含有a,其求解計算量是否會減少呢?以下給出詳細(xì)的求解過程。 當(dāng)b=1時,則有ba=1=b>a=ab。 當(dāng)b≠1時,因為ab=bblogb a和指數(shù)函數(shù)bx為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),所以比較ab和ba的大小關(guān)系就等價于轉(zhuǎn)化為比較blogba和a的大小關(guān)系。 從上述求解過程可以看出,此種方法不需要證明函數(shù)a-xlna在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取值大于0這個重要結(jié)論,也就是說比第一種方法簡單一些,因此推薦解法5的第二種方法求解。 以上我們利用5種方法分析判定兩正冪指數(shù)的大小關(guān)系,通過比較可以發(fā)現(xiàn),解法3是較為簡單的方法,但這種方法需要進(jìn)行一些恒等變形并不容易會想到。值得注意的是,我們所給出的研究問題是可以進(jìn)行簡化的。事實上,當(dāng)a=1時,則有ab=1=a 事實上,對于兩個正冪指數(shù)ab和ba的大小關(guān)系,有一般性的結(jié)論:1 5種解法