朱守東， 戚承志*， 姜 寬， 于 航， 趙 發(fā)， 王曉嬌

(1.北京建筑大學(xué)， 北京未來城市設(shè)計高精尖中心與城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)北京市國際合作基地， 北京 100044； 2.北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院， 北京 100124)

能源安全作為國家穩(wěn)定的“壓艙石”之一，事關(guān)生產(chǎn)、人民生活和國防事業(yè)的建設(shè)。隨著礦井等地下工程不斷深向地下，沖擊地壓等工程災(zāi)害頻發(fā)，以往積累的理論和實踐經(jīng)驗與現(xiàn)實脫節(jié)，越來越無法滿足工程實踐需求。

Kurlenya等[1-3]和Oparin等[4]發(fā)現(xiàn)并驗證了擺型波的存在，開辟出深部巖土力學(xué)研究的新領(lǐng)域。Aleksandrova等[5-7]提出了一維塊系巖體擺型波傳播動力模型，該動力模型在理論研究中被廣泛采用。Saraikin等[8-11]將擺型波的理論研究拓展向二維，分析了擺型波傳播的影響因素，并從理論上證明了二維巖體模型中同樣會出現(xiàn)準共振現(xiàn)象。

中國科研學(xué)者也對擺型波進行了理論和實踐研究。錢七虎[12]對深部巖體的構(gòu)造層次、擺型波現(xiàn)象、超低摩擦現(xiàn)象、沖擊地壓產(chǎn)生機理等進行了研究總結(jié)。吳昊等[13-14]通過自主研發(fā)的深部巖體動態(tài)特性試驗系統(tǒng)，研究了各種因素對擺形波傳播的影響。潘一山、王凱興等[15-17]研究了塊體等級、塊體間夾層性質(zhì)對擺型波傳播的影響，并利用擺型波的頻域響應(yīng)反演了塊體間的黏彈性性質(zhì)。潘一山等[18-19]基于擺型波的理論研究成果設(shè)計了新型防沖支護設(shè)計模型，改善了傳統(tǒng)支護結(jié)構(gòu)設(shè)計。姜寬等[20-22]研究了夾層非均勻性及夾層雙模量特性對擺形波傳播的影響，并研究了頻域響應(yīng)規(guī)律。

擺型波低頻低速傳播，并攜帶大的能量，易引發(fā)各種工程地質(zhì)災(zāi)害，但以往關(guān)于擺型波的研究主要集中在塊體的位移、速度和加速度的響應(yīng)規(guī)律上，擺型波能量轉(zhuǎn)化和耗散規(guī)律的研究還很不充分。王凱興等[23]中研究了擺型波傳播過程局部巖塊與系統(tǒng)中彈性勢能與動能轉(zhuǎn)化的規(guī)律，研究了整個塊系巖體的系統(tǒng)能量的耗散規(guī)律，理論分析過程中尚未考慮各種因素對彈性勢能、動能和系統(tǒng)總能量的傳遞和耗散過程的影響。實際上，不同工程環(huán)境中，巖塊的大小、巖體的破碎程度、巖塊間裂隙或節(jié)理的力學(xué)性質(zhì)都各有差異，這些差異在巖體的破壞及能量釋放過程中起著重要作用，因此有必要研究剛度系數(shù)k、黏性系數(shù)c及塊體尺度對擺形波傳播過程中能量轉(zhuǎn)化和耗散的影響。這些研究將加深我們對于深部塊系巖體的動力學(xué)性質(zhì)的了解，加深對于塊系巖體擺型波能量轉(zhuǎn)化和耗散規(guī)律的掌握，對預(yù)防工程災(zāi)害、保障工程安全具有重要意義。

1 擺型波傳播模型與計算方法

1.1 擺型波傳播動力模型

采用Aleksandrova[5]提出的等級塊系巖體擺型波傳播動力模型，如圖1所示。

f(t)為沖擊擾動；m為物塊質(zhì)量；c為黏性系數(shù)； k為剛度系數(shù)；x為物塊狀態(tài)圖1 塊系巖體擺型波動力模型Fig.1 Dynamic model of pendulum-type wave of block-rock

該理論模型由n個巖塊和軟弱夾層構(gòu)成，巖塊視作剛體，塊體間軟弱夾層簡化為凱爾文黏彈性模型，沖擊擾動f(t)作用在第一個塊體上，最右側(cè)為固定端。研究塊體的受力情況，可推導(dǎo)出塊系巖體系統(tǒng)的運動方程，即

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 計算方法

本文中計算采用中心差分法。中心差分法是基于用有限差分代替位移對時間的導(dǎo)數(shù)的顯式計算方法，計算量與自由度成線性關(guān)系，計算效率高。本文計算模型中塊體個數(shù)較多，相較于傳統(tǒng)方法，選用中心差分法可大大降低計算量。

(6)

(7)

計算中選取的時間步長為Δt，總的步長數(shù)為Nt。將X(ti+1)和X(ti-1)分別在X(ti)處用泰勒級數(shù)展開，由于Δt取值足夠小，忽略三階及以上高階項，可得

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(9)

整理可得位移遞推公式

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

第Δt×j時刻n個塊體的總能量能Wj為

Wj=Ek，j+Ep，j

(16)

中心差分法是有條件穩(wěn)定的，且穩(wěn)定條件為

(17)

為了能達到足夠的精度，在一般的計算中，常用穩(wěn)定驗算條件為

(18)

在穩(wěn)定驗算條件中，T和ω分別為系統(tǒng)的自振周期和自振頻率，當(dāng)選取的時間步長過大或系統(tǒng)的自振周期過小時，中心差分法的穩(wěn)定性將不再滿足穩(wěn)定條件。 自振周期與剛度有關(guān)，系統(tǒng)剛度越大，自振頻率越大，自振周期越小，Δt/T也越小，因此當(dāng)剛度系數(shù)最大時Δt/T取最大值，因此只需驗證此時中心差分法的穩(wěn)定性是否滿足要求即可。本文計算過程中取用的Δt=0.000 1，最大剛度系數(shù)值為k=4×105kg/s2，當(dāng)自由度為10，即塊體個數(shù)為10時，可求得系統(tǒng)的自振頻率由大至小分別為1 250.2、1 208.2、1 139.2、1 044.8、927.0、788.5、632.4、462.1、241.5、94.5 Hz，最大頻率(基頻)為1 250.2 Hz，此時Δt/T有最大值為0.02，小于穩(wěn)定性數(shù)值0.1，因此本文采用中心差分法的穩(wěn)定性滿足要求。

2 剛度系數(shù)k對能量轉(zhuǎn)化和耗散的影響

本節(jié)選用文獻[7]中取用的參數(shù)，塊體質(zhì)量mi=1 kg，剛度系數(shù)ci=20 kg/s(i=1,2,…，10)，塊體編號1～10。塊系巖體受到擾動后的初始狀態(tài)為：xi(0)=0(i=1,2,…，10);v1(0)=2m/s，vi(0)=0 m/s(i=2,3,…，10)。表述為：第一個塊體初速度為2 m/s，初位移為0，其他9個塊體初速度和初位移均為0。對剛度系數(shù)ki分別取k1=1×105kg/s2、k2=2×105kg/s2和k3=4×105kg/s2時的塊體動力響應(yīng)進行求解，得到?jīng)_擊發(fā)生后0.3 s內(nèi)每個塊體及系統(tǒng)的動能、彈性勢能和總能量。

2.1 剛度系數(shù)k對單個塊體能量最值的影響

圖2 不同剛度系數(shù)各個塊體的最大動能圖Fig.2 Maximum kinetic energy of blocks with different stiffness coefficients

圖3 不同剛度系數(shù)各個塊體的最大彈性勢能圖Fig.3 Maximum elastic potential energy of blocks with different stiffness coefficients

由于第1個塊體的動能即初始擾動能量2 J，且數(shù)倍于其他九個塊體最大動能，為了直觀清晰地展現(xiàn)動能的變化規(guī)律，圖2僅列出第2～10個塊體的最大動能。由圖2可知，隨著剛度系數(shù)的增大，每個塊體的最大彈性勢能均增大，印證了剛度系數(shù)k表征能量的傳遞。以k1=1×105kg/s2時為例，10個塊體最大動能的出現(xiàn)時間分別為第0、0.055、0.092、0.127、0.160、0.194、0.227、0.259、0.400、0.408秒，塊體距沖擊點越遠最大動能出現(xiàn)的時間越晚。第1～10個塊體的最大動能呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，由于阻尼的存在，擺型波傳播過程中能量逐漸損耗，故前7個塊體的最大動能逐漸減小，最右側(cè)幾個塊體的運動受到固定端的影響較大，塊體的最大速度增加，對應(yīng)的最大動能增大。這種影響類似于波的反射。

彈性勢能有著類似的變化規(guī)律，隨著剛度系數(shù)的增大，每個夾層的最大彈性勢能均增大。第1～10個夾層的最大彈性勢能呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，由于能量損耗，故前7個塊體的最大彈性勢能逐漸減小，最右側(cè)幾個夾層由于受到固定端的影響，塊體間的最大相對位移變大，對應(yīng)的最大彈性勢能增大，第10個塊體的最大彈性勢能甚至超過第1個塊體的最大彈性勢能。

2.2 剛度系數(shù)k對塊體系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化和耗散的影響

沖擊發(fā)生后0.3 s內(nèi)塊體系統(tǒng)動能、彈性勢能和總能量分別如圖4～圖6所示。

系統(tǒng)的初始擾動能量為2.0 J，即系統(tǒng)能量的最大值。據(jù)圖4和圖5可知，系統(tǒng)動能和彈性勢能均呈現(xiàn)周期性衰減，隨著剛度系數(shù)的增大，動能和彈性勢能的衰減周期均減小。三組數(shù)值模擬試驗中系統(tǒng)彈性勢能的最大值分別為1.13、1.24、1.34 J，隨著剛度系數(shù)的增大，系統(tǒng)的最大彈性勢能也增大?？傮w來看，剛度系數(shù)不影響系統(tǒng)動能和彈性勢能衰減速度。圖6中三條總能量衰減曲線基本重合，均呈指數(shù)衰減，衰減主要集中在沖擊發(fā)生后極短時間內(nèi)，剛度系數(shù)的改變不影響系統(tǒng)總能量衰減速度。

圖4 不同剛度時動能衰減圖Fig.4 Kinetic energy attenuation for different stiffness

圖5 不同剛度時彈性勢能衰減圖Fig.5 Elastic potential energy attenuation for different stiffness

圖6 不同剛度時總能量衰減圖Fig.6 Total energy attenuation for different stiffness

3 黏性系數(shù)c對能量轉(zhuǎn)化和耗散的影響

本部分選用的計算參數(shù)：塊體質(zhì)量mi=1 kg，剛度系數(shù)ki=2×105kg/s2(i=1,2,…，10)，塊體編號1～10。塊系巖體受到擾動后的初始狀態(tài)為：xi(0)=0(i=1,2,…，10),v1(0)=2 m/s，vi(0)=0(i=2,3,…，10)。表述為：第1個塊體初速度為2 m/s，初位移為0，其他9個塊體初速度和初位移均為0。對黏性系數(shù)c分別取c1=10 kg/s、c2=20 kg/s和c3=40 kg/s時的塊體動力響應(yīng)進行求解，得到?jīng)_擊發(fā)生后0.3 s內(nèi)每個塊體及系統(tǒng)的動能、彈性勢能和總能量。

3.1 黏性系數(shù)c對單個塊體能量最值的影響

沖擊發(fā)生后0.3 s內(nèi)各個塊體的動能和彈性勢能的最大值分別如圖7和圖8所示。

圖7 不同黏性系數(shù)時各個塊體的最大動能圖Fig.7 Maximum kinetic energy diagram of blocks with different viscosity coefficients

圖8 不同黏性系數(shù)時各個塊體的最大彈性勢能圖Fig.8 Maximum elastic potential energy diagram of blocks with different viscosity coefficients

圖7同樣只列出第2～9個塊體的最大動能。

由圖7可知，隨著黏性系數(shù)的增大，每個塊體的最大彈性勢能均減小，印證了黏性系數(shù)c表征能量的損耗，黏性系數(shù)越大損耗越強。黏性系數(shù)為10 kg/s和20 kg/s時，第1～10個塊體的最大動能呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢。黏性系數(shù)為40 kg/s時，第1～10個塊體的最大動能依次逐漸減小?？梢?，黏性系數(shù)較大時，固定端對最右側(cè)幾個塊體的動能影響較小。

由圖8可知，隨著黏性系數(shù)的增大，每個夾層的最大彈性勢能均減小，第一個夾層到第十個夾層的最大動能先減小后增大，同樣是能量逐漸損耗和固定端效應(yīng)綜合影響的結(jié)果。

這是我的第一部長篇小說，成稿于十多年前。動筆寫它時我還沒有文學(xué)夢想，以至于成稿很多年都沒有投稿。偶然從一個群里看到有出版商征稿，沒顧忌人家只要前五章的要求，就把全稿投了過去。投完許久都沒動靜，直到出版合同寄來，我才相信可以不花錢正規(guī)出版。

3.2 黏性系數(shù)c對塊體系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化和耗散的影響

沖擊發(fā)生后0.3 s內(nèi)塊體系統(tǒng)動能、彈性勢能和總能量分別如圖9～圖11所示。

圖9 不同黏性系數(shù)時動能衰減圖Fig.9 Kinetic energy attenuation for different viscosity coefficients

圖10 不同黏性系數(shù)時彈性勢能衰減圖Fig.10 Elastic potential energy attenuation for different viscosity coefficients

圖11 不同黏性系數(shù)時總能量衰減圖Fig.11 Total energy attenuation for different viscosity coefficients

據(jù)圖9和圖10可知，系統(tǒng)動能和彈性勢能均呈現(xiàn)周期性衰減，隨著黏性系數(shù)的增大，動能和彈性勢能的衰減周期基本保持不變，每個衰減周期內(nèi)的能量峰值均顯著降低，系統(tǒng)動能和彈性勢能衰減速度變快。三組試驗中系統(tǒng)彈性勢能的最大值分別為1.42、1.24、1.01 J，隨著黏性系數(shù)的增大，系統(tǒng)的最大彈性勢能減小。

圖11顯示了黏性系數(shù)c分別為c1=10 kg/s、c2=20 kg/s、c3=40 kg/s時的總能量衰減曲線。系統(tǒng)的初始擾動能量為2.0 J，即系統(tǒng)能量的最大值。為了表征能量變化的快慢，特引入能量變化率，用ΔE/Δt表示。系統(tǒng)能量變化率越小，能量的衰減就越快。c1=10 kg/s時，在 0.05 s末系統(tǒng)能量為1.34 J，ΔE/Δt=-13.2 J/s，系統(tǒng)能量已衰減33%；c2=20 kg/s時，在0.05 s末系統(tǒng)能量為1.04 J，ΔE/Δt=-19.2 J/s，系統(tǒng)能量已衰減48%；c3=40 kg/s時，在 0.05 s末系統(tǒng)能量為0.76 J，ΔE/Δt=-24.8 J/s，系統(tǒng)能量已衰減62%；在沖擊發(fā)生后很短時間內(nèi)即完成大部分的能量衰減，總能量隨著黏性系數(shù)增大，系統(tǒng)能量變化率顯著增大，總能量前期衰減變快。

4 塊體尺度對能量轉(zhuǎn)化和耗散的影響

Sadovsky[24]提出了深部塊系等級構(gòu)造理論，認為深部巖體由不同等級的具有自相似特性的塊體組成。文獻[25]中給出了等級塊系巖體的尺寸計算公式為

(19)

式(19)中：Δi與Δ0分別表示等級為i和0的塊體的尺寸，并由此得到兩者之間的序列關(guān)系。由于塊體視為均質(zhì)，因此質(zhì)量之比即為體積之比。同等規(guī)模的巖體系統(tǒng)，當(dāng)裂隙較多且發(fā)育比較充分，巖體破碎程度較高時，塊體體積小而等級較高；當(dāng)巖體整體性較好，裂隙少且未全部貫通時，塊體體積大塊體等級較低。

4.1 塊體尺度對單個塊體能量最值的影響

沖擊發(fā)生后0.4 s內(nèi)三個等級塊體系統(tǒng)內(nèi)的各個塊體的動能和彈性勢能的最大值分別如圖12和圖13所示。

圖12 不同等級各個塊體的最大動能圖Fig.12 Maximum kinetic energy of each block of different grades

圖13 不同等級各個塊體的最大彈性勢能圖Fig.13 The maximum elastic potential energy of each block of different grades

圖12同樣不再列出第1個塊體的最大動能。由圖12可知，塊體等級越低，相對應(yīng)的最大動能和彈性勢能均越高，塊體系統(tǒng)處在較高的能量狀態(tài)。由于阻尼的存在，能量逐漸消耗，故越往后最大能量值越低，當(dāng)塊體尺度較小時，夾層數(shù)目更多，因此能量衰減得越快，相對應(yīng)的最大動能和彈性勢能均減小得越快。

圖12和圖13對比來看，靠近固定端的塊體的最大動能有所增加，但是增加的幅度較小，而靠近固定端的塊體最大彈性勢能增量及其顯著，第10個塊體的最大彈性勢能甚至超過第1個塊體的最大彈性勢能。總體來看，固定端對于彈性勢能的影響要遠大于對動能的影響。

4.2 塊體尺度對塊體系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)化和耗散的影響

沖擊發(fā)生后0.4 s內(nèi)塊體系統(tǒng)動能、彈性勢能和總能量分別如圖14～圖16所示。

圖14 不同塊體等級動能衰減圖Fig.14 Kinetic energy attenuation for different block levels

圖15 不同塊體等級彈性勢能衰減圖Fig.15 Elastic potential energy attenuation for different block grades

圖16 不同塊體等級總能量衰減圖Fig.16 Total energy attenuation for different block grades

由圖14和圖15可知，系統(tǒng)動能和彈性勢能均呈現(xiàn)周期性衰減，隨著塊體等級的增大，動能和彈性勢能的衰減周期變大，衰減周期的能量峰值顯著降低，系統(tǒng)動能和彈性勢能的轉(zhuǎn)化周期變大、衰減速度明顯變快。三組數(shù)值模擬試驗中系統(tǒng)彈性勢能的最大值分別為1.24、1.02、0.98 J，隨著塊體等級的變大，系統(tǒng)的最大彈性勢能減小。

原巖體在 0.05 s末系統(tǒng)總能量為1.04 J，系統(tǒng)能量已衰減47.9%，ΔE/Δt=-20.8 J/s。等級為2的巖體在 0.05 s末系統(tǒng)能量為0.77 J，系統(tǒng)能量已衰減61.3%，ΔE/Δt=-24.5 J/s。等級為4的巖體在0.05 s末系統(tǒng)能量為0.56 J，系統(tǒng)能量已衰減72.2%，ΔE/Δt=-28.9 J/s；塊體等級越高，尺度越小，擾動后初始時刻總能量的衰減速度越快，隨后衰減速度變慢并趨于一致。相同體積的巖體系統(tǒng)，單個塊體體積減小而數(shù)量增多，對應(yīng)的軟弱夾層的數(shù)量也增多，擺型波傳播過程中遇到的阻礙就越多，因此能量耗散的效率更高，能量在極短時間內(nèi)完成耗散。

5 結(jié)論

(1)在振動過程中，伴隨著塊體間的相對位移，夾層被拉伸或壓密，彈性勢能賦存其中，軟弱夾層是塊體間能量傳遞的媒介；沖擊發(fā)生后，系統(tǒng)動能和彈性勢能均呈現(xiàn)周期性衰減，兩者不斷轉(zhuǎn)化，基本呈反相。

(2)剛度系數(shù)影響系統(tǒng)動能和彈性勢能的衰減周期，剛度系數(shù)越大，系統(tǒng)動能和彈性勢能的衰減周期越小，系統(tǒng)的最大彈性勢能也越大。黏性系數(shù)影響系統(tǒng)動能和彈性勢能的衰減速度，黏性系數(shù)的越大，每個衰減周期內(nèi)的峰值顯著降低，系統(tǒng)動能、彈性勢能及總能量衰減速度變快，系統(tǒng)的最大彈性勢能減小，動能和彈性勢能的衰減周期基本保持不變。

(3)隨著塊體等級的增大，動能和彈性勢能的衰減周期變大，即系統(tǒng)動能和彈性勢能的轉(zhuǎn)化周期變大，每個衰減周期的能量峰值均顯著降低，同時，系統(tǒng)總能量在前期的衰減速度變快。

(4)受到固定端的影響，靠近固定端的塊體的最大動能和最大彈性勢能會有所增加，且最大彈性勢能增加的幅度遠大于動能增加的幅度。

研究了單一因素改變時，塊系巖體擺型波動能、彈性勢能和總能量轉(zhuǎn)化和耗散的規(guī)律。但實際工程環(huán)境中，由于多重因素的共同作用，能量轉(zhuǎn)化和耗散問題要復(fù)雜得多，還需要更詳細的研究。