劉培棟 黨朝輝

1．西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室陜西西安710072

引力波是時(shí)空曲率受黑洞并合等劇烈過(guò)程影響產(chǎn)生的波動(dòng)[1?9].引力波探測(cè)為揭示宇宙演化、基礎(chǔ)物理學(xué)規(guī)律等提供了新的方法和手段.然而,受制于地面干擾及干涉臂長(zhǎng)限制,地面探測(cè)器僅能探測(cè)到約10 Hz 以上的高頻引力波,對(duì)于其他在科學(xué)上有重大意義的中低頻引力波則無(wú)能為力.空間引力波探測(cè)利用衛(wèi)星編隊(duì)超大基線(數(shù)十萬(wàn)～數(shù)百萬(wàn)公里)的優(yōu)勢(shì),可有效實(shí)現(xiàn)毫赫茲頻段引力波探測(cè),是對(duì)引力波探測(cè)技術(shù)的重大突破[3?5],已經(jīng)成為當(dāng)前各航天大國(guó)爭(zhēng)相發(fā)展的焦點(diǎn).

歐洲空間局(European Space Agency,ESA)與美國(guó)航空航天局(National Aeronautics and Space Administration,NASA)于1993年最早提出了空間引力波探測(cè)計(jì)劃LISA 項(xiàng)目[6?7].隨后,日本、歐洲等也先后提出了類似的計(jì)劃,如DECIGO(2001)、BBO(2004)、ALIA(2005)等.我國(guó)從2008年開(kāi)始探討空間引力波探測(cè)的可行性[1?3],先后開(kāi)展了概念與方案設(shè)計(jì)、關(guān)鍵科學(xué)載荷研制等,并于2014年和2016年提出“天琴計(jì)劃”和“太極計(jì)劃”[1,2].2020年、2021年,科技部連續(xù)發(fā)布國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃“引力波探測(cè)”重點(diǎn)專項(xiàng)指南,布局未來(lái)十年內(nèi)的引力波探測(cè)關(guān)鍵技術(shù)攻關(guān),并計(jì)劃在2035年前實(shí)現(xiàn)空間引力波探測(cè)在軌試驗(yàn).

空間引力波探測(cè)可推動(dòng)關(guān)乎我國(guó)重大戰(zhàn)略利益的技術(shù)發(fā)展[4?5].通過(guò)開(kāi)展毫赫茲頻段引力波探測(cè),可以全面推動(dòng)高精度空間慣性基準(zhǔn)、星間激光干涉測(cè)量、高精度衛(wèi)星編隊(duì)、超靜超穩(wěn)衛(wèi)星平臺(tái)技術(shù)等,帶動(dòng)一系列對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和國(guó)家戰(zhàn)略需求有重要價(jià)值的關(guān)鍵技術(shù)的發(fā)展,對(duì)于建立高精度全球時(shí)空坐標(biāo)體系、全球重力場(chǎng)測(cè)量、導(dǎo)航與深空探測(cè),以及前沿空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)等都具有重要的意義.

空間引力波探測(cè)的基本原理是通過(guò)三顆航天器形成空間正三角形編隊(duì),以邁克爾遜激光干涉方式,測(cè)量航天器間由引力波引起的距離變化[1?2].其特殊的測(cè)量原理要求編隊(duì)構(gòu)形為完全等邊三角形,三邊邊長(zhǎng)相等、內(nèi)角均為60?[1?9].空間引力波探測(cè)的基本要求是確?？臻g正三角形編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定,實(shí)現(xiàn)引力波探測(cè)信號(hào)不被衛(wèi)星自身運(yùn)動(dòng)及環(huán)境噪聲淹沒(méi)[10].

然而,受中心天體非球形引力攝動(dòng)、三體引力攝動(dòng)等的影響,空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形穩(wěn)定性極易遭到破壞.為了保證探測(cè)器相對(duì)測(cè)距精度,按照引力波探測(cè)科學(xué)要求,編隊(duì)構(gòu)形穩(wěn)定性必須控制在1%以內(nèi)[1?3].而且構(gòu)形指標(biāo)變化范圍越小,對(duì)硬件要求就越低,越容易在工程上實(shí)現(xiàn)[9].由于編隊(duì)動(dòng)力學(xué)的非線性,構(gòu)形穩(wěn)定條件的數(shù)值搜索需要耗費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間,在無(wú)動(dòng)力學(xué)機(jī)理引導(dǎo)的情況下,很難給出精度高、過(guò)程穩(wěn)定,同時(shí)又能反映系統(tǒng)真實(shí)物理性質(zhì)的數(shù)值解[1].為此,需要重點(diǎn)突破空間正三角形編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)形成機(jī)制及攝動(dòng)發(fā)散機(jī)理.

在動(dòng)力學(xué)機(jī)理闡明的基礎(chǔ)上,高效的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形控制是引力波探測(cè)開(kāi)展的前提[11].構(gòu)形控制包括構(gòu)形初始化控制和構(gòu)形重構(gòu)控制.其中,前者解決編隊(duì)構(gòu)建問(wèn)題,后者解決編隊(duì)構(gòu)形保持與調(diào)整問(wèn)題.未來(lái)的編隊(duì)控制技術(shù)會(huì)朝著自主化、智能化、安全化的方向發(fā)展[12],甚至可能會(huì)發(fā)展基于數(shù)據(jù)鏈組網(wǎng)架構(gòu)的動(dòng)態(tài)協(xié)同策略[13].然而,有別于已經(jīng)廣泛研究的近距離編隊(duì)和星座系統(tǒng),空間引力波探測(cè)編隊(duì)具有尺度超大(數(shù)十萬(wàn)～百萬(wàn)公里量級(jí))、推力極小(微牛級(jí)別及有限機(jī)動(dòng)能力)、精度極高(≤1%)、時(shí)間極長(zhǎng)(數(shù)月～數(shù)年)的特點(diǎn),這給經(jīng)典編隊(duì)控制理論提出了前所未有的挑戰(zhàn).

遺憾的是:面對(duì)如此重大的國(guó)家戰(zhàn)略科技需求,空間正三角形編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)與控制研究,目前大多局限于特定的工程任務(wù)和可行性分析上,缺乏系統(tǒng)深入的動(dòng)力學(xué)機(jī)理與控制方法研究.作為航天器編隊(duì)動(dòng)力學(xué)與控制領(lǐng)域的學(xué)者,如何從編隊(duì)動(dòng)力學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和分析面向引力波探測(cè)的空間正三角形編隊(duì)運(yùn)行過(guò)程的科學(xué)問(wèn)題,并通過(guò)航天器軌道動(dòng)力學(xué)學(xué)科與控制學(xué)科所特有的手段有效地予以解決,是擺在我們面前不可回避的問(wèn)題,我們應(yīng)作出最積極的反應(yīng).

因此,亟需建立一套完整的空間正三角形編隊(duì)動(dòng)力學(xué)與控制理論,系統(tǒng)揭示引力場(chǎng)軌道動(dòng)力學(xué)約束下空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形的形成機(jī)理,深入闡明復(fù)雜攝動(dòng)影響下,超大尺度編隊(duì)構(gòu)形演化規(guī)律及長(zhǎng)期穩(wěn)定條件,完整創(chuàng)建多約束條件下的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形初始化及重構(gòu)控制方法,為我國(guó)“天琴”、“太極”等空間引力波探測(cè)任務(wù)的編隊(duì)飛行控制設(shè)計(jì)與優(yōu)化奠定理論基礎(chǔ).

1 空間正三角形編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理

空間正三角形編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理包括正三角形編隊(duì)構(gòu)形的形成機(jī)制與攝動(dòng)發(fā)散機(jī)理.

1.1 空間正三角形編隊(duì)的形成機(jī)制

任意3 顆衛(wèi)星均可形成三角形編隊(duì),但若要求在軌道運(yùn)動(dòng)中始終保持各邊相等則非常困難;這需要極為特殊的動(dòng)力學(xué)條件.由于空間引力波探測(cè)的需要,研究人員提出3 種有效的空間正三角形編隊(duì)機(jī)制[1?3]:1)共軌星座方式;2)相對(duì)繞飛方式;3)三角平動(dòng)點(diǎn)方式.編隊(duì)尺度從1 000 km 到8.6 AU,如圖1所示.

圖1 空間引力波探測(cè)的三類空間正三角形編隊(duì)Fig.1 Three kinds of triangular formations for space-based gravitational-wave observatory

共軌星座方式形成正三角形編隊(duì)的基本原理為:3 顆航天器相隔120?均勻分布在同一條圓軌道上圍繞共同的中心引力體(地球或太陽(yáng))運(yùn)動(dòng),利用圓軌道運(yùn)動(dòng)速度恒定的規(guī)律,形成穩(wěn)定的等邊三角形.從軌道動(dòng)力學(xué)機(jī)理上分類,這種正三角形構(gòu)形本質(zhì)上是一種衛(wèi)星星座.典型代表為“天琴計(jì)劃”[1](以地球?yàn)橹行?高度10 萬(wàn)公里,邊長(zhǎng)約17 萬(wàn)公里)、OMEGA[14](高度60 萬(wàn)公里,邊長(zhǎng)約100 萬(wàn)公里)、gLISA/GEOGRAWI[15](地球靜止軌道,邊長(zhǎng)7.3萬(wàn)公里)、GADFLI[16](與前同)、B-DECIGO[17].

相對(duì)繞飛方式形成正三角形編隊(duì)的基本原理為:3 顆航天器相隔120?均勻分布在圓參考軌道附近的一個(gè)空間相對(duì)繞飛圓上,繞飛圓的平面與軌道平面(例如黃道面)夾角為±60?,編隊(duì)會(huì)隨著繞飛圓而旋轉(zhuǎn),周期與參考軌道周期一致(當(dāng)為地球公轉(zhuǎn)軌道時(shí),周期正好為1 a).典型代表為“太極計(jì)劃”[6]、LISA[18]、eLISA[1,5]、ALIA[3]、DECIGO[17],均沿地球公轉(zhuǎn)軌道運(yùn)動(dòng),其邊長(zhǎng)分別為300 萬(wàn)公里、500 萬(wàn)公里(后又改為250 萬(wàn)公里)、100 萬(wàn)公里及1 000 km.

三角平動(dòng)點(diǎn)方式形成正三角形編隊(duì)的基本原理為:3 個(gè)航天器位于平面圓型限制性三體的L3、L4、L5 平動(dòng)點(diǎn)附近構(gòu)成正三角形.典型代表為L(zhǎng)AGRANGE[19]、ASTROD-GW[8?9]、ASTRODEM[3]、Super-ASTROD[3]等飛行計(jì)劃.其中,LAGRANGE 位于地月系統(tǒng),邊長(zhǎng)67 萬(wàn)公里;ASTRODGW 位于日地系統(tǒng),邊長(zhǎng)2.6 億公里.盡管已提出了上述3 種正三角形編隊(duì)形成機(jī)制,但是否還具有其他可能的機(jī)制?這是現(xiàn)有文獻(xiàn)中尚未研究的.

在上述原理的指導(dǎo)下,如何具體設(shè)計(jì)空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形? 對(duì)于類LISA 編隊(duì),Folkner等[20]、Nayak 等[21]、李廣宇等[22]建立了一種基于軌道幾何關(guān)系的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)方法,首先確定其中一顆衛(wèi)星的軌道,然后通過(guò)繞垂直黃道面方向旋轉(zhuǎn)±120?,得到另外兩顆衛(wèi)星的軌道.而Dhurandhar 等[23]、Marchi 等[24]則建議采用相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)的Clohessy-Wiltshire(CW)方程構(gòu)造出相對(duì)繞飛圓,然后通過(guò)相位均勻分配實(shí)現(xiàn)正三角形構(gòu)建.楊弛航等[25]指出,由于CW 方程僅有一階精度,因此,設(shè)計(jì)后的構(gòu)形需要通過(guò)進(jìn)一步優(yōu)化才能達(dá)到要求.對(duì)于類“天琴”編隊(duì),張雪峰等[26]、萬(wàn)小波等[27]、葉伯兵等[28?29]、檀莊斌等[30]在系列論文中給出了初步的設(shè)計(jì)方法,建立了軌道面和軌道半徑的選取方法,分析了地月系引力場(chǎng)干擾,研究了地影規(guī)避方法,并通過(guò)數(shù)值優(yōu)化搜索改進(jìn)構(gòu)形設(shè)計(jì).對(duì)于類ASTROD-GW 編隊(duì),倪維斗等[3,9]、門金瑞等[8]以日地平動(dòng)點(diǎn)L3～L5 點(diǎn)附近的三條繞日?qǐng)A軌道作為初值,提出了詳細(xì)的正三角形編隊(duì)設(shè)計(jì)方法.

1.2 空間正三角形編隊(duì)的攝動(dòng)演化機(jī)理

空間正三角形編隊(duì)在復(fù)雜攝動(dòng)下的演化規(guī)律是重要的研究問(wèn)題,對(duì)引力波探測(cè)方案的優(yōu)化具有重要意義.

LISA 研究團(tuán)隊(duì)對(duì)相對(duì)繞飛方式的空間正三角形編隊(duì)演化規(guī)律進(jìn)行了深入研究[20?25,31?34].Cornish等[33]通過(guò)精確軌道積分發(fā)現(xiàn)基于CW 方程一階線性解構(gòu)造的正三角形編隊(duì)在演化過(guò)程中存在“呼吸現(xiàn)象”:三角形內(nèi)角(也稱作呼吸角)具有一個(gè)緩慢的波動(dòng),并由此帶來(lái)三角形邊長(zhǎng)(也稱作臂長(zhǎng))的屈伸變化.由于呼吸現(xiàn)象導(dǎo)致的臂長(zhǎng)峰值變化量會(huì)達(dá)到115 000 km(等效誤差為2.3%),明顯超出了引力波探測(cè)要求的≤1%誤差.為解決上述問(wèn)題,Nayak等[21]構(gòu)造了考慮非線性引力的二階CW 方程解析解,并由此推導(dǎo)得到了編隊(duì)傾角與臂長(zhǎng)峰值變化量之間的解析關(guān)系.Nayak 等[21]發(fā)現(xiàn),若將編隊(duì)傾角標(biāo)稱值(±60?)進(jìn)行小范圍修正(0.47?～0.63?),可將三年臂長(zhǎng)變化量降低到60 000 km(等效誤差為1.2%).李廣宇等[22]基于不同方法也得到了類似的修正結(jié)果.Dhurandhar 等[34]在Nayak 等[21]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步構(gòu)造了考慮三體引力攝動(dòng)的二階CW 方程解析解,將臂長(zhǎng)的3年變化量降低到了48 000 km(等效誤差為0.96%).Pucacco 等[31]在以上二階CW 方程模型上進(jìn)一步考慮了太陽(yáng)相對(duì)論進(jìn)動(dòng)(relativistic precession)和太陽(yáng)引力四極矩的影響.易照華等[35]針對(duì)LISA 三角形編隊(duì)問(wèn)題,建立了一種考慮地球引力攝動(dòng)的共軌限制性三體(co-orbital restricted problem)動(dòng)力學(xué)模型,并通過(guò)攝動(dòng)法得到了編隊(duì)質(zhì)心滯后角及其矢徑的近似解析解.基于上述解析結(jié)果,李廣宇等[22]進(jìn)一步研究了初始質(zhì)心滯后角與編隊(duì)質(zhì)心漂移的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)標(biāo)稱20?的滯后角若能修正為22?,則編隊(duì)具有最小的漂移.同時(shí),李廣宇等[22]還以上述解析解為基礎(chǔ),通過(guò)數(shù)值優(yōu)化搜索得到了10年任務(wù)期里最小漂移構(gòu)形(等效誤差為1.26%～1.82%).夏炎等[36?37]進(jìn)一步改進(jìn)了上述優(yōu)化方法,通過(guò)采用混合反應(yīng)禁忌搜索算法,使臂長(zhǎng)變化量減小到49 960 km(等效誤差為0.99%).

“天琴計(jì)劃”的研究團(tuán)隊(duì)對(duì)共軌星座方式下的空間正三角形編隊(duì)演化規(guī)律進(jìn)行了詳細(xì)研究[26].張雪峰等[26]、葉伯兵等[28]指出,為實(shí)現(xiàn)空間引力波探測(cè),“天琴”的構(gòu)形穩(wěn)定性在5年任務(wù)期里需滿足:臂長(zhǎng)變化量≤0.5%,相對(duì)速度≤10 m/s,呼吸角≤0.2?.萬(wàn)小波等[27]發(fā)現(xiàn)平均半長(zhǎng)軸不同時(shí)會(huì)對(duì)構(gòu)形發(fā)散起到主導(dǎo)作用,因此,通過(guò)平均軌道根數(shù)優(yōu)化,將“天琴” 構(gòu)形穩(wěn)定性改進(jìn)到:臂長(zhǎng)變化小于1 500 km(等效誤差為0.88%).張雪峰等[26]發(fā)現(xiàn),只有同時(shí)匹配平均半長(zhǎng)軸、傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng),才能更好維持構(gòu)形穩(wěn)定性;這一發(fā)現(xiàn)與J2 不變相對(duì)軌道[38?39]的研究機(jī)理一致.葉伯兵等[28]發(fā)現(xiàn)在“天琴”的標(biāo)稱軌道高度上,月球引力攝動(dòng)影響最大,其次為太陽(yáng)引力和地球J2 攝動(dòng),且編隊(duì)指向在上述攝動(dòng)作用下存在大約2.5?的長(zhǎng)期漂移.檀莊斌等[30]發(fā)現(xiàn),月球引力對(duì)“天琴”的編隊(duì)構(gòu)形影響主要發(fā)生在幾個(gè)共振軌道高度上,當(dāng)避開(kāi)共振高度后,構(gòu)形具有較好穩(wěn)定性(誤差可降低到0.3%);當(dāng)編隊(duì)位于黃道面內(nèi)時(shí),月球引力影響較大,而在90?和140?傾角時(shí)影響極小[26].葉伯兵等[29]研究了月食和地球陰影規(guī)避問(wèn)題,研究表明若將軌道高度提升約900 m、形成與月球1:8 的共振,效果明顯.“天琴”團(tuán)隊(duì)同時(shí)還采用數(shù)值優(yōu)化進(jìn)一步改進(jìn)編隊(duì)構(gòu)形的穩(wěn)定性,現(xiàn)有技術(shù)已可實(shí)現(xiàn)“3 +3”個(gè)月觀測(cè)期內(nèi)編隊(duì)臂長(zhǎng)變化量≤0.1%,相對(duì)速度≤4 m/s,呼吸角變化≤0.1?[26,28].

由于L3 點(diǎn)為弱不穩(wěn)定點(diǎn)且不穩(wěn)定時(shí)間尺度大(55.6 yr),L4、L5 均為穩(wěn)定點(diǎn),因此,基于平動(dòng)點(diǎn)的空間正三角形編隊(duì)總體上較為穩(wěn)定[8].即便如此,通過(guò)調(diào)節(jié)軌道平均周期和偏心率,可以進(jìn)一步改進(jìn)ASTROD-GW 的穩(wěn)定性[40?41].

綜上可知,空間正三角形編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理已取得一定研究成果,但也存在一些局限性.一是從工程應(yīng)用角度提出了3 種不同的正三角形編隊(duì)形成機(jī)制,但是否還存在其他機(jī)制不清楚;二是現(xiàn)有構(gòu)形設(shè)計(jì)方法能夠初步達(dá)到引力波探測(cè)的穩(wěn)定性要求,但穩(wěn)定性指標(biāo)能否進(jìn)一步提升以及其極限是什么尚不清楚;三是現(xiàn)有構(gòu)形優(yōu)化方法只能針對(duì)具體軌道或特定引力波探測(cè)任務(wù)提供數(shù)值優(yōu)化結(jié)果,而對(duì)各類不同任務(wù)、不同尺度以及不同機(jī)制下的正三角形編隊(duì)的一般攝動(dòng)發(fā)散機(jī)理及內(nèi)在穩(wěn)定性規(guī)律未作充分闡明.

1.3 研究建議與思路

結(jié)合天體力學(xué)規(guī)律,尤其是日地月系統(tǒng)的時(shí)間尺度特征規(guī)律,對(duì)現(xiàn)有3 種機(jī)制下形成的正三角形編隊(duì)對(duì)應(yīng)的編隊(duì)尺度范圍、探測(cè)頻段范圍、探測(cè)方向范圍進(jìn)行系統(tǒng)梳理和比較,并在此基礎(chǔ)上對(duì)各類機(jī)制對(duì)應(yīng)的最佳探測(cè)對(duì)象進(jìn)行編目分析,形成完備的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形圖譜.

圖2 3 種不同的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形生成方式Fig.2 Three different generation methods of space-based triangular formation

然后,重點(diǎn)對(duì)基于繞飛方式的正三角形編隊(duì)形成機(jī)制進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn).經(jīng)典CW 方程是一組描述相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的線性定常系統(tǒng),具有顯式解析解;通過(guò)滿足y方向的速度條件,可進(jìn)一步構(gòu)造出周期解.在所有周期解中,通過(guò)施加約束條件x2+y2+z2=d2,可找到一組稱為空間圓的繞飛構(gòu)形初始條件,其規(guī)定了繞飛圓半徑和初始相位角到初始相對(duì)狀態(tài)的映射關(guān)系:當(dāng)3顆衛(wèi)星在繞飛圓上分布時(shí),通過(guò)滿足相位角關(guān)系:可實(shí)現(xiàn)三星在任意時(shí)刻構(gòu)成空間正三角形編隊(duì).

但CW 方程僅具有一階精度,由其解析解構(gòu)造的正三角形編隊(duì)構(gòu)形,在真實(shí)非線性引力場(chǎng)及攝動(dòng)干擾下會(huì)迅速發(fā)散.為解決該問(wèn)題,可通過(guò)非線性攝動(dòng)技術(shù)、能量匹配原理、攝動(dòng)平均化方法的綜合運(yùn)用,首先得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)高階周期解并設(shè)計(jì)出空間正三角形基準(zhǔn)構(gòu)形;然后以此解為基礎(chǔ),以其修正量為優(yōu)化變量,采用分層優(yōu)化和全局?jǐn)?shù)值搜索實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定構(gòu)形的精確構(gòu)造.具體原理如下:

1)非線性攝動(dòng)技術(shù)(perturbation technique)是處理弱非線性尤其是小擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的經(jīng)典數(shù)學(xué)方法,可對(duì)形如的動(dòng)力學(xué)積分問(wèn)題有效解決,其中ε 為弱非線性或小擾動(dòng)(ε ?1)對(duì)應(yīng)的參數(shù).其中,對(duì)應(yīng)CW 方程的線性動(dòng)力學(xué),N(XXX,ε)可根據(jù)研究需要對(duì)應(yīng)二體引力差、主星軌道偏心率、非球形引力攝動(dòng)、三體引力攝動(dòng)等(其中,弱非線性參數(shù)ε 根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景分別對(duì)應(yīng)偏心率e、非球形攝動(dòng)系數(shù)J2或三體質(zhì)量比μ等).具體計(jì)算原理為:首先求解線性動(dòng)力學(xué)部分得到一階近似解XXX(1);然后代入二階非線性動(dòng)力學(xué)得到二階近似解XXX(2);以此類推,直到得到各階修正量XXX(N);最后,獲得高階解析解XXX=XXX(1)+εXXX(2)+···.

2)上述攝動(dòng)法得到的高階解析解,能夠在短時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)真實(shí)解進(jìn)行嚴(yán)格逼近,但在長(zhǎng)時(shí)間范圍后因截?cái)嗾`差會(huì)發(fā)散.考慮到二體軌道運(yùn)動(dòng)的周期性,因而可通過(guò)能量匹配原理(energy matching principle),將各星初始相對(duì)狀態(tài)進(jìn)行修正,從而使多星之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)嚴(yán)格滿足周期性,確保相對(duì)運(yùn)動(dòng)有界.但在復(fù)雜攝動(dòng)情形下,單星絕對(duì)軌道可能不具有周期性,因此,無(wú)法通過(guò)能量匹配進(jìn)行精確周期調(diào)節(jié);此時(shí)可通過(guò)軌道動(dòng)力學(xué)理論中的攝動(dòng)平均化方法(averaging theory)分離出長(zhǎng)期項(xiàng),并通過(guò)匹配長(zhǎng)期變化率最小化構(gòu)形發(fā)散.

3)以上解析方法能夠消除大部分構(gòu)形發(fā)散,但相對(duì)運(yùn)動(dòng)中殘余的短周期漲落,仍會(huì)導(dǎo)致正三角形臂長(zhǎng)、呼吸角等的波動(dòng),影響引力波探測(cè)的精度.為此,可在高階解析解XXXi0的基礎(chǔ)上,構(gòu)造初始相對(duì)狀態(tài)的修正量?XXXi0,采用數(shù)值優(yōu)化方法使殘余波動(dòng)振幅最小化.借鑒LISA 任務(wù)中采用的優(yōu)化模型,但將優(yōu)化變量由軌道根數(shù)改為更容易利用高階解析解的直角坐標(biāo)狀態(tài),如式(1)所示:

其中:XXXi為第i個(gè)衛(wèi)星的相對(duì)狀態(tài)矢量,XXXi0表示通過(guò)解析方法得到的初始相對(duì)狀態(tài)高階解,?XXXi0為擬優(yōu)化搜索的初始相對(duì)狀態(tài)修正值.優(yōu)化目標(biāo)J定義為多個(gè)構(gòu)形參數(shù)變化量的加權(quán)函數(shù),加權(quán)系數(shù)為ωj(j=1,··· ,4);構(gòu)形參數(shù)包括:li j表示衛(wèi)星i和j之間的臂長(zhǎng),表示臂長(zhǎng)變化率,αi表示衛(wèi)星i對(duì)應(yīng)的呼吸角,γ 為編隊(duì)中心滯后角.

上述優(yōu)化問(wèn)題直接求解較為困難,主要原因是:一是優(yōu)化變量較多,含3 個(gè)衛(wèi)星共18 個(gè)初始相對(duì)位置和相對(duì)速度修正量;二是優(yōu)化過(guò)程涉及動(dòng)力學(xué)積分,且動(dòng)力學(xué)方程因非線性和攝動(dòng)干擾的引入較為復(fù)雜,長(zhǎng)時(shí)間數(shù)值積分(例如數(shù)年)需要極長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間;三是優(yōu)化目標(biāo)存在數(shù)量眾多的局部極小值,容易陷入局部最優(yōu)而無(wú)法找到最優(yōu)解.為解決上述3個(gè)困難,采取的思路如下:

1)針對(duì)優(yōu)化變量較多的問(wèn)題,基于軌道動(dòng)力學(xué)內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行降維處理.首先將相對(duì)位置和相對(duì)速度進(jìn)行分層優(yōu)化,其中,相對(duì)位置修正量作為外層優(yōu)化變量,相對(duì)速度修正量作為內(nèi)層優(yōu)化變量;其次,根據(jù)編隊(duì)距離內(nèi)在約束,將相對(duì)位置變化限定在球殼范圍內(nèi),從而減少一個(gè)自由度;最后,根據(jù)能量匹配原理或攝動(dòng)項(xiàng)長(zhǎng)期變化率匹配關(guān)系,將相對(duì)速度修正量作出約束,從而再減少一個(gè)自由度.由此可將原有的18 維(6×3)優(yōu)化問(wèn)題降低為12 維(4×3),且因?yàn)榉謱觾?yōu)化而每次僅有6 個(gè)變量進(jìn)行搜索,從而大大提高優(yōu)化效率.

圖3 空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形參數(shù)及其變化量示意圖Fig.3 The configuratio parameters and the variation diagram of space-based triangular formation

2)針對(duì)動(dòng)力學(xué)積分耗時(shí)大的問(wèn)題,構(gòu)造軌道運(yùn)動(dòng)積分延拓算法進(jìn)行處理.如圖4所示,我們提出一種基于離散解析數(shù)據(jù)庫(kù)及差分計(jì)算的保精度軌道積分延拓算法(算法1:軌道積分延拓算法).其中,離散解析數(shù)據(jù)庫(kù)的構(gòu)建方式為:a)將初始狀態(tài)附近的位置速度空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分,同時(shí)對(duì)時(shí)間軸進(jìn)行離散化;b)對(duì)網(wǎng)格空間的每個(gè)離散點(diǎn)進(jìn)行精確積分,得到未來(lái)離散時(shí)刻上的精確狀態(tài);c)將所有“時(shí)間狀態(tài)”對(duì)保存為數(shù)據(jù)庫(kù);d)當(dāng)需要離散時(shí)刻之間的狀態(tài)時(shí),通過(guò)高階解析解進(jìn)行遞推求解;e)當(dāng)需要非離散點(diǎn)的積分結(jié)果時(shí),則通過(guò)附近離散點(diǎn)積分結(jié)果構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,進(jìn)而插值得到相應(yīng)結(jié)果.

圖4 保精度軌道積分延拓算法原理Fig.4 Principle of orbit integral continuation algorithm with guaranteed accuracy

3)針對(duì)優(yōu)化目標(biāo)存在大量局部極小值的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造分層全局優(yōu)化算法加以解決.在LISA 編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化中,現(xiàn)有研究使用了混合反應(yīng)禁忌搜索算法,基本思想是將適用于局部函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的仿射篩選算法,和適用于全局組合優(yōu)化的禁忌搜索算法結(jié)合使用.計(jì)算實(shí)踐表明,該算法具有較高的搜索效率和穩(wěn)定性.因此,可借鑒該方法的基本原理,并通過(guò)結(jié)合所提出的高階攝動(dòng)解析解作為優(yōu)化初值、軌道積分延拓算法,用于動(dòng)力學(xué)積分計(jì)算、分層優(yōu)化提高優(yōu)化效率,最終使全局最優(yōu)性得到大幅改進(jìn)(算法2:分層禁忌搜索算法).

值得說(shuō)明的是,基于繞飛式的空間正三角形編隊(duì)形成問(wèn)題,本質(zhì)上等價(jià)于:引力場(chǎng)軌道運(yùn)動(dòng)中是否存在完美圓形相對(duì)運(yùn)動(dòng)(perfect circular relative motion)? 也就是說(shuō):在二體引力場(chǎng)、考慮J2攝動(dòng)的引力場(chǎng)、或考慮三體攝動(dòng)的引力場(chǎng)中,是否存在精確的空間繞飛圓相對(duì)運(yùn)動(dòng)?如果存在,則用于引力波探測(cè)的編隊(duì)可以無(wú)限優(yōu)化,即得到構(gòu)形發(fā)散極小的正三角形編隊(duì);如果不存在,那么完美圓可以接近的理論極限是多少? 在二體非線性引力情況下,截至二階精度為止,LISA 研究團(tuán)隊(duì)通過(guò)數(shù)值方法得到的極限結(jié)果與完美圓的偏差為0.96%;而通過(guò)二階分析解引導(dǎo)數(shù)值搜索,可將相對(duì)圓構(gòu)形偏差減小到0.021%(見(jiàn)圖5).根據(jù)相對(duì)圓構(gòu)形的極值點(diǎn)分布規(guī)律(見(jiàn)圖6),現(xiàn)有結(jié)果似乎支持完美圓形相對(duì)運(yùn)動(dòng)不存在的結(jié)論.但無(wú)論上述問(wèn)題最終結(jié)果如何,這都將既是一個(gè)有趣的理論猜想,也是一個(gè)重要的應(yīng)用問(wèn)題.

圖5 二體非線性引力下的空間正三角形構(gòu)形優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization results of spatial equilateral triangle configuratio under two-body nonlinear gravity fiel

圖6 二體非線性引力下相對(duì)圓運(yùn)動(dòng)多極值點(diǎn)分布規(guī)律Fig.6 Distribution law of multi-extremum points of circular relative motion under two-body nonlinear gravity fiel

未來(lái)將根據(jù)實(shí)際難度和可行性,拓展探索空間正三角形編隊(duì)的其他可能形成機(jī)制—例如平動(dòng)點(diǎn)附近的周期相對(duì)運(yùn)動(dòng)或太陽(yáng)帆編隊(duì).如果存在,則空間引力波探測(cè)的編隊(duì)設(shè)計(jì)和工程實(shí)施方案會(huì)更靈活、更豐富.

2 空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形控制方法

動(dòng)力學(xué)機(jī)理是解決“如何設(shè)計(jì)編隊(duì)”的問(wèn)題,而構(gòu)形控制是解決“如何使編隊(duì)運(yùn)行”的問(wèn)題,兩者之間具有緊密的耦合關(guān)系[39].

2.1 空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形初始化控制

編隊(duì)構(gòu)形初始化是指構(gòu)成編隊(duì)的多個(gè)航天器從運(yùn)載平臺(tái)(一般為火箭上面級(jí)或母星平臺(tái))上分離采用脈沖或連續(xù)控制進(jìn)入目標(biāo)構(gòu)形各自位置的過(guò)程.

Sweetster 等[42]研究了LISA 編隊(duì)構(gòu)形的初始化控制問(wèn)題.其初始化控制的起點(diǎn)是以太陽(yáng)為中心比地球公轉(zhuǎn)軌道略高的圓形停泊軌道;由于停泊軌道周期比地球公轉(zhuǎn)軌道周期略長(zhǎng)幾個(gè)星期,因此,在發(fā)射入軌一年后,3 個(gè)衛(wèi)星將隨著運(yùn)載器到達(dá)距離地球后方20?的位置.以此時(shí)的狀態(tài)為起點(diǎn),Sweetster等[42]計(jì)算得到了三星通過(guò)9 個(gè)月的轉(zhuǎn)移各自到達(dá)目標(biāo)構(gòu)形位置的三脈沖速度增量需求(也即燃耗需求).結(jié)果表明900 m/s～1 096 m/s 的速度增量即可完成構(gòu)形初始化.由于脈沖初始化控制存在一定誤差,Sweetster 等[42]建議初始化控制完成后需要一個(gè)構(gòu)形校準(zhǔn)控制,以實(shí)現(xiàn)正三角形構(gòu)形對(duì)動(dòng)力學(xué)初始條件的嚴(yán)格要求.但該文沒(méi)有介紹脈沖控制和構(gòu)形校準(zhǔn)控制的具體算法.

夏炎等[36?37]同樣研究了LISA 編隊(duì)的構(gòu)形初始化問(wèn)題.與Sweetster 等[42]的方案略微不同,夏炎等[36?37]考慮從期望編隊(duì)構(gòu)形的中心開(kāi)始分離3 個(gè)航天器,并進(jìn)而通過(guò)各航天器的脈沖機(jī)動(dòng)控制進(jìn)入各自的構(gòu)形位置.夏炎等[36?37]采用二體問(wèn)題的Lambert 算法求解分離(起始)和制動(dòng)(末端)所需要的兩脈沖速度增量.研究結(jié)果表明,當(dāng)轉(zhuǎn)移過(guò)程的時(shí)間大于80 d 后,所需的兩脈沖速度增量趨于平穩(wěn)(最大1 100 m/s).但該算法沒(méi)有考慮采用多脈沖是否能夠進(jìn)一步減小燃耗需求.夏炎等[30?31]指出,標(biāo)準(zhǔn)Lambert 算法未考慮其他天體的引力攝動(dòng),因此,有必要在基礎(chǔ)解上進(jìn)行修正;但如何修正未作進(jìn)一步研究.

吳岸明等[43]針對(duì)ASTROD-GW 任務(wù)的空間正三角形編隊(duì)部署問(wèn)題進(jìn)行了研究.其軌道轉(zhuǎn)移的起點(diǎn)為:兩個(gè)航天器位于地球靜止軌道朝向太陽(yáng)的位置,第3 個(gè)航天器位于遠(yuǎn)離太陽(yáng)的位置.吳岸明等[43]采用霍曼轉(zhuǎn)移方式設(shè)計(jì)了3 個(gè)航天器進(jìn)入日地L3 ～L5 平動(dòng)點(diǎn)的兩脈沖控制.由于構(gòu)形尺度較大(2.6 億公里),該初始化過(guò)程單星需要的燃料消耗最小需要4.4 km/s,且轉(zhuǎn)移時(shí)間超過(guò)3.2 a.

Hellings 等[44]針對(duì)OMEGA 任務(wù)的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形初始化問(wèn)題進(jìn)行了研究,提出了基于類圣杯低能軌道的方式,通過(guò)169 d 的軌道轉(zhuǎn)移將3顆衛(wèi)星發(fā)射至60 萬(wàn)公里目標(biāo)軌道,然后再通過(guò)上面級(jí)減速的方式降低軌道近地點(diǎn)在186 d 內(nèi)形成正三角形.

2.2 空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形保持與重構(gòu)控制

構(gòu)形保持與重構(gòu)問(wèn)題源自兩個(gè)現(xiàn)實(shí)需要:一是由于入軌誤差、控制偏差、系統(tǒng)故障以及攝動(dòng)干擾的影響,編隊(duì)構(gòu)形隨時(shí)間演化顯著偏離標(biāo)稱構(gòu)形;二是由于任務(wù)變更或調(diào)整,編隊(duì)需變化為新的構(gòu)形才能滿足任務(wù)要求[39].其中構(gòu)形保持控制主要用于構(gòu)形小幅度調(diào)整,構(gòu)形重構(gòu)控制主要解決構(gòu)形大范圍調(diào)整.

LISA 任務(wù)是ESA“宇宙憧憬2015–2025” 計(jì)劃中的第三次大型任務(wù),預(yù)期于2034年發(fā)射.為解決LISA 空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形的保持問(wèn)題,Hechler等[45]從全流程任務(wù)角度進(jìn)行了深入研究.研究結(jié)果表明,無(wú)法同時(shí)對(duì)3 個(gè)臂長(zhǎng)進(jìn)行穩(wěn)定,只能在幾年內(nèi)穩(wěn)定一個(gè)或兩個(gè)臂長(zhǎng)的變化率.Bik 等[46]為L(zhǎng)ISA 的三角形編隊(duì)構(gòu)形保持問(wèn)題設(shè)計(jì)了雙環(huán)控制算法,其中外環(huán)用于補(bǔ)償精確建模的攝動(dòng)干擾,內(nèi)環(huán)采用比例微分(PD)控制實(shí)現(xiàn)各航天器的位置保持.黃文濤等[47]針對(duì)“天琴”任務(wù)的編隊(duì)構(gòu)形保持問(wèn)題,提出一種基于虛擬編隊(duì)的方法,采用四脈沖控制策略,實(shí)現(xiàn)了軌道中途修正.張立華等[10]、王繼河等[11]對(duì)當(dāng)前引力波探測(cè)的編隊(duì)構(gòu)形控制問(wèn)題進(jìn)行了深入調(diào)研和分析,認(rèn)為:有限的機(jī)動(dòng)控制能力是空間引力波探測(cè)編隊(duì)構(gòu)形控制的一個(gè)顯著特征,應(yīng)在考慮工程實(shí)際約束的前提下重點(diǎn)考慮組合式控制方案,充分發(fā)揮火箭上面級(jí)與衛(wèi)星平臺(tái)共同實(shí)現(xiàn)構(gòu)形初始化與重構(gòu)控制的能力.

針對(duì)引力波編隊(duì)控制問(wèn)題,中國(guó)科學(xué)院院士、“天琴計(jì)劃” 首席科學(xué)家羅俊等[1]在2021年1月14日出版的論文中著重指出:“超遠(yuǎn)的星間距離(17 萬(wàn)公里)和僅裝有μN(yùn) 級(jí)微推力器等特點(diǎn),使得“天琴”所涉及的空間正三角形星座動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題有別于現(xiàn)在已經(jīng)廣泛研究的近距離編隊(duì)和星座系統(tǒng),對(duì)超遠(yuǎn)距離構(gòu)形發(fā)散機(jī)理、機(jī)動(dòng)能力受限下的高精度姿軌控制等方面提出了前所未有的挑戰(zhàn).”羅俊等[1]還指出,“天琴”編隊(duì)任務(wù)應(yīng)區(qū)分科學(xué)模式與非科學(xué)模式的不同,其中控制算法的設(shè)計(jì)應(yīng)保證通過(guò)盡可能少的軌道保持實(shí)現(xiàn)構(gòu)形長(zhǎng)期穩(wěn)定,在科學(xué)模式下要實(shí)現(xiàn)多星協(xié)調(diào)控制,在非科學(xué)模式下應(yīng)確保燃料最優(yōu).上述這些分析既為研究目標(biāo)提出了需求,也為如何開(kāi)展超大型編隊(duì)構(gòu)形控制提供了思路.

開(kāi)展編隊(duì)構(gòu)形控制研究是有非常迫切的現(xiàn)實(shí)需求的.隨著歐洲LISA Pathfinde 技術(shù)驗(yàn)證星(2015年)、我國(guó)“太極一號(hào)”(2019)及“天琴一號(hào)”技術(shù)驗(yàn)證星(2019)等陸續(xù)成功發(fā)射,多星編隊(duì)飛行任務(wù)逐漸被提上日程.2020年9月,中國(guó)科學(xué)院院士、“太極計(jì)劃”首席科學(xué)家吳岳良說(shuō),中科院正在啟動(dòng)空間引力波探測(cè)計(jì)劃第二步“太極二號(hào)”雙星計(jì)劃.而與此同時(shí),“天琴”團(tuán)隊(duì)也計(jì)劃2025年前后發(fā)射雙星.由此可知,空間引力波探測(cè)編隊(duì)的高精度構(gòu)形控制需求變得越來(lái)越迫切[1,11].然而,綜合現(xiàn)有國(guó)內(nèi)外情況可知,當(dāng)前空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形的控制問(wèn)題總體研究較少,且有限的研究結(jié)果無(wú)法滿足引力波探測(cè)的任務(wù)要求[1?5,10?11].

2.3 研究建議和思路

2.3.1 空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形初始化控制

空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形初始化,是指3 個(gè)衛(wèi)星從位于停泊軌道上的運(yùn)載平臺(tái)上分離進(jìn)入任務(wù)軌道并形成正三角形構(gòu)形的過(guò)程.可以考慮兩種基本的構(gòu)形構(gòu)建方式:并行式和串行式,如圖7所示.其中,并行式構(gòu)建方式中,假設(shè)衛(wèi)星攜帶較多燃料,可通過(guò)自主機(jī)動(dòng)進(jìn)行空間交會(huì);三星從編隊(duì)中心的運(yùn)載平臺(tái)上脫離后,同步進(jìn)行軌跡轉(zhuǎn)移,可以較短時(shí)間完成構(gòu)形初始化.串行式構(gòu)建方式中,假設(shè)運(yùn)載平臺(tái)具有較多的剩余燃料,可攜帶三星到達(dá)各自構(gòu)形目標(biāo)位置并依次釋放,從而節(jié)省衛(wèi)星的燃料使用,但構(gòu)形構(gòu)建時(shí)間略長(zhǎng).

圖7 空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形初始化Fig.7 Configuratio initialization of Space-based triangular formation

采用基于脈沖式的控制方式實(shí)現(xiàn)單星空間交會(huì)控制.脈沖控制模型通過(guò)CW 方程構(gòu)建:給定N個(gè)脈沖施加時(shí)刻、初始相對(duì)狀態(tài)、空間正三角形構(gòu)形期望相對(duì)狀態(tài),則N個(gè)脈沖速度增量的表達(dá)式為:

得到的軌跡稱作多脈沖最優(yōu)軌跡.具體優(yōu)化時(shí),可采用主矢量理論(primer theory)輔助判斷最優(yōu)性及改進(jìn)方向,從而加速優(yōu)化過(guò)程.但上述控制模型僅具有一階精度,無(wú)法滿足引力波探測(cè)對(duì)編隊(duì)構(gòu)形精確性的要求.因此,需通過(guò)微分校正(derivative correction)原理對(duì)多脈沖的具體數(shù)值進(jìn)行進(jìn)一步修正:

1)通過(guò)動(dòng)力學(xué)精確數(shù)值積分獲得給定控制下的末端狀態(tài)偏差:

3)迭代計(jì)算得到最終精確控制.

空間正三角形構(gòu)形要求初始相對(duì)狀態(tài)滿足嚴(yán)格穩(wěn)定性條件,需要數(shù)值搜索才能得到.該穩(wěn)定性條件對(duì)應(yīng)初始化控制問(wèn)題的終端相對(duì)狀態(tài).由于轉(zhuǎn)移軌跡的不確定,該終端狀態(tài)的精確數(shù)值事先未知;若將終端狀態(tài)的實(shí)時(shí)搜索加入多脈沖優(yōu)化,則因耗時(shí)巨大而無(wú)法實(shí)現(xiàn).為此,可通過(guò)對(duì)空間圓離散化,對(duì)每個(gè)離散點(diǎn)采用如1.3 節(jié)的解析構(gòu)造和數(shù)值優(yōu)化方法,離線得到嚴(yán)格穩(wěn)定的相對(duì)狀態(tài)并構(gòu)造數(shù)據(jù)庫(kù);然后對(duì)所有離散點(diǎn)進(jìn)行三角配對(duì)形成初始化控制所需要的正三角形目標(biāo)構(gòu)形站位,如圖8所示.構(gòu)形初始化優(yōu)化時(shí),目標(biāo)狀態(tài)將從三角配對(duì)集合中抽取和搜索(算法3:構(gòu)形三角配對(duì)算法).

圖8 空間繞飛圓的離散化及三角配對(duì)原理Fig.8 Discretization of circular relative motion and triangular matching principle

以上優(yōu)化僅為交會(huì)軌跡優(yōu)化,對(duì)應(yīng)于確定的初始條件.實(shí)際上,引力波探測(cè)任務(wù)的起點(diǎn)可能發(fā)生變化,由此帶來(lái)更多的優(yōu)化余地.可對(duì)分離位置不在編隊(duì)中心、停泊軌道偏離標(biāo)稱軌道兩大情形進(jìn)一步探索,如圖9所示.

圖9 空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形初始化過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題類型Fig.9 Types of optimization problems in the space-based triangular formation configuratio initialization

2.3.2 空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形重構(gòu)控制

空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形重構(gòu)問(wèn)題來(lái)源于3 種實(shí)際需求:1)攝動(dòng)及誤差積累導(dǎo)致的構(gòu)形恢復(fù)需求;2)引力波探測(cè)頻段更改帶來(lái)的編隊(duì)構(gòu)形尺度調(diào)整需求;3)引力波探測(cè)方向更改帶來(lái)的編隊(duì)平面指向調(diào)整需求.考慮到引力波探測(cè)航天器實(shí)際配置約束,可在小推力連續(xù)控制模式下設(shè)計(jì)構(gòu)形重構(gòu)控制算法.

首先研究面向構(gòu)形恢復(fù)的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形重構(gòu)控制方法.由于空間正三角形編隊(duì)的構(gòu)形參數(shù)包括:中心位置c、臂長(zhǎng)l、呼吸角α、編隊(duì)平面傾角β 等,因此,構(gòu)形恢復(fù)的基本類型也包括4 種,如圖10所示.但真實(shí)情況下的構(gòu)形變形,是以上4 種情形的組合,即同時(shí)包含多種構(gòu)形參數(shù)的變化.構(gòu)形恢復(fù)控制問(wèn)題的求解思路為:1)確定目標(biāo)中心c,由此計(jì)算參考軌道根數(shù)以及相對(duì)坐標(biāo)系;2)確定構(gòu)形基準(zhǔn)相位角θ 并由此計(jì)算空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形對(duì)應(yīng)的3 個(gè)衛(wèi)星的標(biāo)稱狀態(tài);3)通過(guò)最優(yōu)化控制方法(例如LQR 控制)使每個(gè)衛(wèi)星的相對(duì)狀態(tài)誤差消除為零.其中,目標(biāo)中心c和構(gòu)形基準(zhǔn)相位角θ 的確定需要通過(guò)離散化優(yōu)化實(shí)現(xiàn)(算法4:c?θ 優(yōu)化算法),具體原理為:1)從構(gòu)形發(fā)散后的中心附近按照一定間隔選取一系列待選中心點(diǎn)ck;2)在首個(gè)衛(wèi)星相位角的附近按照一定間隔選取一系列待選基準(zhǔn)相位角θk;3)然后,以所建立的兩脈沖控制解析解作為燃料消耗優(yōu)化指標(biāo),經(jīng)數(shù)值搜索確定出最佳c?和θ?.

圖10 空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形恢復(fù)的4 種基本類型Fig.10 Four basic types of configuratio recovery for Space-based triangular formation configuratio

然后研究面向構(gòu)形尺度調(diào)整的空間正三角形構(gòu)形重構(gòu)控制方法.構(gòu)形尺度調(diào)整本質(zhì)上與構(gòu)形恢復(fù)問(wèn)題相似,但不同之處在于前者具有較大范圍的尺度變化,直接采用誤差消除的反饋控制方法時(shí)會(huì)因推力受限而失效.因此,采用基于形狀的軌跡優(yōu)化方法(shape-based method)實(shí)現(xiàn)小推力作用下的構(gòu)形重構(gòu),如圖11所示.基本原理為:1)用一條參數(shù)化方程描述轉(zhuǎn)移軌道,該參數(shù)化方程在起點(diǎn)滿足初始狀態(tài)約束、在終點(diǎn)滿足目標(biāo)狀態(tài)約束;2)通過(guò)對(duì)參數(shù)化方程施加軌道動(dòng)力學(xué)約束,反算出實(shí)現(xiàn)該軌道運(yùn)動(dòng)的控制函數(shù).形狀法計(jì)算效率高、優(yōu)化方便,但采用何種形狀(等價(jià)為參數(shù)化方程的形式)描述轉(zhuǎn)移軌道,長(zhǎng)期以來(lái)具有較大的隨意性.

圖11 基于小推力最優(yōu)轉(zhuǎn)移的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形尺度重構(gòu)Fig.11 Size reconfiguratio of space-based triangular formation based on low-thrust trajectory transfer

筆者所在課題組近年來(lái)提出了一種基于Bezier(貝塞爾)曲線和引力場(chǎng)圓錐曲線方程相結(jié)合的復(fù)合函數(shù)形狀法,能夠充分利用自然軌道演化的內(nèi)在性質(zhì),且能夠通過(guò)貝塞爾曲線的高度自由性提高轉(zhuǎn)移軌跡的最優(yōu)性;相比以往的形狀法展現(xiàn)出更優(yōu)的性能.將上述方法改進(jìn)后用于相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(算法5:復(fù)合函數(shù)軌跡優(yōu)化算法),此時(shí)基于復(fù)合函數(shù)形狀法得到的構(gòu)形重構(gòu)轉(zhuǎn)移軌跡可用式(3)描述:

其中:rrr(s)為轉(zhuǎn)移軌跡的參數(shù)化方程,s∈ [0,1]為歸一化的時(shí)間變量,rrrH1(t)和rrrH2(t)為初始繞飛圓對(duì)應(yīng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解析解、目標(biāo)繞飛圓對(duì)應(yīng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解析解,BBB1(s)和BBB2(s)為貝塞爾曲線方程.這里s與時(shí)間變量t之間滿足由用戶定義的歸一化關(guān)系:s=G(t).貝塞爾曲線形如其中bi,n(s)為貝塞爾系數(shù),PPPi為待定參數(shù).通過(guò)起點(diǎn)、終點(diǎn)的約束關(guān)系:可以得到完全平滑的轉(zhuǎn)移軌跡.當(dāng)貝塞爾曲線的階數(shù)n較大時(shí),多余的待定參數(shù)PPPi可作為優(yōu)化變量,提升轉(zhuǎn)移軌跡的最優(yōu)性.一旦轉(zhuǎn)移軌跡確定,則需要的控制可通過(guò)反解動(dòng)力學(xué)得到:

與初始化控制問(wèn)題類似,構(gòu)形重構(gòu)時(shí)的目標(biāo)相對(duì)狀態(tài)也具有優(yōu)化余地,因此,可采用算法3(構(gòu)形三角配對(duì)算法),將目標(biāo)構(gòu)形上的相對(duì)狀態(tài)進(jìn)行離散化,從而通過(guò)數(shù)值優(yōu)化搜索確定出最佳的重構(gòu)目標(biāo).

最后研究面向編隊(duì)指向調(diào)整的空間正三角形構(gòu)形重構(gòu)控制方法.編隊(duì)指向調(diào)整問(wèn)題的示意圖如圖12所示.與前述編隊(duì)構(gòu)形恢復(fù)、編隊(duì)尺度調(diào)整兩類問(wèn)題不同,編隊(duì)指向調(diào)整只能通過(guò)參考軌道(即編隊(duì)中心所在的空間圓軌道)調(diào)整實(shí)現(xiàn).這是因?yàn)?根據(jù)空間正三角形構(gòu)形的形成機(jī)制可知,正三角形編隊(duì)的平面與參考軌道平面的夾角β 只能為±60?兩種情形(但考慮攝動(dòng)時(shí),β 會(huì)發(fā)生小幅度≤1?變化).因此,若要實(shí)現(xiàn)指向特定引力波方向的正三角形編隊(duì)飛行,則必須調(diào)整編隊(duì)中心所在的軌道.當(dāng)在軌任務(wù)發(fā)生變化,需要從一個(gè)探測(cè)方向(γ,φ)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)方向(γ′,φ′)時(shí),則按照以下流程進(jìn)行計(jì)算:1)根據(jù)擬探測(cè)方向確定參考軌道的軌道根數(shù);2)確定參考中心的位置c及對(duì)應(yīng)的相對(duì)坐標(biāo)系;3)再根據(jù)優(yōu)選規(guī)則確定目標(biāo)構(gòu)形的基準(zhǔn)相位角θ;4)按照研究?jī)?nèi)容一所建立的動(dòng)力學(xué)模型和優(yōu)化搜索方法,確定出目標(biāo)構(gòu)形對(duì)應(yīng)的3 個(gè)衛(wèi)星的位置和速度;5)最后采用算法5(復(fù)合函數(shù)形狀法),設(shè)計(jì)得到各衛(wèi)星的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡及控制函數(shù).其中,上述計(jì)算流程中所說(shuō)的中心位置c及基準(zhǔn)相位角θ,需要通過(guò)優(yōu)化以減小構(gòu)形重構(gòu)所需要的總?cè)剂舷?具體可采用算法4(c?θ 優(yōu)化算法)進(jìn)行求解.

圖12 基于小推力最優(yōu)轉(zhuǎn)移的空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形指向重構(gòu)Fig.12 Direction reconfiguratio of space-based triangular formation based on low-thrust trajectory transfer

3 結(jié)論

本文對(duì)面向引力波探測(cè)的空間正三角形編隊(duì)動(dòng)力學(xué)機(jī)理及控制方法研究現(xiàn)狀,作了系統(tǒng)全面的調(diào)研和分析.綜合現(xiàn)有情況可知,空間正三角形編隊(duì)構(gòu)形的動(dòng)力學(xué)形成機(jī)制、攝動(dòng)演化規(guī)律及長(zhǎng)期穩(wěn)定策略已取得較為豐富的研究成果,能夠支持特定引力波探測(cè)工程任務(wù)的設(shè)計(jì)需求.但現(xiàn)有動(dòng)力學(xué)機(jī)理研究的不足在于缺少完整統(tǒng)一的理論框架體系,且已闡明的構(gòu)形演化規(guī)律嚴(yán)重依賴數(shù)值計(jì)算結(jié)果,缺乏清晰的理論依據(jù)和物理解釋.現(xiàn)有的引力波探測(cè)控制研究在單星無(wú)拖曳控制方面成果較多,而在三星正三角形編隊(duì)控制方面成果較少.考慮到我國(guó)已明確提出在2035年前后實(shí)現(xiàn)空間引力波探測(cè)在軌實(shí)驗(yàn)的計(jì)劃,多星編隊(duì)的構(gòu)形初始化、保持與控制將成為未來(lái)重要的研究方向.本文結(jié)合最新研究成果,揭示了正三角形編隊(duì)動(dòng)力學(xué)機(jī)理存在的若干研究空白以及潛在的解決思路,同時(shí)借鑒經(jīng)典編隊(duì)飛行理論,建立了引力波探測(cè)編隊(duì)的構(gòu)形初始化、保持與重構(gòu)控制模型和原理.本文相關(guān)結(jié)果將為我國(guó)未來(lái)引力波探測(cè)的編隊(duì)飛行任務(wù)設(shè)計(jì)與實(shí)施提供重要的理論基礎(chǔ).