趙丕洋 洪榮晶,2 方成剛,2

1(南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 江蘇 南京 210009) 2(南京工大數(shù)控科技有限公司 江蘇 南京 210009)

0 引 言

機(jī)器人在打磨、噴涂和裝配上具有很大優(yōu)勢(shì)，已成為制造業(yè)的發(fā)展趨勢(shì)。在六自由度機(jī)器人末端安裝六維力傳感器，可與外界的接觸力進(jìn)行交互，以適應(yīng)在飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)、汽輪機(jī)葉片和模具等外形輪廓復(fù)雜零部件的高精度要求[1]。

Hogan提出的阻抗控制需要很少離線任務(wù)規(guī)劃，對(duì)擾動(dòng)和不確定性有很好的魯棒性[2]，但其采用基于理想化的物理系統(tǒng)模型方法，無(wú)法準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的位置控制和力控制。Seul在Hogan的阻抗控制算法的基礎(chǔ)上提出了一種自適應(yīng)阻抗控制算法，不需要確定的機(jī)器人模型就能實(shí)現(xiàn)力反饋信息的處理，因此在環(huán)境剛度多變的情況下，也能夠把機(jī)器人與環(huán)境之間的接觸力穩(wěn)定在給定的期望值[3]。粒子群算法(Particle swarm optimization，PSO)是最早由Kennedy和Eberhart在1995年提出的一種群體智能的優(yōu)化算法，該算法來(lái)源于對(duì)鳥群捕食行為的研究，模擬鳥集群飛行覓食的行為。PSO是從這種生物種群行為特征中得到啟發(fā)并用于求解優(yōu)化問(wèn)題，具有簡(jiǎn)單易行、收斂速度快、設(shè)置參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)[4]。在分析力控基本原理后，本文提出一種采用PSO對(duì)機(jī)器人力控過(guò)程中接觸空間的自適應(yīng)阻抗控制算法的慣性、阻尼和剛度矩陣參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)的方法，以提高系統(tǒng)的控制性能。

1 阻抗控制模型

Hogan提出了機(jī)器人同時(shí)具有阻抗和導(dǎo)納的性質(zhì)，因此能實(shí)現(xiàn)基于傳感器力反饋的機(jī)器人末端位置控制。外界的環(huán)境接觸力看作一種“干擾”信號(hào)，同時(shí)在受外界力的作用而偏離原定軌跡時(shí)向機(jī)器人傳遞具有阻抗形式的擾動(dòng)信號(hào)。通過(guò)調(diào)整相應(yīng)的阻抗參數(shù)，從而調(diào)節(jié)機(jī)器人與外界環(huán)境之間的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。阻抗控制原理如圖1所示。

圖1 阻抗系統(tǒng)原理

機(jī)器人模型可以看作一個(gè)二階的阻尼-彈簧-質(zhì)量阻抗系統(tǒng)，當(dāng)機(jī)器人末端實(shí)際位置X和期望位置Xd有偏差E時(shí)，此時(shí)會(huì)使得機(jī)器人末端產(chǎn)生阻抗力F，即：

(1)

式中：M、B、K分別對(duì)應(yīng)慣性系數(shù)、阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)，統(tǒng)稱為阻抗參數(shù)。

2 自適應(yīng)阻抗控制算法原理及平臺(tái)搭建

2.1 自適應(yīng)阻抗控制原理

在研磨復(fù)雜面時(shí)，機(jī)械臂與環(huán)境的接觸力一直變化，自適應(yīng)阻抗控制算法可以適應(yīng)力變化。在很短的時(shí)間內(nèi)快速準(zhǔn)確地跟蹤位置信號(hào)并將力穩(wěn)定在輸入的期望值附近，且具有很好的魯棒性[5]。N自由度機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間的動(dòng)力學(xué)仿真如下：

(2)

(3)

閉環(huán)機(jī)器人系統(tǒng)滿足目標(biāo)阻抗關(guān)系式：

(4)

式中：Fe表示機(jī)械臂與外部環(huán)境的接觸力；Fd是期望力；E=Xe-X,Xe是環(huán)境位置。為簡(jiǎn)化討論，只考慮一個(gè)方向上受力情況。令fd、fe、m、b、k分別為向量Fd、Fe、M、B、K的x方向上的對(duì)應(yīng)元素。

則式(4)改寫為：

(5)

控制過(guò)程分為自由空間和接觸空間兩個(gè)階段。自由空間狀態(tài)下，是機(jī)械臂與外界環(huán)境之間不存在作用力，接觸空間狀態(tài)下，是機(jī)械臂與外界環(huán)境之間存在作用力。在自由空間，機(jī)器人與外界環(huán)境之間的作用力fe=0，式(5)則改寫為：

(6)

在接觸空間內(nèi)，求解式(5)的微分方程，要求對(duì)任意的ke，在fe=fd點(diǎn)都滿足理想的穩(wěn)定條件。解得在受力狀態(tài)下的剛度系數(shù)k=0，故式(5)可改寫為：

(7)

在力控方向上的剛度增益k保持不變?？梢杂脧椈傻氖芰η闆r表示機(jī)器人與環(huán)境之間的作用力，設(shè)fe=ke(x-xe)=-kee，式(7)可以改寫為：

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：η為更新率；λ是采樣周期。將式(11)代入式(10)，求Laplace變換，建立位置誤差和接觸力誤差的傳遞函數(shù)。根據(jù)二階時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定條件Taylor級(jí)數(shù)展開可得：

2.2 自適應(yīng)阻抗控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)基于位置的自適應(yīng)阻抗器，為保證系統(tǒng)的魯棒性，需要利用已知的信息來(lái)消除高度復(fù)雜的不確定性[6]。將式(2)的機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程改寫為：

(12)

選擇控制律為：

(13)

整理可得：

(14)

(15)

此時(shí)控制律變換為：

(16)

(17)

自適應(yīng)阻抗控制律可寫作：

(18)

通過(guò)控制規(guī)律式(18)可得到該算法的原理如圖2所示[7-9]。

圖2 自適應(yīng)阻抗控制算法原理

打磨機(jī)器人為六自由度，為便于仿真得到結(jié)果，以平面二自由度連桿(如圖3所示)為例進(jìn)行分析計(jì)算[10-11]。

圖3 打磨機(jī)器人模型及簡(jiǎn)化連桿

連桿2末端位置坐標(biāo)為：

(19)

雅可比矩陣為：

(20)

由式(2)可得此機(jī)械手的慣性矩陣為：

D(q)=

(21)

根據(jù)自適應(yīng)阻抗控制律在Simulink中搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖4所示。

圖4的自適應(yīng)阻抗控制器模型中f(x)是適應(yīng)度函數(shù)，給定期望位置為0.876，環(huán)境位置為0.866，期望力為10 N，system函數(shù)模塊均用S-Function進(jìn)行編寫。

3 粒子群算法流程及程序設(shè)計(jì)

自適應(yīng)阻抗控制器的優(yōu)化問(wèn)題就是確定一組合適的參數(shù)M、B和K，使得系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。在尋優(yōu)過(guò)程中，將粒子群優(yōu)化算法的目標(biāo)函數(shù)(即適應(yīng)度函數(shù))作為評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性能的指標(biāo)，并根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算出每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值，通過(guò)適應(yīng)度值來(lái)判斷粒子優(yōu)劣，得出自適應(yīng)阻抗參數(shù)M、B和K對(duì)應(yīng)的最優(yōu)粒子。

圖5所示為PSO尋優(yōu)流程，PSO與Smulink的自適應(yīng)阻抗控制算法之間連接的橋梁是粒子(即自適應(yīng)控制器參數(shù))和該粒子對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值(即控制系統(tǒng)的性能指標(biāo))。

圖5 PSO優(yōu)化阻抗參數(shù)的過(guò)程示意圖

具體的算法運(yùn)行過(guò)程如下[12]：

(1) 初始化粒子群。在設(shè)定的參數(shù)范圍內(nèi)，隨機(jī)生成一群初試粒子。設(shè)置好粒子群規(guī)模和最大迭代次數(shù)等參數(shù)，并確定粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置Pt和整個(gè)粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置Gt。

(2) 尋找個(gè)體極值和群體極值。對(duì)每個(gè)粒子，將其適應(yīng)度值與該粒子所經(jīng)過(guò)的最優(yōu)位置Pt適應(yīng)度值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的Pt。然后將其適應(yīng)度值與整個(gè)粒子群所經(jīng)歷的最優(yōu)位置Gt的適應(yīng)度值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的Gt。

(3) 粒子適應(yīng)度值計(jì)算。將當(dāng)前最優(yōu)的粒子依次賦值給自適應(yīng)阻抗控制器的參數(shù)M、B、K，然后通過(guò)sim函數(shù)運(yùn)行控制系統(tǒng)的Simulink模型，由適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算出適應(yīng)度值，以作為判斷是否更新粒子的速度和位置的條件，讓粒子向全局最優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行尋優(yōu)。在本文系統(tǒng)中，適應(yīng)度函數(shù)采用二次型，選取線性二次型最優(yōu)控制性能指標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，使粒子向誤差和輸出能量綜合起來(lái)最小的方向進(jìn)行尋優(yōu)[13]，即：

(22)

式中：e為控制誤差；u表示控制器輸出；分別對(duì)應(yīng)控制器中的ΔF和ΔX，ΔX是x方向上的位置跟蹤誤差，ΔF為期望力和實(shí)際接觸力的誤差；ρ為常數(shù)[14]。

(4) 更新粒子的速度和位置。粒子在搜索空間中的速度和位置根據(jù)式(23)-式(24)確定。

vt+1=wvt+c1r1(Pt-xt)+c2r2(Gt-xt)

(23)

xt+1=xt+vt+1

(24)

式中：x表示粒子的位置；v表示粒子的速度，為防止粒子的盲目搜索，將位置和速度限制在區(qū)間[Lb,Ub]和[Vmin,Vmax]內(nèi)；w表示慣性因子；c1、c2為加速常數(shù)；r1、r2為[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。本文中取w=6、c1=c2=2、Vmin=-1、Vmax=1,且確定阻抗參數(shù)M、B、K的搜索范圍。

(5) 迭代尋優(yōu)并進(jìn)行個(gè)體極值和群體極值更新。每次迭代后判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)或小于最小適應(yīng)值的條件。若符合條件則終止算法，得到最優(yōu)解；若不符合條件，則返回步驟(2)。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

在simulink中，設(shè)置機(jī)械臂關(guān)節(jié)質(zhì)量m1=m2=1 kg；長(zhǎng)度l1=l2=1 m。代入式(21)可得：

(25)

在粒子群算法中，設(shè)置迭代次數(shù)為30，粒子個(gè)數(shù)為30，為了使結(jié)果盡可能精確，最小適應(yīng)度值設(shè)置為0，適應(yīng)度函數(shù)參數(shù)ρ=0.5。M、B、K三個(gè)參數(shù)尋優(yōu)范圍的上限為Ub=[10,200,800]，下限為L(zhǎng)b=[1,50,300]。為了便于分析，只對(duì)x方向上的受力空間進(jìn)行尋優(yōu)，因此設(shè)置x方向環(huán)境剛度Ke=4 000。仿真采用固定步長(zhǎng)、ode4算法，起始時(shí)間為0 s，仿真步長(zhǎng)為0.01 s，仿真時(shí)間為3 s。運(yùn)行結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖7 適應(yīng)度值迭代曲線

由于適應(yīng)度值變化幅度較小，令fit=1 000×(適應(yīng)度值-0.007 499 999)，作fit隨迭代次數(shù)變化圖如圖8所示。

分別得到尋優(yōu)參數(shù)M、B、K隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖9-圖11所示。

圖9 剛度參數(shù)K優(yōu)化曲線

圖11 慣性參數(shù)M優(yōu)化曲線

可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù)在22次時(shí)，三個(gè)參數(shù)尋優(yōu)趨于穩(wěn)定，達(dá)到最優(yōu)值。由MATLAB計(jì)算結(jié)果可得，PSO尋得的最優(yōu)參數(shù)為M=6.513 9、B=191.755 9、K=496.728 5(結(jié)果保留四位小數(shù))，將尋得的最優(yōu)值代入自適應(yīng)阻抗控制的Simulink模型中并運(yùn)行，得到x方向上的位置跟蹤和力跟蹤圖如圖12和圖13所示。

可以看出，控制器在0.7 s后穩(wěn)定在0.868 5的位置上，控制力在0.7 s后達(dá)到穩(wěn)定，并且穩(wěn)定在10 N的期望力。在力跟隨過(guò)程中的最大力約為17.5 N，最小力約為9 N。

為更加明顯地看出優(yōu)化后的控制器性能，根據(jù)文獻(xiàn)中搭建遺傳算法平臺(tái)尋優(yōu)得到參數(shù)[15]為M=3.562 6、B=105.590 2、K=377.523 9，再根據(jù)比較整定法[16]得出系統(tǒng)參數(shù)為M=1、B=50、K=625。

將三種優(yōu)化算法尋優(yōu)結(jié)果代入自適應(yīng)阻抗控制器中，得到x方向上位置跟蹤和力跟蹤曲線如圖14和圖15所示。

圖14 位置跟蹤仿真結(jié)果比較

由圖14和圖15可得，遺傳算法在0.85 s后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，比較整定法在2.2 s后達(dá)到穩(wěn)定，且兩種方法的振蕩次數(shù)均較多。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)阻抗控制原理進(jìn)行了基本介紹，并將其與自適應(yīng)控制算法相結(jié)合，推導(dǎo)出自適應(yīng)阻抗控制律。為便于研究，以二自由度連桿為例在MATLAB/Simulink軟件中搭建自適應(yīng)阻抗控制器。為得到較好的系統(tǒng)控制性能，編寫基于M文件的粒子群尋優(yōu)算法對(duì)阻抗參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果得到的跟蹤曲線，與遺傳算法和整定比較法相比，粒子群尋優(yōu)結(jié)果在x方向上的位置和力跟蹤曲線具有更短的上升時(shí)間、下降時(shí)間，更少的振蕩次數(shù)和有更小的最大超調(diào)量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了粒子群優(yōu)化算法對(duì)阻抗參數(shù)尋優(yōu)的有效性和優(yōu)越性，對(duì)目前打磨、裝配等機(jī)器人的過(guò)程力控制的研究具有重要意義。

本文的不足之處在于需要多次離線的仿真計(jì)算確定，耗時(shí)較長(zhǎng)且不能實(shí)現(xiàn)參數(shù)的在線整定，在應(yīng)用中有所不便。且只對(duì)x方向阻抗參數(shù)做了整定和優(yōu)化，后續(xù)將考慮實(shí)際加工中的六維力情況并開展相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究。