王 振 閆 偉 張 剛 陳躍華(寧波大學(xué)海運學(xué)院 浙江 寧波 315211)

0 引 言

斜拉索是斜拉橋的主要受力構(gòu)件，索力的準(zhǔn)確測量不僅關(guān)系到橋梁工程能否安全實施，更影響到建橋后主梁、主塔的線形是否符合工程要求。因此，準(zhǔn)確測量拉索索力是研究學(xué)者及橋梁建設(shè)者共同關(guān)注的問題。目前，對于拉索索力的測量方法包括振動頻率法、傳感器測量法、垂度測量法、拉索靜態(tài)線形測量法等。振動頻率法實測拉索的固有頻率，利用索的張力和固有頻率的關(guān)系計算拉索索力；傳感器測量法通常采用壓力傳感器測量索力，需要在每根拉索上安裝壓力傳感器，經(jīng)濟成本過高；而垂度法是依據(jù)拉索測量段的傾斜角、索長和最大垂度推導(dǎo)出的索力公式計算拉索的平均索力值，考慮索力差值和索段位置來確定整個拉索的索力。因此，頻率法測量索力仍然是最為經(jīng)濟實用且測量較為準(zhǔn)確的方法[1-5]。

基于頻率法來測量索力，主要是利用數(shù)據(jù)采集儀器測量斜拉索的振動頻率，再建立拉索頻率與索力之間的函數(shù)式，從而由頻率計算出拉索索力[6-9]。Ren等[10]基于能量法以及數(shù)據(jù)曲線擬合方法，考慮抗彎剛度和垂度對斜拉索振動特性的影響，推導(dǎo)出可以計算斜拉索的索力公式，并主要考慮一階頻率進行研究，采用基頻來計算其索力。Fang等[11]基于拉索的橫向振動理論知識，采用曲線擬合技術(shù)，避免了采用迭代法求解非線性方程，得到了求解索力的實用公式，但該索力公式只考慮了抗彎剛度影響，忽略了拉索垂度作用的影響。Sun等[12]建立了靈活約束條件下拉索索力實用計算模型，提高了彈性約束條件和抗彎剛度下的拉索索力求解精度。Ma[13]提出了一種精確確定邊界條件未知的斜拉索張力的方法，該方法可以同時識別彈性邊界條件下的多個參數(shù)。但在實際應(yīng)用中影響拉力的因素過多，在較為準(zhǔn)確計算、檢測頻率的基礎(chǔ)上，需要對基頻-索力函數(shù)關(guān)系進行修正。甘泉等[14]基于斜拉索橫向振動方程的通解，通過在弦振動理論公式的基礎(chǔ)上，引入剛度修正系數(shù)，并且提出了可用于兩端固支條件下的拉索索力計算的統(tǒng)一公式。Sun等[15]針對求解過程中忽略邊界條件及抗彎剛度對拉索的索力精度的影響，提出計算修正公式。Dan等[16]基于數(shù)值模擬方法對張力誤差進行研究，并給出了經(jīng)驗誤差修正公式用來擬合索力誤差之間的關(guān)系。

綜上，基頻的準(zhǔn)確計算與測量、頻率-索力求解方程的正確修正是索力測量的關(guān)鍵問題。本文考慮彈性邊界條件并基于弦振動原理與切比雪夫級數(shù)方法建立頻率與索力之間的函數(shù)關(guān)系，并利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)與實驗數(shù)據(jù)結(jié)合的方式，修正頻率-索力關(guān)系式以保證索力的準(zhǔn)確計算及測量。

1 彈性邊界下拉索的頻率特性及索力切比雪夫級數(shù)求解

1.1 彈性邊界下拉索的頻率特性求解

本文將任意邊界條件等效為拉索的左右兩端分別連接拉伸約束彈簧K1和K3、扭轉(zhuǎn)約束彈簧K2與K4，建立的彈性邊界條件拉索振動模型如圖1所示,其中L為拉索的長度。

圖1 彈性邊界條件下拉索振動模型

通常，拉索的振動微分方程可表述為[17]:

(1)

式中：EI為拉索抗彎剛度；T為拉索索力；ρΑ為拉索線密度；u(x,t)為拉索振動位移函數(shù)。則拉索的彈性邊界約束表述為：

(2)

式中：k1=K1/EI,k2=K2/EI,k3=K3/EI,k4=K4/EI。

基于分離變量法，將拉索振動函數(shù)分解為時間序列函數(shù)與振型函數(shù)Y(x)的乘積：

u(x,t)=Y(x)sin(ωt+φ)

(3)

式中：ω為拉索固有頻率；φ為相位角。將式(3)代入式(1)可得：

EIY(4)(x)-TY″(x)-ρAω2Y(x)=0

(4)

式(4)為振型函數(shù)的微分方程，將振型函數(shù)采用切比雪夫級數(shù)[18]進行展開，設(shè)：

(5)

式中：ai為待定常數(shù)。式(5)中切比雪夫級數(shù)為：

將上式代入振動函數(shù)式(3)，為使振動函數(shù)滿足邊界條件，構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)和g(x)分別為：

(6)

式中：

若令：

Φi(x)=h(x)Ti(x)+g(x)

(7)

則滿足邊界條件式(2)的振型函數(shù)為：

(8)

由式(8)給出的振型函數(shù)不是式(4)的真實解，因此代入式(4)時，式(4)并不等于零。但根據(jù)虛位移原理，可以使其在虛位移上所做的功為零，即：

(9)

展開可得：

(10)

由于δaj是任意的，整理可得頻率方程為：

(11)

式中：

寫成矩陣的形式:

|D-ω2Ms|=0

(12)

顯然，求解矩陣形式的頻率方程式(12)，得到對應(yīng)的特征值與特征向量，即可得到振動系統(tǒng)前n階的固有頻率。

1.2 彈性邊界條件下拉索的索力計算及分析

考慮圖1所示拉伸約束與扭轉(zhuǎn)約束共同作用彈性邊界條件下，推導(dǎo)拉索索力-頻率計算公式。根據(jù)所得計算公式，簡化邊界條件，進一步推導(dǎo)固支和鉸支條件下索力計算公式。

為求解彈性邊界條件下的索力計算公式，設(shè)振動函數(shù)解如下：

u(x,t)=Y(x)ψ(t)

(13)

ψ(t)=A1sinωt+A2cosωt

(14)

Y(x)=a1sinαx+a2cosαx+a3sinhβx+a4coshβx

(15)

式中：ψ(t)為時間序列函數(shù)；Y(x)為振型函數(shù)；a1、a2、a3、a4為待定系數(shù)；ω為索自振頻率。α和β計算為：

(16)

將式(15)振型函數(shù)代入式(2)可得一般邊界條件下拉索的頻率-索力表達式：

(17)

欲使式(17)有非零解，則其方程組系數(shù)行列式應(yīng)為零，即可得：

(18)

將式(18)簡化計算處理得到：

(19)

式(19)為一般邊界條件下索力-頻率的關(guān)系式。顯然，若將拉索邊界條件簡化為簡支-固支，則式(19)會大大簡化，可得出彈性邊界條件下簡化的索力表達式。

若拉索為簡支約束條件，此時K1=K3=0,K2=K4=∞，則式(19)變?yōu)椋?/p>

(EI)2(α2+β2)2sinαLsinhβL=0

(20)

顯然，(EI)2(α2+β2)2和sinhβL不為零，因此有sinαL=0，即:

αL=nπn=1,2,…,n

(21)

將式(21)代入式(19)且忽略抗彎剛度影響，可得兩端簡支邊界條件下拉索的頻率與索力之間的關(guān)系式：

(22)

式中：L為拉索的長度；fn為第n階自振頻率。

若拉索為固支約束條件，此時K1=K3=K2=K4=∞，若省略式(19)中邊界條件的低次項，整理式(19)可得：

2αβ[1-cos(αL)cosh(βL)+(α2-β2)sin(αL)·

sinh(βL)]=0

(23)

由于式(23)是一個超越方程，不能直接得到索力-頻率的關(guān)系式。根據(jù)文獻[19]中的超越方程求解方法并且忽略抗彎剛度對拉索的影響，可得索力-頻率的關(guān)系表達式：

(1) 當(dāng)使用第一階振型的固有頻率時：

(24)

(2) 當(dāng)使用第二階振型的固有頻率時：

(25)

(3) 當(dāng)使用第高階(三階及以上)振型的固有頻率時：

(26)

顯然，簡單邊界條件下索力計算公式是彈性邊界下索力計算公式的簡化。而且彈性邊界下索力公式計算復(fù)雜，彈性邊界參數(shù)往往不可得，因此在計算拉索頻率與索力之間的表達式時存在很大難度。一般國內(nèi)外學(xué)者對斜拉索的索力計算公式均將彈性邊界約束條件下的索力表達式寫成對簡支公式乘以修正系數(shù)，即：

(27)

式中：Δ為修正系數(shù)。在理論計算中，彈性邊界條件下的索力計算公式的修正系數(shù)很難求解得到，需要依靠實驗數(shù)據(jù)來確定Δ的大小。因此，本文采用自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合實驗室數(shù)據(jù)方式對式(27)進行修改。

2 實 驗

2.1 數(shù)頻率特性實驗驗證

基于前面的理論部分的公式和結(jié)論，在實驗室搭建拉索振動實驗平臺來驗證，左右兩端采用2個基座用地腳螺栓連接固定在地面上，拉索兩端采用螺紋卡扣進行固定。利用激勵力錘作用于拉索某一位置獲得其振動數(shù)據(jù)信號，通過在L/4索長處安裝壓電式加速度傳感器(YBY-10KN型)測量振動信號。拉索的張緊力采用拉壓傳感器測量，拉索張緊力采用數(shù)據(jù)采集器(東華測試技術(shù)有限公司DH3820型)進行數(shù)據(jù)采集，拉索振動模態(tài)測試采用采集器(DH5922型)進行數(shù)據(jù)采集。將采集儀采集到的振動信號傳輸?shù)竭B接好的電腦上，通過軟件進行分析，測試儀器及分析軟件如圖2所示。

(a)

(b)圖2 DH3820型采集器及分析軟件界面

實驗對象選擇型號304不銹鋼拉索，拉索的基本參數(shù)如下:拉索單位長度質(zhì)量m=0.081 kg·m-1，拉索直徑d=4 mm，拉索彈性模量E=1.93×108Pa，拉索截面慣性矩I=1.257×10-11m4,T=3 960 N，拉索長度L=6.8 m。分別在兩端固支和兩端固支-簡支兩種邊界條件下進行實驗。

表1給出了兩端固支邊界條件下實驗結(jié)果與本文頻率特性求解方法得到的計算結(jié)果前十階固有頻率進行對比分析的結(jié)果?？梢钥闯觯渥畲笙鄬φ`差為3.388%，最小相對誤差為-0.989%。

表1 固支-固支邊界條件下拉索固有頻率

表2給出了固支-簡支邊界條件下實驗結(jié)果與本文頻率特性求解方法計算結(jié)果前十階固有頻率進行對比分析的結(jié)果。可以看出，最大相對誤差為3.284%，最小相對誤差為0.709%。通過對比分析再次驗證本文邊界模擬方式與理論模型的正確性。在兩種邊界條件下估算出的Tmin均為3 780 N,Tmax均為4 210 N，索力相對誤差均為-4.545%-6.313%，由此可見本文方法可用于有效估算拉索索力。

通過搭建拉索振動實驗平臺，在兩端固支和兩端固支-簡支這兩種邊界條件下對拉索進行模態(tài)實驗，與計算結(jié)果進行對比，其相對誤差小于3.388%，表明本文方法在計算彈性邊界條件下拉索振動模態(tài)是有效的，為后續(xù)擬合基頻-力的關(guān)系提供較為準(zhǔn)確的理論依據(jù)。

2.2 索力自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)修正及實驗驗證

理論上可以利用基頻求解拉索索力，但是存在如下問題：(1) 拉索的索力計算公式?jīng)]有具體統(tǒng)一的形式，應(yīng)用條件限制較多。(2) 為簡化索力計算公式，通常忽略抗彎剛度及垂度的影響，造成理論上很難保證計算的索力精確度。(3) 為提高索力計算精度，通常會在索力計算公式中添加補償項，計算形式較為復(fù)雜，很難進行工程應(yīng)用。從上文推導(dǎo)頻率-索力計算公式中也可以看出，計算公式比較復(fù)雜，在計算過程中忽略較多因素(如抗彎剛度、索力增量等)，因此降低了索力的求解精度。彈性邊界一般在實際應(yīng)用中難以確定，導(dǎo)致索力求解難度增大。因此，對于基頻法求解拉索的索力時計算公式存在的問題，可以利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)結(jié)合實驗數(shù)據(jù)的方式，在較為準(zhǔn)確計算和測量基頻情況下，采用實驗方法(在一定條件下)來擬合基頻-力關(guān)系。

通過對自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)方法的學(xué)習(xí)和實踐，學(xué)習(xí)到自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)(ANFIS)最大的優(yōu)點是基于I/O數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模而不需要建立實際的理論模型，通過數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)逼近，最后更加逼近于實際數(shù)據(jù)輸出。該方法不是通過經(jīng)驗得來的，因此對于那些認(rèn)識還存在模糊不清晰或者是非常復(fù)雜的系統(tǒng)，應(yīng)用自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)的方法，通過獲取實際數(shù)據(jù)，再進行數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)逼近輸出，該方法具有的優(yōu)勢顯得尤為突出。本文采用五層結(jié)構(gòu)ANFIS，其示意圖如圖3所示。

第一層為輸入層，設(shè)有三個輸入：拉索長度L、拉索基頻w、拉索單位質(zhì)量m。

第二層為輸入變量隸屬度函數(shù)層，對于第j組訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(Lj，wj，mj)，數(shù)據(jù)訓(xùn)練前采用高斯函數(shù)進行輸入函數(shù)的模糊化，即：

(28)

式中：i表示模糊子集數(shù)；cij、σij分別表示隸屬度函數(shù)的中心和寬度。

第三層為規(guī)則層，進行模糊運算，輸出各神經(jīng)元輸入取積后的歸一化值，即各條規(guī)則的激勵強度歸一化，各節(jié)點輸出為：

(29)

第四層為自適應(yīng)運算層，該層結(jié)合27條控制規(guī)則完成自適應(yīng)運算計算出每條規(guī)則的輸出，節(jié)點結(jié)果輸出為：

(30)

式中：pi、qi、ri(i=1,2,…,27)是該節(jié)點的結(jié)論參數(shù)。

第五層為輸出層，其結(jié)果為自適應(yīng)運算層中各節(jié)點之和：

T=C1+C2+…+C27

(31)

在第四層與第五層中，使用最小二乘法單獨辨識結(jié)論參數(shù)可省掉求導(dǎo)的過程，相比梯度法效率更高。因此ANFIS將最速下降法與最小二乘法結(jié)合用來調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。

2.3 實驗設(shè)置及結(jié)果

搭建拉索振動實驗平臺，搭建方式與2.1節(jié)中彈性邊界條件下頻率特性實驗相一致。利用激勵力錘作用于拉索獲得其振動信號，通過在1/4索長處安裝壓電式加速度傳感器測量該位置處的振動數(shù)據(jù)信號，再將采集儀采集到的振動信號傳輸?shù)诫娔X中，通過軟件對測量的數(shù)據(jù)進行分析，拉索的索力測試系統(tǒng)如圖4所示。實驗對象選擇型號304不銹鋼拉索，其基本參數(shù)與拉索頻率特性求解中的參數(shù)一致。

(a)

(b)圖4 拉索的索力測試系統(tǒng)

本文中的數(shù)據(jù)為實驗實測數(shù)據(jù)，其中用于仿真研究的訓(xùn)練數(shù)據(jù)及測試數(shù)據(jù)如表3所示。分別測得不同長度和不同索力下的拉索的頻率，從而利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)來進行仿真研究頻率和索力的關(guān)系。

表3 拉索的索力訓(xùn)練數(shù)據(jù)及測試數(shù)據(jù)表

利用MATLAB中提供的自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的圖形用戶界面編輯器(Anfis Editor)，將實驗測得的數(shù)據(jù)分別加載到編輯器中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)中，通過網(wǎng)格分割法自動生成自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)。在索力計算中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?yún)?shù)為3個，即：拉索長度，拉索基頻，拉索單位質(zhì)量。為實現(xiàn)自適應(yīng)神經(jīng)模糊系統(tǒng)的推理功能，輸入的3個參數(shù)對應(yīng)的模糊隸屬度函數(shù)數(shù)目設(shè)定為3，模糊隸屬度函數(shù)類型設(shè)定為鐘型。生成初始的模糊推理系統(tǒng)后本文選擇優(yōu)化方法為混合算法，訓(xùn)練次數(shù)為40次。

搭建的實驗平臺可靠性及準(zhǔn)確性在上一部分中已得到驗證。為驗證本文方法的正確性與有效性，保證本次實驗測得數(shù)據(jù)的可靠性及準(zhǔn)確性。分別在兩端固支和固支-簡支兩種邊界條件下進行仿真實驗，圖5為兩種邊界條件下拉索基頻與索力關(guān)系圖。

實驗數(shù)據(jù)經(jīng)過40次對自適應(yīng)神經(jīng)模糊系統(tǒng)的訓(xùn)練及測試后，可得訓(xùn)練模糊推理系統(tǒng)及測試模糊推理系統(tǒng)的誤差，圖6為自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的訓(xùn)練結(jié)果及訓(xùn)練誤差，訓(xùn)練平均誤差達到0.138 92 N，相對誤差為0.003 47%。

圖7為自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的測試結(jié)果，平均測試誤差達到0.291 1 N，相對誤差為0.007 27%，結(jié)果理想。

圖7 自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的測試結(jié)果和測試誤差

通過上述分析可以得出，本文設(shè)計的自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)可以保證推理系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。實測實驗數(shù)據(jù)與自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)相結(jié)合，提高了拉索基頻與索力關(guān)系的精確度，減小了因理論模型誤差、計算公式誤差等帶來的索力計算精度無法滿足工程需要的不良影響。

3 結(jié) 語

(1) 基于弦振動原理，分析了更加符合實際工程要求的拉索邊界，建立頻率與索力之間的關(guān)系函數(shù)，利用實測實驗數(shù)據(jù)與拉索基頻相結(jié)合的方法，求解拉索基頻與索力的關(guān)系，提出的索力計算方法及研究結(jié)果可以為工程應(yīng)用中的索力估計提供有效的解決途徑。

(2) 以實測實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，自適應(yīng)神經(jīng)模糊系統(tǒng)結(jié)合基頻-索力求解公式推理出拉索基頻與索力的關(guān)系，簡化了拉索理論數(shù)學(xué)模型建立的復(fù)雜度及繁瑣的索力計算公式。

(3) 經(jīng)過自適應(yīng)模糊推理系統(tǒng)得到的訓(xùn)練平均誤差在0.138 92 N，測試誤差達到在0.291 1 N，相對誤差分別為為0.003 47%和0.007 27%。表明拉索基頻與索力關(guān)系的準(zhǔn)確度較為理想，也表明本文方法能達到工程應(yīng)用中計算索力的要求。