金小萍，劉家瑜，蔣晨，郭強

（中國計量大學信息工程學院浙江省電磁波信息技術與計量檢測重點實驗室，浙江 杭州 310018）

1 引言

多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）技術作為5G無線通信系統(tǒng)的關鍵技術，通過在發(fā)射端和接收端分別安裝多根天線，可以成倍地提高系統(tǒng)信道容量[1-2]。但是，MIMO系統(tǒng)具有高復雜性和高功耗的問題，而空間調(diào)制（spatial modulation，SM）方案的提出[3-4]解決了這一問題，SM通過每次只激活一根天線發(fā)射的方式，不僅降低功耗，還能避免傳統(tǒng)MIMO系統(tǒng)信道間干擾和同步的問題。但是SM每次發(fā)射只激活一根天線，因此該體系結構并沒有實現(xiàn)分集增益，為此文獻[5]提出了空時移位鍵控（space-time shift keying，STSK）調(diào)制技術的概念。該技術通過每個STSK塊持續(xù)時間內(nèi)激活的色散矩陣集（dispersion matrix set，DMS）的索引來承載信息，通過設計不同的色散矩陣（dispersion matrix，DM），并優(yōu)化DM的數(shù)量和大小以及發(fā)射天線和接收天線的數(shù)量，能夠實現(xiàn)分集增益與多路復用增益一個較好的權衡。因此，DMS的優(yōu)化對STSK至關重要。

目前對于DMS的優(yōu)化提出了許多基于不同準則的算法，如秩與行列式標準最大化[6-10]、誤碼率（bit error rate，BER）[11]最小化和離散輸入連續(xù)輸出無記憶信道（discrete-input continuous-output memoryless channel，DCMC）容量最大化[12]等，在這些準則當中，秩與行列式標準最大化準則的復雜度相對來說是最低的。在優(yōu)化方法上，大部分的研究都是對DMS單獨優(yōu)化，然而STSK方案的性能不僅受DMS影響，而且還受所選星座的最小距離與絕對值影響[13]。因此，為了提高系統(tǒng)的性能，出現(xiàn)了對DMS和星座的聯(lián)合優(yōu)化[13-15]。然而，該方案相關的計算成本較高，尤其是對于大規(guī)模天線以及高速率的STSK布置。

為此，本文提出了一種基于秩與行列式標準最大化準則下，使用改進遺傳算法（genetic algorithm，GA）的DMS和星座聯(lián)合優(yōu)化方案，其中，星座采用的是文獻[16]中旋轉立方體（rotated cube-in-cube，RCIC）的構造方法，如圖1所示，因為在同樣階數(shù)的條件下，相比2D星座，3D星座可以提高系統(tǒng)的傳輸效率，而且在傳統(tǒng)的3D星座中，RCIC構造相比立方體（cube-in- cube，CIC）構造，可以提供的最小歐氏距離更大，從而提高系統(tǒng)的誤碼率性能。為了優(yōu)化DMS和3D星座的搜索空間并降低優(yōu)化復雜度，該方案一方面利用3D星座的對稱性，將星座索引的候選值大幅度降低，從而降低秩與行列式準則對應的編碼增益的計算復雜度和計算成本；另一方面，本文使用高效的選擇以及改進的交叉和變異策略對DMS和3D星座進行聯(lián)合優(yōu)化，相比傳統(tǒng)的GA[17]和隨機搜索方法，改進的GA可以在降低計算復雜度的同時迭代收斂得更快。同時，本文還推導了3D STSK方案的理論平均成對差錯概率（average bit error probability，ABEP），以驗證仿真結果的正確性。

圖1 3D RCIC星座

2 系統(tǒng)模型

本節(jié)考慮一個具有3D RCIC星座的STSK系統(tǒng)模型[15]，如圖2所示，具有Nt根發(fā)射天線和Nr根接收天線，在發(fā)射端預定義了和3D星座，這兩者都通過改進GA搜索得到，其中，BT滿足TB=Ts/R,sT表示每個STSK碼字的持續(xù)時間，分別表示兩種3D信號發(fā)送模式，即其中，lx、ly和zl分別表示第l個星座點在圖1所示三維坐標系中對應的x、y和z軸的值，且每個DM應滿足功率約束，其中，(?)H為共軛轉置運算。每個STSK碼字所攜帶的比特位數(shù)為B=B1+B2，其中，B1=lbQ個比特用于激活DM，B2=lbL個比特用于映射星座符號。第i個STSK發(fā)送符號可以表示為：

圖2 3D STSK系統(tǒng)模型

其中，S(i)∈CNt×Ts，?為克羅內(nèi)克積運算。為了方便后面的分析，式（1）可以改為：

3 改進GA輔助DMS和3D星座優(yōu)化

在本節(jié)中將介紹如何利用改進GA，對上述3D STSK系統(tǒng)的DMS和3D星座進行聯(lián)合優(yōu)化。首先初始種群的每個個體由隨機生成的DMS和3D星座聯(lián)合編碼組成，具體編碼策略見第3.1節(jié)，并將改進的編碼增益作為改進GA的適應度值。在迭代過程中，通過高效的選擇策略對種群進行優(yōu)勝劣汰，并采用改進的交叉和變異策略對生存下來的個體進行如下操作：以概率cP對所有個體進行單點交叉和復制操作，隨后以概率mP對DM進行變異，并以自適應概率fP對3D星座進行變異。最后計算所有個體的適應度值并進入下一次迭代，當達到預定的迭代次數(shù)，迭代終止，輸出適應度值最優(yōu)的個體。

3.1 改進的編碼策略

常見的編碼方法有二進制編碼、格雷碼、浮點數(shù)編碼等。而本節(jié)使用如圖1所示構造方法，將外球體和內(nèi)球體上的星座坐標分別用a和b表示，如，同時星座歸一化為單位平均功率：

根據(jù)（4）式以及a>b>0的要求，可以推導出a和b的關系和取值范圍分別為和

因此，為了方便DMS和3D星座聯(lián)合執(zhí)行改進GA中的進化策略，如圖3所示，將每組DMS和3D星座其中一個星座點的一個正數(shù)坐標聯(lián)合編碼作為一個個體，種群中的第k個個體可以表示為：

圖3 交叉操作示意圖

其中，k=1,…,Npop，j=1,…,Q+1，Npop為種群的個體數(shù)。

3.2 改進的適應度值

根據(jù)文獻[5]，STSK成對差錯概率（PEP）的上界可以表示為：

其中，r和nλ分別是矩陣sR的秩和非零特征值，，差矩陣Δ定義為：

傳統(tǒng)計算上述編碼增益的方法都是對(Sq,l,Sq′,l′)所有合法組合進行遍歷搜索，復雜度為然而在q和q′對應的DM滿足

最大最小編碼增益后，聯(lián)合優(yōu)化的最大最小編碼增益還取決于3D星座索引。由于星座RCIC的對稱性，如圖1中的星座點sl(l=3,4,5,6)，關于星座點9s對稱，因此，當兩組DM索引值相等，即，而l1=l2=9時，與對應兩組DM和3D星座的編碼增益相等，所以可以通過固定星座索引，避免重復計算，如令星座索引l=9，則以下幾組星座索引l′=3,4,5,6，l′=1,2，l′=7,8，l′=12,10,13，和l′=11,16,14所對應的星座點分別關于星座點s9對稱。而且，由于16RCIC的對稱性，不論固定哪個星座點，都存在上述對稱關系。因此針對上述5組星座點每組只計算一個星座點即可，而星座點9s與s15沒有對稱關系，因此優(yōu)化后的編碼增益計算復雜度僅為其中，M=7。

3.3 選擇策略

為了實現(xiàn)GA優(yōu)勝劣汰的迭代策略，讓適應度值更大的個體有更大的概率遺傳到下一代，本文使用錦標賽選擇策略，相比于文獻[17]中所使用的概率選擇策略，實現(xiàn)方式更加簡單有效。每次從種群中取出一定數(shù)量個體，選擇其中適應度值最大的一個個體進入下一代種群，然后重復該操作，直到新的種群規(guī)模達到原來的種群規(guī)模。具體操作步驟如下。

（1）確定每次選擇的個體數(shù)量Npop/10；

（2）從種群中隨機選擇個體（每個個體入選概率相同）構成組，根據(jù)每個個體的適應度值，選擇其中適應度值最大的個體進入下一代種群；

（3）重復步驟（2），直到新的種群規(guī)模達到原來的種群規(guī)模。

3.4 改進的交叉策略

為了在下一代產(chǎn)生適應度值更高的個體，本文設計了改進的交叉策略，與傳統(tǒng)的交叉策略不同的是，本文改進的交叉策略可以同時對DMS和3D星座進行交叉優(yōu)化，同時，對于不滿足交叉概率的個體，本文還設計了復制策略對其進行優(yōu)化。將選擇操作后的新種群按順序進行分組，每組兩個個體，共Npop/2組，分別作為父代和母代，以概率cP對每組父代和母代進行如圖3所示交叉操作，在每組個體的維度范圍內(nèi)隨機選擇一個交叉位，對父代和母代進行交叉，每對父代和母代產(chǎn)生一對子代1和子代2，交叉位范圍為(2,???,Q?1)。而對于不滿足交叉概率的父代和母代，將執(zhí)行下面的復制策略，以保證更優(yōu)子代種群。

（1）對比父代和母代的適應度值；

（2）淘汰適應度值低的個體，并將適應度值高的個體復制到適應度值低的個體進行取代。

3.5 改進的變異策略

為了避免種群陷入局部最優(yōu)值，而且由于DMS的搜索空間較大，3D星座的搜索空間較小，對DMS和3D星座分別進行變異。首先以概率mP對每個個體的DM進行變異，具體操作如下：

對每個個體的每一維索引j(j=1,…,Q)，每次隨機生成一個0～1的數(shù)，若小于Pm，則隨機生成一個DM替代當前索引j所對應的DM，即Arandom，若大于Pm，則不進行變異操作。隨后，以自適應概率Pf對3D星座進行變異：

其中，fP的計算式為：

算法1改進的GA

輸入Q，L，Nt，BT，cP，mP，fP，Npop，迭代次數(shù)T

輸出

隨機生成Npop個個體

對每個個體G(k)計算適應度值

4 性能分析

對3D STSK系統(tǒng)進行了ABEP分析，根據(jù)文獻[18]，所提方案的ABEP的上界表達式如下：

令

其中，φ=1/N0，然后對式（14）調(diào)用矩量母函數(shù)（moment generating function ，MGF）結果如下：

根據(jù)文獻[19]，對于Ω的MGF可以表示為：

為了進一步簡化式（17）的計算，對式（12）使用文獻[19]中的特征函數(shù)：

因此，系統(tǒng)的PEP可以表示為：

5 仿真結果

在本節(jié)中提供了改進GA、傳統(tǒng)GA適應度值迭代收斂關系，以及改進GA和隨機搜索方案計算復雜度的對比。同時還提供了不同天線配置和時隙下3D STSK仿真結果與理論性能的對比，以驗證仿真結果的正確性，最后給出了改進GA與隨機搜索方案在兩種3D信號發(fā)送模式下的性能仿真對比。其中改進GA和隨機搜索方案都是對DMS和3D星座聯(lián)合優(yōu)化，傳統(tǒng)GA是通過固定星座點，對DMS進行優(yōu)化。注意，傳統(tǒng)GA的交叉概率和變異概率參數(shù)均為文獻[17]中所提供參數(shù)，改進GA的交叉概率和變異概率參數(shù)為本文設置參數(shù)，另外使用(Nt,Nr,TB,R,Q)來表示仿真的參數(shù)配置，其中表1、圖4和圖5 的系統(tǒng)參數(shù)配置都為(3,2,2,3,16)。

表1 傳統(tǒng)GA與改進GA參數(shù)

圖4 改進GA與傳統(tǒng)GA迭代次數(shù)與適應度值關系

圖4對比了改進GA和傳統(tǒng)GA的適應度值迭代關系，兩種方案的參數(shù)配置見表1，從圖4中可以看出，傳統(tǒng)GA適應度值收斂較慢，在迭代后期，由于傳統(tǒng)的交叉操作對DMS的優(yōu)化效果較差，而且并沒有對3D星座進行優(yōu)化，因此傳統(tǒng)GA容易陷入局部最優(yōu)值，并不能高效地對DMS和3D星座進行搜索；而改進GA一方面采用新的交叉策略，在盡量不破壞當前優(yōu)勢種群的情況下，可以對優(yōu)秀個體進行交叉，而復制操作進一步淘汰了較差的個體；另一方面，對星座坐標的自適應變異，可以高效地對星座點進行全局搜索。

由于傳統(tǒng)GA性能的局限性，因此本文選用改進GA與隨機搜索進行復雜度對比，如圖5所示，隨機搜索次數(shù)為610。由于改進GA在迭代到200次時就達到了較高的適應度值，因此取GA迭代200次的結果對比?？梢钥闯?，本文改進的適應度值計算復雜度可以降為原來的2.5%，而根據(jù)種群大小以及迭代次數(shù)計算的適應度值計算次數(shù)，改進GA僅為隨機搜索的2%，因此，總的計算復雜度可以下降到0.005 147%。

圖5 隨機搜索方案與改進GA復雜度對比

在不同天線配置和時隙數(shù)下，本文提出的改進GA搜索結果的BER性能仿真與理論性能分析的對比如圖6所示，通過改進GA優(yōu)化得到的結果性能與理論BER性能與仿真性能基本一致。最后，改進GA和隨機搜索方案在不同天線配置、時隙數(shù)以及3D信號發(fā)送模式下的仿真對比如圖7所示，在低復雜度的優(yōu)勢下，改進GA方案相比于隨機搜索方案沒有造成任何的性能損失，這是由于本文提出的改進GA可以通過高效的交叉策略和變異策略同時對DMS和3D星座優(yōu)化，而且由于改進的適應度值計算，改進GA相比于隨機搜索方案，可以在性能沒有任何損失的前提下，顯著降低計算復雜度。

圖6 不同天線配置和時隙數(shù)下改進GA仿真結果與理論分析的對比

圖7 改進GA和隨機搜索方案在不同天線配置、時隙數(shù)以及3D信號發(fā)送模式下的仿真對比

6 結束語

本文提出了一種新的STSK系統(tǒng)DMS和3D星座聯(lián)合優(yōu)化方案，利用3D星座的對稱性，大幅度降低了適應度值的計算復雜度。通過改進GA的選擇、交叉和變異的過程，對DMS和3D星座分別進行全局搜索和自適應搜索，可以獲得較低SER的DMS和3D星座。同時本文還推導了3D STSK方案的理論平均成對差錯概率（ABEP），驗證了本文仿真結果的正確性。仿真結果表明，與常規(guī)隨機搜索方案和傳統(tǒng)GA相比，該方案可以在保證BER性能的前提下顯著降低計算復雜度。