裴銀東， 陳華偉， 徐衛(wèi)平， 李文迪， 鐘世昊

(貴州師范大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院， 貴陽 550000)

傳統(tǒng)的牙齒矯正采用弓絲和托槽，交談當(dāng)中會(huì)暴露出弓絲和托槽，影響口腔衛(wèi)生和美觀。隱形矯治具有廣泛的適應(yīng)證，適合門牙外凸、深覆合、牙列擁擠等問題的正畸矯治，能達(dá)到矯正過程和矯治結(jié)果整齊、美觀、舒適、衛(wèi)生的效果。

隱形矯治器(隱形牙套)最早由Align Technology Inc(ALGN)公司于1997年研制[1]。在中國(guó)，由首都醫(yī)科大學(xué)與時(shí)代天使生物科技有限公司合作，研制成功口腔正畸無托槽隱形矯治器系統(tǒng)[2]。隱形牙套由熱壓膜材料制作而成，矯治器變形后緩慢釋放出輕柔的矯治力誘導(dǎo)牙周膜細(xì)胞表面增強(qiáng)，有利于牙周組織修復(fù)再生[3-4]。徐琳[5]發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)固定矯治器相比，隱形矯治器的應(yīng)力分布更均勻，有利于牙周組織的重建。矯治器佩戴于牙齒上，牙齒的局部點(diǎn)或面與矯治器接觸，由矯治器產(chǎn)生的回彈力施加在牙齒表面上，使得牙齒產(chǎn)生傾斜、平行、控根和旋轉(zhuǎn)移動(dòng)，其核心是隱形矯治器與牙齒的接觸受力分析問題。從微觀角度考慮，任何表面都是凹凸不平的，Greenwond等[6]結(jié)合彈性接觸赫茲理論(Hertz)建立了粗糙表面法向接觸的解析模型。Tian等[7]基于體積守恒規(guī)律推導(dǎo)出了考慮微凸體塑性變形的模型。Zhao等[8]根據(jù)試驗(yàn)，獲得了彈塑性階段接觸應(yīng)力變化規(guī)律。Mantovani等[9]和Kogut等[10]利用有限元方法對(duì)半球體與剛性平面接觸時(shí)接觸面積以及接觸應(yīng)力與變形量之間的關(guān)系進(jìn)行了研究。Li等[11]基于接觸載荷、接觸面積和平均接觸應(yīng)力的連續(xù)性，構(gòu)建彈塑性接觸模型。

目前，正畸醫(yī)生對(duì)隱形矯治器與牙齒接觸產(chǎn)生的作用力系還不能有直觀和量化的控制和判斷，研究?jī)烧叩慕佑|力學(xué)和牙齒應(yīng)力分布情況，對(duì)整個(gè)口腔臨床應(yīng)用有指導(dǎo)意義。為此，結(jié)合彈性力學(xué)和經(jīng)典Hertz理論，構(gòu)建隱形矯治過程中的彈性、彈塑性和塑性接觸變形模型，并給出算例，再以下頜第一前磨牙為研究對(duì)象，對(duì)第一前磨牙的傾覆和移動(dòng)矯治過程展開接觸應(yīng)力應(yīng)變分析。

1 材料性能與選擇

1.1 材料性能

臨床應(yīng)用中，隱形矯治器采用線彈性熱塑性塑料合成材料制成，涵蓋聚丙烯類的聚合物、共聚酯類的聚合物、纖維素塑料、聚烯烴類塑料、丙烯酸類樹脂等。隱形矯治器由膜片壓制而成，要求有透明性、力學(xué)性能、唾液吸收性能、生物相容性、化學(xué)穩(wěn)定性等材料性能要求。常用膜片材料性能如表1所示。

表1 隱形矯治器膜片材料性能參數(shù)

1.2 材料選擇

從隱形矯治器的屈服應(yīng)力、應(yīng)變、拉伸強(qiáng)度考慮，當(dāng)矯治力過大時(shí)，患者會(huì)感到疼痛或不舒服，矯治力需要限定在一個(gè)合理的范圍之內(nèi)[12-13]。唐娜等[14]構(gòu)建的隱形矯治生物力學(xué)模型，研究結(jié)果顯示矯治器厚度在0.75 mm時(shí)，產(chǎn)生的回彈力最好。基于矯治器材料性能要求和口腔矯治力限定，本文中選用PETG-MX711膜片，該膜片以非晶形改性聚酯(PETG)為基體材料，加入聚碳酸酯(PC)和熱塑性聚氨酯彈性體(TPU)改變參數(shù)性能[15]，以改善隱形矯治器的綜合性能。矯治器厚度有1.5、1、0.75、0.5 mm等不同規(guī)格，后續(xù)實(shí)驗(yàn)中，選定的材料厚度為0.75 mm、彈性模量816 MPa。

2 接觸分析與計(jì)算

牙齒矯正過程中，矯治器與牙齒接觸部位是不規(guī)則的局部點(diǎn)或面接觸，考慮到牙齒的彈性模量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于隱形牙套，因此，根據(jù)彈性半空間理論，假設(shè)牙套彈性體，牙齒剛性接觸面，據(jù)此建立隱形矯治接觸模型。再結(jié)合接觸力學(xué)和彈性接觸Hertz理論，從彈性、彈塑性和塑性三方面分析計(jì)算接觸部位的接觸面積、接觸應(yīng)力及其接觸變形之間的關(guān)系。

2.1 接觸模型構(gòu)建

假設(shè)牙齒是剛性表面，矯治器接觸部位用一個(gè)彈性的微凸體半空間表示，牙齒被包裹在矯治器之內(nèi)，牙齒受到包裹面限制，受力部位局部接觸，而其余部位半接觸或不接觸，從而形成一個(gè)復(fù)雜的接觸力學(xué)系統(tǒng)，如圖1所示。

根據(jù)Hertz理論，接觸應(yīng)滿足接觸表面無摩擦，接觸應(yīng)變小應(yīng)變，接觸區(qū)域是一個(gè)彈性半空間體，接觸表面連續(xù)且非協(xié)調(diào)。以此為基礎(chǔ)，設(shè)定矯治器模型構(gòu)建條件：①牙齒與矯治器是剛體與柔體接觸，接觸模型中前者不變形，后者變形；②不考慮接觸硬化和硬度隨深度的變化；③不考慮摩擦。

R為隱形矯治器微凸體半徑；Z為微凸體變形前長(zhǎng)度；A為受力 變形量；d為變形剩余長(zhǎng)度；F為施加的力圖1 構(gòu)建接觸模型Fig.1 Building a contact model

2.2 彈性變形狀態(tài)

當(dāng)隱形矯治器剛接觸牙齒時(shí)，矯治器處于彈性接觸變形階段，儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能得到釋放，此時(shí)患者感到疼痛、不舒服的情形。矯治器在尋找合適的受力點(diǎn)，此階段釋放的回彈力最大，牙齒移動(dòng)的效果最好。真實(shí)法向接觸變形量W小于初始屈服點(diǎn)的臨界法向變形量W′(W≤W′)，真實(shí)接觸面積Ane、接觸載荷Fe、接觸應(yīng)力Pe和接觸變形量之間的關(guān)系式為

Ane=RWπ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：H為隱形矯治器硬度；υ1為隱形矯治器的泊松比,υ2為牙齒的泊松比；R為隱形矯治器微凸體的半徑；E1為隱形矯治器的彈性模量、E2為牙齒的彈性模量；E為復(fù)合彈性模量(微凸體與剛性平面接觸)，E=E1(1-W2)；K為最大接觸壓強(qiáng)系數(shù)；K=0.454+0.41W。

Hertz接觸中，隱形矯治器與下頜第一前磨牙接觸部位投影在平面直角坐標(biāo)系中呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)半軸和短半軸分別為a、b，結(jié)合Greenwond模型計(jì)算橢圓的離心率e、橢圓的長(zhǎng)半軸[16]和短半軸、接觸中心處的最大壓應(yīng)力P0、真實(shí)接觸變形量計(jì)算式為

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：K(e)、E(e)為第一類、第二類完全橢圓積分，求解過程表示式，分別為

(10)

(11)

由式(9)得

(12)

將式(11)代入式(8)求解得

(13)

由式(13)得到彈性真實(shí)接觸面積為

(14)

由式(7)可得到彈性接觸載荷計(jì)算公式為

(15)

2.3 彈塑性變形狀態(tài)

隱形矯治器與牙齒接觸一段時(shí)間，矯治器變形既有彈性變形，又有塑性變形，處于兩者混合階段，Wang等[17]利用有限元方法分析彈塑性接觸力學(xué)，當(dāng)真實(shí)法向變形量在屈服點(diǎn)的臨界法向變形量和110倍屈服點(diǎn)的臨界法向變形量之間W′

第一塑性變形區(qū)：

(16)

(17)

第二塑性變形區(qū)：

(18)

(19)

由彈性變形階段的式(1)、式(2)、式(4)代入到式(18)、式(19)中，可得到矯治器微凸體發(fā)生彈塑性變形時(shí)，接觸載荷和接觸面積之間的關(guān)系式為

Anep

(20)

Anepc

(21)

Anepc=7.119 7Ane

(22)

Anpc=205.382 7Ane

(23)

式中：Fep1為第一彈塑性變形階段接觸載荷：Fep2為第二彈塑性變形階段接觸載荷；Anepc為第一彈塑性變形階段接觸面積；Anpc為第二彈塑性變形階段接觸面積。

2.4 塑性變形狀態(tài)

當(dāng)隱形矯治器與牙齒接觸一周時(shí)間后，矯治器彈性勢(shì)能完全釋放，此時(shí)矯治器處于塑性接觸變形，真實(shí)法向變形量大于完全發(fā)生塑性變形的臨界法向變形，矯治器微凸體將發(fā)生塑性變形。Mohamma等[18]通過試驗(yàn)和理論分析，給出完全塑性變形狀態(tài)接觸面上實(shí)際接觸面積、接觸載荷、接觸應(yīng)力的變化規(guī)律，計(jì)算式為

W2=100W′

(24)

Anp=2πRW

(25)

Fp=2πRWH

(26)

Pp=H

(27)

式中：W2為塑性變形變形量；Anp為塑性變形接觸面積；Pp為塑性變形接觸應(yīng)力。

2.5 算例

1.2節(jié)選定了PETG-MX711膜片材料，材料參數(shù)有矯治器硬度84，泊松比0.4；矯治器模型微凸體半徑取0.5 mm,彈性模量816.31 MPa；牙齒的彈性模量18 600 MPa，泊松比0.3；設(shè)定中間參數(shù)：最大壓強(qiáng)系數(shù)0.62，復(fù)合彈性模量816 MPa。將這些參數(shù)代入計(jì)算，得到不同變形階段的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 計(jì)算結(jié)果

牙齒移動(dòng)主要是矯治器發(fā)生彈性變形和彈塑性變形的結(jié)果，表2算例中，得到彈性變形臨界變形量0.049 mm，真實(shí)變形量0.038 mm，接觸部位應(yīng)力30.58 MPa；在彈塑性變形階段，第一、第二接觸面積0.420 mm2，1.212 mm2，產(chǎn)生的載荷為39.16 N，52.04 N；另外，給出了塑性變形的理論計(jì)算結(jié)果，在實(shí)際矯治過程中，這種情況不允許發(fā)生。由計(jì)算結(jié)果看，從彈性到彈塑性，再到塑性變形，矯治器的變形量、接觸應(yīng)力和接觸面積總體呈增大趨勢(shì)，但在塑性變形階段，由于接觸部位產(chǎn)生脫離，真實(shí)接觸面積反而減小。

3 仿真模型預(yù)處理

以下頜第一前磨牙為研究對(duì)象，展開傾斜和平行移動(dòng)方面接觸仿真，首先對(duì)模型進(jìn)行預(yù)處理，包括牙齒模型多邊形修正和精確曲面處理、隱形矯治器建模、接觸邊界條件的設(shè)置，以及參數(shù)定義和網(wǎng)格劃分等步驟。

3.1 牙齒模型網(wǎng)格處理

選用一病例牙齒模型數(shù)據(jù)作為建模素材，確保牙齒牙列基本正常，將牙齒點(diǎn)云模型數(shù)據(jù)(.asc文件)導(dǎo)入到Geomagic Studio 2017(逆向工程軟件)軟件中，主要對(duì)牙齒模型進(jìn)行多邊形修正和精確曲面處理(圖2)。前者旨在優(yōu)化模型表面質(zhì)量，包括去噪、光滑、刪除釘狀物、網(wǎng)格醫(yī)生修復(fù)、填充修補(bǔ)孔、裁剪多余邊、簡(jiǎn)化多邊形等操作；后者用于獲得牙齒光滑曲面模型，提升模型渲染效果并便于后續(xù)模型處理，包括曲率計(jì)算、構(gòu)造格柵、曲面擬合等。

3.2 隱形矯治器建模

針對(duì)具體病例，三維口腔掃描儀只能掃描牙齒模型，但為了展開仿真接觸分析，還需要?jiǎng)?chuàng)建矯治器模型，為此，采用總體偏移法構(gòu)造矯治器模型。以牙齒外表面為基準(zhǔn)，向外偏移獲得牙套曲面：①沿牙冠外表面法線方向向外擴(kuò)展0.75 mm，得到矯治器厚度；②單獨(dú)處理矯治器上的每一顆牙齒，剪去與相鄰牙齒重疊和交叉部分；③沿牙勁緣弧度方向裁剪掉牙齦多余部分，得到矯治器雛形；④進(jìn)行多邊形修正和精確曲面處理，完成建模過程，矯治器是一個(gè)封閉厚度為0.75 mm的實(shí)體模型(圖2)。

圖2 牙齒和矯治器模型Fig.2 Tooth and appliance model

3.3 邊界條件的設(shè)置

將處理好的牙齒模型和矯治器模型導(dǎo)入ANSYS(有限元仿真軟件)中，按非線性分析設(shè)定邊界條件[19-21]；定義牙槽骨周圍固定約束，牙根與牙周膜、牙周膜與牙槽骨之間不發(fā)生相對(duì)移動(dòng)，隱形矯治器與牙齒匹配接觸，矯治器的內(nèi)表面與各牙冠外表面定義為摩擦接觸(牙齒局部移動(dòng)可以是全牙列支抗)。

3.4 ANSYS網(wǎng)格劃分

假設(shè)牙齒、牙周膜和牙槽骨為均勻、各向同性、線彈性材料。網(wǎng)格劃分選用三角形單元網(wǎng)格，總共劃分成22 825個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)，11 627個(gè)單元數(shù),如圖3所示模型的劃分參數(shù)如表3所示。

表3 模型相關(guān)參數(shù)

圖3 網(wǎng)格劃分Fig.3 Meshing and dividing

4 仿真分析

在ANSYS Workbench中實(shí)施非線性接觸有限元分析，對(duì)下頜第一前磨牙傾斜和平行移動(dòng)進(jìn)行接觸力學(xué)數(shù)值仿真，得到三維總變形、應(yīng)力、應(yīng)變變形云圖和不同部位的變形折線圖。

4.1 矯治力的選擇

郁雯科[22]認(rèn)為牙齒的移動(dòng)主要依靠牙槽骨吸收和重建完成，施加于牙齒上的力在0.1～1.5 N 的范圍之內(nèi)。具體根據(jù)患者牙齒的情況和移動(dòng)方式?jīng)Q定，得出牙移動(dòng)最適宜的矯治力范圍在0.98～1.47 N[23]，結(jié)合文獻(xiàn)[22-23]作為施力依據(jù)，模擬矯治器施加在下頜第一前磨牙上的力，本文添加的力系在表2中。

4.2 傾斜和平行移動(dòng)

在口腔正畸學(xué)中，下頜第一前磨牙傾斜移動(dòng)和平行移動(dòng)是在牙冠唇側(cè)單側(cè)受力，以阻抗中心為中心向舌側(cè)傾斜或平行整體移動(dòng)。Workbench參數(shù)設(shè)置在唇側(cè)牙冠上，添加0.45 N的力，矯治力使下頜第一磨牙傾斜移動(dòng)；在不同牙齦緣部位施加 0.15 mm 的位移載荷，矯治力使牙齒產(chǎn)生平行移動(dòng)。表4中對(duì)傾斜和平行移動(dòng)分別添加了不同力載荷和位移載荷組成實(shí)驗(yàn)組，位移載荷和力載荷產(chǎn)生的作用效果一致，由郁雯科[22]和楊曉麗[23]中的載荷設(shè)置為參考依據(jù)。

表4 實(shí)驗(yàn)組數(shù)據(jù)

4.3 結(jié)果分析

隱形矯治器與下頜第一前磨牙接觸，矯治器釋放的回彈力產(chǎn)生的作用效果，傾斜和平行移動(dòng)接觸的總變形、矯治器變形、應(yīng)力應(yīng)變變形云圖如圖4、圖5所示。不同實(shí)驗(yàn)組數(shù)據(jù)的總變形、應(yīng)力應(yīng)變折線圖如圖6所示。

圖4 傾斜移動(dòng)變形云圖Fig.4 Oblique movement deformation cloud map

圖5 平行移動(dòng)變形云圖Fig.5 Parallel movement deformation cloud

圖6 不同力系下總變形、應(yīng)力圖Fig.6 Diagrams of total deformation and stress under different force systems

圖4中，下頜第一前磨牙向舌側(cè)傾斜移動(dòng)，矯治器向舌側(cè)內(nèi)凹變形，唇側(cè)近中頰尖，遠(yuǎn)中頰尖處變形最大(紅色區(qū)域變形最大，藍(lán)色區(qū)域變形最小，不同顏色區(qū)域代表不同變化趨勢(shì))，變形從上到下逐漸減小，變形最大區(qū)0.177 mm，根尖點(diǎn)處變形最小，變形量0.019 mm。應(yīng)變最大區(qū)域在唇面近中頰尖處，最大應(yīng)變0.075，最小應(yīng)變?cè)诟馓?，最小?yīng)變?yōu)?.008。應(yīng)力云圖上，最大應(yīng)力236.9 MPa,最小應(yīng)力區(qū)域出現(xiàn)在牙根部位，應(yīng)力為26.3 MPa。

圖5中，下頜第一前磨牙平行移動(dòng)，矯治器向舌側(cè)面內(nèi)凹變形，施力面為唇側(cè)面，唇側(cè)近中頰尖，遠(yuǎn)中頰尖等變形最大，根尖點(diǎn)處相對(duì)變形小，最大變形0.257 mm,最小變形0.028 mm。在應(yīng)變?cè)茍D上，產(chǎn)生應(yīng)變最大0.132,最小應(yīng)變0.014；在應(yīng)力云圖上，最大應(yīng)力393.9 MPa,最小應(yīng)力43.7 MPa。

圖6為傾斜和平行移動(dòng)總變形、應(yīng)力實(shí)驗(yàn)圖，圖中的數(shù)字代表不同實(shí)驗(yàn)組。結(jié)合理論部分計(jì)算，理論計(jì)算臨界變形量0.049 mm,接觸應(yīng)力30.58 MPa,真實(shí)變形量0.038 mm,接觸面積0.059 mm2,仿真接觸部位應(yīng)力為26.3 MPa，變形量0.059 mm，在添加力載荷和位移載荷條件下，得到不同部位的應(yīng)力變化，傾斜和平行移動(dòng)不同部位的總變形量在0.025～0.42 mm，應(yīng)力變化在26.3～650 MPa。

5 結(jié)論

在缺乏嚴(yán)格生物力學(xué)理論支撐條件下，正畸醫(yī)生只能通過傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)來設(shè)計(jì)牙齒的位移量和受力部位，提出用接觸力學(xué)計(jì)算和仿真實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法展開了隱形矯治力學(xué)分析研究，建立局部接觸模型，給出了對(duì)比算例，對(duì)下頜第一前磨牙在不同受力條件下的變形量和應(yīng)力變化進(jìn)行了仿真分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：力和位移載荷均能達(dá)到矯治效果，兩者并無實(shí)質(zhì)性差別；對(duì)下頜第一前磨牙傾斜和平行移動(dòng)，在0.15～0.21 mm位移載荷和0.45～1 N 力載荷的范圍內(nèi)，移動(dòng)效率最好，高于此值牙齒應(yīng)力過大，對(duì)牙齒和牙周膜的損傷最大，降低矯正效率。

多數(shù)口腔接觸力學(xué)仿真研究中缺乏理論計(jì)算支持，文章采用理論計(jì)算和仿真實(shí)驗(yàn)相互驗(yàn)證的方法，提高了計(jì)算可信度，更好地指導(dǎo)矯治器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。但考慮到隱形矯治器和牙齒之間還存在摩擦力，后續(xù)將以接觸模型為基礎(chǔ)，進(jìn)一步展開摩擦接觸問題的理論研究。