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        基于等效電路法復(fù)合變幅桿的優(yōu)化設(shè)計

        2021-10-13 00:45:40鞏建輝喻剛強嚴(yán)碧歌
        機械與電子 2021年9期
        關(guān)鍵詞:設(shè)計

        鞏建輝,喻剛強,姚 靜,嚴(yán)碧歌

        (1.商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西 商洛 726000;2.陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710062)

        0 引言

        變幅桿具有振幅放大作用,是超聲加工系統(tǒng)中的重要部件,隨著超聲系統(tǒng)應(yīng)用的日益廣泛,對變幅桿的放大倍數(shù)及性能指標(biāo)要求越來越高,單一變幅桿因為放大系數(shù)有限不能滿足實際生產(chǎn)的需要,所以從單一變幅桿發(fā)展到了復(fù)合變幅桿。為了獲得性能優(yōu)良的變幅桿,廣大學(xué)者對新型變幅桿的設(shè)計和研究從未停止,趙洪博等[1]利用替代法設(shè)計了寬端接圓柱桿的懸鏈形復(fù)合變幅桿;靳濤等[2]將圓柱和圓錐桿進行組合,對圓錐復(fù)合變幅桿進行了研究;崔曉娟等[3]將指數(shù)桿和圓錐桿進行組合,對指數(shù)復(fù)合變幅桿進行了優(yōu)化設(shè)計;孫濤等[4]設(shè)計了正弦圓柱形復(fù)合變幅桿,該變幅桿的放大倍數(shù)和形狀因數(shù)皆優(yōu)于階梯形變幅桿。本文采用等效電路法設(shè)計了一種半波長復(fù)合變幅桿,即指數(shù)懸鏈線形復(fù)合變幅桿,得出了該變幅桿的頻率方程以及放大倍數(shù),并對變幅桿進行了優(yōu)化設(shè)計和有限元分析。

        1 變幅桿的模型構(gòu)建

        該復(fù)合型變幅桿由指數(shù)桿Ⅰ和懸鏈線桿Ⅱ組合而成,如圖1所示。指數(shù)桿的長度為l1,大小端面的面積分別為S1和S,大小端面的半徑分別為R1和R。懸鏈線桿的長度為l2,大小端面的面積分別為S和S2,大小端面的半徑分別為R和R2。

        圖1 指數(shù)懸鏈線形復(fù)合變幅桿模型

        2 變幅桿的設(shè)計理論

        2.1 等效電路法

        變幅桿常用的設(shè)計方法有解析法、等效電路法、替代法、傳輸矩陣法、分段趨近法和表觀彈性法等[5],其中等效電路法設(shè)計思路清晰、物理意義明確,故采用等效電路法對指數(shù)懸鏈線形復(fù)合變幅桿進行理論分析。所謂等效電路法就是對于任何一個單一形狀的變幅桿,通過力電類比都可以等效為一個四端網(wǎng)絡(luò)電路模型,如圖2所示[6]。圖2中,F(xiàn)1和F2是變幅桿兩端所受的力,相當(dāng)于電路中的電壓;v1和v2為變幅桿兩端的振速,相當(dāng)于電路中的電流;Z1、Z2和Z3為力阻抗,相當(dāng)于電路中電阻抗。

        圖2 等效四端網(wǎng)絡(luò)電路模型

        2.2 復(fù)合變幅桿的等效電路

        依據(jù)等效電路法理論,分別得出復(fù)合變幅桿左邊指數(shù)桿和右邊懸鏈線桿的等效四端網(wǎng)絡(luò)電路并連接在一起,可以得到復(fù)合變幅桿的等效電路如圖3所示。由于變幅桿振動速度連續(xù),所以有v12=v21。

        圖3 復(fù)合變幅桿等效電路模型

        左邊指數(shù)桿等效電路參數(shù)為:

        (1)

        (2)

        (3)

        右邊懸鏈線桿等效電路參數(shù)為:

        (4)

        (5)

        (6)

        2.3 復(fù)合變幅桿的參數(shù)求解

        當(dāng)變幅桿兩端自由時,復(fù)合變幅桿等效電路圖3中F1=F2=0,輸入端AB和輸出端CD可視為短路,依據(jù)基爾霍夫回路電壓定律(KVL)可得以下表達式。

        回路Ⅰ:

        v11(Z11+Z13)-v12Z13=0

        (7)

        回路Ⅱ:

        -v11Z13+v12(Z13+Z12+Z21+Z23)-

        v22Z23=0

        (8)

        回路Ⅲ:

        -v12Z23+v22(Z23+Z22)=0

        (9)

        將式(7)的v11和式(9)的v22代入式(8)可得到復(fù)合變幅桿的頻率方程為

        (10)

        由式(7)和式(9)消去v12,并代入相應(yīng)的力阻抗可以得出復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)為

        (11)

        3 復(fù)合變幅桿的優(yōu)化設(shè)計

        3.1 設(shè)計實例

        該復(fù)合形變幅桿選用45號鋼,材料密度ρ=7.81×103kg/m3,楊氏模量E=20.92×1010N/m2,泊松比μ=0.28,聲速c=5 169 m/s,設(shè)計頻率f=20 kHz,指數(shù)桿Ⅰ左側(cè)端面的半徑R1=26 mm,指數(shù)桿Ⅰ和懸鏈線桿Ⅱ交界面的半徑R=16 mm,懸鏈線桿Ⅱ右側(cè)端面的半徑R2=8 mm,假設(shè)指數(shù)桿Ⅰ的長度為l1=78 mm,則可以利用MATLAB對頻率方程(10)求數(shù)值解,算出懸鏈線桿Ⅱ的長度l2=71 mm,再由式(11)求出復(fù)合形變幅桿的放大系數(shù)MP=3.7。

        3.2 優(yōu)化分析

        為了尋找放大系數(shù)更大的變幅桿,將對變幅桿進行優(yōu)化設(shè)計,優(yōu)化的思路是通過改變指數(shù)桿的長度l1和交界面的半徑R,從而改變懸鏈線桿和復(fù)合變幅桿的諧振長度以及放大系數(shù)。

        在保持指數(shù)桿Ⅰ左側(cè)端面半徑R1和懸鏈線桿Ⅱ右側(cè)端面半徑R2不變的情況下,復(fù)合變幅桿的諧振長度l1+l2和放大系數(shù)MP隨交界面的半徑R和指數(shù)桿的長度l1的變化關(guān)系分別如圖4和圖5所示。

        圖4 復(fù)合變幅桿的長度變化規(guī)律

        圖5 復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)變化規(guī)律

        從圖4可知,復(fù)合變幅桿的諧振長度l1+l2隨著指數(shù)桿的長度l1的增大而增大,懸鏈線桿的長度l2隨著指數(shù)桿的長度l1的增大而減小,在45 mm

        從圖5可知,復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)MP隨著指數(shù)桿長度l1的增大先增大后減小,在l1<68 mm的區(qū)域放大系數(shù)MP隨著交界面的半徑R的增大而增大,在放大系數(shù)MP達到最大值后對應(yīng)的指數(shù)桿長度隨交界面的半徑R的增大而減小。當(dāng)R=16 mm時放大系數(shù)MP達到最大值對應(yīng)的指數(shù)桿長度為l1=53 mm,懸鏈線桿的長度為l2=84 mm,將參數(shù)代入式(11)可以求出優(yōu)化后變幅桿的放大系數(shù)為4.2,比優(yōu)化前提高了13.5%。

        4 有限元分析

        為了檢驗理論設(shè)計和優(yōu)化分析的正確性,利用ANSYS軟件對復(fù)合形變幅桿進行有限元分析。除指數(shù)桿Ⅰ長度取l1=53 mm和懸鏈線桿Ⅱ的長度l2=84 mm外,復(fù)合形變幅桿的材料參數(shù)、幾何尺寸和諧振頻率均和3.1節(jié)設(shè)計實例相同。

        4.1 模態(tài)分析

        首先建立復(fù)合變幅桿的幾何模型,依據(jù)設(shè)計尺寸計算出關(guān)鍵點的坐標(biāo)并生成關(guān)鍵點,將關(guān)鍵點依次連接成線再生成面,以復(fù)合變幅桿中心線為軸旋轉(zhuǎn)360°成體,選用SOLID95實體單元,采用掃掠網(wǎng)格劃分,共得到7 861個節(jié)點和1 584個單元。運用分塊蘭索法(block Lanczos)分析,模態(tài)提取頻率范圍為18~22 kHz,使用Solve求解并提取與設(shè)計頻率最接近的諧振模態(tài)如圖6所示。由圖6可以看出當(dāng)諧振頻率f′=19 839 Hz時,變幅桿做縱向振動狀態(tài)良好,與理論設(shè)計基本吻合。

        圖6 復(fù)合變幅桿的位移云圖

        4.2 諧響應(yīng)分析

        在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上,采用完全法(full)進行諧響應(yīng)分析,這種方法是運用完整的系統(tǒng)矩陣來計算響應(yīng)的。在圓柱桿的左端面加載幅值為1.1 μm的正弦變化的周期位移載荷,在變幅桿的輸出端即懸鏈線桿的小端面輸出的諧響應(yīng)曲線如圖7所示,從響應(yīng)曲線可以看出,在諧振頻率為19 839 Hz附近出現(xiàn)了振幅最大值。變幅桿的軸向位移曲線如圖8所示,從圖8可以看出變幅桿大小端面位移分別為1.1 μm和4.6 μm,可得到放大倍數(shù)約為4.1,將有限元分析結(jié)果與理論計算值進行比較,諧振頻率相差0.8 %,放大倍數(shù)相差2.3 %,有限元分析結(jié)果與理論設(shè)計基本一致,符合變幅桿設(shè)計要求。

        圖7 諧響應(yīng)曲線

        圖8 變幅桿的軸向位移曲線

        5 結(jié)束語

        利用等效電路法設(shè)計了一種新型的指數(shù)懸鏈線形復(fù)合變幅桿,并對變幅桿的設(shè)計進行優(yōu)化和有限元分析。結(jié)果表明:

        a.復(fù)合變幅桿的諧振長度隨著指數(shù)桿長度l1的增大而增大,但懸鏈線桿的長度l2隨著指數(shù)桿長度的增大而減??;復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)MP隨著指數(shù)桿長度l1的增大先增大后減小,在l1<68 mm的區(qū)域放大系數(shù)MP隨著交界面的半徑R的增大而增大,在放大系數(shù)MP達到最大值后對應(yīng)的指數(shù)桿長度隨交界面的半徑R的增大而減??;通過優(yōu)化設(shè)計使復(fù)合變幅桿的放大系數(shù)從3.7增加到4.2,提高了13.5 %,為找到性能更優(yōu)的變幅桿提供了思路。

        b.利用等效電路法設(shè)計復(fù)合形變幅桿思路清晰,物理意義明確,設(shè)計精度符合要求,采用該方法可以將其他任意形狀的變幅桿進行組合得出新型變幅桿,為變幅桿的優(yōu)化設(shè)計提供了參考,有一定的實用價值。

        c.有限元分析結(jié)果與理論設(shè)計基本一致,進一步證明了復(fù)合形變幅桿設(shè)計及優(yōu)化的可靠性。

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