李曉瑜，胡勇，盧俊邑，朱欽圣*

(1.電子科技大學信息與軟件工程學院 成都 610054；2.電子科技大學物理學院 成都 610054)

近年來，隨著數據信息的爆炸式增長，傳統的機器學習算法已經暴露出了求解效率低、運行速度慢等弊端。為了更好地適應人類社會發(fā)展的需求，量子計算的發(fā)展成為了一個不可抵擋的趨勢。量子計算利用量子比特進行數據信息的讀取、存儲和計算。不同于經典比特，量子比特因其疊加性和糾纏性從而實現高效的并行計算，這說明量子計算更能適應當前飛速爆炸的數據信息處理。量子計算起源于文獻[1]對量子圖靈機的構想和文獻[2]關于繞過經典計算機模擬量子力學困難的想法。近年來，不管是量子計算的硬件實現，還是算法開發(fā)都取得了較快的發(fā)展。目前實現量子計算的實際物理系統有如下幾種：離子阱[3]、中性原子[4]、光量子[5]、超導約瑟夫森結[6]、腔量子電動力學[7]、液體核磁共振[8]及量子點[9]等。其中，量子點和超導約瑟夫森結等基于固體器件的方法因其更適合集成化和小型化而被看好[10]。近年來，量子計算已在金融、哈密頓量模擬、化學、生物、制藥及材料等各個領域取得成功[11-16]，這些應用相比于經典計算方法都有較高的加速性和準確度。

在機器學習領域中，隱馬爾可夫模型是一個重要模型，其在股市行情預測[17-18]、自然語言處理[19-20]、蛋白質測序[21-22]等領域已有成功應用。經典的隱馬爾可夫模型包含評估、解碼、學習3 個問題。在隱藏狀態(tài)維度比較小的情況下，經典的Baum-Welch、Viterbi 及EM 算法可以有效地求解。但當隱馬爾可夫模型的隱藏狀態(tài)維度和觀測空間的維度增大時，經典算法在求解速度上就顯得乏力了。為了解決這個問題，人們把目光移向量子計算領域。類比于經典隱馬爾可夫模型是隨機過程的特點，文獻[23]用隨機的量子算符去測量一個開放的量子系統，將得到的結果定義為量子隱馬爾可夫模型，并用Kraus 算符給出了量子隱馬爾可夫模型的數學定義。和經典隱馬爾可夫模型類似，量子隱馬爾可夫模型也是一個隨機的概率圖模型，也涉及經典隱馬爾可夫模型所存在的3 個問題，但其中最重要的問題是如何求解模型參數——Kraus 算符，即學習問題。文獻[24]根據EM 算法的思想提出一個用數據估計Kraus 算符的矩陣形式的算法，但此算法在隱藏狀態(tài)維度比較小的情況下才有效且容易陷入局部最優(yōu)解。不過該研究通過數值實驗證明了在模型復雜度和精度上量子隱馬爾可夫模型優(yōu)于經典隱馬爾可夫模型。文獻[25]基于流形上的優(yōu)化理論提出一種全新的學習算法來求解Kraus 算符且解決了文獻[24]算法的問題。從另一方面來講，量子隱馬爾可夫模型和一個量子開放系統相關，描述開放系統演化的重要方法之一是量子主方程。文獻[26]證明了量子開放系統的量子主方程可以和一個量子隱馬爾可夫模型等價，這表明量子隱馬爾可夫模型可以和真實的物理系統相對應。在一個特定的量子開放系統——量子輸運系統里，文獻[27]提出的量子條件主方程比量子主方程能夠更細致地描述電荷比特的輸運過程。量子條件主方程的特點是：它體現了因測量方式所導致的量子系統內部狀態(tài)變化的聯系。而從文獻[23]給出的量子隱馬爾可夫模型最初的定義來看，量子隱馬爾可夫模型也涉及對量子態(tài)的測量，這就激發(fā)了本文利用量子條件主方程來研究量子隱馬爾可夫模型的興趣，并希望從中找出量子隱馬爾可夫模型更加細致的演化過程。本文以量子輸運系統為例介紹了量子條件主方程，從經典隱馬爾可夫模型的角度提出了量子隱馬爾可夫模型，并從量子條件主方程方向推導出了量子隱馬爾可夫模型，給出了量子條件主方程的系數矩陣和Kraus 算符之間的關系，最后提出了求解量子隱馬爾可夫模型參數的算法。

1 背景

1.1 主方程

主方程(master equation)是統計物理中最重要的方程之一，用以描述隨機變量概率分布演化，廣泛應用于金融、生物學、人口動力學、布朗運動、流體及半導體等問題。本文用P1(y1,t1)來表示隨機變量Y在t1時刻取值為y1的概率。P2(y1,t1;y2,t2)表示隨機變量Y在t1時刻取值為y1，在t2時刻取值為y2的聯合概率。假設在t1時刻隨機變量取值為y1，在經過時間間隔τ 后隨機變量Y取值為y2，就有：

式中，P1|1(y1,t1|y2,t2)表示在t1時刻隨機變量Y取值為y1的條件下，在t2時刻隨機變量Y取值為y2的概率。定義Wt1(y1,y2)為系統在時間間隔 τ內，從狀態(tài)y1到y2的單位時間的轉變概率密度函數，那么在時間間隔τ內從狀態(tài)y1到y2的概率密度函數為τWt1(y1,y2)，在τ內不轉變的概率密度函數為，因此：

把式(2)對時間步長 τ取極限，寫成微分形式就有：

稱式(3)為主方程。

1.2 隱馬爾可夫模型

隱馬爾可夫模型是一個描述具有馬爾可夫動力學演化性質的概率圖模型，如圖1 所示。其中，Xt表示t時刻的隱藏狀態(tài)，Yt表示在t時刻的觀測值。

圖1 隱馬爾可夫模型

這里矩陣A和C分別表示狀態(tài)轉移矩陣和觀測矩陣，兩者都是與時間無關的常數矩陣。這樣一個隱馬爾可夫模型可用參數λ=(A,C,Π)來定義。Π是初始時刻的狀態(tài)向量。隱藏狀態(tài)的更新和獲得觀測結果由式(4)給出：

2 量子條件主方程和量子隱馬爾可夫模型

2.1 量子條件主方程

在真實的物理系統中，由于量子系統和環(huán)境有耦合作用，薛定諤方程描述量子開放系統就顯得不那么有效。為了描述量子開放系統，人們提出了量子主方程。量子主方程的核心思想是，把環(huán)境的密度矩陣和量子系統的密度矩陣耦合起來，再計算出整體的密度矩陣的演化方程，然后對環(huán)境做偏跡得到系統的演化方程。后來，為了更加細致地描述系統的演化，文獻[27]把環(huán)境空間進行劃分，得到了量子條件主方程。為了展示如何推導出量子條件主方程，本文用一個量子輸運系統進行說明?？紤]一個如圖2 所示的量子輸運系統，L和R分別表示左右電極，S表示量子點系統，V表示外部施加的電壓。

圖2 量子輸運系統示意圖

電子在外部電壓的激勵下從右邊電極經過量子點系統到達左邊電極。這個復合系統的哈密頓量可以表示為：式中，Hs(,aμ)是量子點的哈密頓量；(aμ)表示產生(湮滅)算符；HE表示左右電極的哈密頓量；H′表示電極和量子點耦合的哈密頓量。在量子點和電極處于弱耦合的情況下，把H′看成是一個微擾，根據二階矩累積展開可以得到一個描述約化密度矩陣演化的方程：

這里劉維爾超算符定義為L=[Hs,(···)]，L′=[H′,(···)]。G=G(t,τ)×(···)×G?(t,τ)，其中G(t,τ)是和系統哈密頓量HS有關的傳播子。約化密度矩陣是對復合系統的密度矩陣做偏跡得來的，即ρ(t)=TrE[ρT(t)]。式(6)中的求偏跡操作是對電極所在空間的所有自由度，這并不能反映電子輸運的細致過程。當沒有電子經過量子點的系統時，電極所處的空間記為E(0)，它由左右兩個孤立電極的波函數直積而形成E(0)=span{|ψL〉?|ψR〉}。當n個電子從右電極經過量子點到左電極，此時電極所在的空間記為E(n)(n=1,2,···)，即把電極所處的整個希爾伯特空間按照通過的電子數進行劃分，如圖3 所示。則式(6)中的電極空間E可表示為E=⊕nE(n)，便得到描述量子輸運系統的量子條件主方程：

圖3 電極所在希爾伯特空間劃分示意圖，五邊形表示電極的整個希爾伯特空間

式中，ρ(n)=TrE(n)[ρT(t)]表示在t時間內有n個電子經過量子點系統時系統的密度矩陣。

2.2 量子隱馬爾科夫模型

和經典的馬爾可夫過程類似，量子隱馬爾可夫模型也可以用一組參數λQ=(ρ0,{K})來定義。ρ0與經典隱馬爾可夫模型中的初始狀態(tài)向量 Π對應，Kraus 算符K與矩陣A和C相對應。對照經典隱馬爾可夫模型的示意圖，可以用如圖4 的線路模型來表示量子隱馬爾可夫。

圖4 量子隱馬爾可夫模型的線路表示

圖中，Ky表示輸出為y時的Kraus 算符，ρt和ρt?1分別表示t時刻和t?1時刻的密度矩陣。其中，ρ0表示初始時刻的密度矩陣；{K}是一組Kraus算符且對所有的算符滿足條件。和經典隱馬爾可夫模型相比，這里Kraus 算符 {K}同時起著演化隱藏狀態(tài)和測量輸出結果的作用。由于量子坍縮的特性，在沒有對系統進行觀測時，密度矩陣演化遵循以下計算：

當對系統進行觀測后(假設觀測結果為y)，量子隱馬爾可夫的狀態(tài)掩護和測量結果用式(9)表示：

觀測到結果為y的概率為P(y,t)=Tr[Kyρ(t)]。為了求解量子隱馬爾可夫的模型參數 {K}，文獻[24]提出了一個極大似然估計法。假設已知一組觀測序列y1,y2,···,yT，根據這組觀測數據可以構造極大似然函數：

然后，量子隱馬爾可夫模型的參數求解問題就可以轉化成一個有約束的優(yōu)化問題：

把Km按列堆疊成一個新的維度為nm×n的新矩陣κ=[K1,K2,···,Km]T。則式(11)中的約束條件就可以改寫為：

文獻[28]指出式(12)中的 κ處于Stiefel 流形上，并且可以用如下的梯度下降算法來求解：

式中，U=[G,κ]；V=[κ,?G]；τ是一個處在區(qū)間[0,1]的實數。

2.3 量子條件主方程和量子隱馬爾可夫模型的聯系

本節(jié)將以量子輸運系統為例展示量子條件主方程和量子隱馬爾可夫模型之間的關系，并給出求解與量子條件主方程相對應的量子隱馬爾可夫模型參數 {K}的算法。

假設式(5)中的哈密頓量具有如下形式：

式中，L和R分別表示左右電極；μ和k代表電子處在的能級和、自旋狀態(tài)和動量；和dαμk分別表示處于電極中的電子的產生和湮滅算符；tαμk代表電極和量子點系統的耦合強度。文獻[27]詳細介紹了在哈密頓量為式(14)情況下的量子主方程和量子條件主方程的具體形式，其中，量子主方程為：

量子條件主方程為：

式(15)和式(16)之間的關系是：對式(16)按照指標n求和就可以導出式(15)。為了方便討論，本文先考慮在量子點系統中只有單能級參與電荷比特輸運的情況下：，ΓL和 ΓR是非負實數。則式(15)和式(16)可以簡化為：

經過推導[29]，式(17)和式(18)可以寫成如下形式：

在更一般的情況下，式(15)和式(16)可以寫成如下形式：

以上結果表明，描述輸運系統的量子主方程和量子條件主方程經過等價變換可以寫成和量子隱馬爾可夫模型類似的形式。從式(20a)可以看出，原有的整體密度矩陣 ρ的演化被拆分成了若干個小密度矩陣的演化，因此本文認為量子隱馬爾可夫模型中原有的狀態(tài)可以被拆分成若干個子狀態(tài)從而實現更加精確的Kraus 算符的求解。式(20a)和式(20b)均可以表示量子隱馬爾可夫模型，它們兩者之間的關系是：對式(20b)按照指標n進行求和可得到類似于式(20a)的形式，不同之處在于對于每一個給定的觀測值y，式(20a)所表示的模型只有一個Kraus 算符相對應，而式(20b)所表示的模型有3 個Kraus 算符相對應。雖然在參數數量上式(20b)是式(20a)的3 倍，但由于式(20b)描述了隱藏狀態(tài)內部細致的聯系，求解出的Kraus 的準確率將會高于式(20a)所描述的模型。所以，本文基于式(20b)提出了一種求解Kraus 算符的方法。為了更加清晰地描述式(20b)所表示的量子隱馬爾可夫模型，用圖5 展示了式(20b)對應的圖模型。其中雙點劃線箭頭代表屬于 {K}中的Kraus 算符Km，黑色實線(虛線)箭頭代表屬于{K′}中的Kraus 算符Km′，單點劃線箭頭代表屬于{K′′}中的Kraus 算符K′′?？梢园l(fā)現圖5 類似于神經網絡，圖5 中的計算是按時刻進行前向傳播的過程。假設已知一組序列y0,y1,···,yT，經過T個時刻的前向傳播，可以按照如下的迭代方式構造出似然函數：

圖5 式(20b)對應的展開計算圖

然后用似然函數對所有可能的Kraus 算符求導，再進行梯度下降算法就可以求出滿足給定序列似然函數最小的Kraus 算符的矩陣形式。本文把上述步驟總結為一個求解Kraus 算符的算法，具體步驟如下。

3 結束語

本文以量子輸運系統為例研究了量子隱馬爾可夫模型以及對應的參數求解算法。在參與輸運能級不同的條件下，建立了條件主方程與量子隱馬爾可夫模型的對應關系，即給出了量子主方程的系數和量子隱馬爾可夫模型中的狀態(tài)演化的Kraus 算符的對應關系。最后提出了一種求解量子隱馬爾可夫模型的參數的算法。本文首次把實際的物理系統和機器學習中的量子隱馬爾可夫模型聯系起來，為進一步用真實物理系統來實現機器學習算法奠定基礎。量子隱馬爾可夫模型的優(yōu)勢在于求解速度快和精度高，因此能在隱藏狀態(tài)維度較大的模型參數求解問題上表現出優(yōu)越性。同時由于量子條件主方程中指標n對狀態(tài)空間的劃分，使得量子隱馬爾可夫模型中的隱藏狀態(tài)劃分更加精細，從而實現更高精度的求解。