梁偉，秦開宇，蔣仁奎，劉盾

(1.電子科技大學(xué)航空航天學(xué)院 成都 611731；2.中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所 成都 610209)

巡天望遠(yuǎn)鏡主鏡口徑達(dá)到2m，是中國(guó)第一個(gè)大口徑、大視場(chǎng)空間天文望遠(yuǎn)鏡。巡天相機(jī)是巡天望遠(yuǎn)鏡最重要的科學(xué)終端載荷之一。巡天相機(jī)焦面尺寸達(dá)到610mm×590mm，采用機(jī)械快門對(duì)焦平面進(jìn)行曝光控制。在軌工作10 年，曝光次數(shù)約為100 萬次，壽命長(zhǎng)、可靠性高?？扉T采用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、電機(jī)直驅(qū)的旋轉(zhuǎn)對(duì)開結(jié)構(gòu)形式。機(jī)械快門運(yùn)行的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)將形成微振動(dòng)，產(chǎn)生激振力。同時(shí)方向相反的兩旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)帶來的激振力在轉(zhuǎn)軸相對(duì)方向的分量抵消，在兩轉(zhuǎn)軸平面法向的分量加倍，成為巡天相機(jī)的主要擾動(dòng)源之一，降低空間光學(xué)望遠(yuǎn)鏡的成像質(zhì)量，需對(duì)其進(jìn)行抑制[1-2]。

類似旋轉(zhuǎn)對(duì)開式機(jī)構(gòu)在空間望遠(yuǎn)鏡上應(yīng)用較多，如哈勃望遠(yuǎn)鏡(Hubble space telescope)[3-4]、錢德拉X 射線太空望遠(yuǎn)鏡(Chandra X-ray observatory)[5-7]、倫琴X 射線天文臺(tái)(Rosat)[8-9]和XMM 牛頓衛(wèi)星(X-ray multi-mirror mission)[10-11]的遮光蓋系統(tǒng)。這些遮光系統(tǒng)的功能主要是避免望遠(yuǎn)鏡內(nèi)部器件受到強(qiáng)光照射，工作過程中望遠(yuǎn)鏡焦面組件未工作，運(yùn)行中的激振力不影響望遠(yuǎn)鏡成像質(zhì)量。歐幾里得空間望遠(yuǎn)鏡(Euclid space mission)[12-14]中可見光成像儀(Euclid-VIS)采用的快門形式與巡天相機(jī)機(jī)械快門類似，通過在葉片后端進(jìn)行嚴(yán)格的靜動(dòng)平衡設(shè)計(jì)，抑制激振力，取得了很好的抑制效果。巡天相機(jī)機(jī)械快門由于空間包絡(luò)約束限制難以采取靜、動(dòng)平衡措施減小激振力。快門的運(yùn)行頻率f小于1Hz，采用傳統(tǒng)的隔振措施，隔振頻率小于0.707f時(shí)才會(huì)發(fā)揮隔振效果[15-16]，這將削弱快門的支撐剛度，穩(wěn)定性差。

針對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)開式機(jī)械快門的激振力問題，建立轉(zhuǎn)子及機(jī)械快門運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，得到快門運(yùn)動(dòng)的激振力數(shù)值解。在此基礎(chǔ)上，提出一種動(dòng)態(tài)補(bǔ)償方法用于激振力抑制：結(jié)合凸輪運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)性和杠桿反向補(bǔ)償、放大原理，且杠桿慣性力與快門激振力相等，實(shí)現(xiàn)激振力動(dòng)態(tài)補(bǔ)償抑制。采用單純形法進(jìn)行凸輪曲線優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真對(duì)激振力的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償抑制方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 巡天相機(jī)機(jī)械快門及其布局

如圖1 所示，機(jī)械快門位于焦面組件前端，與焦面組件一同安裝在主體結(jié)構(gòu)上，快門兩葉片同時(shí)開合實(shí)現(xiàn)對(duì)焦平面的曝光控制。

圖1 巡天相機(jī)及機(jī)械快門布局

機(jī)械快門由正Y側(cè)、負(fù)Y側(cè)以及支座組成，正Y側(cè)和負(fù)Y側(cè)快門兩葉片同步反向轉(zhuǎn)動(dòng)，完成快門的開啟或關(guān)閉功能。

2 數(shù)學(xué)建模

2.1 旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)建模

轉(zhuǎn)子繞轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，假設(shè)其滿足如下條件：

1)轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)軸均為剛性體，為薄圓盤轉(zhuǎn)子；

2)在均質(zhì)圓盤上附加偏心質(zhì)量為m，偏心距為r。

為建立轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型，采用如圖2 所示的直角坐標(biāo)系oxyz，轉(zhuǎn)軸與坐標(biāo)系x軸重合。

圖2 圓盤轉(zhuǎn)子模型

轉(zhuǎn)子圓盤形心為O點(diǎn)，質(zhì)心為C點(diǎn)，其坐標(biāo)關(guān)系為：

式中，質(zhì)心坐標(biāo)為(xc，yc)，對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)，得到偏心質(zhì)量的速度與加速度如下：

由于存在偏心質(zhì)量m，轉(zhuǎn)子的激振力如下：

2.2 機(jī)械快門運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

機(jī)械快門簡(jiǎn)化模型如圖3 所示，規(guī)定葉片與水平面夾角θ 為葉片轉(zhuǎn)角。當(dāng)θ=0°時(shí)，快門完全關(guān)閉，當(dāng)θ=90°時(shí)，快門完全打開。

圖3 巡天相機(jī)機(jī)械快門簡(jiǎn)化模型

將葉片偏心簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，附加質(zhì)量為m，質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸的距離為r。

據(jù)圖3，負(fù)Y側(cè)快門的數(shù)學(xué)模型如下：

同樣，正Y側(cè)快門的數(shù)學(xué)模型：

則機(jī)械快門的整體振動(dòng)受力為：

即旋轉(zhuǎn)對(duì)開式機(jī)械快門在Y向激振力相互抵消，為0；在Z向的激振力為單側(cè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)激振力的兩倍。

2.3 機(jī)械快門運(yùn)動(dòng)分析結(jié)果

據(jù)巡天任務(wù)規(guī)劃，快門典型運(yùn)行過程：1)打開和關(guān)閉過程時(shí)間為1.3s；2)保持打開持續(xù)時(shí)間為150～200s。為保證快門開啟和關(guān)閉時(shí)刻的平穩(wěn)性，葉片采用正弦波加減速驅(qū)動(dòng)模式，即：

葉片運(yùn)動(dòng)曲線如圖4 所示。葉片相對(duì)轉(zhuǎn)軸附加質(zhì)量m為1.4kg，葉片質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸的距離r為144.75mm，將式(10)～式(12)代入式(9)，得到一個(gè)曝光周期下快門的Z向激振力，激振力幅值達(dá)到2.38N。

圖4 快門葉片驅(qū)動(dòng)模式

3 法向激振力補(bǔ)償抑制

3.1 補(bǔ)償抑制方法

杠桿工作原理如圖5 所示。

圖5 杠桿工作原理圖

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m1沿正Y向以加速度a1運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到的慣性力F1為：

根據(jù)杠桿原理，質(zhì)點(diǎn)m2沿負(fù)Y向以加速度a2運(yùn)動(dòng)，受到的慣性力F2，兩者關(guān)系為：

由式(13)、式(15)知，杠桿加減速過程中，兩側(cè)角加速度大小相等，方向相反。杠桿兩側(cè)端點(diǎn)處線加速度方向仍相反，大小與支點(diǎn)距離成正比。

由式(14)、式(15)知，當(dāng)快門轉(zhuǎn)軸帶動(dòng)質(zhì)點(diǎn)m1向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，杠桿另一側(cè)質(zhì)點(diǎn)m2向下運(yùn)動(dòng)，慣性力F2與F1方向相反，可以補(bǔ)償快門在F1方向上產(chǎn)生的激振力。杠桿在放大質(zhì)點(diǎn)m2線加速度的同時(shí)，取m1<>abs(F1)，可以用小的質(zhì)量代價(jià)獲取大的慣性力F2補(bǔ)償快門的激振力，適用于航天任務(wù)。

3.2X 向附加分量

由圖5 所示，杠桿在補(bǔ)償機(jī)械快門Y向激振力的同時(shí)，將產(chǎn)生X向的水平分力。

其合力為：

式中，m1<

考慮使用兩套機(jī)構(gòu)，對(duì)稱布置在旋轉(zhuǎn)軸下方，如圖6 所示，不占用巡天相機(jī)的其他空間。

圖6 補(bǔ)償抑制機(jī)構(gòu)布局

當(dāng)兩機(jī)構(gòu)完全一致時(shí)，負(fù)X側(cè)的機(jī)構(gòu)產(chǎn)生正X向的附加分量，正X側(cè)的機(jī)構(gòu)產(chǎn)生負(fù)X向的附加分量，兩者大小一致，相互抵消，克服補(bǔ)償抑制X向附加分量不為零的問題。

4 補(bǔ)償抑制機(jī)構(gòu)

4.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

兩組凸輪杠桿機(jī)構(gòu)位于單側(cè)快門基座下方，如圖7 所示，每套機(jī)構(gòu)均由平衡塊、杠桿、轉(zhuǎn)軸、凸輪和導(dǎo)向桿組成?？扉T軸系與凸輪相連，無需額外驅(qū)動(dòng)，軸系帶動(dòng)凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)，凸輪驅(qū)動(dòng)導(dǎo)向桿移動(dòng)，導(dǎo)向桿推動(dòng)杠桿一端使其繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，杠桿另一端與平衡塊相連，杠桿轉(zhuǎn)動(dòng)同時(shí)帶動(dòng)平衡塊實(shí)現(xiàn)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)。

4.2 凸輪曲線優(yōu)化

據(jù)圖7 中激振力抑制機(jī)構(gòu)的零件幾何位置關(guān)系，假設(shè)轉(zhuǎn)軸中心到導(dǎo)桿中心線的距離為A，到平衡塊質(zhì)心的距離為B；平衡塊質(zhì)量為m0；凸輪對(duì)導(dǎo)向桿的驅(qū)動(dòng)位移量為k(t)。

圖7 激振力抑制機(jī)構(gòu)剖視圖

凸輪驅(qū)動(dòng)導(dǎo)桿移動(dòng)時(shí)，k(t)隨時(shí)間變化，杠桿另一端的平衡塊帶來的慣性力為：

式中，m0=2kg；A=35mm；B=180mm。

為了補(bǔ)償快門Z向的激振力，需滿足：

將式(9)～式(12)、式(18)代入式(19)，即可形成凸輪驅(qū)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系式，但該關(guān)系式復(fù)雜，無法求出k(t)的顯性解析式，采用數(shù)值優(yōu)化方式對(duì)其進(jìn)行求解。

將k(t)表示成多項(xiàng)式：

k(t)的約束條件為：

3 個(gè)約束條件分別表示：1)快門處于關(guān)閉位置時(shí)，杠桿平行于快門軸系；2)快門啟動(dòng)時(shí)刻凸輪驅(qū)動(dòng)導(dǎo)向桿的速度為零；3)快門關(guān)閉時(shí)凸輪驅(qū)動(dòng)導(dǎo)向桿的速度為零。

將快門激振力和平衡塊慣性力最大差異的絕對(duì)值最小作為優(yōu)化目標(biāo)，即：

由于優(yōu)化目標(biāo)值無法求導(dǎo)，常規(guī)的梯度優(yōu)化方法如坐標(biāo)輪換法、最速下降法、牛頓法、共軛梯度法和變尺度法均不適用[17]。單純形法作為非梯度優(yōu)化方法[18]，收斂速度快，穩(wěn)定性好，變量個(gè)數(shù)不受限，可通過變換初始頂點(diǎn)避免局部最優(yōu)，適用于凸輪曲線的優(yōu)化。為避免陷入局部最優(yōu)解，在可行域內(nèi)隨機(jī)初始頂點(diǎn)，并多次計(jì)算，選擇所有計(jì)算結(jié)果中的最優(yōu)值。

將式(9)、式(18)和式(20)代入式(22)中，采用單純形法對(duì)多項(xiàng)式中各個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使M最小。隨著優(yōu)化變量個(gè)數(shù)增多，k(t)自由度增加，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解越來越小，迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間增加。當(dāng)目標(biāo)值變化率趨近于零，停止優(yōu)化迭代，迭代過程如圖8 所示，其中優(yōu)化后目標(biāo)值未超過0.26N，優(yōu)化變量個(gè)數(shù)為8；將式(21)代入式(20)得到3 個(gè)方程可以解得3 項(xiàng)系數(shù)值，這樣式(20)共11 個(gè)系數(shù)項(xiàng)，次數(shù)n為10。

圖8 目標(biāo)優(yōu)化過程

優(yōu)化所得多項(xiàng)式的各系數(shù)值如表1 所示，即凸輪驅(qū)動(dòng)曲線是時(shí)間變量的10 次多項(xiàng)式。

表1 多項(xiàng)式系數(shù)

4.3 補(bǔ)償抑制誤差

將各變量代入式(20)，聯(lián)合式(9)和式(12)，得到凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度與驅(qū)動(dòng)位移量的關(guān)系，如圖9所示。

圖9 凸輪曲線

得到凸輪驅(qū)動(dòng)位移曲線k(t)和線加速度曲線(t)后，可以計(jì)算慣性力與激振力之間補(bǔ)償誤差如下：

補(bǔ)償抑制誤差曲線如圖10 所示，最大值為0.26N，為最大激振力的10.9%。

圖10 補(bǔ)償誤差曲線

4.4 工程可行性分析

補(bǔ)償抑制機(jī)構(gòu)是一被動(dòng)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，不需要增加額外的電學(xué)控制系統(tǒng)，但會(huì)增加結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性：包括凸輪和轉(zhuǎn)軸等，均為工程上的常用機(jī)構(gòu)，且這些機(jī)構(gòu)在航空航天任務(wù)中均得到應(yīng)用[19]，是可行的。對(duì)補(bǔ)償抑制機(jī)構(gòu)進(jìn)行質(zhì)量統(tǒng)計(jì)：?jiǎn)蝹?cè)快門兩平衡塊質(zhì)量小計(jì)2.0kg、機(jī)構(gòu)其他部分質(zhì)量為0.58kg，所以機(jī)械快門兩側(cè)機(jī)構(gòu)共計(jì)5.16kg。而機(jī)械快門本體質(zhì)量為17.8kg。增加補(bǔ)償抑制機(jī)構(gòu)后的機(jī)械快門質(zhì)量共計(jì)22.96kg，增加了29.0%。其中任務(wù)總體分配給機(jī)械快門的質(zhì)量要求不超過25kg，較機(jī)械快門質(zhì)量仍有余量2.04kg，滿足任務(wù)指標(biāo)要求。因此，采用補(bǔ)償抑制機(jī)構(gòu)來解決機(jī)械快門微振動(dòng)抑制問題，除了增加質(zhì)量代價(jià)外，沒有對(duì)望遠(yuǎn)鏡正常工作產(chǎn)生其他影響，在工程上是可行的。

5 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析驗(yàn)證

建立快門運(yùn)動(dòng)學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行瞬態(tài)分析，模擬快門運(yùn)行過程。使用旋轉(zhuǎn)副模擬軸系軸承，采用接觸力模擬凸輪與導(dǎo)桿的驅(qū)動(dòng)關(guān)系，移動(dòng)副約束導(dǎo)桿的自由度。在快門支座下建立基準(zhǔn)，將基準(zhǔn)與支座下表面耦合，固定基準(zhǔn)即可對(duì)整個(gè)模型進(jìn)行約束，通過讀取該基準(zhǔn)的支反力獲得快門運(yùn)行時(shí)的激振力。

在激振力補(bǔ)償抑制機(jī)構(gòu)使用前后的Z向激振力響應(yīng)如圖11 所示。抑制后激振力幅值最大值由2.38N 降至0.29N(與優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的最大值0.26 N 基本一致)，抑制率87.8%，驗(yàn)證了本文提出的補(bǔ)償抑制方法。

圖11 抑制前和抑制后的Z 向激振力

6 結(jié)束語

針對(duì)巡天相機(jī)旋轉(zhuǎn)對(duì)開式機(jī)械快門提出一種激振力動(dòng)態(tài)補(bǔ)償抑制方法。建立快門的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)激振力補(bǔ)償抑制裝置，凸輪和杠桿機(jī)構(gòu)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)杠桿質(zhì)量點(diǎn)慣性力對(duì)激振力的補(bǔ)償抑制。由單純形法優(yōu)化獲取凸輪曲線，最后進(jìn)行機(jī)械快門運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，結(jié)果表明：在激振力抑制裝置采用前后，快門激振力分別為2.38N 和0.29N，抑制率87.8%，效果明顯，解決了在尺寸約束下的快門激振力抑制問題。