李寶麟， 楊銀杏

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 蘭州730070)

1 引言

常微分方程解的有界性問(wèn)題是在研究生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、物理學(xué)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題中提出的，是常微分方程研究中一個(gè)十分重要的領(lǐng)域.近年來(lái)，關(guān)于常微分方程解的有界性已經(jīng)引起了許多學(xué)者的研究[1-3].文獻(xiàn)[4]中，F(xiàn)ederson M 等在Lyapunov 泛函中沒(méi)有Lipschitz 條件的情況下，研究了廣義常微分方程解的有界性，并且利用測(cè)度微分方程和廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系建立了測(cè)度微分方程解的有界性，隨后又利用測(cè)度微分方程和時(shí)間尺度上的動(dòng)力方程的等價(jià)關(guān)系，獲得了時(shí)間尺度上的動(dòng)力方程解的有界性.文獻(xiàn)[5]建立了滯后型測(cè)度泛函微分方程在一定條件下與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系.文獻(xiàn)[6]研究了滯后型測(cè)度泛函微分方程解的存在性、唯一性和對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性.

本文考慮滯后型測(cè)度泛函微分方程

解的有界性， 其中Dy，Dg分別表示函數(shù)y，g的分布導(dǎo)數(shù).f:S× [t0，+∞)→Rn，g:[t0，+∞)→R，y:[t0-r，+∞)→Rn，yt(θ)=y(t+θ)，θ ∈[-r，0]，r ＞0，其中

上述的G1為開(kāi)集，G([t0-r，+∞)，Rn)表示所有正則函數(shù)y: [t0-r，+∞)→Rn構(gòu)成的空間，定義范數(shù)‖y‖∞=supt∈[t0，+∞)‖y(t)‖，則G([t0-r，+∞)，Rn)為Banach 空間.由文獻(xiàn)[5]知，方程(1)等價(jià)于積分方程方程(2)右端的積分是關(guān)于不減函數(shù)g:[t0，+∞)→R 的Kurzweil-Stieltjes 積分，而且f滿足如下條件:

本文利用廣義常微分方程解的有界性，研究滯后型測(cè)度泛函微分方程解的有界性.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹廣義常微分方程與滯后型測(cè)度泛函微分方程的概念與結(jié)論.

設(shè)X是Banach 空間，O ?X是開(kāi)子集.

定義2.1[4]函數(shù)U: [a，b]×[a，b]→X在區(qū)間[a，b]上稱為Kurzweil 可積的，如果存在I ∈X，使得對(duì)任意的ε ＞0，存在正值函數(shù)δ: [a，b]→(0，+∞)，對(duì)[a，b]的任何δ- 精細(xì)分劃D:a=α0＜α1＜···＜αk=b及{τ1，τ2，···，τk}，有

對(duì)任意的(x，s1)，(x，s2)，(y，s1)，(y，s2)∈Ω，有

其中h:[t0，+∞)→R 為不減函數(shù).

定義2.4[4]函數(shù)x:[α，β]→X是廣義常微分方程(3)關(guān)于初值條件x(s0)=z0在區(qū)間[α，β]?[t0，+∞)上的一個(gè)解，是指如果s0∈[α，β]， (x(t)，t)∈Ω 對(duì)每個(gè)t，s ∈[α，β]，有

引理2.1[4]如果Ω =O×[t0，+∞)，F(xiàn) ∈F(Ω，h)，其中函數(shù)h是不減且左連續(xù)的.則對(duì)每個(gè)(z0，s0)∈Ω，廣義常微分方程(3)在[s0，+∞)上存在飽和解并且x(s0)=z0.

注 對(duì)每個(gè)(z0，s0)∈Ω，把廣義常微分方程的飽和解記為x(s，s0，z0)且x(s0)=z0.

定義2.5[4]廣義常微分方程(3) 是

1) 一致有界:如果對(duì)每個(gè)α ＞0，存在M=M(α)＞0，使得對(duì)每個(gè)s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈X，‖z0‖＜α，有

2) 擬一致最終有界:如果存在B ＞0，使得對(duì)每個(gè)α ＞0，存在T=T(α)＞0，使得對(duì)所有的s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈X，‖z0‖＜α，有

3) 一致最終有界:廣義常微分方程是一致有界且擬一致最終有界.

(ii) 對(duì)廣義常微分方程(3)的每個(gè)解z:[s0，+∞)→X，s0≥t0及每個(gè)s0≤t ＜s ＜+∞，有

則廣義常微分方程(3)是一致有界的.成立，其中h1:[t0，+∞)→R 為不減和左連續(xù)的函數(shù).

(V2) 存在連續(xù)函數(shù)Φ :X →R，Φ(0) = 0 且Φ(x)＞0，x/= 0，使得對(duì)廣義常微分方程(3)的每個(gè)解z:[s0，+∞)→X，s0≥t0及每個(gè)s0≤t ＜s ＜+∞，有

則廣義常微分方程(3)是一致最終有界的.

引理2.4[5]如果y: [t0-r，+∞)→Rn是一個(gè)正則函數(shù)，則在[t0，+∞)上是正則的.

引理2.5[5]設(shè)f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 是不減函數(shù)，定義F:G1×[t0，+∞)→Rn如下

則F ∈F(G1×[t0，+∞)，h)，其中h:[t0，+∞)→R，

由h的定義可知h為[t0，+∞)上不減的左連續(xù)函數(shù).

引理2.6[5]設(shè)G1是G([t0-r，+∞)，Rn)的開(kāi)子集，且t ∈[t0，+∞)時(shí)，具有延拓性質(zhì)，S={yt:y ∈G1，t ∈[t0，+∞)}，φ ∈S，g:[t0，+∞)→R 是不減函數(shù)，f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3).

(i) 如果y ∈G1是滯后型測(cè)度泛函微分方程

的解，且滿足初值條件

的解.

3 主要結(jié)果

本節(jié)建立滯后型測(cè)度泛函微分方程解的有界性.

定理3.1 設(shè)f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 是不減和左連續(xù)函數(shù)，則對(duì)每個(gè)(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)在[s0，+∞)上存在飽和解并且y(s0)=z0.

證 考慮滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)

根據(jù)假設(shè)，函數(shù)f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g: [t0，+∞)→R 是不減和左連續(xù)函數(shù)，則滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)等價(jià)于廣義常微分方程

其中F由(5)式給出.

根據(jù)引理2.1 得，對(duì)每個(gè)(z0，s0)∈O×[t0，+∞)，廣義常微分方程(6)在[s0，+∞)上存在飽和解并且x(s0)=z0，而且根據(jù)引理2.6 的(ii)有

是滯后型測(cè)度泛函微分方程

的解.因此，對(duì)每個(gè)(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)在[s0，+∞)上存在飽和解并且y(s0)=z0.

注 同樣地，對(duì)每個(gè)(z0，s0)∈S×[t0，+∞)，把滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)的飽和解記為y(s，s0，z0)且y(s0)=z0.

定義3.1 滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)是

1) 一致有界:如果對(duì)每個(gè)α ＞0，存在M=M(α)＞0，使得對(duì)每個(gè)s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈Rn，‖z0‖＜α，有

2) 擬一致最終有界:如果存在B ＞0，使得對(duì)每個(gè)α ＞0， 存在T=T(α)＞0，使得對(duì)所有的s0∈[t0，+∞)及所有的z0∈Rn，‖z0‖＜α，有

3) 一致最終有界:滯后型測(cè)度泛函微分方程是一致有界且擬一致最終有界.

定理3.2 設(shè)f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 在[t0，+∞)上是不減和左連續(xù)的.設(shè)函數(shù)U: [t0，+∞)×Rn →R，使得對(duì)每個(gè)在(α，β]上左連續(xù)的函數(shù)z:[α，β]→Rn，[α，β]?[t0，+∞)，函數(shù)(t，z(t))，t ∈[α，β]在區(qū)間(α，β]上是左連續(xù)的.而且，假設(shè)U滿足下列條件:

(i) 存在兩個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)p，b:R+→R+，使得p(0)=b(0)=0，

且對(duì)每一對(duì)(t，z)∈[t0，+∞)×Rn，有

(ii) 對(duì)滯后型測(cè)度泛函微分方程(2) 的每個(gè)解z: [s0，+∞)→Rn，s0≥t0及每個(gè)s0≤t ＜s ＜+∞，有

則滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)是一致有界的.

證 令固定的α ＞0.根據(jù)條件(i)知p(α)＞0，由(7)式，存在M=M(α)＞0 使得對(duì)所有的s ≥M，p(α)＜b(s).特別地，對(duì)s=M，得

令s0∈[t0，+∞)，z0∈Rn，且y(·) =y(·，s0，z0) : [s0，+∞)→Rn是滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)在初值條件y(s0)=z0下的解，其中‖z0‖＜α.由定義3.1 中1)可知，需證明:

事實(shí)上，由條件(ii)和條件(8)，對(duì)每個(gè)s ≥s0，有

即對(duì)所有的s ≥s0，

最后， 對(duì)所有的s ≥s0， 證明‖y(s，s0，z0)‖=‖y(s)‖ ＜M.運(yùn)用反證法， 即假定存在ˉs ∈[s0，+∞)使得‖y(ˉs)‖≥M.則由條件(8)和b是一個(gè)不減函數(shù)，有

與(10)式相矛盾.因此，對(duì)所有的s ≥s0，‖y(s)‖＜M，且由定義3.1 的1)知滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)是一致有界的.

定理3.3 設(shè)f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g:[t0，+∞)→R 在[t0，+∞)上是不減和左連續(xù)的.設(shè)函數(shù)U: [t0，+∞)×Rn →R，使得對(duì)每個(gè)在(α，β]上左連續(xù)的函數(shù)z:[α，β]→Rn， 函數(shù)(t，z(t))，t ∈[α，β]在區(qū)間(α，β]上是左連續(xù)的且滿足定理3.2 的條件(i).而且，假設(shè)U滿足下列條件:

(U1) 對(duì)每個(gè)x，y:[α，β]→Rn在區(qū)間[α，β]?[t0，+∞)上有界變差及每個(gè)α ≤s ＜t ≤β，有

成立， 其中u: [t0，+∞)→R 是不減和左連續(xù)函數(shù)，K: [t0，+∞)→R 是關(guān)于u局部Kurzweil-Stietijes 可積的函數(shù).

(U2) 存在連續(xù)函數(shù)φ:Rn →R，φ(0)=0 且φ(x)＞0，x/=0，使得對(duì)滯后型測(cè)度泛函微分方程(2) 的每個(gè)解z:[s0，+∞)→Rn，s0≥t0及每個(gè)s0≤t ＜s ＜+∞，有

則滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)是一致最終有界的.

證 對(duì)所有的(x，t)∈G1×[t0，+∞)，定義函數(shù)F:G1×[t0，+∞)→Rn如下

根據(jù)假設(shè)，函數(shù)f:S×[t0，+∞)→Rn滿足條件(H1)-(H3)，g: [t0，+∞)→R 是不減和左連續(xù)的.由假設(shè)存在常數(shù)M，N，對(duì)任意的x，z ∈G1，由(11)式得

由條件(H3)知

因?yàn)楹瘮?shù)(t，z(t))，t ∈[α，β]在區(qū)間[α，β]上是左連續(xù)的且滿足定理3.2 的條件(i)，所以由引理2.6 的(i)可知，函數(shù)(t，z(t))，t ∈[α，β]滿足引理2.2 的條件(i).

對(duì)每個(gè)t ∈[t0，+∞)，定義函數(shù)h1(t):[t0，+∞)→R 如下

則函數(shù)h1是不減且左連續(xù)的.而且由條件(U1)，對(duì)每個(gè)α ≤s ＜t ≤β及每個(gè)在[α，β]上有界變差的x，y:[α，β]→Rn， [α，β]?[t0，+∞]，函數(shù)U滿足下列條件

的解，其中函數(shù)F由(11)式給出.

因此，函數(shù)(t，z(t))，t ∈[α，β]滿足引理2.3 的條件(V2).

綜上可得，函數(shù)(t，z(t))，t ∈[α，β]滿足引理2.3 的所有條件，故廣義常微分方程

是一致最終有界的，其中函數(shù)F由(11)式給出.

最后，根據(jù)引理2.6 的(ii)，證明了滯后型測(cè)度泛函微分方程(2)也是一致最終有界的.