梁雨欣

◆摘? 要：本文以教育數(shù)學(xué)的原理和思想為前提，分析中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的異面直線距離問題，即處理“數(shù)學(xué)教育”問題，提出用“遠(yuǎn)近度”和“傾斜度”來體現(xiàn)位置關(guān)系的新型教學(xué)思路，同時(shí)，提出用二次函數(shù)極值法求解兩異面直線距離的方法，從理論和實(shí)踐兩個(gè)方面闡述了教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系。

◆關(guān)鍵詞：教育數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教育;對(duì)立統(tǒng)一

一、問題的提出

“教育數(shù)學(xué)”由張景中院士提出，許多人在進(jìn)行這方面的研究，并對(duì)張?jiān)菏康睦碚摫硎菊J(rèn)同。正確認(rèn)識(shí)“教育數(shù)學(xué)”與“數(shù)學(xué)教育”的關(guān)系，是有效開展教育數(shù)學(xué)研究并使這一學(xué)科得以成長(zhǎng)的重要前提。以研究中學(xué)立體幾何“異面直線”這一教學(xué)難點(diǎn)為例，現(xiàn)行中學(xué)教材中“異面直線”的定義是“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的空間兩條直線?！苯處熤庇^引入異面直線的角、公垂線和距離，進(jìn)而引入兩條異面直線垂直、公垂線和距離，最后直接提出：“對(duì)于任意的兩條異面直線，它們的公垂線有且僅有一條?！睆臄?shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的反饋來看，中學(xué)生對(duì)異面直線的空間概念很難理解。為了解決這一問題，我們提出兩種教學(xué)建議：一是采用直觀演示法。用兩根木棍代表兩條直線，使之交狀，然后平移其中一根，即形成異面直線。還可以將兩根木棍平行放置，轉(zhuǎn)動(dòng)一根木棍，也可以形成異面直線。通過演示，學(xué)生們可以理解異面直線的空間概念。另一種是從揭示概念的本質(zhì)展開教學(xué)。兩條異面直線的本質(zhì)主要在于“遠(yuǎn)近度”與“傾斜度”，兩條異面直線是有距離的，又是有傾斜度的。

細(xì)究上面兩種教學(xué)建議，第二種教學(xué)建議隱含著一種數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，已經(jīng)接近教育數(shù)學(xué)了。因?yàn)樗プ×丝臻g兩物體位置關(guān)系的本質(zhì)。空間物體位置關(guān)系的本質(zhì)就是兩物體的“遠(yuǎn)近度”和“傾斜度”。如果能用“遠(yuǎn)近度”和“傾斜度”對(duì)改造位置關(guān)系數(shù)學(xué)教學(xué)，就屬于教育數(shù)學(xué)范疇。

筆者進(jìn)行了改造思路方面的嘗試，對(duì)于位置關(guān)系數(shù)學(xué)，以“遠(yuǎn)近度”和“傾斜度”概念為前提，逐步深入拓展。首先，講點(diǎn)與點(diǎn)的距離。兩點(diǎn)間線段最短，沒有傾斜度。第二，講點(diǎn)與直線的距離。點(diǎn)與線沒有傾斜度。第三，講線與線的距離和傾斜度。重合時(shí)，兩條線之間沒有距離和傾斜度;兩線相交時(shí)線與線距離為0，有傾斜度;平行時(shí)，線與線有距離，沒有傾斜度;兩條異面直線之間既有距離又有傾斜度。第四，講點(diǎn)與面的距離。點(diǎn)與面沒有傾斜度。第五，講線與面的距離和傾斜度。線在平面內(nèi)，則距離為0;線與面平行，有距離無傾斜度;線面相交則有傾斜度，無固定距離。最后，講面與面的距離與傾斜度。兩平面重合則沒有距離和傾斜度;兩平面平行則有距離沒有傾斜度;兩平面相交則有傾斜度無固定距離。這樣，我們就用“遠(yuǎn)近度”和“傾斜度”把空間點(diǎn)、線、面間的關(guān)系由易到難地講解完畢，這樣更容易培養(yǎng)學(xué)生的空間概念。以上即為教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系的體現(xiàn)。

二、教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系

1.教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的對(duì)立性

首先，二者所屬的學(xué)科范疇不同。教育數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)，是為進(jìn)行數(shù)學(xué)教育而再創(chuàng)造的數(shù)學(xué)，其本質(zhì)是一種對(duì)數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造的活動(dòng)。而數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種教育，它主要是對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行教學(xué)法的加工，使學(xué)生更容易理解和掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想和方法。其次，二者是兩種不同的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念。數(shù)學(xué)教學(xué)觀念是指如何從事數(shù)學(xué)教學(xué)的觀點(diǎn)和看法。二者都要研究數(shù)學(xué)“教什么”的問題。數(shù)學(xué)教育的觀點(diǎn)是把數(shù)學(xué)家的研究成果作為數(shù)學(xué)材料，經(jīng)過教學(xué)法的加工，便可形成教材。這只包括整理。而教育數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)是要進(jìn)行數(shù)學(xué)上的再創(chuàng)造，使材料有序?？梢姸哐芯拷滩牡慕嵌炔煌?。

2.教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的統(tǒng)一性

首先，教育數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)教育，因?yàn)樗从跀?shù)學(xué)教育。教育數(shù)學(xué)“為了數(shù)學(xué)教育的需要，對(duì)數(shù)學(xué)成果進(jìn)行再創(chuàng)造”。這種創(chuàng)造主要是對(duì)于數(shù)學(xué)教材中的難點(diǎn)。數(shù)學(xué)教育是豐富素材的來源。遵循“教育數(shù)學(xué)三原理”，可用代數(shù)求極值法求解兩條異面直線的距離。我們知道，通常求異面直線距離是轉(zhuǎn)化為平行的線面距離和平行的面面距離之后求解，還需要作輔助面，求解過程比較復(fù)雜。利用二次函數(shù)法求解則相對(duì)難度更低，可形成一個(gè)模式。

其次，教育數(shù)學(xué)也服務(wù)于數(shù)學(xué)教育。教育數(shù)學(xué)的任務(wù)是創(chuàng)造出更適合數(shù)學(xué)教育的教材。二者由“教什么”的問題而聯(lián)系在一起，如果離開數(shù)學(xué)教育單獨(dú)搞數(shù)學(xué)創(chuàng)造，那就是單純的數(shù)學(xué)了。此外，教育數(shù)學(xué)還要接受數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐檢驗(yàn)。而且數(shù)學(xué)教育也離不開教育數(shù)學(xué)。因?yàn)?，?shù)學(xué)教育具有“數(shù)學(xué)方面”和“教育方面”兩個(gè)方面，既對(duì)立又統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)教育的基本矛盾。所以，教育數(shù)學(xué)以數(shù)學(xué)教育的需要為導(dǎo)向創(chuàng)造出來的更適合教學(xué)、更易于學(xué)生理解的數(shù)學(xué)，應(yīng)該在數(shù)學(xué)教育中更加廣泛地使用。在目標(biāo)方面，二者也是統(tǒng)一的。我們知道，數(shù)學(xué)教育是為了讓人積累數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)既能，鍛煉數(shù)學(xué)思維。而教育數(shù)學(xué)則是審視已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，檢查它在教育上的適用性，從而為數(shù)學(xué)教育選擇更適合的數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯結(jié)構(gòu)和解題方法，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能，鍛煉數(shù)學(xué)思維。

綜上所述，教育數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，研究二者的關(guān)系，建立教育數(shù)學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)教育數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要的意義。

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