[摘 要]如何理解不確定關(guān)系是量子力學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)之一，初學(xué)者對(duì)其存在一定困惑。文章從經(jīng)典物理中易理解的光的單縫衍射條紋特點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)一步分析了量子力學(xué)中的不確定關(guān)系并展開討論，助力學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握。

[關(guān)鍵詞]光的單縫衍射;條紋特點(diǎn);動(dòng)量與坐標(biāo);不確定關(guān)系

[中圖分類號(hào)] O 413.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2021）10-0112-03

量子力學(xué)作為近代物理兩大支柱之一，其產(chǎn)生和發(fā)展都給經(jīng)典物理學(xué)帶來(lái)巨大的沖擊與變革，幾乎顛覆了以牛頓力學(xué)為代表的經(jīng)典物理理論，也不斷促使人們對(duì)物理的認(rèn)識(shí)不斷深入。可以說(shuō)，現(xiàn)代物理學(xué)的分支及相關(guān)的邊緣學(xué)科無(wú)一不是建立在量子力學(xué)基礎(chǔ)之上的[1]。

一、從經(jīng)典到量子的學(xué)習(xí)困惑

量子力學(xué)的研究對(duì)象主要是微觀世界物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，量子力學(xué)中許多概念與經(jīng)典物理有著根本性的區(qū)別，相應(yīng)的原理也自然不同， 如何“擺脫”經(jīng)典物理思想去理解量子力學(xué)是學(xué)生面臨的第一難題[2]。而且量子力學(xué)所包含的新概念、新思想與經(jīng)典力學(xué)差別大。普遍認(rèn)為量子力學(xué)提出的概念有悖于日常生活的物理直覺(jué)，初學(xué)者要拋棄原有經(jīng)典物理的一些觀點(diǎn)， 從不同角度重新理解自然界的本質(zhì)[3]。量子力學(xué)中很多理論難以與從日常生活經(jīng)驗(yàn)所得出的結(jié)論相對(duì)應(yīng)，而且有些理念往往與現(xiàn)實(shí)生活所得到的結(jié)論相違背，要讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)完成長(zhǎng)期以來(lái)形成的經(jīng)典物理理論向量子力學(xué)新理念的轉(zhuǎn)變，無(wú)疑是很難做到的，加之在對(duì)其學(xué)習(xí)的過(guò)程中需要一定的數(shù)學(xué)功底，使得大部分學(xué)習(xí)此科目的學(xué)生感到困難和迷惑，甚至有的學(xué)生在學(xué)了一段時(shí)期量子力學(xué)后仍對(duì)所學(xué)知識(shí)持懷疑態(tài)度。如何在有限的時(shí)間內(nèi)入門是初學(xué)者在由經(jīng)典向量子過(guò)渡過(guò)程中遇到的瓶頸。不確定關(guān)系（又稱測(cè)不準(zhǔn)原理）是德國(guó)物理學(xué)家海森堡于1927年進(jìn)行的量子物理實(shí)驗(yàn)得出，并因此獲得了1932年的諾貝爾物理獎(jiǎng)，這是由于微觀粒子具有波動(dòng)和粒子兩重性，體現(xiàn)在量子力學(xué)中，一個(gè)微粒的某些物理量，不可能同時(shí)具有確定的數(shù)值，其中一個(gè)量越確定，另一個(gè)量的不確定程度就越大，這就是測(cè)不準(zhǔn)原理[4]。坐標(biāo)是描述物體位置的物理量，動(dòng)量是指的物體的質(zhì)量與其速度的乘積，是一個(gè)表示物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量與坐標(biāo)是可以同時(shí)精確測(cè)定的，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、勢(shì)能等其他物理量是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，只要坐標(biāo)的動(dòng)量有確定的值，其他物理量的值也就確定了。故在經(jīng)典物理中，通常借助于質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和動(dòng)量（或速度）來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但對(duì)于微觀世界而言，例如電子，同時(shí)測(cè)量其位置和動(dòng)量卻成為不可能。海森堡所提出的量子不確定性原理和矩陣力學(xué)奠定了現(xiàn)代量子力學(xué)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并凸顯了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的本質(zhì)不同[5]。不確定關(guān)系作為量子力學(xué)基本原理作為量子力學(xué)的一個(gè)基本原理，原子零點(diǎn)振動(dòng)的存在就充分認(rèn)證了不確定關(guān)系的正確性。本文從經(jīng)典物理中的光的單縫衍射出發(fā)，通過(guò)類比和推導(dǎo)的方式來(lái)分析坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系，讓學(xué)生更好地理解量子力學(xué)的這一基本原理。

二、單縫衍射條紋特點(diǎn)

如圖1所示，是在實(shí)驗(yàn)室中夫瑯禾費(fèi)衍射裝置，其中L1和L2是兩個(gè)凸透鏡，接收屏幕位于透鏡L2的焦平面處，點(diǎn)光源通過(guò)透鏡L1折射后變?yōu)橐皇叫泄?，照在狹縫（衍射屏）上，狹縫開口處的波前向各個(gè)方向發(fā)出次波（衍射光線），方向相互平行的衍射光線在經(jīng)過(guò)透鏡L2后匯聚在其像方焦平面的同一點(diǎn)上。在研究這個(gè)問(wèn)題上，常用的方法是利用菲涅爾的子波波源思想將波陣面分割成多個(gè)面積相等的波帶，并且滿足相鄰波帶對(duì)應(yīng)的子波到觀察點(diǎn)的光程差為半個(gè)波長(zhǎng)（又稱之為菲涅爾半波帶法）。于是，偶數(shù)個(gè)半波帶相互干涉的總效果，是在觀察點(diǎn)相干減弱，使得觀察點(diǎn)呈現(xiàn)暗紋中心;若波面被分為奇數(shù)個(gè)半波帶，此時(shí)相鄰兩個(gè)半波帶上各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的子波相互干涉抵消后，只剩下一個(gè)半波帶的子波到達(dá)觀察點(diǎn)時(shí)沒(méi)有被抵消，因此觀察點(diǎn)一般是明紋中心，其結(jié)論如下[6]：

暗紋中心滿足： [Bsinθ=±2kλ2=±kλ，k=1，2，...] （1） ? ? ? ? 明紋中心滿足：[Bsinθ=±2k+1λ2，k=1，2，3...] ?（2）

通常情況下，單縫衍射條紋的衍射角很小，[sinθ≈tanθ]，則條紋在屏上距離中心的距離可表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[Y=ftanθ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

由式（1）-（3）可得，中央明紋寬度：

[ΔY0=2λfB] ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? （4）

其他明紋寬度： [ΔY=λfB] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

其中[B]為縫寬，[θ]為衍射角，規(guī)定豎直方向?yàn)閇y]方向。

由式（5）可以看出，對(duì)于一定頻率的入射光而言，縫寬與條紋寬度成反比，即：

[B↓→ΔY↑B↑→ΔY↓] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

這也與單縫衍射過(guò)程中所觀察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象相吻合。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)這一部分知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握情況遠(yuǎn)好于“不確定關(guān)系”，相關(guān)調(diào)研情況如下：

表1和圖2是所顯示的是對(duì)一個(gè)76人的教學(xué)班級(jí)調(diào)查情況，從圖表中的定量描述可以看出，采用如上所述的菲涅爾半波帶法，構(gòu)思非常巧妙，有效地避免了煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，便能得出單縫衍射條紋的特點(diǎn)，學(xué)生易理解，掌握情況也較好;而按照傳統(tǒng)的先后順序?qū)τ诓淮_定關(guān)系的授課效果就不樂(lè)觀。

三、單縫衍射與不確定關(guān)系對(duì)比分析

為了讓學(xué)生更好地理解坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系，下面從單縫衍射的條紋特點(diǎn)出發(fā)，用類比的方法分析量子力學(xué)中坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系。為了更加直觀，我們用如圖3表示的粒子單縫衍射光路，光粒子從位于凸透鏡焦點(diǎn)處點(diǎn)光源O發(fā)出后經(jīng)過(guò)凸透鏡折射，成為平行光，并以確定的動(dòng)量[P0]射向帶有單縫的屏，單縫處于y方向，令狹縫的寬度

[B≡Δy] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

顯然，式（7）決定了粒子坐標(biāo)在狹縫屏上在y方向上的變動(dòng)范圍，在其后的觀察屏出現(xiàn)的是衍射條紋，可以認(rèn)為，觀察屏上所顯示的衍射條紋的寬度，所體現(xiàn)的是粒子在y方向上的動(dòng)量[Py]的變化范圍[ΔPy]，由式（6）可知，狹縫越窄（即[Δy]越?。苌錀l紋的寬度就會(huì)越寬（即[ΔPy]越大）。對(duì)于一般的光的單縫衍射而言，其衍射角、波長(zhǎng)和狹縫寬度均有如下關(guān)系：

[α≈λ2πB=λ2πΔy] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

其中，[λ2π]又稱之為圓波長(zhǎng)。

在衍射角不太大時(shí)，衍射角與入射粒子的動(dòng)量[P0]及在[y]方向上的動(dòng)量變化范圍[ΔPy]的關(guān)系為：

[α≈ΔPyP0] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

由德布羅依關(guān)系可得[7]：

[λ=hP0] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

其中[h]為普朗克常數(shù)（[h≈6.626×10-34J?s]），由式（8）-（10），可得

[Δy?ΔPy≈h2π] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

通常情況下，如果把衍射圖樣的次級(jí)也納入考慮范圍之內(nèi)，式（11）應(yīng)修正為：

[Δy?ΔPy≥h2π] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

式（12）即為粒子在[y]方向上的坐標(biāo)與動(dòng)量的不確定關(guān)系。這表明：粒子的坐標(biāo)與動(dòng)量二者不能同時(shí)確定，也可以認(rèn)為，一個(gè)量越確定（即變化范圍越?。?，另一個(gè)量不確定程度就會(huì)越大（即變化范圍越大），即

[Δy↓→ΔPy↑Δy↑→ΔPy↓] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

對(duì)比式（6）與式（13）物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示：

通過(guò)表2中所示的單縫衍射和不確定關(guān)系各個(gè)物理量之間的對(duì)比可以通過(guò)對(duì)光的單縫衍射實(shí)驗(yàn)特點(diǎn)與規(guī)律更好的理解量子力學(xué)中的不確定關(guān)系，通過(guò)在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程當(dāng)中分析也易得，采用對(duì)比法的講解效果明顯優(yōu)越于傳統(tǒng)法，如下表3及圖4所示。

四、結(jié)束語(yǔ)

不確定關(guān)系反映了微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，是微觀粒子具有波動(dòng)性和粒子性兩重性的必然體現(xiàn)，也是物理學(xué)的重要原理之一，微觀粒子除了坐標(biāo)和動(dòng)量滿足不確定關(guān)系外，有些其他的物理量如方位角與動(dòng)量矩、時(shí)間和能量等也都滿足不確定性關(guān)系。其集中反映了量子力學(xué)規(guī)律的特點(diǎn)，規(guī)定了經(jīng)典力學(xué)軌道概念的適用程度[8]。在經(jīng)典力學(xué)看來(lái)，質(zhì)點(diǎn)都有一定的運(yùn)動(dòng)軌道，在任意時(shí)刻都有確定的位置和動(dòng)量，即[Δy=0]，[ΔPy=0];從不確定關(guān)系看來(lái)，粒子的位置越確定，即[Δy]越?。╗Δy→0]），動(dòng)量的漲落[ΔPy]就會(huì)越大（[ΔPy→∞]），反之，動(dòng)量測(cè)得越準(zhǔn)確（[ΔPy→0]），位置的測(cè)量不確定范圍就會(huì)越大（[Δy→∞]）。然而，在式（12）的限制下，如果[Δy]與[ΔPy]都很小，此時(shí)可以忽略不計(jì)，則軌道概念仍可近似成立，形成了由量子力學(xué)向經(jīng)典力學(xué)之間的過(guò)渡?？傊?，不確定度關(guān)系給我們指出了使用經(jīng)典粒子概念的一個(gè)限度，這個(gè)限度用Plank常量[h]來(lái)表征，當(dāng)[h→0]時(shí)，量子力學(xué)將回到經(jīng)典力學(xué)，或者說(shuō)量子效應(yīng)可以忽略[9]。不確定關(guān)系的確立，顯示并無(wú)絕對(duì)“客觀”，即與探測(cè)者完全無(wú)關(guān)的自然事物，它在很多領(lǐng)域中有其廣泛的應(yīng)用，如在理論前沿、科技、經(jīng)濟(jì)、哲學(xué)等方面[10]。在大學(xué)物理中有關(guān)近代物理的教學(xué)中，學(xué)生是否理解這一基本原理是其能否踏入量子之門的關(guān)鍵。在教學(xué)安排上，光的衍射部分在經(jīng)典物理的教授范圍，并且還配有相關(guān)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，是學(xué)生先行學(xué)到的內(nèi)容，且容易掌握，這樣通過(guò)對(duì)單縫衍射特點(diǎn)和規(guī)律來(lái)理解和掌握不確定關(guān)系，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、從而達(dá)到相應(yīng)的教學(xué)效果。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[2] 宮昊，程榮龍. 量子力學(xué)課程教學(xué)中的困惑與思考[J].廣西物理，2016（2）：42-44.

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[5] 肖運(yùn)龍. 量子測(cè)不準(zhǔn)原理以及單邊信息理論[R].廣州：華南理工大學(xué)，2017.

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[7] 蘇如鏗. 量子力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002：12.

[8] 錢伯初. 量子力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006：1.

[9] 曾謹(jǐn)言. 量子力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2013：10.

[10] 袁愛(ài)芳，劉迪迪. 淺析量子力學(xué)中的不確定性原理[J].大學(xué)物理，2011（11）：44-49.

[責(zé)任編輯：張 雷]

[收稿時(shí)間]2020-05-18

[基金項(xiàng)目]浙江省教育廳一般科研項(xiàng)目（Y201737504）。

[作者簡(jiǎn)介]張玉強(qiáng)（1977-），男，山東臨沂人，武警海警學(xué)院副教授，博士，主要從事量子物理研究和物理教學(xué)研究工作。