李賀，1977年9月生，男，本科學(xué)歷，中共黨員，中小學(xué)高級教師，江蘇師范大學(xué)附屬學(xué)校副校長，徐州市珠算協(xié)會副秘書長，一直負(fù)責(zé)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和珠心算教學(xué)，先后獲得徐州市“優(yōu)秀教育工作者”、江蘇省“優(yōu)秀輔導(dǎo)員”、江蘇省“優(yōu)秀珠心算教練”等稱號，榮獲三等功一次。其多次承擔(dān)國家、省市級課題研究任務(wù)，所在學(xué)校被評為江蘇省珠心算實驗學(xué)校和江蘇省珠心算教育實驗研究基地，所教學(xué)生先后在世界、國家、省級珠心算比賽中獲獎。

初中數(shù)學(xué)課程是一門邏輯課程，也是一門思維課程。在日常授課過程中，為了貼合學(xué)生的思維模式，教師一般采用正向思維進(jìn)行教學(xué)。但在實際解題過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有些問題不能用正向邏輯思維來解決，也就是說，采用慣性思維無法求解，需要借助逆向思維。

對大部分學(xué)生來說，使用逆向思維解題存在一定的困難，主要原因是他們對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握不牢固，應(yīng)用不靈活。所以，教師要通過訓(xùn)練使學(xué)生形成逆向思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，啟發(fā)學(xué)生的智力，提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

一、反例法，糾正錯誤結(jié)論

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，反例法是常用的逆向思維方法之一。初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，可能因為沒有真正掌握知識，也可能因為沒有全面理解問題，或者認(rèn)識不到知識點之間的聯(lián)系，在做題過程中思緒模糊、邏輯混亂，從而導(dǎo)致解題錯誤。針對學(xué)生的錯誤思路，教師可以利用反例法指導(dǎo)學(xué)生論證結(jié)論，這不僅可以幫助學(xué)生找到錯誤的根源，還可以幫助學(xué)生填補自己的知識漏洞，提高學(xué)生的解題能力。

例如，求解方程式.

學(xué)生解答，方程兩邊同時乘以1-x2

得

移項得

解得，

解答結(jié)束。

該題解答錯誤的原因是在和方程式相乘時，學(xué)生默認(rèn)（1-x2）因子是不為0的數(shù)，但在計算完成后，忘記驗證兩個結(jié)果對因子和方程式的影響。教師可以提醒學(xué)生，在求解方程式后，應(yīng)將結(jié)果帶入原式進(jìn)行驗算。學(xué)生在教師提醒后，通過計算發(fā)現(xiàn)，本題的結(jié)果只有一個值。所以，教師在教學(xué)中利用舉反例的方式，不僅能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，正確計算出結(jié)果，還能使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

二、逆推法，形成新的結(jié)構(gòu)

逆推法常用于運用正向思維無法直接計算，或者直接計算會消耗大量時間和精力的問題。解答這類問題的關(guān)鍵是感應(yīng)未知的結(jié)果，從結(jié)果推向已知的條件，或者從問題的結(jié)論入手尋找條件，形成新的結(jié)構(gòu)。所以，學(xué)生使用逆推法的前提是對相關(guān)知識點很熟悉，這樣才能根據(jù)題目條件聯(lián)想可能用到的定理、定義或公式。

例如，已知|a|<1，|b|<1，求證|a+b|<|1+ab|.

觀察該題目，條件是單向絕對值不等式，結(jié)論是雙向絕對值不等式。通過條件可知a和b兩個值的范圍，但無法獲知其真正的值。同時，該題目直接證明存在困難，不管從左到右還是從右到左，都無法進(jìn)行絕對值的合并計算。所以，在證明題目時，學(xué)生要認(rèn)真思考條件和結(jié)論的特點，既然從條件到結(jié)論無法直接推導(dǎo)，就可以嘗試從結(jié)論向條件推導(dǎo)，此時該題目就變成了，如果|a+b|<|1+ab|，那么|a|<1，|b|<1。

一般為了保證絕對值和不等式結(jié)果的恒定性，我們通常對非負(fù)不等式兩側(cè)進(jìn)行平方運算，

即（a+b）2<（1+ab）2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

展開得

a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2? ? ? ? ? ?（2）

移項得

a2+b2-a2b2-1<0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

分解因式得

（1-b2）（a2-1）<0? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

由式（4）可以很容易推出該題目的條件。

需要注意的是，在實際解題過程中，學(xué)生很少簡單運用探究式的正向解題方法，也較少單純使用逆向思維解題方法，一般是兩者結(jié)合使用。由此可見，將正向和逆向思維訓(xùn)練結(jié)合起來，更有助于提升學(xué)生的思維能力。所以，數(shù)學(xué)教師在日常授課過程中要注重講解和應(yīng)用逆推法。學(xué)生只有理解了逆推法的使用場合和常見模式，才能在做題時靈活切換正向思維和逆向思維。

三、反證法，證明假設(shè)失敗

反證法也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的逆向思維方法之一。反證法解題的原則是不直接從題設(shè)推出結(jié)論，而是從結(jié)論的反面出發(fā)，假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，在這個假定的條件下進(jìn)行一系列的求證或計算，最終得出一個矛盾的結(jié)論，并以此為條件否定假設(shè)的條件，從而證明所要證明的結(jié)論是正確的。所以，用反證法解答數(shù)學(xué)題，既容易也困難，學(xué)生只要找到相應(yīng)的命題就可以解答該數(shù)學(xué)題，但如果對相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識不熟悉，則無法解題。命題的尋找范圍比較廣，可以是定理、定義或公式，也可以是生活中相矛盾的事情，或者是與定理相矛盾的式子等。

例如，求證：三角形的三個角中至少有一個角不大于60°。

反證法的步驟如下：題目中結(jié)論為三角形的三個角中至少有一個角不大于60°，假設(shè)三角形的三個角都大于60°，進(jìn)行內(nèi)角和的加法運算，∠A+∠B+∠C>3×60°=180°。

三個內(nèi)角的和大于180°，與內(nèi)角和的定理矛盾，所以上述假設(shè)不成立，所以三角形中至少有一個角不大于60°。

反證法證明的要求較為嚴(yán)格，首先，必須理解“至多”“至少”概念，并能對其進(jìn)行正確的否定;其次，必須有明確的推理特點，雖然否定結(jié)論的目的是得出矛盾，但是矛盾出現(xiàn)的時間和式樣是不確定的，所以使用反證法推理數(shù)學(xué)證明題，必須嚴(yán)格遵守推理的規(guī)則，進(jìn)行有序和有據(jù)的推理，直到推出具體的矛盾，才能認(rèn)為推理結(jié)束。

反證法推理的矛盾是多種多樣的，可以與題設(shè)全部矛盾，也可以部分矛盾，當(dāng)然也可能是和已知的真命題矛盾等。相對其他逆推式算法，反證法具有更高的靈活性，對學(xué)生知識掌握程度提出了更高的要求。同時。反證法對學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性提出了更高的要求，學(xué)生只有完全掌握和熟悉定理、定義等內(nèi)容，才能說理清楚、論證嚴(yán)謹(jǐn)，進(jìn)而真正提高數(shù)學(xué)解題能力。

四、綜合法，學(xué)會執(zhí)因索果

執(zhí)因索果指的是從條件入手，逐步推導(dǎo)出所需要的結(jié)論，將其反映在解法上，通常稱為綜合法。這種方法的解題程序是從已知逐步推向未知，要求學(xué)生在實際計算分析過程中感受逆向思維的應(yīng)用，逐步培養(yǎng)逆向思維，從而拓展學(xué)生的解題思路，提升學(xué)生的解題能力。

例如，已知有a和b兩個正數(shù)，a≠b且a+b=1，試證明>4.

從已知條件進(jìn)行分析，條件包含三個內(nèi)容，分別是①a>0，b>0;②a≠b;③ a+b=1。

對結(jié)論進(jìn)行從左到右計算推導(dǎo)：

上式中等式成立的條件是，即a2=b2;

∵a和b都是正數(shù)，

∴a=b，此時.

但是題目要求a≠b，所以>4.

在該題目的論證計算過程中，學(xué)生既使用了正推法，又使用了逆推法，通過運用綜合性的解題方法完成題目的證明求解過程。

運用執(zhí)因索果的逆向分析法，對學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用能力提出了較高要求，不僅要求學(xué)生在解題過程中可以熟練利用題目中已知條件，還要求學(xué)生能夠靈活應(yīng)用定理和公式等內(nèi)容。

以上是筆者在日常教學(xué)中常用的四種數(shù)學(xué)解題方法，當(dāng)然還有其他方法，如綜合例證法等。不管采用哪種解題方法，目的都是培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)要求學(xué)生在實際解題過程中靈活應(yīng)用不同的方法，做到知其然并知其所以然，這樣才能使學(xué)生真正掌握多種解題方法，形成逆向思維，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，讓學(xué)生不僅能在數(shù)學(xué)解題中逆向思考，還能在其他課程中運用逆向思維進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，進(jìn)而提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

◎ 作者/李賀? 江蘇師范大學(xué)附屬學(xué)校