吳 山，何浩祥，周鈺婧

（北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124）

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是指在給定的約束條件下，按某種優(yōu)化目標(biāo)（如重量最輕、成本最低、剛度最大等）獲得最優(yōu)方案的設(shè)計(jì)方法。根據(jù)設(shè)計(jì)變量的類型，工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化可以分為不同的層次[1]:①尺寸優(yōu)化，在給定結(jié)構(gòu)類型、材料、布局和幾何尺寸的情況下，確定各構(gòu)件的最優(yōu)截面尺寸，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)，是難度較低、應(yīng)用最廣泛的優(yōu)化方式[2]；②形狀優(yōu)化，在限定物理參數(shù)范圍的前提下，將構(gòu)件的截面形狀、節(jié)點(diǎn)的空間位置以及連續(xù)體的形狀等作為設(shè)計(jì)變量，實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)區(qū)域幾何形狀的改變，從而優(yōu)化結(jié)構(gòu)力學(xué)性能；③拓?fù)鋬?yōu)化，以材料在設(shè)計(jì)域內(nèi)的空間分布作為設(shè)計(jì)變量，使結(jié)構(gòu)在指定條件下滿足性能需求或優(yōu)化準(zhǔn)則。結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解的方法大致包括準(zhǔn)則法、數(shù)學(xué)規(guī)劃法及智能算法等。準(zhǔn)則法是從工程需求出發(fā)提出結(jié)構(gòu)優(yōu)化應(yīng)滿足的力學(xué)準(zhǔn)則（如滿應(yīng)力準(zhǔn)則、剛度準(zhǔn)則和能量準(zhǔn)則等）并迭代求解的方法，是最基本的優(yōu)化求解方法。

大量研究表明:各層次結(jié)構(gòu)優(yōu)化的重要性是沒(méi)有絕對(duì)的高低之分的，應(yīng)根據(jù)工程需求、優(yōu)化目標(biāo)、優(yōu)化準(zhǔn)則和計(jì)算效率從各層次開(kāi)展協(xié)同研究才能真正實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。近年來(lái)，關(guān)于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的研究比較深入和豐富，并取得了一定應(yīng)用。但對(duì)于實(shí)際結(jié)構(gòu)而言，區(qū)域邊界需要保持光滑的連續(xù)性條件，優(yōu)化的形狀邊界也需具有足夠的可制造性，而拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)于關(guān)注材料分布卻并未充分考慮實(shí)際條件的限定，加之考慮的荷載工況較單調(diào)，故其工程可行性偏弱。因此，基于工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)特征、普遍需求和優(yōu)化準(zhǔn)則，探究連續(xù)體的截面及形狀優(yōu)化的理論形式和力學(xué)解析解具有重要的理論和工程價(jià)值。

此外，在諸多優(yōu)化準(zhǔn)則中，滿應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是最受關(guān)注的，其主要思想是在指定受力模式下使結(jié)構(gòu)的每個(gè)構(gòu)件或部分均達(dá)到承載力極限或設(shè)計(jì)容許值，從而使構(gòu)件的強(qiáng)度得到充分利用[3]。在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)截面尺寸和形狀優(yōu)化研究中，應(yīng)優(yōu)先考慮滿足滿應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，以避免出現(xiàn)因應(yīng)力集中導(dǎo)致的局部變形過(guò)大或薄弱層破壞。在目前的研究中，通常采用容許應(yīng)力法或彈性狀態(tài)假定認(rèn)為結(jié)構(gòu)始終處于彈性狀態(tài)而進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在此條件下滿應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則等效為等強(qiáng)度準(zhǔn)則或等應(yīng)力準(zhǔn)則。關(guān)于滿足等應(yīng)力準(zhǔn)則的構(gòu)件或簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究取得了大量成果。例如，在簡(jiǎn)單荷載下的矩形截面懸臂梁和簡(jiǎn)支梁的等應(yīng)力優(yōu)化已經(jīng)較成熟，基于多種拓?fù)溲莼呗缘钠矫婵蚣堋㈣旒芑蚝?jiǎn)單塔架的等應(yīng)力優(yōu)化也取得較令人滿意的效果[4]。

需要指出的是，由于工程結(jié)構(gòu)通常會(huì)承受地震、風(fēng)荷載和其他隨機(jī)荷載的作用，且當(dāng)激勵(lì)幅值較大時(shí)結(jié)構(gòu)的材料很可能進(jìn)入彈塑性狀態(tài)并產(chǎn)生性能退變和較大變形，因此這些作用成為滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需求的決定性荷載模式，相比簡(jiǎn)單荷載情況，其優(yōu)化設(shè)計(jì)研究更有理論意義。此外，若結(jié)構(gòu)在接近臨界破壞彈塑性應(yīng)力時(shí)也較均勻，其各處的損傷也將較接近，因此面向滿應(yīng)力準(zhǔn)則的結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果也可為面向損傷的結(jié)構(gòu)抗振設(shè)計(jì)提供初始優(yōu)化結(jié)果，具有良好的工程意義。然而，目前在力學(xué)分析和優(yōu)化領(lǐng)域，為了簡(jiǎn)化分析通常將材料本構(gòu)假定為線性形式，不考慮剛度退化等非線性特性，即并沒(méi)有真正實(shí)現(xiàn)滿應(yīng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)。因此，對(duì)復(fù)雜劇烈荷載下的非線性結(jié)構(gòu)滿應(yīng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)是十分必要的。

綜上所述，面向?qū)嶋H荷載及材料特性的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)尚主要存在以下不足:①等應(yīng)力和等強(qiáng)度設(shè)計(jì)理念通常被用于簡(jiǎn)單荷載下的構(gòu)件優(yōu)化層面，對(duì)復(fù)雜荷載下的結(jié)構(gòu)整體優(yōu)化設(shè)計(jì)的探究和應(yīng)用不夠深入和全面；②缺乏基于滿應(yīng)力理念的連續(xù)懸臂梁結(jié)構(gòu)最優(yōu)截面尺寸分布的力學(xué)機(jī)理研究，從而無(wú)法為復(fù)雜荷載下結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供堅(jiān)實(shí)準(zhǔn)確的精細(xì)化解析方法和公式；③缺乏對(duì)材料非線性結(jié)構(gòu)的滿應(yīng)力設(shè)計(jì)研究，不能滿足實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的彈塑性損傷設(shè)計(jì)需求和實(shí)用性需求。

有鑒于此，本文將諸如連續(xù)塔式結(jié)構(gòu)和高層建筑結(jié)構(gòu)等工程結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為非線性連續(xù)變截面懸臂桿結(jié)構(gòu)，通過(guò)構(gòu)建不同的彎矩表達(dá)形式來(lái)求得最優(yōu)截面尺寸解析解，采用通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲得的二次多項(xiàng)式表征材料非線性本構(gòu)，分別對(duì)圓形、矩形、圓環(huán)形和箱形截面懸臂桿在均布荷載、倒三角荷載和與慣性力相關(guān)荷載作用下的最優(yōu)截面尺寸分布公式進(jìn)行推導(dǎo)求解，得到完全解析解及最優(yōu)剛度分布解析表達(dá)，之后通過(guò)有限元分析對(duì)以上理論方法和結(jié)果進(jìn)行了充分驗(yàn)證。

必須指出的是，由于實(shí)際高層建筑結(jié)構(gòu)構(gòu)件種類繁多，結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，僅從力學(xué)優(yōu)化角度難以獲得最優(yōu)抗側(cè)剛度分布解析解，需要迭代算法對(duì)其進(jìn)行深度優(yōu)化設(shè)計(jì)，故本文基于力學(xué)理論對(duì)簡(jiǎn)化模型進(jìn)行理論分析，得到了最優(yōu)截面尺寸分布和最優(yōu)抗側(cè)剛度分布解析解，該結(jié)果主要可用于對(duì)諸如塔式結(jié)構(gòu)等連續(xù)懸臂結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，同時(shí)可為工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供初始優(yōu)化解，提高優(yōu)化效率。

1 不同荷載形式下非線性結(jié)構(gòu)最優(yōu)截面尺寸分布解析

1.1 結(jié)構(gòu)截面形式、荷載分布模式與材料本構(gòu)

工程結(jié)構(gòu)在外部激勵(lì)下發(fā)生的位移和損傷通常與結(jié)構(gòu)的剛度分布和質(zhì)量分布等因素密切相關(guān)。經(jīng)過(guò)合理設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)剛度通常是沿高度方向連續(xù)變化的。連續(xù)體等應(yīng)力優(yōu)化理論主要適用于水塔、煙囪等構(gòu)筑物和塔式結(jié)構(gòu)，對(duì)于高層和超高層建筑，其樓板約束作用影響較小，其結(jié)構(gòu)在水平荷載下以彎曲變形為主，因此也基本適用[5]。根據(jù)高層建筑物或構(gòu)筑物不同的結(jié)構(gòu)形式和工程需求，等效懸臂桿截面形式可包括圓環(huán)形、圓形、箱形和矩形等，其中圓形和矩形截面的最優(yōu)尺寸分布公式可以由圓環(huán)形和箱形截面的公式表示，因此本文主要對(duì)圓環(huán)形和箱形截面的情況進(jìn)行解析。在最優(yōu)截面尺寸分布的基礎(chǔ)上，提出最優(yōu)剪切剛度和彎曲剛度分布，對(duì)實(shí)際工程設(shè)計(jì)和規(guī)范修訂提供參考。

工程結(jié)構(gòu)在不同荷載形式下的最優(yōu)截面尺寸分布和最優(yōu)剛度分布是不同的。風(fēng)荷載和地震作用是使建筑結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞或損傷的常見(jiàn)不利作用。鐘振宇等[6]考慮風(fēng)重耦合效應(yīng)，推導(dǎo)了沿高度方向的等效靜力風(fēng)荷載分布，結(jié)果表明等效靜力風(fēng)荷載的分布形式非常接近倒三角形；當(dāng)僅考慮第一振型時(shí)，地震作用可以等效為倒三角水平荷載；當(dāng)考慮全部振型時(shí)，可將地震作用簡(jiǎn)化為均布荷載或與慣性力相關(guān)荷載[7]。為了全面考慮風(fēng)荷載和地震作用，本文考慮均布荷載、倒三角荷載和與慣性力相關(guān)荷載三種水平荷載形式。

以滿應(yīng)力為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅要求結(jié)構(gòu)在彈性階段實(shí)現(xiàn)等應(yīng)力，更重要的是結(jié)構(gòu)在塑性狀態(tài)下的應(yīng)力相等或相近。目前相關(guān)領(lǐng)域的研究為了計(jì)算簡(jiǎn)便，材料本構(gòu)多假定為線性形式，不考慮剛度退化等非線性力學(xué)特性，實(shí)際工程多為鋼-混凝土結(jié)構(gòu)或鋼結(jié)構(gòu)，采用線性材料的研究往往難以應(yīng)用于實(shí)際。為了確保研究在工程中的適用性和可行性，懸臂桿采用均質(zhì)非線性材料。

1.2 優(yōu)化問(wèn)題描述

在地震動(dòng)和風(fēng)荷載作用下，對(duì)于高層建筑結(jié)構(gòu)，在各層應(yīng)力水平不超過(guò)限值的情況下，希望其應(yīng)力沿結(jié)構(gòu)高度方向的分布盡量均勻。通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)截面尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，以達(dá)到上述優(yōu)化目標(biāo)。該優(yōu)化問(wèn)題可以表述為

式中:Si為結(jié)構(gòu)第i層截面尺寸；σi為結(jié)構(gòu)第i層的應(yīng)力值；[σ]為結(jié)構(gòu)應(yīng)力允許值；n為結(jié)構(gòu)層數(shù)；t為時(shí)間；T為外荷載持時(shí)。

1.3 圓環(huán)形變截面懸臂桿最優(yōu)截面尺寸分布

1.3.1 均布荷載下懸臂桿最優(yōu)截面尺寸分布

大量試驗(yàn)結(jié)果表明結(jié)構(gòu)中的鋼筋混凝土可以等效為一種拉壓同性的復(fù)合材料[8]，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以通過(guò)非線性函數(shù)表征。設(shè)該材料本構(gòu)關(guān)系為

式中，σ和ε為材料受壓產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變。受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€方程可采用Hognestad建議的混凝土多項(xiàng)式表達(dá)式，其對(duì)鋼筋混凝土等復(fù)合材料也具有較好的通用性。假定等效復(fù)合材料為各向同性，即受拉和受壓時(shí)有相同的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€，有

式中，a和b為待定系數(shù)。該表達(dá)式代表的材料應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€包括上升段和下降段，是材料真實(shí)力學(xué)性能的全面宏觀反應(yīng)。

首先對(duì)均布荷載作用下圓環(huán)形變截面梁的最優(yōu)截面尺寸分布進(jìn)行求解，將結(jié)構(gòu)等效為懸臂桿，桿件采用均質(zhì)非線性材料，受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€由式（3）表示。計(jì)算模型如圖1所示，取懸臂桿軸線為x軸，橫截面對(duì)稱軸為y軸，中性軸為z軸。

圖1 力學(xué)模型示意圖Fig.1 Mechanical model

首先，通過(guò)任意截面下由外荷載形成的彎矩與由梁截面尺寸與彎曲應(yīng)變表示的彎矩相等的原則，建立彎矩平衡方程。以此原則優(yōu)化后的懸臂桿結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下沿高度方向彎曲應(yīng)變相等，因結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的應(yīng)變以彎曲應(yīng)變?yōu)橹?，故近似得Mises應(yīng)變也是相等的，后文有限元驗(yàn)證提取了結(jié)構(gòu)的Mises應(yīng)變，對(duì)該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。相應(yīng)的彎矩平衡方程為[9-10]

式中:M1為由梁截面尺寸與應(yīng)變表示的彎矩公式；M2（x）為由外荷載表示的彎矩公式。對(duì)M1和M2（x）分別進(jìn)行推導(dǎo)。

懸臂桿結(jié)構(gòu)在小變形時(shí)，服從平面變形假定

式中:y為縱軸坐標(biāo)；ρ為曲率半徑；d為圓形橫截面外直徑；d′為內(nèi)直徑；設(shè) σ1，σ2，ε1，ε2和 σ′1，σ′2，ε′1，ε′2分別為橫截面內(nèi)外壁距離中性軸最遠(yuǎn)兩處的應(yīng)力和應(yīng)變，即截面中外壁和內(nèi)壁的最大應(yīng)力和應(yīng)變，則橫截面彎矩可寫成

式中，A為截面微面積。由式（5）及材料拉壓性質(zhì)對(duì)稱[11]可知，式（6） 可寫為

對(duì)ε進(jìn)行換元，設(shè)

則式（7）可寫為

設(shè)

當(dāng)α=0時(shí)，截面為圓形。對(duì)式（9）和式（10）整理可得

當(dāng)懸臂桿結(jié)構(gòu)承受水平荷載作用時(shí)，在任意高度x處由均布荷載q引起的彎矩M2（x）為[12]

式中，H為結(jié)構(gòu)總高度。將式（11）、式（12） 代入式（4）

式（13）為圓環(huán)形截面懸臂桿結(jié)構(gòu)在均布荷載作用下最優(yōu)截面尺寸分布解析解，截面尺寸滿足式（13）的懸臂桿結(jié)構(gòu)在均布荷載作用下，各截面內(nèi)最大應(yīng)力和應(yīng)變相等。

1.3.2 倒三角荷載下懸臂桿最優(yōu)截面尺寸分布

倒三角荷載頂部的荷載集度為qmax，底部為0，當(dāng)作用于懸臂桿結(jié)構(gòu)時(shí)，荷載產(chǎn)生的彎矩為[13]

圓環(huán)形截面懸臂桿截面內(nèi)彎矩為式（11），再通過(guò)與式（14）相等建立彎矩平衡方程，可以解得最優(yōu)截面直徑分布為

1.3.3 與慣性力相關(guān)荷載下懸臂桿最優(yōu)截面尺寸分布

當(dāng)圓環(huán)形截面變截面懸臂桿結(jié)構(gòu)承受與慣性力相關(guān)荷載時(shí)，荷載集度可表示為

式中:ρ為等效面密度；λ為質(zhì)量相關(guān)系數(shù)，用來(lái)控制荷載幅值。由于與慣性力相關(guān)荷載集度與截面面積有關(guān)，而截面尺寸尚且未知，為了求解荷載作用產(chǎn)生的彎矩，進(jìn)行如下假設(shè)

結(jié)構(gòu)任一高度x截面內(nèi)由于與慣性力相關(guān)荷載作用產(chǎn)生的彎矩可以表示為

圓環(huán)形截面內(nèi)的彎矩可以表示為（11），與式（18）相等，可得

易知式（19） 為y″=f（x，y） 型高階微分方程，屬不可解類型，故考慮采用假設(shè)截面尺寸函數(shù)的方法進(jìn)行求解。

由文獻(xiàn)[14]可知，懸臂桿截面形式按照下式分布有利于實(shí)現(xiàn)在與慣性相關(guān)荷載作用下的等位移原則，其高度分布函數(shù)為

圖2 與慣性力相關(guān)荷載下的懸臂桿模型Fig.2 Cantilever bar model under inertial force-related load

圓環(huán)形截面懸臂桿在與慣性力相關(guān)荷載的作用下，任意高度x截面內(nèi)的彎矩為

圓環(huán)形截面的彎矩可以表示為

令式（22） 與式（21） 相等，得

因此，圓環(huán)形截面懸臂桿在與慣性力相關(guān)荷載作用下最優(yōu)截面直徑分布為

圓環(huán)形截面懸臂桿截面尺寸按照式（25）分布，可以實(shí)現(xiàn)與慣性力相關(guān)荷載作用下的等應(yīng)力原則。

1.4 箱形變截面懸臂桿最優(yōu)截面尺寸分布

箱形最優(yōu)截面尺寸分布和圓環(huán)形截面采用相同的原理，過(guò)程不再詳細(xì)描述。箱形外截面寬度B保持不變，對(duì)外截面高度h進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)h（x）為截面高度隨結(jié)構(gòu)高度變化的函數(shù)并求解析解，且有

式中:B′為箱形內(nèi)截面寬度；h′為箱形內(nèi)截面高度。

均布荷載下箱形截面結(jié)構(gòu)最優(yōu)截面尺寸分布函數(shù)為

倒三角荷載下，箱形截面結(jié)構(gòu)最優(yōu)截面尺寸分布函數(shù)為

與慣性力相關(guān)荷載作用下，箱形截面結(jié)構(gòu)最優(yōu)截面尺寸分布為

2 基于有限元的驗(yàn)證分析

2.1 非線性材料本構(gòu)

為了驗(yàn)證本文所建立的理論方法和解析結(jié)果的正確性，需確定具體的材料非線性本構(gòu)模型取值并進(jìn)行彈塑性有限元分析。對(duì)于式（3）中的非線性材料本構(gòu)參數(shù)，可根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合確定。本文選擇文獻(xiàn)[15]中大尺寸鋼筋混凝土軸心受壓試驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)確定。試驗(yàn)中S30-400試件長(zhǎng)1 800 mm，正方形截面尺寸400 mm×400 mm，長(zhǎng)細(xì)比4.5，混凝土強(qiáng)度設(shè)計(jì)等級(jí)為C30，實(shí)測(cè)棱柱體抗壓強(qiáng)度22.3 MPa，縱筋采用HRB335鋼筋，實(shí)測(cè)屈服強(qiáng)度408 MPa，縱筋等效配筋率2.51%，加載制度為擬靜力加載，對(duì)S30-400試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，從而確定式（3）中的待定系數(shù)a和b，擬合效果如圖3所示。式（3）擬合結(jié)果為

圖3 材料本構(gòu)曲線擬合效果Fig.3 Fitting effect of material constitutive curve

式（31）可視為普通鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)采用的等效復(fù)合材料受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€表達(dá)式。

2.2 靜力驗(yàn)證分析

上文對(duì)圓環(huán)形、箱形截面非線性懸臂桿在均布荷載、倒三角荷載和與慣性力相關(guān)荷載作用下的最優(yōu)截面尺寸公式進(jìn)行了推導(dǎo)求解，并得到解析解。但公式在結(jié)構(gòu)處于彈性階段及彈塑性階段下的正確性及精度有待進(jìn)一步驗(yàn)證。利用ANSYS有限元平臺(tái)對(duì)截面尺寸按照上文公式分布的變截面非線性懸臂桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析。

懸臂桿結(jié)構(gòu)的基本設(shè)計(jì)參數(shù)為:結(jié)構(gòu)總高度H為20 m，非線性材料初始彈性模量25.94 GPa，泊松比0.3，有限元模型沿結(jié)構(gòu)高度方向均勻設(shè)置了21個(gè)節(jié)點(diǎn)，懸臂桿底面與地面固接，每個(gè)節(jié)點(diǎn)處布置一個(gè)截面，截面尺寸按照上節(jié)公式的結(jié)果設(shè)置，采用Beam188梁?jiǎn)卧?，該單元適合模擬Timoshenko梁，考慮剪切變形的影響，每個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間設(shè)置taper變截面梁?jiǎn)卧?。按照求得的解析解，懸臂桿頂部截面面積應(yīng)為0，然而ANSYS中梁?jiǎn)卧辉试S出現(xiàn)面積為0的截面，因此設(shè)頂部截面面積略大于0。材料本構(gòu)采用KINH多線性隨動(dòng)強(qiáng)化模型，考慮包辛格效應(yīng)，設(shè)置了11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，包含了上升段、峰值點(diǎn)和下降段，以便對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不同應(yīng)變的情況進(jìn)行模擬，驗(yàn)證公式的適用性和準(zhǔn)確性。

對(duì)圓環(huán)形、箱形截面懸臂桿在均布荷載、倒三角荷載和與慣性力相關(guān)荷載作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行分析，分為截面最大正應(yīng)變分別為0.001，0.002和0.003的情況討論，一共建立了7個(gè)懸臂桿結(jié)構(gòu)模型，設(shè)計(jì)參數(shù)和工況如表1所示。

表1 懸臂桿結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)和工況Tab.1 Design parameters and working conditions of cantilever structures

由于材料本構(gòu)中應(yīng)力與應(yīng)變一一對(duì)應(yīng)，因此可以用應(yīng)變分布表征應(yīng)力分布，同時(shí)為了對(duì)比設(shè)計(jì)正應(yīng)變g（σ1）與實(shí)際應(yīng)變，故提取加載后有限元模型的Mises應(yīng)變?cè)茍D，如圖4所示。由結(jié)果可見(jiàn):若按相應(yīng)的理論公式設(shè)置截面尺寸，變截面連續(xù)懸臂桿結(jié)構(gòu)的確能夠在各截面均能實(shí)現(xiàn)滿應(yīng)力分布，并且適用于結(jié)構(gòu)的彈性和塑性階段，驗(yàn)證了公式中關(guān)鍵參數(shù)的正確性。應(yīng)變?cè)茍D中結(jié)構(gòu)頂部出現(xiàn)一定程度的應(yīng)力集中，原因是在模型頂部設(shè)置了一個(gè)略大于0的面積后，該局部的實(shí)際值和理論值產(chǎn)生了誤差。

圖4 結(jié)構(gòu)應(yīng)變?cè)茍DFig.4 Strain nephogram of specimens

提取加載后結(jié)構(gòu)全部單元的最大應(yīng)變，如圖5所示，所有構(gòu)件應(yīng)變?cè)茍D趨勢(shì)類似，高度15 m以下部分的應(yīng)變均小于設(shè)計(jì)正應(yīng)變g（σ1），這是由于有限元中提取的是Mises應(yīng)變，結(jié)構(gòu)橫截面正應(yīng)變是影響Mises應(yīng)變的主要因素，因此Mises應(yīng)變雖然分布均勻但在幅值上與正應(yīng)變存在差異，此外，taper變截面梁?jiǎn)卧舷陆孛嬷g存在線性變化，這與最優(yōu)截面尺寸分布解析解之間存在一定誤差。

圖5 結(jié)構(gòu)應(yīng)變分布Fig.5 Strain distribution of specimens

為了驗(yàn)證優(yōu)化設(shè)計(jì)效果，在最大應(yīng)變?yōu)?.001的情況下，將均布荷載作用下未經(jīng)過(guò)優(yōu)化的等截面懸臂桿結(jié)構(gòu)與優(yōu)化過(guò)的變截面懸臂桿結(jié)構(gòu)HU1進(jìn)行對(duì)比，等截面結(jié)構(gòu)底面直徑8 m，HU1底面直徑9.38 m，α均取0.9。有限元模型參數(shù)除截面變化規(guī)律外與優(yōu)化過(guò)的結(jié)構(gòu)保持相同。另外，由于HU1出現(xiàn)頂部應(yīng)力集中現(xiàn)象，設(shè)置一個(gè)頂部截面增大的構(gòu)件，該構(gòu)件頂部圓形截面直徑0.085 m，HU1頂部截面直徑0.05 m，其余參數(shù)相同，三者對(duì)比結(jié)果如圖6所示。

圖6 未優(yōu)化結(jié)構(gòu)與優(yōu)化結(jié)構(gòu)對(duì)比結(jié)果Fig.6 Comparison of optimized structure

從圖6中可以看出，未經(jīng)過(guò)優(yōu)化的等截面懸臂桿結(jié)構(gòu)應(yīng)變呈明顯的非均勻分布，底部應(yīng)變大，隨著結(jié)構(gòu)高度增加，逐漸趨近于零，而優(yōu)化過(guò)的變截面懸臂桿HU1雖然從15 m高度往上應(yīng)變逐漸非線性增大，頂部出現(xiàn)一定的應(yīng)力集中，但15 m以下應(yīng)變基本相等，并且頂部應(yīng)力集中現(xiàn)象可以通過(guò)增大頂部截面面積的方法解決，等截面結(jié)構(gòu)體積為100.48 m3，應(yīng)變分布均方差為4.5×10-4，頂部加強(qiáng)結(jié)構(gòu)體積為85.56 m3，應(yīng)變分布標(biāo)準(zhǔn)差為3.07×10-6，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積減少了14.8%，應(yīng)變分布明顯更均勻，充分證明了該優(yōu)化方法的優(yōu)越性。

需要指出的是，在均布荷載和倒三角荷載作用下可以實(shí)現(xiàn)滿應(yīng)力準(zhǔn)則的結(jié)構(gòu)外觀呈“外凸”型，而在與慣性力相關(guān)荷載作用下則呈“內(nèi)凹”型，兩者截然不同，懸臂桿結(jié)構(gòu)模型如圖7所示。在實(shí)際工程中，均布荷載（倒三角荷載）和與慣性力相關(guān)荷載可能共同作用于結(jié)構(gòu)，可以根據(jù)不同的工程需求對(duì)兩者賦予不同權(quán)重，如圓環(huán)形結(jié)構(gòu)最優(yōu)截面尺寸分布按式（32）計(jì)算

式中，?W和?E分別為倒三角荷載和與慣性力相關(guān)荷載的權(quán)重系數(shù)，?W+?E=1。當(dāng)?W=?E=0.5時(shí)，懸臂桿模型如圖7（c）所示。

圖7 變截面懸臂桿有限元模型Fig.7 Finite element model of variable section cantilever

2.3 動(dòng)力驗(yàn)證分析

前述研究是在靜力學(xué)基礎(chǔ)上對(duì)地震動(dòng)和風(fēng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的截面尺寸分布進(jìn)行優(yōu)化。為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果在動(dòng)力作用下的準(zhǔn)確性，對(duì)前文中頂部加強(qiáng)的懸臂桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析。將優(yōu)化后的圓環(huán)形和箱形截面懸臂結(jié)構(gòu)和未優(yōu)化過(guò)的等截面懸臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，對(duì)所有結(jié)構(gòu)基底輸入單向El Centro地震波，時(shí)間間隔0.02 s，持時(shí)15 s。由于在2.14 s時(shí)地震波加速度時(shí)程達(dá)到峰值，5.50 s時(shí)位移時(shí)程達(dá)到峰值，因此提取以上兩個(gè)時(shí)刻的結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)變，結(jié)果如圖8和圖9所示。分析結(jié)果可發(fā)現(xiàn):在經(jīng)過(guò)頂部加強(qiáng)后，優(yōu)化后圓形和箱形截面懸臂桿在地震作用下的應(yīng)變分布均勻，均實(shí)現(xiàn)了滿應(yīng)力準(zhǔn)則；而未優(yōu)化的等截面懸臂結(jié)構(gòu)的應(yīng)變分布則從底部到頂部非線性減小，應(yīng)變分布離散性遠(yuǎn)大于優(yōu)化后的懸臂桿結(jié)構(gòu)。經(jīng)進(jìn)一步分析結(jié)果可確認(rèn)優(yōu)化結(jié)構(gòu)的應(yīng)變分布規(guī)律在任何時(shí)刻均相似，充分實(shí)現(xiàn)了滿應(yīng)力準(zhǔn)則。綜上，按與慣性力相關(guān)荷載進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)構(gòu)，在動(dòng)力作用下也實(shí)現(xiàn)了滿應(yīng)力準(zhǔn)則，且不同截面的優(yōu)化結(jié)果均具有良好效果。

圖8 地震動(dòng)加速度最大峰值時(shí)結(jié)構(gòu)應(yīng)變分布Fig.7 Strain distribution under peak ground acceleration

圖9 震動(dòng)位移最大峰值時(shí)結(jié)構(gòu)應(yīng)變分布Fig.9 Strain distribution under peak ground displacement

3 結(jié)構(gòu)最優(yōu)剛度分析

上文推導(dǎo)出了均布荷載、倒三角荷載和與慣性力相關(guān)荷載作用下圓環(huán)形、箱形截面懸臂桿結(jié)構(gòu)的最優(yōu)截面尺寸分布公式，并基于ANSYS有限元平臺(tái)驗(yàn)證了按照該公式布置截面的結(jié)構(gòu)可以在相應(yīng)工況下實(shí)現(xiàn)滿應(yīng)力準(zhǔn)則。其剪切剛度和彎曲剛度計(jì)算公式如下

按照式（33）和式（34）計(jì)算各種工況下公式對(duì)應(yīng)的剛度，此結(jié)果可供實(shí)際工程設(shè)計(jì)和規(guī)范修訂參考。

均布荷載作用下，圓環(huán)形截面懸臂桿剪切剛度和彎曲剛度為

倒三角荷載作用下，圓環(huán)形截面懸臂桿剪切剛度和彎曲剛度為

與慣性力相關(guān)荷載作用下，圓環(huán)形截面懸臂桿剪切剛度和彎曲剛度為

箱形截面懸臂桿結(jié)構(gòu)的剪切剛度和彎曲剛度同理，不再贅述。

本文的理論方法和優(yōu)化結(jié)果適用于諸如塔式結(jié)構(gòu)和煙囪等連續(xù)體的靜動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)，也較適用于高細(xì)比較大的高層建筑等工程結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)不必拘泥于截面固有形式，可根據(jù)結(jié)構(gòu)截面尺寸或剛度的優(yōu)化解析解進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，并可進(jìn)一步通過(guò)調(diào)整抗側(cè)力構(gòu)件配筋和局部桿件截面尺寸等方式靈活調(diào)整結(jié)構(gòu)抗側(cè)剛度分布，使結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)與理論優(yōu)化結(jié)果相近，實(shí)現(xiàn)滿應(yīng)力準(zhǔn)則。與拓?fù)鋬?yōu)化相比，本文方法不以材料取舍為手段，相應(yīng)結(jié)果的區(qū)域邊界滿足連續(xù)性條件，更符合實(shí)際條件需求和限制，具有更好的工程可行性。此外，與何浩祥等以相對(duì)位移相等為優(yōu)化目標(biāo)的方法相比，本文結(jié)果與之相近但有所差別，且從材料應(yīng)力水平真正實(shí)現(xiàn)了滿應(yīng)力分布，因此具有更嚴(yán)密的力學(xué)依據(jù)。

4 結(jié) 論

將工程結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為圓環(huán)形、箱形截面懸臂桿結(jié)構(gòu)，以等應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。將風(fēng)荷載和地震作用等激勵(lì)簡(jiǎn)化為均布荷載、倒三角荷載和與慣性力相關(guān)荷載，建立彎矩平衡方程求解，得到最優(yōu)截面尺寸解析解，并獲得最優(yōu)剪切剛度和彎曲剛度分布。通過(guò)有限元模擬驗(yàn)證了解析解的正確性和適用性。得到以下結(jié)論:

（1）在彈性和彈塑性階段，在指定荷載模式下的懸臂桿截面尺寸沿高度按本文獲得的理論分布函數(shù)進(jìn)行設(shè)置可以實(shí)現(xiàn)滿應(yīng)力。

（2）均布荷載和倒三角荷載作用下，按等應(yīng)力理念優(yōu)化設(shè)計(jì)的懸臂桿結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)“外凸”形狀，而與慣性力相關(guān)荷載作用下的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)“內(nèi)凹”形狀，兩者截然相反，實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)往往受到多種荷載同時(shí)作用，可以根據(jù)當(dāng)?shù)氐墓こ绦枨髮?duì)不同荷載的結(jié)果賦予不同權(quán)重進(jìn)而獲得組合荷載下的優(yōu)化結(jié)果。

（3）基于ANSYS有限元平臺(tái)，對(duì)各種工況下的懸臂桿最優(yōu)截面尺寸公式分別進(jìn)行了靜力和動(dòng)力優(yōu)化驗(yàn)證。在靜荷載作用下，按等應(yīng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)的懸臂桿結(jié)構(gòu)在彈性和彈塑性狀態(tài)下除頂部出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象外，其余部分均處于等應(yīng)力狀態(tài)，頂部應(yīng)力集中問(wèn)題可以通過(guò)增大頂部截面的方法解決。頂部經(jīng)過(guò)加強(qiáng)后，按與慣性力相關(guān)荷載作用下優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)處于等應(yīng)力狀態(tài)，因此優(yōu)化結(jié)果在動(dòng)力荷載作用下同樣有良好的效果。