王兵賢, 徐 梅, 張弘毅

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 淮安 2233000)

0 引言

現(xiàn)代科學(xué)、技術(shù)、工程中的大量數(shù)學(xué)模型都可以用微分方程來(lái)描述,較多近代自然科學(xué)的基本方程本身就是微分方程.因此,科學(xué)和工程計(jì)算的一個(gè)主要任務(wù)也是求解微分方程的(特別是偏微分方程)定解問(wèn)題.然而,由于較多背景意義下的偏微分方程,譬如流體力學(xué)問(wèn)題往往不定常的、非線性的,加上黏性、湍流和激波等復(fù)雜的現(xiàn)象.因此,較多偏微分方程的解較難用解析形式來(lái)表示,從而也涌現(xiàn)出了較多有效的近似數(shù)值解法[1-6],包括有限差分方法、基本解方法、邊界元、有限元方法以及同倫方法等等,但對(duì)于一些偏微分方程,特別是非線性發(fā)展方程,其收斂性和穩(wěn)定性結(jié)果分析是近似數(shù)值解法研究中一個(gè)比較困難的.

基于此,本文研究如下偏微分方程初值問(wèn)題:

utt=F(ut,u,ux,uxx,…)

(1)

u(x,0)=φ0(x),ut(x,0)=φ1(x)

(2)

如果F(ut,u,ux,uxx,…)=uxx,則方程(1)為典型的雙曲型方程,如果F(ut,u,ux,uxx,…)=-ut+uxx+G(u),則方程(1)為典型的電報(bào)方程[7-8].而且,G(u)不同,所描述的物理背景也不同.本文考慮一種近似解析解法,該解法對(duì)于G(u)是非線性項(xiàng)時(shí)也是有效的.

1 近似解析方法

下面介紹近似解析方法的具體過(guò)程.首先,將方程(1)的兩側(cè)在0到t上積分,得到

即

因此有

(3)

這里H[u]=F(ut,u,ux,uxx,…).

接著將方程(3)兩側(cè)再在0到t上積分,得

即

(4)

如果H[u]在t=0處的展開(kāi)式為

(5)

則將式(5)代入式(4)中得

(6)

即

h0=φ0(x),h1=φ1(x),h2=H[u0],

h3=H′[u0],…,hn=H(n-2)[u0].

注1 式(6)實(shí)質(zhì)上是u在t=0處的泰勒展開(kāi)式,即

2 近似解析方法的應(yīng)用

以3個(gè)問(wèn)題為例,說(shuō)明本文近似解析方法的有效性.

2.1 波動(dòng)方程初值問(wèn)題

考慮問(wèn)題

(7)

式(7)是典型的波動(dòng)方程初值問(wèn)題,在數(shù)學(xué)物理方程中有經(jīng)典的解析求解方法,運(yùn)用本文討論的方法,其基本解析過(guò)程如下:

在該問(wèn)題中,根據(jù)方程(1)的形式,

H[u]=-uxx，

則

h0=sinx,h1=-sinx,h2=H[u0]=-uxx(x,0)=sinx,

h3=H′[u0]=-uxxt(x,0)=-(h1)xx=-sinx.

以此類推,計(jì)算得

即為方程解.

2.2 線性電報(bào)方程

考慮電報(bào)方程初值問(wèn)題

其中

對(duì)于該問(wèn)題,用本文討論解析解法進(jìn)行求解,過(guò)程如下:

h0=sinx,h1=0,

-ηh1-ζ2h0+(h0)xx+ζ2sinx=-ζ2sinx-sinx+ζ2sinx=-sinx,

-2ηh2-ζ2h1+(h1)xx-2ηcos0sinx+ζ2(-sin0)sinx=2ηsinx-2ηsinx=0,

-2ηh3-ζ2h2+(h2)xx-2ηsin0sinx+ζ2(-cos0)sinx=ζ2sinx+sinx-ζ2sinx=sinx.

以此類推計(jì)算得

即為方程的解.

2.3 非線性電報(bào)方程

考慮非線性電報(bào)方程初值問(wèn)題

其中

則對(duì)于該問(wèn)題,用本文近似解析解法進(jìn)行求解過(guò)程如下:

h0=1-cosx,

h1=-(1-cosx),

-h1+(h0)xx-2sin(1-cosx)-cosx+2sin(1-cosx)=

1-cosx+cosx-2sin(1-cosx)-cosx+2sin(1-cosx)=1-cosx，

-h2+(h1)xx-2cos(h0)·h1+cosx-2(1-cosx)cos(1-cosx)=

-1+2cosx-cosx+2(1-cosx)cos(1-cosx)+cosx-2(1-cosx)cos(1-cosx)=

-1+cosx，

cosx-2(1-cosx)2sin(1-cosx)+2(1-cosx)cos(1-cosx)=

-h3+(h2)xx+2sin(h0)h1-2cos(h0)h2-cosx-2(1-cosx)2sin(1-cosx)+

2(1-cosx)cos(1-cosx)=1-cosx+cosx-2(1-cosx)sin(1-cosx)+

2(1-cosx)sin(1-cosx)-cosx-2(1-cosx)2sin(1-cosx)+2(1-cosx)cos(1-cosx)=

1-cosx.

以此類推計(jì)算得

即為方程的解.

3 總結(jié)

由于復(fù)雜工程背景的驅(qū)動(dòng),出現(xiàn)了大量非線性偏微分方程初值問(wèn)題,本文所討論的近似解析解法對(duì)于非線性偏微分方程初值問(wèn)題同樣適用.另外,較多偏微分方程反問(wèn)題求解對(duì)于正問(wèn)題的求解方法有較高的要求,非線性性的處理也面臨著較大的困難.因此,本文所討論的方法也可以用于反問(wèn)題的求解中,擬另文討論.