姚永亮

（大理州實驗中學 云南大理 671000）

不含參數(shù)的極值點偏移問題是高考的重點和難點，此類問題在高考中新穎多變，是導數(shù)的綜合應用問題，其呈現(xiàn)的形式非常簡潔，能較好地考查學生的邏輯推理能力，數(shù)據(jù)處理能力，轉化與化歸思想，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想等。對于此類問題，學生往往望而生畏，止步不前。

其實，不含參數(shù)的極值點偏移問題，往往涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元的數(shù)學問題，不管涉及多少變量，途徑都是把多元變量轉化為一元變量，構造一元函數(shù)，分析探究一元函數(shù)，此問題將迎刃而解。下面將介紹幾種常規(guī)策略，希望可以幫助更多的學子迎難而上。

案例：已知函數(shù)f(x)=xe-x，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2＞2

1.1巧構函數(shù)

構造函數(shù)法是解決極值點偏移問題的常規(guī)方法。首先分析f(x1)的單調性與極值點x0，要探究其在極值點x0附近的偏移問題，構造函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)或G(x)=f(x)-f(2x0-x)x)(x0＞x)，分析F(x)或G(x)，判斷出F(x)或G(x)的正負，再結合f(x1)=f(x2)及f(x)的單調性即可解決此問題。

1.1.1構造函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(x＞0)

注：通過分析f(x)的極值點x0=1，且f(x)在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減從而知0＜x1＜1＜x2。進而巧構函數(shù)F(x)=f(1+x)-f(1-x)（x＞0），分析知F(x)單調遞增，故而知f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]＞f(2-x2)，此問題即得證。

1.1.2構造函數(shù)G(x)=f(x0+x)-f(x0-x)（x＞0）

同上1.1.1知：

∵f(x)=xe-x∴f’(x)=(1-x）e-x∴x∈(-∞，1)時，f(x)＞0；x∈(1，+∞)時，f’(x)＜0

∴f(x)在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減；

f(0)=1，x＞0時，f(x)＞0；又∵x1＜x2且f(x1)=f(x2)；

∴0＜x1＜1＜x2

∴h(x)(1，+∞)上單調遞增；又h(1)=0；∴f(x)＞f(2-x)；

∴f(x1)=f(x2)＞f(2-x2)；又x1＜1且2-x2＜1

∴x1＞2-x2；即x1+x2.

注：通過分析f(x)的極值點x0=1，且f(x)在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減從而知0＜x1＜1＜x2。進而巧構函數(shù)F(x)=f(1+x)-f(1-x)（x＞0），分析知F(x)單調遞增，故而知f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]＞f(2-x2)，即得證此方法與1.1.1形不同，但本質一樣。

1.2巧引變量巧消元

通過對f(x1)=f(x2)分析變換得

1.2.2巧用作差“x2-x1”消元

據(jù)洛必達法則知：

以上幾種方法均是為了實現(xiàn)將兩個變量轉化為單變量的函數(shù)或不等式，通過構造一元函數(shù)和利用構造新的變元，均達到消元的目的，把問題轉化為一元函數(shù)，再利用綜合法、分析法、洛必達法則等將此問題簡單化。幾種方法各有優(yōu)劣，考生若能靈活駕馭這幾種方法，便能在導數(shù)不含參的極值點偏移問題上發(fā)揮自如。

在極值點偏移問題的教學中，常常考查學生的邏輯推理能力，數(shù)據(jù)處理能力，轉化與化歸思想，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想等。培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是我們教學的重中之重，我們應從不同角度教會學生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題。但過多過密的刷題，不僅會阻礙學生思維能力的發(fā)展，還會使學生疲勞、興趣降低，窒息學生的思維，只有“聞一知十”解題，才能激發(fā)學生濃厚的學習興趣，促進他們思維的發(fā)展。通過本文案例的分析，我們從多個維度教會學生從不同角度解決問題，開拓了學生的思維，真正培養(yǎng)了學生的能力。