脫中菲，周麗娜

（1.東北師范大學(xué)附屬小學(xué),吉林長春130021；2.長春東師中信實驗學(xué)校，吉林長春130117）

一、研究背景

小學(xué)數(shù)學(xué)階段，“圖形與幾何”領(lǐng)域里兩個重要的核心概念是“空間觀念”和“幾何直觀”。其中，空間觀念是指對空間中物體的位置以及位置之間關(guān)系的感性認(rèn)識［1］。長度、面積和體積都體現(xiàn)了對圖形的度量。面積是促使學(xué)生從一維空間向二維空間轉(zhuǎn)化的核心內(nèi)容，對于學(xué)生空間觀念的形成具有重要價值。

筆者在長期的教學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對面積概念的理解存在一定的困惑。針對剛剛學(xué)習(xí)完“面積”單元的學(xué)生進行訪談，通過“提到面積，你首先想到的是什么？”這樣的一個問題來考察學(xué)生面積概念的表象。數(shù)學(xué)概念表象在數(shù)學(xué)概念形成、理解、運用中都具有重要地位，它構(gòu)成了數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵部分。學(xué)生在記憶、表征、運用數(shù)學(xué)概念時，多是與概念表象相聯(lián)系，而較少使用概念定義［2］。多數(shù)學(xué)生的回答都是：長方形的面積公式“長×寬=面積”，說明在學(xué)習(xí)過程中，公式學(xué)習(xí)的影響容易讓學(xué)生忽視對面積概念本質(zhì)的理解。學(xué)生僅關(guān)注面積求解的過程。但是，當(dāng)筆者要求學(xué)生解釋長方形面積公式為什么是“長×寬”的時候，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為這是一種“規(guī)定”，是由長方形的長和寬決定的，而沒有將長方形面積與面積概念、面積單位進行關(guān)聯(lián)。對于圖形大小的描述就是看這個圖形中包含了多少個面積單位，而公式就是快速數(shù)出有多少個面積單位的簡便方法，可是真正理解公式這層含義并記住的學(xué)生很少。這也說明了平時的練習(xí)只是在強化學(xué)生對公式的記憶，而不是加深學(xué)生對公式的理解。

很多有經(jīng)驗的教師也試圖通過調(diào)整教學(xué)設(shè)計來解決這樣的困惑。最為重要的是要清楚“面積”作為一種通過觀察和測量進而辨識其性質(zhì)的量，要使學(xué)生形成對面積的概念需要從哪些方面著手，在教學(xué)過程中應(yīng)該設(shè)計什么教學(xué)活動來促進學(xué)生面積概念的形成，這也是本研究重點關(guān)注的問題。

二、研究設(shè)計與方法

（一）研究設(shè)計

本研究整體采用基于問題改進的行動研究的思路。通過問卷測驗的方式了解已經(jīng)學(xué)習(xí)完面積單元的學(xué)生（對比班120 名學(xué)生）面積量感的水平，進而確定研究的問題，在此基礎(chǔ)上通過文獻研究、教材比較研究，結(jié)合國標(biāo)版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級面積單元的教材內(nèi)容，進行了單元內(nèi)容的重新編排，并先后進行了兩輪實施過程。第一輪主要解決的是單元框架的合理性問題，針對實施過程中的問題，對于單元內(nèi)容的難度、容量進行了調(diào)整，形成新的單元內(nèi)容框架。第二輪主要解決的是教學(xué)策略、方式的優(yōu)化，以達到良好的教學(xué)效果。教學(xué)結(jié)束后，研究者以第二輪實施過程中的學(xué)習(xí)者為研究對象（實驗班共124 名），通過問卷測驗和課堂觀察相結(jié)合的方法對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和結(jié)果進行了分析與研究。

（二）研究方法

本研究整體上屬于行動研究，在具體的研究過程中主要采用問卷測驗、課堂觀察等方法收集獲取關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果和過程的數(shù)據(jù)和信息。問卷測驗首先用于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過該單元的學(xué)生（對比班）的面積概念的理解水平，從而進一步明確在行動過程中需要解決的問題；其二是用于測查實驗班學(xué)生在單元學(xué)習(xí)后的學(xué)習(xí)效果，目的是為了評價單元設(shè)計與實施的效果。課堂觀察的目的在于描述并記錄學(xué)生真實的學(xué)習(xí)狀態(tài)，從而刻畫實驗班學(xué)生面積概念形成的過程。

（三）研究工具

測驗問卷是以臺灣學(xué)者高敬文、黃金鐘提出的面積概念形成的三個重要維度：面積單位理解與運用、面積的保留概念、面積公式的應(yīng)用為框架設(shè)計編制的，分為4個難度層次。共16道題。

層次0：①知道什么是面積；②能夠辨別不同測量的量的單位；③等積變形，能判斷形狀不同但面積相同的圖形；④能根據(jù)給出條件應(yīng)用面積公式求出面積。

層次1：①能用數(shù)單位的方法求解圖形的面積；②具有面積保留概念，知道一個圖形分成三份，拼成一個圖形后，面積不變；③能夠通過數(shù)面積單位的方法求得圖形面積；

層次2：①具有面積的保留概念，能夠理解相同的兩個面積，去掉相同數(shù)量的小正方形，面積依舊相等；②知道面積單位越小測得的面積單位數(shù)量越多；③能用面積公式解決變式問題。

層次3：①能理解面積和周長的關(guān)系；②能理解并解釋面積公式。

在課堂觀察方面，為了更好地了解學(xué)生每一課的學(xué)習(xí)目標(biāo)達成情況，研究團隊采用了課堂觀察的方式，選擇焦點小組做重點觀察，并在班級選擇A、B、C（高、中、低）三種不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生作為觀察對象，了解這些學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的具體表現(xiàn)和實際困難。

筆者將每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)進行了細化與分解，分解成學(xué)生在課堂上的具體行為。將每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)作為一級指標(biāo)，再進一步將一級指標(biāo)進行分解，分解為可以觀測的二級指標(biāo)。在課堂教學(xué)的過程中，觀察者以記錄二級指標(biāo)中具體行為的發(fā)生時間作為采集數(shù)據(jù)，同時配以課堂觀察質(zhì)性觀察單對學(xué)生的具體行為做簡單的描述，以確認(rèn)行為是否發(fā)生。把整個大單元教學(xué)過程作為一個長的時間連續(xù)體，就可以清晰地看到在整個單元實施的過程中每一個具體的行為指標(biāo)在典型學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中是如何發(fā)生的，這樣就可以刻畫學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。本研究選擇了單元教學(xué)中的4 個核心課時（共160 分鐘），對所分解出10 個一級指標(biāo)，33 個二級指標(biāo)所對應(yīng)的學(xué)生行為進行觀察、判斷并標(biāo)注發(fā)生的時間、順序，再換算成整個單元完成時間，順次標(biāo)注指標(biāo)發(fā)生的時間點，就可以了解不同水平學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的目標(biāo)達成情況以及困難點、差異點，描述不同學(xué)習(xí)水平學(xué)生的面積概念形成過程，發(fā)現(xiàn)面積形成過程的規(guī)律和特點。

三、研究過程

（一）雙螺旋上升構(gòu)建單元，實現(xiàn)過程與方法的遷移

在比較中外教材的基礎(chǔ)上，“面積”單元的設(shè)計整體上突出強調(diào)核心內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在新增學(xué)習(xí)內(nèi)容的前提下，對單元教學(xué)內(nèi)容順序進行了調(diào)整。將3個面積單位1 平方厘米、1 平方米、1 平方分米作為整個單元設(shè)計的主線，突出1平方厘米的學(xué)習(xí)，并以此作為面積概念形成的基礎(chǔ)和核心，放大、放長學(xué)習(xí)過程。將平方分米、平方米的學(xué)習(xí)作為面積概念形成過程的提升和延展，增強這兩個面積單位對于面積概念形成過程的遷移和轉(zhuǎn)化作用?；诖耍n題組將面積單元進行了調(diào)整，如表1。

表1 國標(biāo)教材內(nèi)容與調(diào)適后的單元內(nèi)容編排對比

（二）在比較和測量活動中，促進“單位”概念的形成

作為一個“量”的概念，面積概念的形成始終要伴隨測量活動而展開。測量活動可以是觀察，也可以是使用工具，可以是粗略的比較，也可以比較測量單位的數(shù)量等。因此在教學(xué)過程中，教師設(shè)計了直觀比較、直接比較、間接比較、個別單位比較、公用單位比較的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生在測量中發(fā)現(xiàn)面積公式，讓學(xué)生在測量、操作、體驗的活動中理解什么是面積，從直觀逐漸走向抽象。另一方面學(xué)生逐漸感受測量的本質(zhì)——即用不同大小的“面”來測量面積的大小。

在教學(xué)過程中，教師要努力做到以下兩點。首先是引導(dǎo)學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)測量物體的面積要盡量“量盡”，這就需要媒介物之間減少空隙，甚至不能有空隙，使學(xué)生逐漸形成“用形狀規(guī)則的物體去測量面積，減少空隙”的概念，為形成單位的概念打下基礎(chǔ)。其次，要讓學(xué)生經(jīng)歷面積產(chǎn)生的過程，感受面積產(chǎn)生的必要性。這個面積單位的產(chǎn)生是在不斷優(yōu)化和比較測量工具的過程中發(fā)現(xiàn)的，也是學(xué)生在不斷“數(shù)面積單位求得面積”的過程中感受到的，體現(xiàn)了對度量思想的感悟。

（三）優(yōu)化面積測量結(jié)果，在測量活動中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積公式

封閉圖形的大小就是這個圖形的面積，對于圖形大小的描述就是看這個圖形中包含有多少個面積單位，面積計算公式只是一種快速而簡便地求解面積的方法，是求解面積方法的優(yōu)化?！皵?shù)”面積和“計算”面積的過程都是促進學(xué)生形成“面積是幾倍單位量的數(shù)值化表示”這一觀念的途徑。如果說，產(chǎn)生面積測量的單位對于面積概念的形成打下了基礎(chǔ)，那么在測量活動中發(fā)現(xiàn)面積計算的方法，則促進學(xué)生進一步深化和拓展了對于面積的理解。而教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵在于如何促進這兩種途徑的融會貫通，而并非將二者割裂開來。因此，研究者認(rèn)為應(yīng)該在測量活動中引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)面積公式，為學(xué)生構(gòu)建長方形面積與長方形的長和寬之間的支架。

學(xué)生基本上可以理解第一種方法，用學(xué)具鋪滿長方形。第二種方法，只鋪滿長方形的長和寬，是將長方形面積與長方形的長和寬構(gòu)建聯(lián)系的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其實質(zhì)是在用1 平方厘米的正方形的邊長去測量長方形的長，用1 平方厘米的邊長測量長方形的寬，這種方法是對一種方法的簡化，同時也是面積求解方法由測量向計算的過渡。第三種方法，將面積的測量過程進一步轉(zhuǎn)化為長度的測量過程，主要體現(xiàn)將面積單位直接轉(zhuǎn)化為長度單位，可以直接抽象出面積計算的公式。經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生才能進一步體會到面積計算的公式是對面積測量結(jié)果的優(yōu)化過程，其本質(zhì)上是對“面積是幾倍單位量的數(shù)值化表示”這一觀念的延伸與拓展。

四、研究發(fā)現(xiàn)

（一）學(xué)生面積概念的形成過程

課題組對于三個不同學(xué)習(xí)水平學(xué)生的所有教學(xué)目標(biāo)的達成情況的時間記錄，配合質(zhì)性觀察單的描述與確認(rèn)，基本上記錄了不同水平學(xué)生（學(xué)生A、B、C 分別代表高、中、低三種學(xué)習(xí)水平）面積單元學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)情況。

不同水平學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)達成在程度上和時間先后中存在差異。A水平學(xué)生達成的指標(biāo)最多，且達成各項指標(biāo)的時間最早。A 水平學(xué)生逐一連續(xù)地完成了每一級指標(biāo)。B 水平學(xué)生有1 處一級指標(biāo)沒能達成，C水平學(xué)生有3處一級指標(biāo)沒有達成。

不同水平的學(xué)生學(xué)習(xí)情況不同。課題組發(fā)現(xiàn)，對于指標(biāo)“選擇面積大的圖形進行涂色”和“能用動作表達面積的含義”、指標(biāo)“知道1平方厘米的大小”和指標(biāo)“能對長方形面積公式進行解釋說明”，三種水平的學(xué)生在目標(biāo)達成的時間上相差不多，說明這些指標(biāo)對于三種水平的學(xué)生來說難度不大。而在指標(biāo)“能借助學(xué)具進行面積的間接比較”“能借助學(xué)具測量面積大小”“能對長方形面積公式進行解釋說明”“能運用公式進行簡單的計算”上，學(xué)生的學(xué)習(xí)水平呈現(xiàn)了較大的差異。特別是“能根據(jù)長方形面積公式得出正方形面積公式”這個指標(biāo)，對于B水平和C水平的學(xué)生來說，都較難達成。課題組將這些指標(biāo)對應(yīng)到教學(xué)目標(biāo)體系中的“1 平方厘米的認(rèn)識與應(yīng)用”和“長方形面積公式的探索”。這也是該單元在課程與教學(xué)設(shè)計上突破最大的兩節(jié)課，可以說明這兩節(jié)課的教學(xué)設(shè)計是成功的。而學(xué)生出現(xiàn)發(fā)展困難和差距是在面積大小的比較、理解統(tǒng)一單位的必要性、解釋說明長方形面積公式以及探索正方形面積公式等方面。

（二）單元學(xué)習(xí)結(jié)果的分析

實驗班和對比班在對面積概念理解方面有明顯的提升，實驗班的學(xué)生對于“面積”一詞的理解不再只是“長乘寬”這個計算公式，而是有更多的學(xué)生想到了對“面積”這個量的感受。

在面積單元教學(xué)過程中，教師要力爭體現(xiàn)面積作為一個量的本質(zhì)。如下面的兩個圖形，正是考察學(xué)生對測量本質(zhì)的理解——通過點數(shù)面積單位求得面積（表2）。在長方形中，只給出橫縱方向的刻度劃分，而沒有直接畫出長方形具體包括多少個面積單位。這個情境看似具有一種“未完成性”，但實際是在考察學(xué)生對面積概念的理解。在調(diào)查過程中，有些學(xué)生問老師：沒有給出長和寬（高）的長度，怎么求得面積呢？出現(xiàn)這個問題的原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)面積時還是更多地關(guān)注了通過“算”得出結(jié)果，而忽視了對面積概念本質(zhì)的思考，即數(shù)出圖形中面積單位的個數(shù)就可以表示圖形的面積。從數(shù)據(jù)上可以看出，實驗班對于測量本質(zhì)的理解要明顯好于對比班。學(xué)生對長方形面積的理解要總體好于三角形，學(xué)生對面積以及面積單位的理解可以遷移到具體情境中解決問題。

表2 學(xué)生對測量本質(zhì)的理解情況的測驗結(jié)果

實驗班學(xué)生對面積單位的理解及應(yīng)用也明顯要好于對比班。在回答“用面積是1 平方厘米和1 平方分米的正方形測量課桌面，哪一種正方形需要的數(shù)量多，為什么？”這個問題時，實驗班的正確率為97.5%，明顯高于對比班的正確率69.1%。這說明教學(xué)促進了學(xué)生對單位及面積之間關(guān)系的理解，學(xué)生理解了測量單位與單位個數(shù)之間的關(guān)系。再如：“亮亮家有一塊邊長為1 米的正方形地面損壞了，需要多少塊面積是1 平方分米的方磚才能修補好？”實驗班的正確率為81.3%，對比班的正確率為39.2%，這說明學(xué)生已經(jīng)將面積單位與測量個數(shù)之間的關(guān)系的理解轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q問題的能力。

課題組還通過考察長方形面積公式的理解進而了解學(xué)生面積概念的理解情況。在要求學(xué)生“說明一下長方形的面積為什么等于長×寬”這個問題的結(jié)果上，實驗班學(xué)生對于為什么長方形面積等于長×寬這一問題的解釋更加合理，學(xué)生能夠自動調(diào)取學(xué)習(xí)過程中的策略進行解釋。

對于面積概念的深入理解也直接提高了學(xué)生解決具體問題的能力。從統(tǒng)計數(shù)據(jù)來看，實驗班學(xué)生解決問題的能力（88.1%）好于對比班（76.9%），并且在運用公式解決問題過程中，極少出現(xiàn)周長與面積公式相混淆的情況。

關(guān)于面積的保留概念，課題組通過“把一個正方形分割成三等份，拼成一個圖形會怎樣？”“從面積是8 平方厘米的兩個圖形中，各挖去一個同樣大小的正方形，剩余部分會怎樣？”兩個問題來考察，考察結(jié)果發(fā)現(xiàn)：實驗班學(xué)生的正確率達90%，高于對比班。而在“從面積是8 厘米的圖形中，各挖去一個同樣大小的正方形，剩余面積是多少”這樣的問題上，兩類調(diào)研對象的正確率分別為85.6% 和86.4%?？梢钥闯觯ㄟ^本單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生對面積的保留概念有了很好的理解。

五、研究結(jié)論與反思

（一）單元內(nèi)容螺旋上升式的安排能促進學(xué)生形成面積概念

面積作為一個測量的“量”，具有較強的抽象性，對其理解需要更加具體化。單元內(nèi)容的重新調(diào)整就是突出了以1平方厘米作為學(xué)生理解面積的載體，圍繞面積單位的產(chǎn)生、面積單位的大小建立面積概念的直觀，從而為概念的形成搭建梯子。用1平方厘米為單位，引導(dǎo)學(xué)生在探究活動中發(fā)現(xiàn)長方形、正方形面積的公式，一方面降低了學(xué)習(xí)難度，同時也便于學(xué)生夯實1 平方厘米的空間觀念。而這樣的學(xué)習(xí)過程將通過1 平方分米、平方米的學(xué)習(xí)再次學(xué)習(xí)和應(yīng)用，體現(xiàn)了已有測量經(jīng)驗、概念在新的問題情境中的遷移和運用，這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦中的1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的空間觀念的建立都是真實的、具體的，這對于學(xué)生理解什么是面積、什么是面積的測量都具有重要的意義價值。

（二）有質(zhì)量的測量活動是形成面積概念的基礎(chǔ)

面積概念的形成必然要伴隨大量的測量活動。有質(zhì)量的測量活動的基本特征在于：1.有大量可選擇的材料支持測量活動，讓學(xué)生體驗不同材料測量的過程和結(jié)果；2.設(shè)計多個層次的面積比較活動，還原問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程；3.關(guān)注從操作經(jīng)驗向思維活動經(jīng)驗的轉(zhuǎn)化，也就是從單純動手操作走向動腦思考。比如本單元的面積公式的探索與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生如何從單位面積的點數(shù)過程走向?qū)﹂L方形長、寬的關(guān)注，從面返回到長度，這是抽象的過程，也是測量優(yōu)化的過程。

（三）發(fā)現(xiàn)了面積概念形成的學(xué)習(xí)困境和教學(xué)難點

從對學(xué)生學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)結(jié)果的分析來看，學(xué)生掌握1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的空間觀念并不困難，但是在理解面積單位產(chǎn)生必要性，解釋長方形面積公式等內(nèi)容上仍然存在困難。筆者認(rèn)為面積概念的形成需要一定的抽象思維能力作為基礎(chǔ)，特別是在一定空間觀念形成的基礎(chǔ)上，抽象出概念與概念之間關(guān)系等，對于三年級正處于形象思維向抽象思維過渡階段的學(xué)生來說，還存在一定的困難，需要教師在教學(xué)中予以關(guān)注。