邱若臻,尚昆華

(東北大學(xué) 工商管理學(xué)院,沈陽(yáng) 110169)

近年來(lái),隨著電子商務(wù)的迅猛發(fā)展,越來(lái)越多的消費(fèi)者選擇在網(wǎng)上購(gòu)物[1]。據(jù)中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心(CNNIC)發(fā)布的《中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計(jì)報(bào)告》顯示:2019年,中國(guó)網(wǎng)上零售額達(dá)1.06萬(wàn)億元,比上年增長(zhǎng)16.5%。截至2020年3 月,中國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物用戶規(guī)模達(dá)7.10億人,占網(wǎng)民整體的78.6%。自2009年11月11日,天貓“雙十一”購(gòu)物狂歡節(jié)大獲成功后,京東、蘇寧、亞馬遜等各大電商也紛紛采取低價(jià)促銷策略[2]。在網(wǎng)絡(luò)促銷期間,低價(jià)促使市場(chǎng)需求激增,進(jìn)而產(chǎn)生了巨大的配送需求,從而給在線銷售企業(yè)以及負(fù)責(zé)向客戶交付商品的承運(yùn)商帶來(lái)了巨大壓力。再者,促銷期間所帶來(lái)的巨大需求是臨時(shí)的,持續(xù)時(shí)間較短,但承運(yùn)商的運(yùn)力擴(kuò)張成本卻較高,為了應(yīng)對(duì)突增的配送需求,許多承運(yùn)商通過(guò)租用車輛和倉(cāng)庫(kù)、雇傭臨時(shí)工、加班及與其他企業(yè)合作等方式來(lái)臨時(shí)擴(kuò)大運(yùn)力。因此,為了盡可能地滿足配送需求,如何決策配送能力增量對(duì)于承運(yùn)商而言至關(guān)重要。

盡管承運(yùn)商努力提高自己的配送能力,但未能完全滿足交貨訂單的情況仍時(shí)有發(fā)生,這就導(dǎo)致了一部分包裹堆積和交貨延遲的情況,如“雙十一”期間,很多消費(fèi)者購(gòu)買的貨物需要等待一個(gè)月左右才能收到。延遲交貨往往會(huì)導(dǎo)致訂單受損和承諾失信,從而客戶滿意度和忠誠(chéng)度較低[3]。然而,配送能力過(guò)剩又將會(huì)給承運(yùn)商帶來(lái)巨大的運(yùn)營(yíng)成本(如租賃或購(gòu)買車輛的成本),導(dǎo)致資金短缺。這種延遲交貨還會(huì)對(duì)在線銷售企業(yè)產(chǎn)生不利影響,如食品變質(zhì)、降低消費(fèi)者滿意度、甚至?xí)偈乖S多消費(fèi)者退貨。此外,對(duì)于在線銷售企業(yè),當(dāng)商品供大于求時(shí),會(huì)產(chǎn)生一定的訂貨成本及庫(kù)存持有成本;當(dāng)商品供小于求時(shí),會(huì)產(chǎn)生延遲交付和客戶流失等缺貨損失,而由于缺貨會(huì)影響服務(wù)時(shí)效,零售商可能會(huì)選擇增加安全庫(kù)存,以對(duì)沖需求的不確定性,這又將增加庫(kù)存成本[4]。對(duì)于電子商務(wù)行業(yè)而言,物流服務(wù)是最昂貴的運(yùn)營(yíng)方式之一,對(duì)促進(jìn)網(wǎng)上購(gòu)物起著至關(guān)重要的作用[5]。Shang等[6]研究了基于時(shí)間的競(jìng)爭(zhēng)中以準(zhǔn)時(shí)交貨率來(lái)衡量的服務(wù)質(zhì)量。在這種情況下,由于在線銷售企業(yè)的訂貨量對(duì)市場(chǎng)需求滿足率和客戶滿意度的影響較大,而承運(yùn)商的配送能力對(duì)配送時(shí)效的影響較大,因而如何決策訂貨量和配送能力,在平衡銷售訂單滿足率和配送需求滿足率的同時(shí)使得供應(yīng)鏈的利潤(rùn)最大,是在線銷售環(huán)境下供應(yīng)鏈面臨的兩個(gè)重要決策。

在現(xiàn)實(shí)中,一些在線銷售企業(yè)擁有自己的配送服務(wù)(如京東、蘇寧等),但在應(yīng)對(duì)“雙十一”這種網(wǎng)絡(luò)促銷時(shí),自建物流依然不能滿足全部的配送需求,此時(shí)需要臨時(shí)增加配送能力。針對(duì)一個(gè)具有配送能力的在線銷售企業(yè),提出如下研究問(wèn)題:①在不確定環(huán)境下,在線銷售企業(yè)如何制定能夠有效抑制不確定性擾動(dòng)的訂貨與配送能力決策? ②在線銷售企業(yè)自身?yè)碛信渌湍芰Φ拇笮?duì)最優(yōu)決策及利潤(rùn)有何影響? ③諸如需求均值和方差等市場(chǎng)環(huán)境的變化對(duì)依據(jù)本文方法制定的訂貨量和配送能力決策有何影響? 企業(yè)應(yīng)如何應(yīng)對(duì)? 為解決上述問(wèn)題,本文在需求不確定環(huán)境下,建立僅知需求均值和方差信息的在線銷售企業(yè)期望利潤(rùn)魯棒優(yōu)化模型,采用對(duì)偶理論優(yōu)化求解在線銷售企業(yè)的訂貨及配送能力策略,進(jìn)一步分析相關(guān)參數(shù)對(duì)企業(yè)決策和利潤(rùn)的影響情況,并通過(guò)數(shù)值分析驗(yàn)證了所建模型和策略的有效性。

1 文獻(xiàn)綜述

與本文研究相關(guān)的文獻(xiàn)主要涉及在線零售業(yè)的運(yùn)營(yíng)管理、能力擴(kuò)張和魯棒優(yōu)化等方面。下面針對(duì)這三方面展開(kāi)文獻(xiàn)評(píng)述,以凸顯本研究的貢獻(xiàn)。

(1)在線零售業(yè)在運(yùn)營(yíng)管理領(lǐng)域中引起了廣泛關(guān)注,參考文獻(xiàn)可見(jiàn)Gupta等[7]和胡祥培等[8]的綜述。大量文獻(xiàn)集中在定價(jià)、促銷、實(shí)體展廳、庫(kù)存控制以及渠道協(xié)調(diào)等方面。本文只回顧與本研究相關(guān)的供應(yīng)鏈在線訂貨或庫(kù)存決策方面的文獻(xiàn)。針對(duì)在線零售企業(yè),Ayanso等[9]開(kāi)發(fā)了一個(gè)Monte Carlo仿真模型,以解決B2C環(huán)境下銷售不易腐爛物品的企業(yè)庫(kù)存配給問(wèn)題。Heidary等[10]針對(duì)由一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)敏感型零售商和一個(gè)不可靠供應(yīng)商組成的供應(yīng)鏈,研究了零售商在需求不確定和供應(yīng)中斷情況下的庫(kù)存策略。樊雙蛟等[11]針對(duì)由顧客感知差異引起的退貨行為,分別構(gòu)建了促銷期和日常銷售期下的退貨模型,研究了確定需求和隨機(jī)需求下的在線零售商定價(jià)和訂貨策略。Liu等[12]針對(duì)一個(gè)考慮在線退貨的雙渠道零售商,探討了BOPS(網(wǎng)上購(gòu)買和店內(nèi)取件)渠道對(duì)雙渠道零售商定價(jià)和訂貨策略的影響,研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)零售商開(kāi)通BOPS 渠道后,零售商會(huì)降低產(chǎn)品的價(jià)格,增加訂貨量。Xu等[13]針對(duì)一個(gè)在線零售商,考慮市場(chǎng)部分覆蓋和全覆蓋兩種情形,探討了消費(fèi)者失望厭惡對(duì)在線零售商定價(jià)和訂貨策略的影響,研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)在線零售商不給消費(fèi)者全額退款時(shí),消費(fèi)者失望厭惡會(huì)損害在線零售商的利潤(rùn)。吳曉志等[14]針對(duì)由一個(gè)制造商和一個(gè)同時(shí)擁有電子渠道和傳統(tǒng)渠道的零售商組成的供應(yīng)鏈,研究了需求和生產(chǎn)成本同時(shí)擾動(dòng)下的雙渠道供應(yīng)鏈最優(yōu)渠道零售價(jià)格和生產(chǎn)數(shù)量決策。上述研究很好地解決了確定或隨機(jī)需求下的在線零售企業(yè)的訂貨決策問(wèn)題,但對(duì)配送能力及未知需求分布下的訂貨決策鮮有涉及。

(2)能力和訂貨聯(lián)合決策問(wèn)題。關(guān)于能力投資和擴(kuò)張問(wèn)題的研究可參考Van Mieghem[15]的綜述。Roshanak等[16]研究了一個(gè)具有多個(gè)供應(yīng)商的賣方選擇正確的供應(yīng)商使采購(gòu)和庫(kù)存成本最低的問(wèn)題,其中,每個(gè)供應(yīng)商都向其提供不同的折扣方案且有產(chǎn)量限制。Ghadimi等[17]研究了在服務(wù)水平保證法下的供應(yīng)鏈生產(chǎn)能力和安全庫(kù)存聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題,并通過(guò)一般無(wú)環(huán)網(wǎng)絡(luò)和生成樹(shù)網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行求解。Glock等[18]研究了一個(gè)由隨機(jī)顧客需求的短生命周期產(chǎn)品的零售商和接到零售訂單后即開(kāi)始生產(chǎn)的制造商組成的供應(yīng)鏈,并提出一個(gè)能確定集中和分散環(huán)境下最優(yōu)訂貨量和生產(chǎn)能力的模型,還提出了一個(gè)回購(gòu)合同來(lái)協(xié)調(diào)分散供應(yīng)鏈。Alim 等[19]針對(duì)一個(gè)靈活交貨的在線銷售企業(yè),提出了一種庫(kù)存與配送聯(lián)合優(yōu)化策略,研究表明,當(dāng)在線銷售企業(yè)使用自己的車輛配送時(shí),靈活交貨的配送方式會(huì)減少企業(yè)的運(yùn)輸距離和碳排放。Zhang等[20]針對(duì)由一個(gè)在線零售商和一個(gè)有限配送能力的承運(yùn)商組成的供應(yīng)鏈,研究了不同渠道權(quán)力決策結(jié)構(gòu)下的在線零售商定價(jià)和承運(yùn)商配送能力增量決策,研究表明,通過(guò)收益共享契約可以激勵(lì)承運(yùn)商適當(dāng)擴(kuò)大配送能力,進(jìn)而改善隨機(jī)需求下的供應(yīng)鏈整體績(jī)效?？梢钥闯?在電子商務(wù)環(huán)境下,已有學(xué)者關(guān)注企業(yè)訂貨與配送能力聯(lián)合決策問(wèn)題,但大多仍是針對(duì)確定性或已知需求分布的隨機(jī)需求情況。在現(xiàn)實(shí)中,精確的需求分布信息通常難以獲取,尤其是對(duì)于短生命周期產(chǎn)品。在不確定環(huán)境中,任何關(guān)于分布信息的錯(cuò)誤假設(shè)可能導(dǎo)致很壞的績(jī)效結(jié)果,這就迫使企業(yè)尋找一種合適的建模及求解方法,使得做出的決策及其績(jī)效在各種環(huán)境中保持可行。

(3)基于自由分布的魯棒優(yōu)化及其應(yīng)用問(wèn)題。作為有效處理不確定性問(wèn)題的方法,魯棒優(yōu)化廣受關(guān)注[21]。Scarf等[22]最早研究了自由分布下的單周期庫(kù)存問(wèn)題,并利用魯棒優(yōu)化方法給出了最優(yōu)訂貨策略。Xu等[23]針對(duì)自由分布的單周期單產(chǎn)品庫(kù)存控制模型,考慮在碳排放限額和限額交易制度下,建立了基于最小最大準(zhǔn)則的庫(kù)存魯棒優(yōu)化模型,并分析了不同碳排放法規(guī)對(duì)企業(yè)訂購(gòu)決策的影響。Bandi等[24]針對(duì)不確定需求下的多周期多產(chǎn)品報(bào)童問(wèn)題,提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)和自適應(yīng)策略的魯棒優(yōu)化模型。Yu等[25]首次將損失厭惡引入考慮需求不確定性下的魯棒優(yōu)化框架中,在僅知需求均值和方差下給出了最優(yōu)訂貨策略。Abdel-Aal等[26]考慮需求自由分布下的庫(kù)存決策問(wèn)題,利用最小最大魯棒建模準(zhǔn)則在不同風(fēng)險(xiǎn)偏好和不確定性集下制定最優(yōu)訂貨策略。

由上述研究可以看出,供應(yīng)鏈在線銷售訂貨決策問(wèn)題研究主要側(cè)重于如下幾個(gè)方面:多數(shù)研究集中于考慮消費(fèi)者行為,通過(guò)優(yōu)化期望成本或利潤(rùn)對(duì)定價(jià)和訂貨進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化;能力投資和擴(kuò)張問(wèn)題研究大多集中在供應(yīng)鏈生產(chǎn)能力優(yōu)化,關(guān)于配送能力的研究較少;采用魯棒優(yōu)化方法處理不確定問(wèn)題大多針對(duì)單一庫(kù)存決策,鮮有研究將訂貨和配送能力結(jié)合并做出魯棒決策。一般情況下,零售商或承運(yùn)商所擁有的配送能力能滿足大部分的市場(chǎng)需求,但網(wǎng)絡(luò)促銷期間的需求量劇增且是不確定的,而且消費(fèi)者需求的激增會(huì)引起較大的配送需求。由于延遲交貨會(huì)降低消費(fèi)者的滿意度和忠誠(chéng)度,進(jìn)而對(duì)在線銷售企業(yè)造成不利影響,故結(jié)合實(shí)際情況,研究供應(yīng)鏈在線銷售企業(yè)的訂貨與配送能力決策具有重要意義。

2 基本問(wèn)題描述與模型構(gòu)建

考慮一個(gè)自身具有一定配送能力的在線銷售企業(yè),其在互聯(lián)網(wǎng)上向消費(fèi)者銷售單一品種商品,并負(fù)責(zé)將該產(chǎn)品交付到消費(fèi)者手中,如圖1所示。

圖1 需求不確定下的在線銷售企業(yè)訂購(gòu)及配送流程

在線銷售企業(yè)面臨不確定需求D,網(wǎng)絡(luò)促銷來(lái)臨前,在線銷售企業(yè)以單位訂貨成本c向其上游供應(yīng)商訂購(gòu)q單位的產(chǎn)品;促銷期開(kāi)始時(shí),以固定單位價(jià)格p向市場(chǎng)銷售產(chǎn)品。由于市場(chǎng)需求不確定,在銷售期末可能存在未滿足市場(chǎng)需求或庫(kù)存剩余的情況,為簡(jiǎn)化處理,本文不考慮缺貨損失,并假設(shè)超出市場(chǎng)需求的部分無(wú)殘值。對(duì)于在線銷售企業(yè),假設(shè)其原有配送能力為N,當(dāng)在線銷售企業(yè)的實(shí)際銷售量超過(guò)了交付能力時(shí),可通過(guò)加班、雇傭臨時(shí)工、租賃或購(gòu)買更多的車輛等來(lái)擴(kuò)大配送能力。令x為配送能力增量,是決策變量,則總配送能力為N+x。根據(jù)文獻(xiàn)[27-28]中的研究,假設(shè)配送能力的擴(kuò)張成本為βx2/2,其中,β為能力擴(kuò)張成本系數(shù)。由于配送能力的擴(kuò)張成本較高,在線銷售企業(yè)將不會(huì)大量增加配送能力,故即使在增加配送能力后,仍可能存在總配送能力供不應(yīng)求的情況。此時(shí),超出總配送能力范圍的商品將不能準(zhǔn)時(shí)送到消費(fèi)者手中,這會(huì)對(duì)在線銷售企業(yè)產(chǎn)生一定的延遲交貨損失,令S表示單位延遲交貨損失。不失一般性,假設(shè)pc-S＞0。

在上述運(yùn)作背景下,在線銷售企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)可描述為

式中,Δ+=max{Δ,0}。

對(duì)于在線銷售企業(yè)而言,當(dāng)市場(chǎng)需求分布已知時(shí),其問(wèn)題為確定訂貨量q以及配送能力增量x來(lái)最大化其期望利潤(rùn),即max E[π(q,x)]。然而,現(xiàn)實(shí)中通常難以獲得精確的需求分布信息。本文假設(shè)僅知市場(chǎng)需求D的均值和方差信息,分布形式F未知。不失一般性,令Γ(μ,σ2)為具有均值為μ、方差為σ2的所有需求分布函數(shù)的集合,Γ+(μ,σ2)?Γ(μ,σ2)為分布F的非負(fù)隨機(jī)變量的子集(即則F∈Γ+(μ,σ2)。在最大最小魯棒建模準(zhǔn)則下,在線銷售企業(yè)問(wèn)題變?yōu)橥ㄟ^(guò)確定訂貨量q以及配送能力增量x來(lái)最大化最壞分布下的期望利潤(rùn)(又稱為自由分布問(wèn)題),即

式中,F∈Γ+(μ,σ2)表示隨機(jī)變量D服從屬于Γ+(μ,σ2)的未知分布F?？梢钥闯?要求解模型式(2),關(guān)鍵在于獲得最壞分布下具有封閉形式的期望利潤(rùn)表達(dá)式。下面將針對(duì)上述問(wèn)題采用對(duì)偶理論分析屬于Γ(μ,σ2)的最壞分布以及在最壞分布下的期望利潤(rùn)。

對(duì)于魯棒優(yōu)化模型式(2),首先考慮如下內(nèi)層優(yōu)化問(wèn)題:

式中,函數(shù)g(D)為包含隨機(jī)變量D的分段函數(shù),表達(dá)式為

可以看出,求解問(wèn)題式(3),等價(jià)于求解

根據(jù)對(duì)偶理論,問(wèn)題式(5)的對(duì)偶問(wèn)題可描述為:

式中,y0、y1和y2是對(duì)偶變量。對(duì)于問(wèn)題式(5)、(6),令F*(D)和分別為問(wèn)題式(5)和對(duì)偶問(wèn)題式(6)的最優(yōu)解,則式(5)、(6)等價(jià)的充要條件為如下互補(bǔ)松弛條件成立,即

時(shí),對(duì)于任意的D∈R+,原最優(yōu)解F*(D)的概率非零,也即光滑曲線

與分段函數(shù)g(D)的接觸點(diǎn)是原最優(yōu)解的可行點(diǎn)。特別地,函數(shù)g(D)和G(D)最多有3個(gè)且至少有2個(gè)接觸點(diǎn)。根據(jù)訂貨量和總配送能力的大小關(guān)系,可將函數(shù)g(D)與G(D)的接觸問(wèn)題分為如下兩種情況:

(1)總配送能力小于訂貨量,即N+x＜q,如圖2所示。當(dāng)N+x＜q時(shí),分段函數(shù)g(D)由如下3條直線構(gòu)成:

假設(shè)G(D)與g(D)有3個(gè)接觸點(diǎn),則G(D)通過(guò)與l0、l1和l2相切或與原點(diǎn)相交以及與l1和l2相切可得兩種3點(diǎn)分布情形[見(jiàn)圖2(1a)];假設(shè)G(D)與g(D)有2個(gè)接觸點(diǎn),則G(D)通過(guò)與l0、l1和l2中任意兩條相切或與原點(diǎn)相交以及與l1或l2中任意一條相切可得5種兩點(diǎn)分布情形[見(jiàn)圖2(2a)]。

圖2 N+x＜q 時(shí)函數(shù)g(D)和G(D)的相交或相切情形

(2)總配送能力大于等于訂貨量,即N+x≥q,如圖3所示。當(dāng)N+x≥q時(shí),分段函數(shù)g(D)由如下兩條直線構(gòu)成:l0:y=p D,l3:y=pq。此時(shí),G(D)與g(D)只有2個(gè)接觸點(diǎn),G(D)通過(guò)與l0和l3相切或與原點(diǎn)相交且與l3相切得到圖3(2a′)和(2b′)兩種兩點(diǎn)分布情形。

圖3 N+x≥q 時(shí)函數(shù)g(D)和G(D)的相交或相切情形

下面將針對(duì)圖2、3 所示9 種情形進(jìn)行求解分析,從而得到問(wèn)題式(3)的最優(yōu)解。具體地,通過(guò)求解9 種情形下的對(duì)偶問(wèn)題式(6),得到最優(yōu)和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)目標(biāo)值,該最優(yōu)目標(biāo)值等價(jià)于問(wèn)題式(5)的最優(yōu)目標(biāo)值U(D)。進(jìn)一步,可得在線銷售企業(yè)在最壞分布下的期望利潤(rùn)為:Π(q,x)=U(D)-cq-βx2/2。

3 策略求解與分析

如前文所述,對(duì)于所有的F∈Γ+(μ,σ2),最壞分布可歸結(jié)為9 種情形。為方便描述,進(jìn)行如下定義:

首先考慮情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N+x＜q),企業(yè)增加一定量的配送能力后,其總配送能力仍然小于在線銷售企業(yè)的訂貨量。此時(shí),對(duì)于所有的F∈Γ+(μ,σ2),最壞分布下的期望利潤(rùn)Π(q,x)有7種情形,分別對(duì)應(yīng)3點(diǎn)分布2種和兩點(diǎn)分布5種(見(jiàn)圖2)。

命題1當(dāng)N+x＜q時(shí),令Πk(q,x)表示情形k對(duì)應(yīng)的最壞分布期望利潤(rùn),k∈{1a,1b,2a,2b,2c,2d,2e},則有如下結(jié)果:

(1)不確定需求服從3點(diǎn)分布。

(1a)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

(2)不確定需求服從兩點(diǎn)分布。

命題1給出了當(dāng)企業(yè)總配送能力低于訂貨量水平時(shí),最壞分布下的期望利潤(rùn)解析表達(dá)式。進(jìn)一步考慮情況(2),即總配送能力大于或等于訂貨量(N+x≥q),該情況下不存在延遲交貨損失。此時(shí),對(duì)于所有的F∈Γ+(μ,σ2),最壞分布下的期望利潤(rùn)Π(q,x)對(duì)應(yīng)于不確定需求服從2種兩點(diǎn)分布的情形(見(jiàn)圖3)。因此,有命題2成立。

命題2當(dāng)N+x≥q時(shí),不確定需求僅服從兩點(diǎn)分布,令Πj(q,x)表示情形j對(duì)應(yīng)的最壞分布期望利潤(rùn),j∈{2a′,2b′},則有如下結(jié)果:

(2a′)若N+x≥2q且σ2＜(μ-)(2qμ),或N+x＜2q且

(2b′)若N+x≥2q且

命題1、2 的證明見(jiàn)附錄。命題1、2 表明,對(duì)于所有的F∈Γ+(μ,σ2),每種情形都對(duì)應(yīng)一個(gè)區(qū)間范圍,且此區(qū)間均可用均值μ和方差σ2的大小關(guān)系來(lái)表示。此外,每種情形均對(duì)應(yīng)不同的最壞情況期望利潤(rùn)函數(shù)。例如,對(duì)于給定的在線銷售企業(yè)相關(guān)參數(shù),假設(shè)(p+S)/S≥q/(N +x)且不確定市場(chǎng)需求均值μ在區(qū)間[D0,D1]內(nèi),當(dāng)方差σ2不斷增大時(shí),最壞分布將從情形(2a)變化到(1a)、(2c)及(2e),而相應(yīng)情形下得到的期望利潤(rùn)也有所不同。

在命題1、2基礎(chǔ)上,在線銷售企業(yè)問(wèn)題為尋找最優(yōu)的訂貨量和配送能力增量,以最大化其在最壞分布下的期望利潤(rùn)(由命題1、2給出)。下述命題3和命題4給出了最壞分布下的期望利潤(rùn)Π(q,x)最大化時(shí)的魯棒訂貨量和配送能力增量決策。為方便描述,進(jìn)行如下定義,即

同上,首先考慮情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N+x＜q)。在命題1基礎(chǔ)上可求得7種最壞分布下相應(yīng)的最優(yōu)訂貨量和配送能力增量的表達(dá)式或應(yīng)滿足的條件,有命題3成立。

命題3當(dāng)N+x＜q時(shí),在線銷售企業(yè)在最壞分布下的最優(yōu)訂貨量和配送能力增量可通過(guò)如下步驟獲得:

(1)不確定需求服從3點(diǎn)分布。

(1a)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

(1b)若(p+S)/S＜q/(N+x)且

(2)不確定需求服從兩點(diǎn)分布。

(2b)若(p+S)/S＜q/(N +x)且σ2＜(μ-D1)(D2-μ),或

則最優(yōu)訂貨量q*=q2b,最優(yōu)配送能力增量x*=x2b。特別地,當(dāng)p-S-2c≥0時(shí),

(2c)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

則最優(yōu)訂貨量q*=q2c,最優(yōu)配送能力增量x*=x2c。

(2d)若(p+S)/S＜q/(N+x)且

則最優(yōu)訂貨量和配送能力增量滿足

(2e)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

對(duì)于情況(2),當(dāng)配送能力大于或等于訂貨量,即N+x≥q時(shí),在命題2的基礎(chǔ)上可求得2種最壞分布下相應(yīng)的最優(yōu)訂貨量和配送能力增量的表達(dá)式或應(yīng)滿足的條件,有命題4成立。

命題4當(dāng)N+x≥q時(shí),在線銷售企業(yè)在最壞分布下的最優(yōu)訂貨量和配送能力增量可按如下步驟求得:

(2a′)若N+x≥2q且σ2＜(μ-)(2qμ),或N+x＜2q且

則最優(yōu)訂貨量q*=q2a′,最優(yōu)配送能力增量x*=x2a′。

(2b′)若N+x≥2q且

則最優(yōu)訂貨量和配送能力增量滿足

命題3、4的證明見(jiàn)附錄。命題3和命題4給出了在線銷售企業(yè)最壞分布情況下相應(yīng)的最優(yōu)訂貨量和配送能力增量的表達(dá)式或其應(yīng)滿足的關(guān)系式。其中,情形(2b)、(2c)和(2a′)的最優(yōu)解(q*,x*)存在解析式,情形(1a)和(1b)的最優(yōu)解無(wú)法用解析式表示,故給出了其應(yīng)滿足的關(guān)系式,其余情形僅能通過(guò)規(guī)劃問(wèn)題來(lái)得到滿足約束條件的最優(yōu)解。由命題3、4還可知,最優(yōu)決策與在線銷售企業(yè)自身?yè)碛械呐渌湍芰τ嘘P(guān),當(dāng)原有配送能力變化時(shí),最優(yōu)決策滿足的條件隨即發(fā)生變化,進(jìn)而影響最優(yōu)決策的取值。根據(jù)命題3和命題4,當(dāng)不確定需求及在線銷售企業(yè)的參數(shù)關(guān)系符合上述中的任一情形時(shí),都能得到相應(yīng)的訂貨量和配送能力策略,使得在線銷售企業(yè)在最壞分布下的期望利潤(rùn)最大。在線銷售企業(yè)可根據(jù)已有樣本數(shù)據(jù)對(duì)需求參數(shù)進(jìn)行估計(jì),并結(jié)合其他參數(shù)信息,對(duì)最壞分布的情況進(jìn)行判斷,從而做出最優(yōu)決策。

由于命題3和命題4涉及數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題求解,難以直接進(jìn)行最優(yōu)訂貨和配送能力策略關(guān)于相關(guān)系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析,為了給出更有意義的理論結(jié)果,本文將主要針對(duì)具有清晰或隱式表達(dá)式的決策給出靈敏度分析結(jié)果。針對(duì)命題1～4的結(jié)果,有如下推論成立。

推論1當(dāng)N+x＜q時(shí),在線銷售企業(yè)最壞分布下的最優(yōu)決策有如下結(jié)論成立:

推論1給出了具有清晰或隱式表達(dá)式的訂貨量和配送能力增量決策的靈敏度分析結(jié)果。其中,情形(1a)和(1b)的結(jié)果可由隱函數(shù)求導(dǎo)法則得到。推論1(1a)表明,在情形(1a)條件下,當(dāng)J1/J＜0時(shí),訂貨量q*隨著原有配送能力N的增大而增大;反之,q*隨著N的增大而降低。當(dāng)J2/J＜0時(shí),配送能力增量x*隨著原有配送能力N的增大而增大;反之,x*隨著N的增大而降低。推論1(1b)與推論1(1a)類似。推論1(2b)表明,在情形(2b)條件下,當(dāng)

時(shí),訂貨量q*隨著不確定需求均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的增大而增大,隨著單位延遲交貨損失S和單位訂貨成本c的增大而降低,q*與N無(wú)關(guān)。當(dāng)

時(shí),q*隨著μ的增大而增大,隨著σ、S和c的增大而降低,q*與N無(wú)關(guān)。配送能力增量x*隨著單位延遲交貨損失S的增大而增大,x*與N、μ、σ和c無(wú)關(guān)。推論1(2c)表明,在情形(2c)條件下,訂貨量q*隨著N的增大而降低,隨著μ的增大而增大,并給出了q*隨著參數(shù)σ、S和c變化情況的條件;配送能力增量x*隨著S和c的增大而增大,x*與N、μ和σ無(wú)關(guān)。

推論2當(dāng)N+x＜q時(shí),在線銷售企業(yè)最壞分布下的最優(yōu)期望利潤(rùn)有如下結(jié)論成立:

(2b)若(p+S)/S＜q/(N +x)且σ2＜(μ-D1)(D2-μ),或

(2c)若(p+S)/S≥q/(N+x)且

推論3若N+x≥2q且σ2＜(μ-)(2qμ),或N+x＜2q且

推論3①表明,在情形(2a′)條件下,訂貨量q*隨著不確定需求均值μ的增大而增大,隨著單位訂貨成本c的增大而降低。當(dāng)p-2c＞0時(shí),q*隨著標(biāo)準(zhǔn)差σ的增大而增大;反之,q*隨著σ的增大而降低,q*與N和S無(wú)關(guān)。配送能力增量x*與參數(shù)N、μ、σ、S和c無(wú)關(guān)。推論3②表明,在情形(2a′)條件下,期望利潤(rùn)隨著μ的增大而增大,隨著σ和c的增大而降低與N和S無(wú)關(guān)。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證基于自由分布的在線銷售企業(yè)訂貨及配送能力魯棒策略在應(yīng)對(duì)需求不確定性方面的有效性,對(duì)命題3和命題4進(jìn)行數(shù)值計(jì)算?？紤]兩種情形:情形I(N=0)表示在線銷售企業(yè)無(wú)原有配送能力,情形Ⅱ(N=2)表示在線銷售企業(yè)有原有配送能力,以分析在線銷售企業(yè)有無(wú)配送能力對(duì)最優(yōu)決策及期望利潤(rùn)的影響。此外,由于需求分布未知,本文還考慮將魯棒策略及期望利潤(rùn)與已知分布(如正態(tài)和均勻)下的最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)進(jìn)行比較,并進(jìn)一步比較魯棒策略代入正態(tài)分布和均勻分布模型下得到的期望利潤(rùn)。其中,已知在正態(tài)分布和均勻分布下的優(yōu)化問(wèn)題為:max E[π(q,x)]。其余參數(shù)設(shè)置為:p=50,c=12,S=16,β=2,μ=5,σ=1。此外,為清晰地表述不同分布情況下的決策及利潤(rùn),數(shù)值中:上標(biāo)R、N 和U 分別表示未知分布(對(duì)應(yīng)魯棒優(yōu)化)、正態(tài)分布和均勻分布下的解,RN和RU分別表示將魯棒策略代入正態(tài)分布和均勻分布獲得的利潤(rùn);上標(biāo)R1、N1和U1分別表示情形I(即N=0)下魯棒優(yōu)化、正態(tài)分布和均勻分布的解,RN1和RU1分別表示情形I下將魯棒策略代入正態(tài)分布和均勻分布獲得的利潤(rùn),情形II(即N=2)與情形I的表達(dá)方式類似,即將數(shù)字1替換為2來(lái)表示。

4.1 在線銷售企業(yè)原有配送能力N 對(duì)最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)的影響

首先分析在線銷售企業(yè)原有配送能力N對(duì)最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)的影響(見(jiàn)圖4、5)。由圖4(a)可知,隨著N的增加,3種分布下的訂貨量(qR、qN和qU)均呈遞增趨勢(shì);由圖4(b)可知,隨著N的增加,3種分布下的配送能力增量(xR、xN和xU)均呈遞減趨勢(shì)。該結(jié)果說(shuō)明,隨著原有配送能力的增加,企業(yè)所需增加的配送能力越來(lái)越少,由于總配送能力增加,故訂貨量呈增加趨勢(shì)。上述結(jié)論表明,原有配送能力將顯著影響企業(yè)訂貨量和配送能力決策,在線銷售企業(yè)應(yīng)根據(jù)自身原有配送能力的大小,適當(dāng)調(diào)整訂貨和配送能力策略。

圖4 不同參數(shù)N 下的訂貨量和配送能力增量

由圖5(a)可以看出,3種分布下的期望利潤(rùn)均隨原有配送能力N的增加呈遞增趨勢(shì)。特別地,由于不確定性的存在,魯棒期望利潤(rùn)低于正態(tài)分布和均勻分布下的最優(yōu)期望利潤(rùn)。需要注意的是,圖中魯棒期望利潤(rùn)(ΠR)是最壞分布下所能獲得的利潤(rùn),表示企業(yè)所能獲得的利潤(rùn)下界。換言之,當(dāng)現(xiàn)實(shí)中任何一種需求分布發(fā)生時(shí),采取文中方法得到的魯棒訂貨量和配送能力策略都將獲得不低于最壞分布下的期望利潤(rùn),這一點(diǎn)可以進(jìn)一步從圖5(b)中觀察到。由圖5(b)可知,魯棒策略代入均勻或正態(tài)分布得到的期望利潤(rùn)與相應(yīng)分布下得到的最優(yōu)期望利潤(rùn)相差較小,但仍大于魯棒期望利潤(rùn)。特別地,魯棒策略導(dǎo)致的績(jī)效損失隨著原有配送能力的增加而增大,當(dāng)N=0時(shí),魯棒策略用于正態(tài)和均勻分布下的績(jī)效損失最小,損失比例分別為0.45%和0.19%;當(dāng)N=4.5 時(shí),績(jī)效損失最大,損失比例均為2.90%。該結(jié)果說(shuō)明,在線銷售企業(yè)的原有配送能力較大時(shí),會(huì)導(dǎo)致一定的利潤(rùn)績(jī)效損失,但與已知分布下的利潤(rùn)績(jī)效相比,損失值很小。上述結(jié)論表明,當(dāng)在線銷售企業(yè)原有配送能力發(fā)生變化時(shí),無(wú)論需求的真實(shí)分布如何,魯棒策略都具有很強(qiáng)的適用性,進(jìn)一步說(shuō)明本文所建模型在應(yīng)對(duì)不確定性方面具有良好的魯棒性。

圖5 不同參數(shù)N 下的期望利潤(rùn)

4.2 需求均值μ 和標(biāo)準(zhǔn)差σ 對(duì)最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)的影響

為了分析不確定市場(chǎng)需求的分布特征對(duì)最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)的影響,首先固定σ=1,令μ在范圍[1,10]內(nèi)變動(dòng),然后固定μ=5,令σ在范圍[1,5.5]內(nèi)變動(dòng),結(jié)果如圖6～9所示。

由圖6知,隨著需求均值μ的不斷增大,3種分布下情形I和情形II的最優(yōu)訂貨量(qR1、qN1、qU1和qR2、qN2、qU2)以及最優(yōu)配送能力增量(xR1、xN1、xU1和xR2、xN2、xU2)均呈遞增趨勢(shì)。這是由于需求均值越大,表明市場(chǎng)需求越大,故在線銷售企業(yè)會(huì)增加訂貨量來(lái)滿足需求;當(dāng)現(xiàn)有配送能力不足時(shí),在線銷售企業(yè)會(huì)增加配送能力來(lái)滿足需求。綜合情形I和情形II結(jié)論,表明無(wú)論在線銷售企業(yè)是否擁有配送能力,不確定需求均值對(duì)3種分布的最優(yōu)決策的影響程度基本相似。

圖6 不同參數(shù)μ 下的訂貨量和配送能力增量

由圖7(a)知,隨著需求標(biāo)準(zhǔn)差σ的增大,3種分布下情形I和情形II的最優(yōu)訂貨量(qR1、qN1、qU1和qR2、qN2、qU2)均呈遞增趨勢(shì)。由圖7(b)可知,對(duì)于情形I,隨著σ的增大,未知分布下的配送能力增量(xR1)呈現(xiàn)比正態(tài)和均勻分布下(xN1和xU1)更為急劇的下降趨勢(shì)。當(dāng)在線銷售企業(yè)自身無(wú)配送能力時(shí),增加配送能力所需的成本較大,為了防止運(yùn)力供大于求,隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增大,在線銷售企業(yè)傾向于不斷減少配送能力。此外,標(biāo)準(zhǔn)差越大,說(shuō)明市場(chǎng)需求波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)越高,由于魯棒優(yōu)化方法對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡決策,故在配送能力擴(kuò)張方面更為謹(jǐn)慎。當(dāng)企業(yè)無(wú)任何原有配送能力時(shí),隨著配送能力的增加,魯棒訂貨量呈顯著遞增趨勢(shì)。對(duì)于情形II,隨著標(biāo)準(zhǔn)差σ的增大,魯棒配送能力增量(xR2)較為平穩(wěn),正態(tài)和均勻分布下配送能力增量(xN2和xU2)均呈緩慢遞增趨勢(shì)。這是由于在線銷售企業(yè)自身有配送能力時(shí),無(wú)需大量增加配送能力,故隨著標(biāo)準(zhǔn)差的增大,在線銷售企業(yè)會(huì)靈活調(diào)整配送能力以應(yīng)對(duì)需求不確定性。綜合圖7可知,情形I的最優(yōu)配送能力增量水平高于情形II。上述結(jié)論表明,當(dāng)在線銷售企業(yè)無(wú)原有配送能力時(shí),需求標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)其最優(yōu)決策的影響程度較大。

圖7 不同參數(shù)σ 下的訂貨量和配送能力增量

根據(jù)圖8(a),對(duì)比情形I和情形Ⅱ可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)在線銷售企業(yè)有原有配送能力時(shí),市場(chǎng)需求較大(μ越大)時(shí),情形II的期望利潤(rùn)高于情形I且差額較大。這是由于具有配送能力的在線銷售企業(yè)受市場(chǎng)配送需求波動(dòng)的影響較小,且其只需增加少量配送能力即可滿足大部分需求。由圖8(b)可知,情形I和情形II下的魯棒策略代入已知分布得到的最優(yōu)期望利潤(rùn)與相應(yīng)分布下得到的最優(yōu)期望利潤(rùn)相差較小,進(jìn)一步說(shuō)明本文得到的魯棒策略適應(yīng)性較強(qiáng)。

圖8 不同參數(shù)μ 和需求分布下的期望利潤(rùn)

由圖9可以看出,情形I和情形II的期望利潤(rùn)均隨σ的增大呈遞減趨勢(shì),說(shuō)明較高的市場(chǎng)波動(dòng)將對(duì)企業(yè)利潤(rùn)產(chǎn)生不利影響。此外,由圖9進(jìn)一步看出,3種分布下情形II的期望利潤(rùn)均高于相應(yīng)情形I的期望利潤(rùn)。圖8、9的結(jié)論表明,在線銷售企業(yè)一方面可通過(guò)市場(chǎng)營(yíng)銷活動(dòng)刺激市場(chǎng)需求的增加;另一方面可通過(guò)對(duì)往年的市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并做出合理預(yù)測(cè),以降低市場(chǎng)需求不確定性,從而制定更加準(zhǔn)確的運(yùn)作策略以提高期望利潤(rùn)。

圖9 不同參數(shù)σ 下的期望利潤(rùn)

4.3 單位延遲交貨損失S 對(duì)最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)的影響

圖10、11進(jìn)一步給出了延遲交貨損失S對(duì)最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)的影響。

由圖10可知,對(duì)于情形I,隨著延遲交貨損失S的不斷增大,魯棒訂貨量(qR1)呈遞增趨勢(shì),正態(tài)和均勻分布下的訂貨量(qN1和qU1)均呈遞減趨勢(shì),最優(yōu)配送能力增量(xR1、xN1和xU1)均呈遞增趨勢(shì)。對(duì)于情形II,隨著S不斷增大,魯棒訂貨量(qR2)呈遞增趨勢(shì),正態(tài)和均勻分布下的訂貨量(qN2和qU2)均呈先遞減后不變的趨勢(shì),最優(yōu)配送能力增量(xR2、xN2和xU2)均呈遞增趨勢(shì)。無(wú)論在線銷售企業(yè)自身是否具有配送能力,為了盡可能地滿足市場(chǎng)需求,風(fēng)險(xiǎn)厭惡決策者(對(duì)應(yīng)未知分布)傾向于提高訂貨量水平以減少缺貨損失,風(fēng)險(xiǎn)中性決策者(對(duì)應(yīng)正態(tài)或均勻分布)則依據(jù)期望利潤(rùn)最大化模型制定決策。同時(shí),隨著延遲交貨損失逐漸增大,決策者不斷增加配送能力以滿足大部分的配送需求,從而避免延遲交貨帶來(lái)的巨大損失。綜合情形I和情形II的結(jié)論可知,當(dāng)在線銷售企業(yè)無(wú)配送能力時(shí),單位延遲交貨損失對(duì)其最優(yōu)決策的影響較大。

圖10 不同參數(shù)S 下的訂貨量和配送能力增量

由圖11(a)知,3種分布下的情形I和情形II的魯棒期望利潤(rùn)均低于相應(yīng)的正態(tài)和均勻分布下的期望利潤(rùn),但差額較小。由圖11(b)知,無(wú)論情形I還是情形II,魯棒策略用于正態(tài)和均勻分布時(shí)的期望利潤(rùn)與正態(tài)和均勻分布下的最優(yōu)期望利潤(rùn)相差較小,進(jìn)一步說(shuō)明本文模型具有良好的魯棒性。此外,由圖11還可看出,情形I和情形II的期望利潤(rùn)均隨S的增大呈遞減趨勢(shì),且不同分布下情形II的期望利潤(rùn)均遠(yuǎn)高于相應(yīng)情形I的期望利潤(rùn)。上述結(jié)論表明,當(dāng)單位延遲交貨損失較大時(shí),在線銷售企業(yè)可通過(guò)放棄一部分銷售收益來(lái)避免增加配送能力帶來(lái)的巨大損失。

圖11 不同參數(shù)S 的期望利潤(rùn)

4.4 單位訂貨成本c對(duì)最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)的影響

圖12、13給出了不同單位訂貨成本c下的企業(yè)最優(yōu)決策及期望利潤(rùn)變化情況。

圖12 不同參數(shù)c 下的訂貨量和配送能力增量

由圖12可知,隨著單位訂貨成本c的增大,訂貨量(qR1、qN1、qU1和qR2、qN2、qU2)均呈遞減趨勢(shì),配送能力增量(xR1、xN1、xU1和xR2、xN2、xU2)則變化較小。這是由于無(wú)論在線銷售企業(yè)是否具有配送能力,當(dāng)單位訂貨成本增大時(shí),意味著采購(gòu)成本較高,企業(yè)會(huì)選擇降低訂貨量,同時(shí)適度地降低或維持一定的配送能力增量來(lái)滿足配送需求。

由圖13可以看出,情形I和情形II的期望利潤(rùn)均隨c的增大呈遞減趨勢(shì),且每種情形下不同分布的期望利潤(rùn)值差額較小。特別地,魯棒策略導(dǎo)致的績(jī)效損失隨著單位訂貨成本的增加而增大,在情形I和情形II下,魯棒策略用于正態(tài)分布時(shí)的最小績(jī)效損失比分別為0.16%和0.73%,最大績(jī)效損失比分別為1.31%和2.92%;而用于均勻分布時(shí)的最小績(jī)效損失分別為0.08%和0.60%,最大績(jī)效損失比分別為0.91%和2.52%?？梢钥闯?當(dāng)需求分布未知時(shí),采取本文方法得到的魯棒策略雖然會(huì)導(dǎo)致績(jī)效損失,但損失比很小,說(shuō)明本文模型得到的魯棒策略能夠有效抑制需求不確定性擾動(dòng),并確保良好的運(yùn)作績(jī)效。

圖13 不同參數(shù)c 下的期望利潤(rùn)

5 結(jié)論

基于在線銷售企業(yè)網(wǎng)絡(luò)促銷時(shí)期面臨的問(wèn)題,本文在市場(chǎng)隨機(jī)需求概率分布不確定條件下,研究了在線銷售企業(yè)的訂貨量和配送能力魯棒策略問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)建在線銷售企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)模型,建立了相應(yīng)的魯棒優(yōu)化模型,并采用對(duì)偶理論將魯棒對(duì)應(yīng)模型轉(zhuǎn)化為易于求解的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。此外,為了驗(yàn)證魯棒策略的有效性,將魯棒策略與需求服從正態(tài)和均勻分布時(shí)的策略進(jìn)行比較。數(shù)值結(jié)果表明:

(1)無(wú)論需求分布是否確定,在一定范圍內(nèi),在線銷售企業(yè)的最優(yōu)訂貨量都隨自身原有配送能力的增加而增加,最優(yōu)配送能力增量隨自身原有配送能力的增加而降低。需求均值越大或標(biāo)準(zhǔn)差越小,企業(yè)所能獲得的利潤(rùn)越高。

(2)在線銷售企業(yè)自身具有配送能力時(shí),其在不同分布下得到的期望利潤(rùn)一般均高于無(wú)配送能力的情形。

(3)無(wú)論需求分布是否已知,在線銷售企業(yè)的總配送能力始終小于或等于訂貨量。

(4)當(dāng)在線銷售企業(yè)無(wú)配送能力時(shí),其最優(yōu)策略及期望利潤(rùn)受不確定性因素的影響較大,反之則較小。

(5)基于本文模型得到的魯棒策略下的期望利潤(rùn)與正態(tài)和均勻分布下得到的期望利潤(rùn)相差較小,且與魯棒策略應(yīng)用于正態(tài)和均勻分布下得到的期望利潤(rùn)相差也較小。這說(shuō)明,即使需求存在不確定性,本文模型得到的魯棒策略仍能保證在線銷售企業(yè)獲得較為理想的利潤(rùn)績(jī)效。

根據(jù)上述結(jié)論,得到如下管理啟示:

(1)當(dāng)需求不確定時(shí),無(wú)論在線銷售企業(yè)自身是否擁有配送能力,其均可通過(guò)對(duì)需求參數(shù)進(jìn)行估計(jì),并根據(jù)得到的需求均值和方差信息做出合理的訂貨和配送能力決策。此外,通過(guò)營(yíng)銷活動(dòng)刺激需求增加并提高對(duì)市場(chǎng)需求的預(yù)測(cè)精度均有利于企業(yè)利潤(rùn)的增加。

(2)在線銷售企業(yè)應(yīng)確定適當(dāng)?shù)淖杂信渌湍芰σ云胶膺\(yùn)營(yíng)成本和銷售利潤(rùn),從而提高期望利潤(rùn)。

(3)當(dāng)配送能力不足需要擴(kuò)張時(shí),在線銷售企業(yè)應(yīng)采用適當(dāng)?shù)呐渌湍芰Q策,使總配送能力水平不超出其訂貨量水平以減少擴(kuò)張成本,從而獲得更高的期望利潤(rùn)。

(4)在線銷售企業(yè)自身無(wú)配送能力時(shí),應(yīng)權(quán)衡其不確定風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)能力與配送服務(wù)的運(yùn)營(yíng)成本,從而決定是否開(kāi)發(fā)配送服務(wù)來(lái)應(yīng)對(duì)不確定性因素產(chǎn)生的影響。

(5)當(dāng)面對(duì)不確定市場(chǎng)需求時(shí),管理決策者可通過(guò)魯棒優(yōu)化方法得到最優(yōu)策略,以有效抑制需求不確定性擾動(dòng)產(chǎn)生的負(fù)面影響。

本文只考慮了單一決策主體的訂貨量與配送能力決策問(wèn)題,進(jìn)一步可考慮供應(yīng)鏈上多個(gè)決策主體以及通過(guò)不同的供應(yīng)鏈契約對(duì)其進(jìn)行協(xié)調(diào)問(wèn)題研究。此外,還可考慮從多級(jí)供應(yīng)鏈和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)不確定性建模等方面進(jìn)行拓展,研究基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的供應(yīng)鏈訂貨及配送能力決策問(wèn)題也是未來(lái)的研究方向。

附錄A

命題1的證明

證明思路:通過(guò)求解圖2中每種情形下的對(duì)偶問(wèn)題式(6),得到最優(yōu)和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)目標(biāo)值,該最優(yōu)目標(biāo)值等價(jià)于問(wèn)題式(5)的最優(yōu)目標(biāo)值U(D)。進(jìn)一步,可得在線銷售企業(yè)在最壞分布下的期望利潤(rùn)Π(q,x)=U(D)-cqβx2/2。

對(duì)于情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N +x＜q)。以不確定需求服從3點(diǎn)分布的情形(1a)以及兩點(diǎn)分布的情形(2a)為例,證明過(guò)程如下:

(1)不確定需求服從3點(diǎn)分布。

(1a)當(dāng)N+x＜q時(shí),g(D)由如下3條直線構(gòu)成:l0:y=p D,l1:y=(p-S)D+S(N +x),l2:y=(p-S)q+S(N+x)。假設(shè)光滑曲線G(D)=y0+y1D+y2D2與g(D)相切于D0、D1和D23點(diǎn),且滿足條件0≤D0＜N+x,N+x≤D1＜q和D2≥q,如圖2所示。根據(jù)相切條件,切點(diǎn)滿足如下方程組:

將式(A2)代入式(A1),得τ=此時(shí),滿足原可行解F*(D)的互補(bǔ)松弛條件的對(duì)應(yīng)對(duì)偶解為:

命題2的證明與命題1證明類似,在此略去。

命題3的證明

在命題1的證明基礎(chǔ)上,最大化每種情形最壞分布下的期望利潤(rùn)(由命題1給出),以尋找最優(yōu)的訂貨量和配送能力增量。

對(duì)于情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N+x＜q)。以情形(1a)、(2a)和(2b)為例,證明過(guò)程如下:

(1)不確定需求服從3點(diǎn)分布。

(1a)由命題1知

命題4的證明與命題3證明類似,在此略去。

推論1的證明

對(duì)于情況(1),即總配送能力小于訂貨量(N+x＜q)。

(1)不確定需求服從3點(diǎn)分布。

(1a)由命題3知最優(yōu)訂貨量q*和最優(yōu)配送能力增量x*滿足式(8)、(9)兩個(gè)關(guān)系式,根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,可分別對(duì)q*和x*關(guān)于參數(shù)N、μ、σ、S和c進(jìn)行求導(dǎo)。以參數(shù)N為例,由命題3可得如下方程組:

由?q*/?N=-J1/J得到最優(yōu)訂貨量q*關(guān)于參數(shù)N的一階偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)-J1/J＞0時(shí),訂貨量q*隨著原有配送能力N的增大而增大;當(dāng)-J1/J＜0時(shí),q*隨著N的增大而降低。

由?x*/?N=-J2/J得到最優(yōu)配送能力增量x*關(guān)于參數(shù)N的一階偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)-J2/J＞0時(shí),配送能力增量x*隨著N的增大而增大;當(dāng)-J2/J＜0時(shí),x*隨著N的增大而降低。其余參數(shù)的分析與N相似。由于情形(1a)的最優(yōu)解無(wú)解析表達(dá)式,故未對(duì)相應(yīng)情形的最優(yōu)期望利潤(rùn)進(jìn)行靈敏度分析。推論1(1a)證畢。

(1b)由命題3知最優(yōu)訂貨量q*和最優(yōu)配送能力增量x*滿足式(10)、(11)兩個(gè)關(guān)系式,根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,可分別對(duì)q*和x*關(guān)于參數(shù)N、μ、σ、S和c進(jìn)行求導(dǎo)。以參數(shù)N為例,由命題3可得如下方程組: