周霄漢

(中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所，北京 100190)

1 前言

現(xiàn)存最早的中國古代算盤的圖像，存在于北宋張擇端繪制的《清明上河圖》中。在畫卷左側(cè)“趙太丞家”藥鋪柜臺上擺放著一件算盤(1)科技史家嚴(yán)敦杰先生于上世紀(jì)六十年代初發(fā)現(xiàn)，珠算史家余介石曾到故宮博物院調(diào)查，推斷為算盤。八十年代經(jīng)攝影放大，算盤圖像比較清晰，得到多數(shù)人的承認(rèn)。見參考文獻(xiàn)[1]，第33頁。。元初畫家王振鵬繪制于元至大三年(1310)的《乾坤一擔(dān)圖》中，挑貨郎的貨筐中插著一件矩形物品，從其露出的部分來看，與現(xiàn)代算盤的形制已經(jīng)基本接近，可以認(rèn)定是算盤(2)據(jù)華印椿先生所述，該算盤由美術(shù)家錢定一(1915—2010)在民國時期有正書局出版的《中國名畫集》中發(fā)現(xiàn)(見參考文獻(xiàn)[1]，第55頁)。該圖像被多部珠算史著作和論文所引用(見參考文獻(xiàn)[1]，第35—36頁；[2—4])。然而，有正書局所影印《中國名畫集》第三十六集中僅注明該畫為“Ping Teng Ko(平等閣)”所收藏。平等閣歸屬有正書局創(chuàng)辦人、晚清民國時期的收藏家狄平子(1872—1941)先生。該畫集未注明該繪畫來源，對其流傳尚缺考證(見參考文獻(xiàn)[5])。?，F(xiàn)存的多部明代《魁本對相四言雜字》或《新編對相四言》[6]這類兒童看圖識字類的蒙書中，繪制有算盤和籌算算子([1]，頁61—64)。書中算盤圖示清晰可見，共十個檔位，橫梁之上為二枚算珠，橫梁下為五枚算珠。這兩種算具與水果、衣物、生活用品等混雜排列于書中。這些存在于繪畫作品和兒童蒙書中的算盤表明，在元明時期算盤似乎已經(jīng)進(jìn)入人們的日常生活，成為較為普遍的物件。相比而言，從現(xiàn)有文獻(xiàn)來看，數(shù)學(xué)著作中算盤圖像出現(xiàn)得較晚。在明末流傳廣泛的綜合性數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》(1592)[7]及其刪減精要本《算法纂要》(1598)[8]中均刊刻有算盤圖示。這一時期眾多包含日常生活各個方面知識和技藝的“日用類書”中，如《新鍥全補(bǔ)天下四民利用便觀五車拔錦》[9]《新板增補(bǔ)天下便用文林妙錦萬寶全書》[10]等，也將算盤作為其“算法門”中必備的圖像展示。

然而，這些著作中僅僅含有一個算盤的圖示，被稱作“初學(xué)盤式”或“算盤定式”，展示了算盤在不表示任何數(shù)字的空檔時，或由左至右各檔表示出數(shù)字一、二、三……九的狀態(tài)。盡管有些算書所隱含的珠算的操作能夠通過其文字的描述推斷出來[11]，但是這些著作并不包含更多的算盤圖示來幫助讀者操作算盤。亦有如明代吳敬《九章比類算法大全》(1450)的算書，研究者尚不能通過其中文字描述完全確定當(dāng)時使用的算具是算籌抑或是算盤([12]；[13]，頁570；[14]，pp348—381)。

但是十六世紀(jì)末十七世紀(jì)初的著作，如徐心魯?shù)摹侗P珠算法》(1573)([15]，頁1—22；[16])，柯尚遷的《數(shù)學(xué)通軌》(1578)([15]，頁22—57；[17，18])和黃龍吟的《算法指南》(1604)([19]，第二冊，頁1423—1453)，是最早一批包含了較多算盤圖示的書。而且，算盤圖示在這些書中扮演了重要的角色，與其周圍的口訣文字一起，借助一種特殊的文本布局形式，共同指導(dǎo)讀者進(jìn)行珠算的學(xué)習(xí)。

此外，另外一部算書《九龍易訣算法》值得我們注意。這部著作的成書年代及作者尚不清楚，只題寫“聯(lián)捷堂允行”。該書在中國本土未見傳本，現(xiàn)有日本內(nèi)閣文庫藏本(3)日本學(xué)者兒玉明人1970年曾影印出版(見參考文獻(xiàn)[15]，第72—81頁)，亦收錄在靖玉樹所編《中國歷代算學(xué)集成》中(見參考文獻(xiàn)[20]，中冊，第2097—2106頁)。。當(dāng)代學(xué)者一般認(rèn)為該書內(nèi)容淺顯，與《盤珠算法》內(nèi)容較近，有互相抄襲的痕跡，因此對此書關(guān)注不多([20]，中冊，頁2096；[21])。但本文作者發(fā)現(xiàn)《九龍易訣算法》對我們理解最早的珠算著作《盤珠算法》中的一些模糊與舛誤之處，具有很大的幫助作用(4)例如，《盤珠算法》第6頁(下欄)頁末的問題與第7頁(下欄)頁初的“答曰”內(nèi)容和算盤圖示無法銜接(參見參考文獻(xiàn)[15]，第3—4頁)。經(jīng)與《九龍易訣算法》對比可知，《盤珠算法》第6頁(下欄)頁末的“答曰”內(nèi)容與第7頁(下欄)頁初的問題均遺失，通過《九龍易訣算法》可以恢復(fù)此兩題的原貌。《盤珠算法》中的刊刻錯誤和計算失誤很多，但從當(dāng)時操作者的角度而言，有些屬于應(yīng)予糾正的“隨機(jī)性失誤”，而有些則源于他們對計算精度和操作方式的系統(tǒng)性認(rèn)識，原文不宜輕易校改。區(qū)分這兩種錯誤的依據(jù)，可通過對比分析《盤珠算法》和《九龍易訣算法》得到，詳見下文。。

二十世紀(jì)以來，無論是專注珠算歷史的學(xué)者，還是一般的數(shù)學(xué)史家，均對古代珠算展開過研究，取得豐富的成果([1—3]；[22]；[23]，頁315—374；[24])。近年來，國際科學(xué)史界各國學(xué)者逐漸變換角度，開始關(guān)注作為算具的算籌和算盤在文本中的視覺再現(xiàn)，或以此還原古代某些精細(xì)的數(shù)學(xué)操作和獨(dú)特的“圖”的使用方式[25，26]，或探討這些圖示對數(shù)學(xué)知識認(rèn)知和學(xué)習(xí)的影響[27]。

針對《盤珠算法》《詳明算法》《算法指南》等珠算書，陳怡夫的博士論文通過對珠算圖示和周圍口訣文本的細(xì)致分析，揭示了這一時期珠算過程中不同的撥動算珠的方式，也指出這些算盤圖示與當(dāng)時實(shí)際使用的算盤或許存在差異[28]。Alexei Volkov教授的文章分別分析《算學(xué)寶鑒》中的籌算圖示和《盤珠算法》中的算盤圖示，展示了這些算具圖示在數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)過程中的作用[27]。

但是仍有兩個問題，前人的研究尚未完全解決或未闡釋清晰，本文將予以分析討論：一是在上述各珠算著作的算盤圖示中黑珠和白珠的意義，及其在展示珠算操作中的作用；二是珠算圖示是如何與其周圍的文字相互聯(lián)系，共同展示一個算法的操作。明白這兩個問題，將使得我們對了解古代讀者使用和學(xué)習(xí)這些普及性珠算著作的過程，有更加深入的認(rèn)識。

2 算盤圖示中黑珠和白珠的意義與作用

黑白兩色的算珠出現(xiàn)在多部珠算著作中，下面的研究將展示，不同著作對算珠顏色的使用并不遵循同樣的規(guī)則，但是它們確有一些共同性。讓我們先以《盤珠算法》為例，研究其中黑白算珠的表示方法。針對這些算珠，靖玉樹先生曾提到“在這些圖中，都用黑白珠分別代表‘動珠’和‘靜珠’。以說明運(yùn)算過程”([20]，中冊，頁2096)。但是靖先生未詳細(xì)解釋何為“動珠”和“靜珠”。陳怡夫先生則有這樣的描述：大多數(shù)的加的結(jié)果通過激活的(activées)白算珠來表示，剩下的則為未激活的(désactivées)黑算珠。而相反，減的結(jié)果則通過激活的黑算珠來表示，剩下的則為未激活的白算珠。至于在加、減兩種運(yùn)算中黑、白兩色的選擇，陳怡夫推測或許與中國哲學(xué)中的陰陽概念有關(guān)([28]，pp30—31)。

Alexei Volkov教授卻認(rèn)為“算珠的顏色與他們的激活(active)和未激活(passive)的狀態(tài)沒有聯(lián)系”。其解釋激活狀態(tài)為算珠參與到在算具上表示一個數(shù)字并被移動到(靠向)算盤中部的橫梁，未激活的狀態(tài)是指算珠不表示任何數(shù)字并被移動到(靠向)算盤的邊框，并以“第一上法”和“第一退法”中的算盤圖示支持這樣的闡釋(圖1)。Volkov指出顏色實(shí)際上有一個特殊的作用：白色是用來指示那些在算具上進(jìn)行最后一次操作時移動的算珠，然而黑色是用來表示那些沒有被碰觸的算珠([27]，p295)。郭世榮教授和張升執(zhí)筆的《中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷》中“珠算的普及與籌算的消失”小節(jié)提及“所繪算盤圖式……用白子或黑子來區(qū)分已用子或未用子”([13]，頁572)，但未詳細(xì)闡述。

圖1 《盤珠算法》中“第一上法”和“第一退法”的算盤圖示([15]，頁1)

為了探究這個問題，我們先對這些算盤圖示所出現(xiàn)的文本語境作一介紹?！侗P珠算法》一書采用了一種較為獨(dú)特的版面結(jié)構(gòu)，除首頁包含人物和算盤的場景插圖之外，所有版面均以黑色橫欄分為兩部分。上欄占三分之一頁面，下欄占三分之二頁面。這種版面設(shè)計與明代眾多日用類書和通俗讀物的排版類似，文學(xué)史家和印刷史家已有關(guān)注和研究[29]，指出此排版與明代開始流行的針對大眾讀物的跳躍式瀏覽的閱讀方式有關(guān)。絕大多數(shù)情況下，上下欄內(nèi)的內(nèi)容沒有直接的關(guān)系。閱讀的順序基本上是第一頁的上欄連接第二頁的上欄，再連接第三頁的上欄；第一頁的下欄連接第二頁的下欄，再連接第三頁的下欄，等等。

我們所關(guān)注的五十四幅珠算算圖絕大多數(shù)都位于上欄，而位于下欄的算盤圖示與上欄算盤圖示在功能上也有明顯的區(qū)分，本文下節(jié)將會涉及。該書正文開始的第一頁的上欄便放置了“第一上法”的算盤圖示和相應(yīng)的口訣。從“一，上一”“二，上二”至“九，上九”，這九句口訣均來自第一、二頁下欄的“隸首上訣”。分別表示在每一個檔位上進(jìn)行“加一、加二……加九”的撥珠操作。比如，“一，上一”，意味著“(如果)要將某一數(shù)位上的數(shù)加一，則要在該檔位向上撥動一顆算珠”。當(dāng)然，針對檔位上原有算珠數(shù)量情況的不同，有不同種撥動算珠的方式以實(shí)現(xiàn)加一的目的，比如“一，下五除四”和“一，退九進(jìn)一十”。對此“隸首上訣”的小字注文分別有清楚的解釋。

如本行下五子俱已在位，今又要上一，則下無一可上。故于上面下一是五，復(fù)于下面去四，故上得一。

如本位子滿在位，又要加一，卻無一可加。故幾退去九子，卻于上位還一子當(dāng)下位十子，卻正一也。([15]，頁1)

“第一上法”中各個檔位上的數(shù)字均為零，只用到“隸首上訣”中最簡單的操作口訣，需要加幾即在該檔位上撥上幾顆算珠。而被撥上的算珠在“第一上法”的算盤圖示中均為白色。

在第二頁的上欄位置，出現(xiàn)的是“第一退法”的圖示及口訣。這些口訣均來自隨后幾頁內(nèi)下欄的“退法要訣”。分別表示在原有檔位的數(shù)字內(nèi)減去(“退”)某數(shù)時，需要對該檔位算珠的操作。需要說明的是，在進(jìn)行“第一退法”之前，盤上各檔位上是有算珠的，從左至右算珠表示的數(shù)分別是“十、十、十、十、十、十、十、十、一”，“十”以一顆上珠和五顆下珠表示。整個盤上算珠表示的數(shù)字為“1，111，111，101”。這一數(shù)字是進(jìn)行九次“上法”(即連續(xù)加九次123，456，789)后得到的。在這個數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的“第一退法”，所得的結(jié)果與算盤圖示基本吻合(5)左起第八檔位梁下應(yīng)有四顆白珠，算盤圖示中遺漏一顆。，而在這個操作過程中，被撥下去的算珠以白色表示。因此，僅就這兩個算盤圖示和圖示下的文字來看，基本符合Volkov教授的描述，除“第一退法”中左起第九檔外，可以認(rèn)為白珠是形成這種布局的最后操作中被移動的算珠。

但這樣的觀點(diǎn)對其余的“上法”和“退法”的算盤圖示則無法解釋。我們可以明確，在該書中“上法”和“退法”的算盤圖示雖然逐個交替排布，但是它們操作上的關(guān)聯(lián)并非如此。華印椿先生曾指出“珠算加減基本功的傳統(tǒng)練習(xí)法有兩種，一種是‘九盤清’或‘七盤清’……九盤清首先見于徐心魯訂正的《盤珠算法》的上法、退法盤式圖。這種方法是在空盤上連加123，456，789九遍……柯尚遷《數(shù)學(xué)通軌》中用‘九九進(jìn)退圖’演算九盤清。程大位《算法統(tǒng)宗》中稱此法為‘九九八十一’。沈士桂《簡捷易明算法》中稱此法為‘九遍堆垛法’([1]，頁139—140)”。由此，在《盤珠算法》中緊接著“第一上法”進(jìn)行的操作是跳過“第一退法”后的“第二上法”(6)這種閱讀方式或許跟該書的裝訂方式和使用方式有關(guān)?，F(xiàn)在《盤珠算法》的影印本均將該書從版心處展開，兩頁內(nèi)容還原為一個版面。但如果以原線裝的方式去看此書，所有“上法”的算盤圖示及操作口訣均處在今天被稱作書籍偶數(shù)頁的頁面上，所有“退法”的算盤圖示及操作口訣均處在書籍奇數(shù)頁。而且“上法”“退法”的算盤圖示均單獨(dú)位于上欄，在翻閱時視覺焦點(diǎn)只需停留在書本的固定位置。有理由推測當(dāng)時的讀者使用此書作為自己練習(xí)珠算加減撥珠的訓(xùn)練手冊，而在練習(xí)時，一手撥打算盤，書籍并非平攤在桌面，而是僅封面或封底貼靠桌面，另一手以拇指掀翻書頁。如此視線不必在書頁上游移尋找，即可參照口訣進(jìn)行撥珠，或者依靠算盤圖示核驗(yàn)撥珠結(jié)果是否正確。(圖2)，接著是“第三上法”，直至進(jìn)行了九次加“123，456，789”的“上法”之后(7)“第九上法”中算盤圖示左起第九檔位上算珠表示有誤，該位上的數(shù)字應(yīng)為一。，再在此基礎(chǔ)上，回到書籍第三頁上的上欄進(jìn)行“第一退法”，減去同樣的數(shù)據(jù)，直至九次退法后盤上所有算珠歸零。通過整個過程以達(dá)到訓(xùn)練加減法撥珠口訣和操作的目的。

圖2 《盤珠算法》中“第二上法”的算盤圖示([15]，頁1)

在理解這九次上法和九次退法之后，再讓我們考察其中黑白算珠表示的意義。在“第二上法圖”中可以清楚地看到，根據(jù)算盤下的描述，被圈出的幾個算珠都是在最后的操作中被移動的。從左至右它們分別對應(yīng)“三，下五除二”中的“除二”“七，上二去五進(jìn)一十”中的“去五”“八，退二進(jìn)一十”中的“退二”珠中的一顆，以及“九，退一進(jìn)一十”中的“退一”。這些所有移動的算珠仍然以黑色表示。

實(shí)際上，通過對各算盤圖示的考察，我們可以總結(jié)，在《盤珠算法》的諸種“上法”的算盤圖示中，首先在“第一上法”里被撥動的算珠以白色表示，此后的“上法”中(除了“第九上法”之外)，那些已經(jīng)被撥向算盤中部橫梁的算珠總保持白色不變，后續(xù)撥向橫梁的算珠也是白色，而一直靠近頂部或底部邊框或者后續(xù)撥向它們的算珠被著以黑色。簡單來說，除“第九上法”之外，只有白色的算珠是被用來表示數(shù)的算珠。相反，在諸種“下法”的算盤圖示中，首先在“第一退法”里被撥動的算珠仍然以白珠表示，此后的“退法”中，那些已經(jīng)被撥向算盤頂部或底部邊框的算珠總保持白色不變，后續(xù)撥向它們的算珠也是白色，而一直靠近橫梁的算珠以及后續(xù)撥向橫梁的算珠，均著以黑色。即只有黑珠是被用來表示數(shù)的算珠。而“第九上法”算盤圖示中所有的表示數(shù)的算珠均改為黑色，可以理解為是為銜接“第九上法”和下一步“第一退法”而作的準(zhǔn)備。由此看來，以往學(xué)者對黑白算珠做“動珠”“靜珠”的闡釋并不準(zhǔn)確，黑珠和白珠實(shí)際是與算盤上是否被用來表示數(shù)字直接相關(guān)，雖然在《盤珠算法》的“上法”和“退法”中用來表示數(shù)的這兩種顏色是恰恰相反的。

接下來的問題是，表示數(shù)的算珠和不表示數(shù)的算珠，通過與算盤橫梁的遠(yuǎn)近以及算珠之間的距離即可區(qū)別，為何還需要以黑白兩色加以區(qū)分？我們暫時無法完全解答這個問題，但另外一部珠算著作《數(shù)學(xué)通軌》中的算盤圖示或許可以給出考慮此問題的依據(jù)?！稊?shù)學(xué)通軌》使用白珠和黑珠的規(guī)則與《盤珠算法》有所不同，該書所有的“上法”和“退法”的算盤圖示里，均以白珠作為用來表示數(shù)的算珠。但《數(shù)學(xué)通規(guī)》中的一些細(xì)節(jié)證據(jù)可以支持這樣的一種論斷：珠算圖示中黑珠和白珠的區(qū)分，似乎只是在印本中突出表示數(shù)的算珠和不表示數(shù)的算珠之間的對比。

如圖3《算法指南》中算盤圖示的陰影部分標(biāo)注，或是橫梁下方的第一顆算珠距離中間的橫梁非常接近，或是橫梁上面的算珠位置不夠準(zhǔn)確，使讀者難于分辨哪個算珠在表示數(shù)，而哪個珠并不表示數(shù)。在這種算珠位置分辨不清的情況下，算珠的顏色恰能提供一個辨別數(shù)據(jù)的依據(jù)。此外，在每一檔位的黑珠和白珠之間，總被設(shè)計出現(xiàn)一道黑色豎線。這是因?yàn)樵凇端惴ㄖ改稀返乃惚P圖示中，橫梁下部算珠之間的距離并非準(zhǔn)確反映算盤上的真實(shí)情況。表面看來似乎下部算珠之間的距離是一樣的，然而，黑珠和白珠之間的豎線具有象征意義，它實(shí)則代表了這兩個異色算珠之間顯露出的貫串算珠的豎桿，表示該處異色的兩顆算珠之間的距離比其他珠之間的距離更大。以上的分析讓我們進(jìn)一步認(rèn)為，在這一時期珠算著作的算盤圖示中，黑白兩色更重要的作用是用來對比區(qū)分表示數(shù)和不表示數(shù)的算珠。黑白算珠之間或出現(xiàn)的豎線，更表明這些算盤圖示具有很強(qiáng)的象征性，并非是對一個真實(shí)使用的算具的描摹(8)李儼先生曾提到一個更重要的區(qū)別，《盤珠算法》一書中雖然描繪的算盤圖示是梁上一珠，梁下五珠，“實(shí)際計算時，是用梁上二珠，梁下五珠的算盤”(參見參考文獻(xiàn)[23]，第307頁)，但未作出解釋。華印椿先生引用日本珠算學(xué)者戶谷清一的發(fā)現(xiàn)，通過對書中“金蟬脫殼訣法”的例解說明，推定算盤是梁上二珠，不是一珠(參見參考文獻(xiàn)[1]，第74—75頁)。陳怡夫先生通過對歸法口訣的研究也能進(jìn)一步確認(rèn)這一點(diǎn)(參見參考文獻(xiàn)[28]，第39頁)。陳認(rèn)為在《盤珠算法》中，作者只畫出需要展示操作結(jié)果的算珠和檔位，僅僅依靠著作中的算盤圖示來推斷當(dāng)時所使用的算盤的結(jié)構(gòu)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?參見參考文獻(xiàn)[28]，第41—42頁)。。

圖3 《算法指南》中的算盤圖示([19]，第二冊，頁1429)

此外，我們進(jìn)一步考察，在這些算盤圖示中，如果暫不考慮《盤珠算法》在“退法”諸圖示中以黑珠表示數(shù)字的情況，綜合各珠算書中的大多數(shù)情況，我們是否可以認(rèn)為白珠表示的是算盤計算的結(jié)果？在《盤珠算法》中，可以借助一些解答過程輔以算盤圖示的具體問題來考慮，比如：

如有銀二千六百五十三兩二錢，五百一十五人分之。問每人該銀若干？

答曰：五兩一錢五分一厘八毫二絲三忽。([15]，頁3)

如暫不考慮題目數(shù)據(jù)的單位和結(jié)果的“定位”問題，這道題可以被簡化為2653.2與515之間的除法。在《九龍易訣算法》中一道算題與此題描述文字基本相同，問題數(shù)據(jù)和答案均完全一致。下文會回到這道題的整個計算過程，此處只關(guān)注算盤圖示中最右端的兩位用白色算珠表示的數(shù)，分別是“二”和“三”，對應(yīng)“答曰”中商數(shù)的最后兩位“二絲三忽”。無論是《盤珠算法》還是《九龍易訣算法》，算盤上所有算珠整體表示的數(shù)與題目陳述的答案如用現(xiàn)代小數(shù)表示，均為5.151823。然而以現(xiàn)在的數(shù)學(xué)方式計算515除以2653.2，得到的正確答案是5.15184466……比較可知，上述結(jié)果最后兩位白色算珠表示的數(shù)實(shí)際上并不屬于我們所認(rèn)為的“正確答案”。可是如果按照算盤圖示下的操作口訣還原其完整的操作過程(詳見下節(jié))，便會發(fā)現(xiàn)這兩位數(shù)字是在得到“5.1518”這部分的商數(shù)之后，被除數(shù)(“實(shí)”)所剩的余數(shù)。因?yàn)樵谒惚P的這兩個檔位上沒有繼續(xù)進(jìn)行“歸除”的操作，他們便與其他商數(shù)一起保留在算盤上。這兩部算書均將這兩顆白珠表示的數(shù)當(dāng)做了商的最后兩位，故其聲稱的答案也是5.151823。這個例子表明，大多數(shù)情況下算盤圖示中的白色算珠僅僅表示根據(jù)口訣進(jìn)行操作之后留在算盤橫梁一側(cè)的算珠的最后布局，但是古代的珠算操作者會將這個數(shù)據(jù)當(dāng)做問題的答案(9)郭世榮、張升曾注意到這個問題，舉了上述算例，并提到書中其他算題也做了同樣的處理(參見參考文獻(xiàn)[13]，第572頁)。本文作者認(rèn)為因《盤珠算法》中算盤圖示和文字都有較多舛誤，需配合《九龍易訣算法》或其他算書中算題、解法和圖示，進(jìn)一步認(rèn)為古代操作者具有此種操作和記錄結(jié)果的方式。。《盤珠算法》中的另一道涉及除法的算題如下：

如有前銀二百六十五兩三錢二分買米，每石價銀二錢九分。問該銀若干？

答曰：九百一十四石八斗六合九勺。([15]，頁3)

其算盤圖示中白珠表示的數(shù)據(jù)對應(yīng)914.8954。同樣的題目，在《九龍易訣算法》中“答曰”的結(jié)果為“九百一十四石八斗九升一合九勺”，算盤圖示中白珠表示的數(shù)據(jù)對應(yīng)964.8914。暫不考慮單位的情況下，該題可以簡化為計算以0.29除265.32的商值，其真實(shí)的結(jié)果應(yīng)為914.896552……然而兩部算書中該題聲稱的答案均與算盤圖示中的白珠表示的數(shù)有出入，也均非正確的答案。但是知道了白珠的意義以及算書作者理解“商數(shù)”的方式，我們可以了解這些矛盾數(shù)據(jù)背后的原因，知道這些算盤圖示錯誤的類型：哪些地方僅僅是刊刻的隨機(jī)性失誤(如《盤珠算法》“答曰”中的“六合九勺”應(yīng)為“一合九勺”，算盤圖示最右側(cè)檔位算珠“五”應(yīng)為“九”；《九龍易訣》算盤圖示左起第二檔位算珠“六”應(yīng)為“一”，最右側(cè)檔位算珠“五”應(yīng)為“九”)，哪些地方是系統(tǒng)性誤差(如兩書算盤圖示的最右側(cè)兩檔位算珠應(yīng)為“一”“九”，不宜按今之計算結(jié)果校改)(10)Volkov教授在其文章中列舉《盤珠算法》各題的數(shù)據(jù)，包括“答曰”后的結(jié)果、現(xiàn)在計算的正確答案，以及算盤上表示的數(shù)據(jù)。Volkov首先指出這些數(shù)據(jù)之間的差異，但并未分析這種差異產(chǎn)生的可能原因。。

3 算盤圖示與操作口訣之聯(lián)系

在考查算珠顏色的含義和作用之后，讓我們分析算盤圖示整體與其周圍的操作口訣之間的關(guān)系，以及它們是如何在一起通過特殊的文本排布形式來展示完整的珠算操作的。與“上法”“退法”“因法”“歸法”置于頁面上欄的算盤圖示不同，包含算盤圖示的具體算題被置于下欄，占據(jù)更大的頁面空間(圖4)。仍以上述可簡化為“以515除2653.2”的題目為例，一道完整的包含解答和算盤圖示的除法算題包含如下幾個部分：題目問題、答案、算盤圖示(上方標(biāo)注被除數(shù)“實(shí)”、右下方標(biāo)注除數(shù)“法”)、提示撥珠操作起始端的語句“此邊打起”、提示所用計算方法的標(biāo)題“歸除式”和提示計算得以逆向驗(yàn)證的語句“乘法還原”，以及每個檔位上算珠操作所依據(jù)的“口訣”及具體移動算珠的文字描述。

圖4 《盤珠算法》中包含算盤圖示的算題([15]，頁3)

這些元素以一種特殊的文本形式排布，共同向其讀者展示一道除法運(yùn)算的操作過程。其中內(nèi)容最多、對理解珠算操作最重要的是最后一部分“珠算口訣及移動算珠的文字描述”，而有關(guān)這部分文字閱讀的順序和方式是解讀珠算操作的關(guān)鍵。雖然中國古代書籍的閱讀方式是以從上至下、從右至左，題問部分和“答曰”部分仍然遵循這樣的閱讀方向，但是這些口訣的閱讀方式則較為復(fù)雜，與正常閱讀方式迥異。具體來說，這段文字可以分為十個片段：a.五二倍作四，逢五進(jìn)一十。b.五除五，五五二十五，二除十還八，五除十還五。c.逢五進(jìn)一十。d.一除一，一五除五，五除十還五。e.五二倍作四，逢五進(jìn)一十。f.五除五，五五除二十五，二除十還八，五除十還五。g.逢五進(jìn)一十。h.一除一，一上四去五，一五除五，五除一還五。i.五四倍作八。j.八除八，八除十還二，五八除四十，四下一去五。

在每一個片段內(nèi)，文字仍是大小字連續(xù)，并先閱讀右側(cè)一列再讀左側(cè)。而針對這些片段，需要遵循算盤圖示左側(cè)“此邊打起”的指示，從左上側(cè)的片段a開始讀起。每一個片段的口訣均指示著在這一檔位及其相鄰的檔位上算珠的操作。例如，“五二倍作四”，這句來自“九歸口訣”中的語句，意思是以“五”除這個檔位原有的數(shù)字“二”時，將該檔位上的數(shù)字“二”變?yōu)椤八摹薄Ｍ瑯觼碜浴熬艢w口訣”中的“逢五進(jìn)一十”，表示某一檔位上的數(shù)字等于或大于五時，那么用“五”來除該檔位上的數(shù)時，需要先進(jìn)行“逢五”便向其前一檔位進(jìn)“一”的操作。片段b中的文字表示在得到該位的商“五”之后，用該位上的商分別乘以除數(shù)(“法”)余下的兩位：“一”和“五”。再在原來表示被除數(shù)(“實(shí)”)的白珠內(nèi)“減去”(11)口訣中使用的術(shù)語為“除”，為“除去”之意，表示“減”。乘得的結(jié)果。商數(shù)“五”和除數(shù)“五一五”中的“一”乘得的結(jié)果為五，即片段b中“五除五”之意，需在相應(yīng)的檔位減去“五”。另外，“五”和“五一五”最后一位的“五”相乘結(jié)果為“二十五”，需在相應(yīng)的檔位上分別減去“二”和“五”(12)具體而言，在商“五”的檔位之后的第二位減去五，在此“減五”的檔位上再減去二，在商后的第三位上減去五。。而最后的“除十還八”和“除十還五”則是針對檔位上原有不同的算珠數(shù)而進(jìn)行的減“二”和減“五”的操作。

這些口訣的用法和“歸除”法的原理在珠算史研究中已經(jīng)比較清楚([1]，頁241—248)，并非本文的重點(diǎn)。這里要強(qiáng)調(diào)的是這些口訣所在位置的重要意義。在《中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷》中，作者給出這段口訣的文字轉(zhuǎn)錄([13]，頁571)，雖然口訣的執(zhí)行順序完全正確，并在原文的文本形式之外區(qū)分了某些大小字以顯示不同層次的操作，但是這種單純對算珠操作的文字描述缺少了文本位置信息和布局結(jié)構(gòu)，省略了操作口訣和檔位的對應(yīng)關(guān)系，這就難以還原當(dāng)時的讀者通過這種文本來學(xué)習(xí)珠算操作的實(shí)際情景。

如圖4所示，原始的文本狀態(tài)是片段a被置于算盤圖示左起的第一個檔位之下，而a中兩句口訣操作的結(jié)果均落在這個檔位上。這也是它們被有意刊刻為雙行小字的原因，是為了能在狹小的版面布局中置于同一檔位下方。在《九龍易訣算法》中因?yàn)檎麄€頁面并不分為兩欄，有足夠的縱向空間，片段a中的口訣則為一列，亦放置于進(jìn)行該操作的檔位下方。該檔位橫梁上方的一顆白色算珠即表示撥珠“四”和“一”之后的結(jié)果。其他口訣片段的位置也是如此。經(jīng)過對從左至右每個檔位的算珠執(zhí)行其下口訣片段所指示的操作，由口訣片段a到b，由b到c，一直到j(luò)，最終可得到盤上白色算珠的布局，即是被當(dāng)時操作者認(rèn)為的計算結(jié)果。

此外，在這些珠算操作口訣的內(nèi)部，根據(jù)算法性質(zhì)或運(yùn)算層次的不同，還被分為兩個部分。片段b、d、f、h、j被特意放置在一個黑色的方框內(nèi)，這個方框在《盤珠算法》中或模糊不清，但在《九龍易訣算法》中均清晰可見。就除法而言，方框中口訣指示的操作是用已得的某位上的商數(shù)與除數(shù)(“法”)余下的位數(shù)分別相乘，并在被除數(shù)(“實(shí)”)中減去乘積的操作。而在黑色方框中每個第一句開頭出現(xiàn)的數(shù)字也就是構(gòu)成商的各檔位上的數(shù)字，并且從現(xiàn)代角度看，是商的精確值部分(13)有算盤圖示的乘法算題情況稍復(fù)雜，在《盤珠算法》中有黑框包圍口訣的算題，其對應(yīng)的《九龍易訣算法》中算題的口訣外沒有黑框，而《盤珠算法》中沒有黑框包圍口訣的算題，其對應(yīng)的《九龍易訣算法》中算題的口訣卻有黑框。我們推測在乘法算題下應(yīng)均存在黑框，黑框內(nèi)的口訣是用于指導(dǎo)乘數(shù)的首位去乘以該檔位上被乘數(shù)的數(shù)字，即對應(yīng)著該算書乘法口訣內(nèi)“卻將本位破其身”的操作。這種乘法在珠算史上被稱為“留頭乘”，在朱世杰和吳敬的著作中即已出現(xiàn)(參見參考文獻(xiàn)[30]；[14]，第352—374頁)。最后一步操作較為特殊，在乘完乘數(shù)的末尾數(shù)字之后跳用其首位數(shù)字乘以被乘數(shù)，且乘得結(jié)果將改去被乘數(shù)上的數(shù)字，因此推測有必要將其單獨(dú)列出，以黑框加以強(qiáng)調(diào)。。

4 結(jié)語

盡管《盤珠算法》中的算盤圖示有一些特別之處，但它仍體現(xiàn)出十六世紀(jì)一批包含算盤圖示的珠算普及著作中使用算盤圖示的基本規(guī)律。在大多數(shù)情況下，黑白兩色的算珠并不是為了表現(xiàn)算盤操作中對算珠的移動，它們并沒有直接指導(dǎo)算書的學(xué)習(xí)者如何撥動算珠、撥動哪顆算珠的作用。不考慮《盤珠算法》中“退法”的特殊用法，一般而言，白珠是算盤圖示上用來表示數(shù)的算珠，黑珠是算盤圖示上不參與表示數(shù)的算珠。黑白兩色增強(qiáng)了這兩種算珠的對比，這在算盤圖示刻制不精、算珠位置難以辨別的算書中尤其重要，成了讀者識別算盤上數(shù)字的依據(jù)之一。算盤圖示可能僅是象征性地展現(xiàn)需要表示數(shù)的那部分，并非是對當(dāng)時操作者實(shí)際使用的算具的描摹。此外，在具體算題的算盤圖示中，白珠表示的是經(jīng)過口訣指導(dǎo)的操作之后，保留在算盤上的用來表示數(shù)的算珠布局。珠算操作的結(jié)果是正確的，但是在文字記錄答案時與現(xiàn)代不同。當(dāng)時算書的編纂者將盤上白珠所表示的數(shù)據(jù)作為他們接受的算題的答案，兩者的差異反映了珠算與現(xiàn)代數(shù)學(xué)之不同。明白古人所采取的這種“記法”可以幫助我們理解與區(qū)分《盤珠算法》等算書中不同性質(zhì)的“錯誤”，是偶然的刊刻失誤，還是系統(tǒng)性的認(rèn)知問題。算題下的算盤圖示并非孤立存在，它們與其周圍的文字緊密聯(lián)系，這些視覺輔助圖示與口訣內(nèi)容用一起，借助獨(dú)特的文本布局，使讀者得以掌握珠算操作的方法。并非僅僅是文字內(nèi)容，豐富的圖示、排版元素和排版形式是明代出版物逐漸出現(xiàn)的顯著特征，這也是珠算書籍不同于其他依靠“線性閱讀”的傳統(tǒng)文本的一個重要特點(diǎn)。這些文本細(xì)節(jié)均可成為當(dāng)代科技史研究關(guān)注與分析古人學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)活動的有效途徑。本文通過探討珠算物質(zhì)實(shí)作與文本之間的關(guān)系，亦希望使科學(xué)史界更加重視實(shí)作和物質(zhì)文化的研究趨勢。

致 謝本文曾在以“科學(xué)的視覺、物質(zhì)和感官文化(Visual，Material and Sensory Cultures of Sciences)”為主題的第九屆歐洲科學(xué)史學(xué)會國際研討會(線上會議)分會場“古代世界數(shù)學(xué)中的視覺和物質(zhì)文化(Visual and Material Cultures in the Mathematics of the Ancient World)”中報告，感謝組織者Karine Chemla研究員和Adeline Reynaud博士提供的幫助。感謝本文匿名審稿人的建議!