第一章 全等三角形
領(lǐng)? ? 銜? ? 人:王金坤
組稿團(tuán)隊(duì):江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校
在以前的學(xué)習(xí)活動(dòng)中,我們常常將一個(gè)圖形平移、翻折、旋轉(zhuǎn),以此來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)。圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)統(tǒng)稱(chēng)為圖形的運(yùn)動(dòng)。圖形的運(yùn)動(dòng)不改變圖形的形狀、大小,也就是說(shuō),運(yùn)動(dòng)前、后的兩個(gè)圖形是全等圖形。下面,讓我們一起通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)的方式來(lái)認(rèn)識(shí)全等三角形。
一、在圖形運(yùn)動(dòng)中感受全等三角形
問(wèn)題1:我們觀察圖1、圖2、圖3中的兩個(gè)全等圖形,想一想,怎樣改變其中一個(gè)圖形的位置,使其與另一個(gè)圖形完全重合?你能按照同樣的方法,在這3個(gè)圖中分別畫(huà)出第3個(gè)、第4個(gè)圖形嗎?(蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第7頁(yè)。)
通過(guò)觀察,我們發(fā)現(xiàn),在圖1中可以平移其中一個(gè)圖形得到另一個(gè)圖形,在圖2中可以把其中一個(gè)圖形翻折得到另一個(gè)圖形,在圖3中可以把其中一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)得到另一個(gè)圖形。按照同樣的運(yùn)動(dòng)方式,我們可以分別畫(huà)出第3個(gè)、第4個(gè)圖形。
上述過(guò)程中,我們經(jīng)歷了觀察、比較、思考、畫(huà)圖等活動(dòng),體會(huì)到圖形運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)是圖形的形狀、大小不變,只是圖形的位置發(fā)生變化。因此,我們可以用動(dòng)態(tài)的、直觀的方法認(rèn)識(shí)全等三角形。
二、在圖形運(yùn)動(dòng)中識(shí)別全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角
兩個(gè)能完全重合的三角形叫作全等三角形,互相重合的頂點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),互相重合的邊叫作對(duì)應(yīng)邊,互相重合的角叫作對(duì)應(yīng)角。表示兩個(gè)三角形全等時(shí),通常要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上,這樣方便找出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角。那么,怎樣正確地找出全等三角形的對(duì)應(yīng)元素呢?
問(wèn)題2:圖4、圖5、圖6中的兩個(gè)三角形是全等三角形,請(qǐng)你找出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。
這3個(gè)圖形中的兩個(gè)三角形是全等三角形,說(shuō)明它們能分別完全重合。我們可以用一張透明紙覆蓋在其中一個(gè)三角形上,用筆描出這個(gè)三角形,然后移動(dòng)這張透明紙,嘗試與另一個(gè)三角形重合。在操作活動(dòng)中,我們發(fā)現(xiàn),圖4中,平移△ABC可以與△DEF重合,點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)F分別重合,這樣就找到了它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),接下來(lái)就找出了對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。類(lèi)似地,圖5中,將△ABC沿BC所在直線(xiàn)翻折,可以與△DBC重合;圖6中,將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°,可以與△DEC重合。
下面,請(qǐng)同學(xué)們用上述方法嘗試解決問(wèn)題3。
問(wèn)題3:圖7、圖8、圖9分別是兩個(gè)全等三角形的組合圖形,想一想,怎樣改變其中一個(gè)圖形的位置,使其可以與另一個(gè)圖形完全重合?請(qǐng)你找出各對(duì)全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。
三、在圖形運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)復(fù)雜圖形中的全等三角形
在本章的學(xué)習(xí)中,我們要認(rèn)識(shí)全等三角形及其性質(zhì),學(xué)習(xí)兩個(gè)三角形全等的條件,學(xué)會(huì)利用全等三角形探索圖形的性質(zhì),其中,識(shí)別并證明三角形全等是關(guān)鍵。
問(wèn)題4:已知,如圖10,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,AB=AC,∠B=∠C,你能證明AD=AE嗎?
這個(gè)問(wèn)題中,我們也可以用一張透明紙覆蓋在圖10上,畫(huà)出△ABE,嘗試與△ACD重合。操作中不難發(fā)現(xiàn),先將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為∠A,使AE落在AD所在直線(xiàn)上,再沿AD所在直線(xiàn)翻折就能與△ACD重合。更簡(jiǎn)單的方法是,將△ABE沿AF所在直線(xiàn)翻折與△ACD重合。這樣,我們用圖形運(yùn)動(dòng)的方法找到了全等三角形,接下來(lái)思考如何證明△ABE≌△ACD。
問(wèn)題5:已知,如圖11,點(diǎn)E、F在CD上,DE=CF,AC=DB,且AC∥BD,你發(fā)現(xiàn)AE與BF有什么關(guān)系?證明你的發(fā)現(xiàn)。
觀察圖形,從直觀來(lái)看,將△ACE沿EC方向平移,使點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,再將△ACE繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°,就可以與△BDF重合,或者將△ACE繞點(diǎn)EF中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,就可以與△BDF重合。這樣的圖形運(yùn)動(dòng)給我們提供了思路,通過(guò)證明△ACE≌△BDF,從而發(fā)現(xiàn)AE=BF,AE∥BF。請(qǐng)同學(xué)們自己寫(xiě)出證明過(guò)程。
上述兩個(gè)問(wèn)題中,我們都是先觀察圖形,用圖形運(yùn)動(dòng)的方法先識(shí)別兩個(gè)全等三角形,再根據(jù)三角形全等的條件進(jìn)行證明。接下來(lái),請(qǐng)同學(xué)們自己解決以下問(wèn)題:
問(wèn)題6:如圖12,已知AB=AD,∠1=∠2,∠3=∠4。請(qǐng)找出圖中的全等三角形并進(jìn)行證明。
問(wèn)題7:如圖13,已知∠DAB=∠EAC=60°,AB=AD,AC=AE,BE、CD相交于點(diǎn)O,AB、CD相交于點(diǎn)P,AC、BE相交于點(diǎn)F。你能求出∠DOE的大小嗎?
問(wèn)題8:如圖14,已知點(diǎn)C、D在BE上,BC=ED,∠1=∠2,∠3=∠4。圖中有哪些全等三角形?請(qǐng)分別加以證明。
圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)給了我們對(duì)全等三角形的初步的、動(dòng)態(tài)的、本質(zhì)的認(rèn)識(shí),使我們對(duì)全等三角形有了更深刻的感悟。借助圖形的運(yùn)動(dòng),我們探索并發(fā)現(xiàn)了許多圖形的性質(zhì)。當(dāng)然,確認(rèn)一個(gè)圖形的性質(zhì),通常需要運(yùn)用推理的方法,有時(shí)也可以運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法,請(qǐng)同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中進(jìn)一步體會(huì)。
(作者單位:江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校)