徐迎菊， 王 娜,2*

(1.青島大學自動化學院， 青島 266071； 2. 青島大學山東省工業(yè)控制技術重點實驗室， 青島 266071)

目前狀態(tài)估計理論已經(jīng)引起了許多學科的關注并已成功地應用于眾多領域：機器人技術[1]、電力系統(tǒng)管理[2-3]、目標跟蹤與通信[4]等。

針對含有未知干擾的隨機線性系統(tǒng)，早前一些學者已經(jīng)提出一些濾波算法。Kitanidis[5]提出遞歸狀態(tài)濾波器，實現(xiàn)了在沒有未知干擾先驗知識的條件下進行狀態(tài)估計。而Darouach等[6]總結(jié)了上述濾波器存在和穩(wěn)定的充要條件，得到在無偏最小方差意義下最優(yōu)的濾波器，以上研究都是采取線性遞歸濾波器的形式，沒有考慮一般線性組合，此后，文獻[7]證明了一般線性最小方差無偏估計與遞歸濾波器的最優(yōu)解是相同的，保證了全局最優(yōu)性。后來通過將未知干擾和狀態(tài)的估計聯(lián)系起來，提出線性最小方差無偏遞歸濾波器[8]，利用新息獲得未知干擾的無偏估計。上述濾波算法的實現(xiàn)往往有些限制條件，要求狀態(tài)方程中未知干擾前的系數(shù)矩陣滿足列滿秩。當系統(tǒng)方程中未知干擾的系數(shù)矩陣不滿秩時，文獻[9]結(jié)合現(xiàn)有的濾波算法，考慮系數(shù)矩陣不滿秩的情況，設計了應用條件較為寬松的新型三步迭代濾波器并驗證了該濾波算法的有效性。

之前提到濾波算法僅僅是系統(tǒng)方程中含有未知干擾的情形，隨著技術的發(fā)展，一些學者將未知干擾推廣到量測方程中形成帶有直通項的反饋系統(tǒng)模型。文獻[10]提出一種參數(shù)化濾波算法，此時得到的濾波器結(jié)果不是唯一的。針對這類系統(tǒng)的研究，目前已經(jīng)提出許多性能較好的濾波算法[11]。文獻[12]提出三步遞歸濾波算法，狀態(tài)估計的更新具有Kalman濾波器的結(jié)構(gòu)，滿足最小方差的條件，由加權(quán)最小二乘估計的新息得到未知干擾的估計，但是要滿足系數(shù)矩陣列滿秩的前提條件。當矩陣不滿秩時文獻[13]通過將系數(shù)矩陣進行奇異值分解提出了一種無偏最小方差狀態(tài)估計，該濾波器的推導過程比較繁瑣，沒有給出未知干擾估計的具體表達式。在此研究基礎上有學者提出了一種新的擴展遞歸三步濾波器，該濾波器[14]對系數(shù)矩陣的秩沒有特別的要求，推導出未知干擾和系統(tǒng)狀態(tài)估計的具體表達式。應用條件比較寬松，計算過程比較簡潔。

近年來缺少測量值的狀態(tài)估計問題(也被稱為傳感器間歇故障、丟包或掉包等)引起了廣泛的研究興趣。在這一區(qū)域，除了環(huán)境噪聲和傳感器噪聲外，傳感器測量通常會由于多種原因?qū)е滦畔G失，如傳感器故障、網(wǎng)絡擁塞、部分采集數(shù)據(jù)意外丟失等這類情形也被描述為觀察過程中的不確定性，觀察到的信號可能不包括有用的信號，并且只包含噪聲。

換言之，在許多實際工程中，尤其是在網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中，不可避免地會出現(xiàn)漏測現(xiàn)象。文獻[15]提出了一種用伯努利分布隨機序列描述測量缺失現(xiàn)象的模型，針對一類存在隨機丟包和外界擾動信號的網(wǎng)絡環(huán)境，設計了一種能高效檢測出故障問題的濾波器[16]。 許多研究者致力于這一研究領域，并做出了突出的成果。對于含有量測缺失的不確定廣義系統(tǒng)，文獻[17]基于信號分割法，提出將不確定系統(tǒng)重構(gòu)為相應的等價標稱系統(tǒng)，實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)魯棒估計。文獻[18]提出一種能同時估計系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入的濾波器，該濾波器的無偏最小方差性，可通過直接的代數(shù)運算實現(xiàn)，并給出了期望估計量的設計算法。

針對一類具有測量缺失的線性離散時間系統(tǒng)[19]，且未知干擾的系數(shù)矩陣不滿秩的情況下，研究未知干擾和狀態(tài)的同時估計問題?，F(xiàn)設計帶有量測缺失的抗干擾濾波器，該濾波器要保證干擾和狀態(tài)估計滿足最小方差無偏條件，推導濾波器中待定的增益矩陣。通過一個數(shù)值仿真實例，以期驗證在量測信息缺失時，仍能估計出狀態(tài)和未知干擾，當發(fā)生量測缺失的概率較大時，濾波效果發(fā)生波動但仍然控制在一定范圍之內(nèi)。

1 問題描述

考慮帶有量測缺失的線性離散系統(tǒng)：

(1)

假設1設δk∈R是取值為0或1且服從Bernoulli分布的隨機變量，其統(tǒng)計特性為

(2)

式(2)中：π∈[0,1]為給定的標量，表示不發(fā)生量測缺失的概率。隨機變量δk在時刻k中是獨立且與噪聲信號和初始向量x0是不相關。注意，當量測方程[式(1)]中的δk=0時，方程變成yk=Hkdk+vk，此時的量測值僅包含未知干擾和測量噪聲的信息，狀態(tài)信息就丟失了。當δk=1時，測量值包含狀態(tài)信息，盡管它可能被外部噪聲污染。在這種情況下，未知干擾同時影響狀態(tài)和輸出，而發(fā)送到輸出單元的狀態(tài)信息可能以一定的概率丟失。

以往考慮未知干擾時，假定它的系數(shù)矩陣滿秩的情況，若此時假設rank(Hk)=rk≤m不滿秩，對Hk進行如下滿秩分解：

(3)

(4)

原測量方程可以重寫為

(5)

2 帶有量測缺失的濾波器設計

已有研究提出了一種新的三步遞歸濾波器，可以用來估計未知干擾和狀態(tài)。在本節(jié)中，基于量測缺失和系數(shù)矩陣不滿秩開發(fā)了一類帶有量測缺失的抗干擾濾波器，與標準的遞歸三步濾波器(RTSF)設計相似，分三步進行。

2.1 預測估計

(6)

2.2 虛擬未知干擾的最小方差無偏估計

(7)

(8)

式(8)中：

(9)

(10)

2.3 量測更新

(11)

(12)

(13)

(14)

定理1在滿足無偏條件的前提下，使協(xié)方差矩陣跡最小的最佳增益矩陣：

(15)

證明：考慮拉格朗日乘數(shù)法，Λk∈Rn×rk作為拉格朗日乘子來證明此定理。

(16)

對式(16)求導，并令求導后的式子為零，可以得到：

(17)

將式(17)整理成矩陣相乘的形式：

(18)

將式(15)代入式(11)中可以得到系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計值為

(19)

(20)

(21)

3 仿真驗證

3.1 仿真條件設置

用MATLAB軟件生成表示量測缺失的隨機序列{δk}，假設未知干擾的類型為常值、階躍和正弦，考慮系統(tǒng)的狀態(tài)為xk=[x1x2x3x4x5]T，未知干擾dk=[d1d2d3]T系統(tǒng)矩陣設置如下：

3.2 仿真結(jié)果與分析

由于未知干擾只影響系統(tǒng)的前三個狀態(tài)，所以圖1分別給出了前三個系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2、x3的真實值、估計值和估計誤差，通過仿真驗證在不同量測缺失概率下，系統(tǒng)的狀態(tài)估計效果變化不大，狀態(tài)的估計值幾乎都能跟蹤上系統(tǒng)的真實值。在這里只給出π=0.95時的狀態(tài)估計仿真曲線，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)的真實值、估計值及估計誤差Fig.1 Real value, estimated value and estimated error of system state

考慮未知干擾d1、d2和d3的類型分別滿足常數(shù)型、正弦函數(shù)與常數(shù)組合型和階躍函數(shù)與常數(shù)組合型時，圖2～圖4表示不發(fā)生量測缺失概率分別為π=0.7、π=0.95、π=1時，未知干擾的估計仿真結(jié)果。

圖2 π=0.7 未知干擾的真實值和估計值Fig.2 Real value and estimated value of unknown disturbance (π=0.7)

圖3 π=0.95 未知干擾的真實值和估計值Fig.3 Real value and estimated value of unknown disturbance (π=0.95)

圖4 π=1 未知干擾的真實值和估計值Fig.4 Real value and estimated value of unknown disturbance (π=1)

從圖2～圖4可以看出，本文研究提出的抗干擾濾波器對未知干擾d2、d3具有較好的估計效果，而對未知干擾d1沒有實現(xiàn)估計，造成這一現(xiàn)象的原因是對系數(shù)矩陣Hk進行滿秩分解時，所求得的矩陣Tk第一列全為0，進而導致測量值中沒有未知干擾d1的信息。在不同的量測缺失概率下，對未知干擾的估計會出現(xiàn)明顯的變化，當不發(fā)生量測的概率值為1時濾波效果最好。

4 結(jié)論

針對量測方程中未知干擾系數(shù)矩陣不滿秩和量測缺失的情況，考慮到可能出現(xiàn)的測量誤差，將測量模型建模為帶二元變量的伯努利過程。在滿足系統(tǒng)濾波算法的最小方差和無偏性的條件下求取增益矩陣，從而獲得能同時估計未知干擾和狀態(tài)的抗干擾濾波器，通過仿真實例驗證了該濾波器能夠有效地估計未知干擾及系統(tǒng)狀態(tài)，不同量測缺失概率下的濾波效果不同，估計誤差的方差能控制在一定范圍之內(nèi)。