褚正清

(安徽新華學(xué)院 通識教育部，合肥 230088)

充分利用數(shù)字化教學(xué)資源，提升授課過程中課程直觀性，具有開闊視野、增強(qiáng)學(xué)生思維能力的優(yōu)勢。數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源指針對數(shù)學(xué)課程所制定的數(shù)字化資源，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程時(shí)需具有較高的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的生動性極為重要，對數(shù)學(xué)教學(xué)資源實(shí)施數(shù)字化處理，有助于提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。聚類算法是依據(jù)不同類別事物所存在的相似性實(shí)施分類的重要算法。聚類算法又稱為點(diǎn)群分析，依據(jù)待分類事物間所存在的特征精準(zhǔn)分類事物，屬于多元統(tǒng)計(jì)的重要方法。事物間存在特征類別眾多，依據(jù)事物間所存在的特征，無須先驗(yàn)知識即可獲取分類結(jié)果[1]。聚類方法目前已廣泛應(yīng)用于社會學(xué)、教育學(xué)、心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域中。

巴志超等人提出基于主題語義擴(kuò)展的混合類型數(shù)字資源分類方法[2]，通過可行性分析對數(shù)字圖書館資源進(jìn)行特征提取，構(gòu)建語義主題模型進(jìn)行數(shù)字圖書館資源語義擴(kuò)展，實(shí)現(xiàn)數(shù)字資源自動分類。李植等人提出一種適于Docker容器資源控制的分類預(yù)測方法，通過cgroups技術(shù)進(jìn)行Docker容器資源服務(wù)質(zhì)量分類，利用譜聚類算法進(jìn)行容器資源使用次數(shù)預(yù)測，實(shí)現(xiàn)有效容器資源。以上兩種方法分別針對數(shù)字資源以及容器資源分類問題進(jìn)行研究[2-3]，并獲取較高的分類效果，但以上方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)資源中，分類效果較差。

為此，提出一種基于兩步聚類算法的數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類方法。提取數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源特征，依據(jù)所提取特征利用兩步聚類算法對資源實(shí)施歸并分類。特征提取可將具有較高維度的數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源降低至較低維度中，依據(jù)固定變換規(guī)則，降低原始教學(xué)資源數(shù)據(jù)維數(shù)，為后續(xù)數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源的精準(zhǔn)歸并分類提供數(shù)據(jù)技術(shù)。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證采用該方法對數(shù)字化教學(xué)資源實(shí)施歸并分類具有較高有效性，可應(yīng)用于數(shù)字化教學(xué)資源歸并分類實(shí)際應(yīng)用中。

1 兩步聚類算法的數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類

1.1 數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源特征提取

數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源應(yīng)用過程中，隨著教學(xué)課程課時(shí)增加，資源數(shù)據(jù)呈增量發(fā)展趨勢。提取數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源特征過程中，應(yīng)同時(shí)考慮新增數(shù)據(jù)以及歷史數(shù)據(jù)，基于全局角度實(shí)現(xiàn)特征提取，避免忽略資源中所蘊(yùn)含的隱藏信息。采用自適應(yīng)滑動窗口互信息方法處理數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源的歷史數(shù)據(jù)以及增量數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源特征提取。

用矩陣X1=[x1,x2,…,xm]表示原始窗口數(shù)據(jù)，矩陣X2=[xm+1,xm+2,…,xm+r]表示增量窗口數(shù)據(jù)；數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源中所包含全部數(shù)據(jù)用X=[X1,X2]表示；Z1與Z2分別表示數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源原始窗口數(shù)據(jù)以及新增窗口數(shù)據(jù)的互信息矩陣；Z表示全部數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源樣本的互信息矩陣。

依據(jù)互信息定義可得互信息矩陣表達(dá)式如下：

(1)

對角化處理利用單位陣表示Z1的特征分解公式如下：

(2)

利用G1所張成的空間接收Z2的投影，可得公式如下：

(3)

求公式(1)與公式(2)之和可得：

(4)

(5)

將公式(5)代入公式(4)，獲取表達(dá)式如下：

(6)

通過以上過程即可獲取全部數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源特征分解結(jié)果。

通過公式(2)可知：

(7)

公式(7)中，Λ1∈Rm×k與B1∈Rn×k分別表示數(shù)量為前k個(gè)特征值所組成的矩陣以及原始數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源主成分決策矩陣。

通過以上過程獲取新增窗口數(shù)據(jù)互信息矩陣的特征值Λ2以及特征向量P2，且Λ2=[μ1,μ2,…,μn]，P2=[β1,β2,…,βn]。

依據(jù)特征向量以及特征值獲取全部數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源樣本特征值公式如下：

(8)

公式(8)中，m表示歷史數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源樣本數(shù)據(jù)；r表示新增數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源樣本數(shù)據(jù)。

可得數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源特征向量公式如下：

P=G1βi.

(9)

利用所獲取的特征向量建立主成分決策矩陣，將數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源映射至所建立的主成分決策矩陣即可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維[4]。后續(xù)窗口重復(fù)迭代以上過程實(shí)現(xiàn)全部數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源樣本特征提取。

1.2 兩步聚類算法的歸并分類

兩步聚類算法主要包括構(gòu)建特征樹以及層次凝聚算法分組兩部分。

(1)構(gòu)建特征樹。利用所提取的數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源樣本特征構(gòu)建特征樹。依據(jù)所設(shè)定固定順序掃描數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源全部樣本數(shù)據(jù)特征，完成掃描后確定數(shù)據(jù)類別以及不同類別中心，將待分類數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源依據(jù)固定標(biāo)準(zhǔn)劃分至不同類別中，以上過程即建立特征樹的過程[5]。所構(gòu)建特征樹利用葉節(jié)點(diǎn)根部存儲數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源觀測量，所包含變量信息均通過葉節(jié)點(diǎn)體現(xiàn)。將已存在節(jié)點(diǎn)以及后續(xù)觀測量利用相似性測度對比，比較結(jié)果為相似時(shí)，將相似觀測樣本加入現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)中；比較結(jié)果為不相似時(shí)，在特征樹中建立新節(jié)點(diǎn)，直至全部數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源數(shù)據(jù)比較完成，實(shí)現(xiàn)特征樹構(gòu)建。

(2)特征樹葉節(jié)點(diǎn)分組。選取層次凝聚算法分組所構(gòu)建特征樹葉節(jié)點(diǎn)，算法運(yùn)算過程通過歐式平方距離的平方根實(shí)現(xiàn)連續(xù)變量測度，歐式距離度量公式：

(10)

連續(xù)變量以及分類變量的處理利用似然對數(shù)距離實(shí)現(xiàn)，似然對數(shù)距離是基于距離所獲取的概率值。似然對數(shù)在不同類別合并為相同類別時(shí)有所降低，不同類別間距離有所變化。

連續(xù)變量以及分類變量在似然對數(shù)運(yùn)算過程中需符合正態(tài)分布以及多項(xiàng)式分布[6]，采用似然對數(shù)距離應(yīng)用于數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源合并與分類時(shí)，設(shè)置不同變量均為獨(dú)立狀態(tài)。

定義類別j與類別s間距離d(j,s)表達(dá)式如下：

d(j,s)=xj+xS-x〈j,.s〉.

(11)

公式(11)中，〈j,s〉表示通過歸并處理所獲取的類別。

利用BIC判據(jù)以上過程的分類運(yùn)算結(jié)果，初始估計(jì)所獲取分類數(shù)量。初始分類中最為相近的兩種類比間，存在最大增長距離的聚類數(shù)即最終聚類數(shù)量。

用R表示聚類數(shù)量，可得最終歸并分類計(jì)算公式如下：

(12)

(13)

以上公式中，HA與N分別表示歸并分類過程中連續(xù)變量總數(shù)量以及觀測量總數(shù)量，mj表示葉節(jié)點(diǎn)數(shù)量，LH與HB分別表示待分類數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類第k個(gè)變量編號以及歸并分類過程中所采用全部分類變量總數(shù)量。

2 實(shí)例分析

選取某高校數(shù)理學(xué)院數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源作為實(shí)驗(yàn)對象，所采集數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源大小為5.98 GB，采用兩步聚類算法的數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類方法對所采集數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源實(shí)施歸并分類，驗(yàn)證此方法歸并分類結(jié)果。

設(shè)置數(shù)字化教學(xué)數(shù)學(xué)資源作為測試變量，采用BIC結(jié)果確定最佳分類，BIC自動聚類結(jié)果如表1所示。

表1 自動聚類結(jié)果

通常情況下，通過聚類算法所獲取的BIC值越小，表示該聚類算法聚類性能越優(yōu)，所生成聚類數(shù)據(jù)質(zhì)量最高。通過表1可以看出，聚類數(shù)量提升時(shí)，所獲取BIC值有所降低，因此需衡量距離測量比以及BIC變化率決定最佳聚類數(shù)量。聚類測量比結(jié)果較高，且BIC變化率同樣較高時(shí)，該聚類方案為最佳。表1實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，所獲取聚類類別為4類時(shí)，通過聚類所獲取聚類測量比最高，同時(shí)BIC變化率最高。因此將數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源分為4類。

選取文獻(xiàn)[5]方法以及文獻(xiàn)[6]方法作為對比方法，不同方法對數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類結(jié)果如表2所示。

表2 不同方法歸并分類結(jié)果

由表2可以看出，采用三種方法均可實(shí)現(xiàn)數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源的有效分類。采用兩步聚類算法的數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類方法依據(jù)BIC變化率以及距離測量比結(jié)果，將數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源分為4類，各類分別占總數(shù)的30.6%、35.6%、15.2%以及18.6%。

統(tǒng)計(jì)不同窗口大小時(shí)，三種方法對數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源的歸并分類效率，對比結(jié)果如圖1所示。

圖1 窗口大小對歸并分類效率的影響

由圖1可以看出，不同方法歸并分類數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源的運(yùn)行時(shí)間隨著窗口大小增加呈下降趨勢；窗口大小高于600時(shí)，不同方法歸并分類數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源運(yùn)行時(shí)間有所提升。主要原因是運(yùn)算窗口過小時(shí)，方法需從緩沖區(qū)域提取數(shù)據(jù)，占用過多時(shí)間；運(yùn)行窗口大小過大時(shí)，提升了數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源特征分解時(shí)間。因此窗口區(qū)間處于300～600時(shí)，數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類效率最佳。相比于另兩種方法，兩步聚類算法的數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類方法的歸并分類效率在不同窗口大小時(shí)均為最高，說明該方法歸并分類運(yùn)算效率高于另兩種方法。

采用常應(yīng)用于歸并分類中的評價(jià)指標(biāo)查全度、準(zhǔn)確度以及F1估計(jì)值評價(jià)不同方法歸并數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源分類準(zhǔn)確率。歸并分類應(yīng)用中，F(xiàn)1估計(jì)值高于90%時(shí)，表示該方法具有較高的歸并分類效率。統(tǒng)計(jì)采用兩步聚類算法的歸并分類數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源的歸并分類性能，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 歸并分類性能統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表3實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，采用兩步聚類算法的歸并分類數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源的準(zhǔn)確度以及查全度均高于98%； F1估計(jì)值均高于93%。統(tǒng)計(jì)結(jié)果有效驗(yàn)證此方法具有較高的歸并分類性能，具有較高準(zhǔn)確率，應(yīng)用性較高。

3 結(jié)論

將兩步聚類算法應(yīng)用于數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類中，利用兩步聚類算法所具有的海量樣本聚類性能，提升數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類有效性，具有優(yōu)秀的運(yùn)算連續(xù)變量以及離散變量能力，智能性高，具有分類嚴(yán)謹(jǐn)、操作簡便的優(yōu)勢。①效率最高僅為250 ms。②準(zhǔn)確率均值為98.78%，查全度均值為99.06%，F(xiàn)1估計(jì)均值為95.54%。

這說明所提出來的歸并分類有效性較高，處理海量數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源時(shí)，處理可靠性高，可在數(shù)字化數(shù)學(xué)教學(xué)資源歸并分類中發(fā)揮重要作用，取代以往人工歸并分類的低效率方法。