張寬橋,劉連照,馬 暉,徐 宙,王小臻

(電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國家重點實驗室,河南 洛陽 471003)

傳統(tǒng)的導(dǎo)彈制導(dǎo)控制系統(tǒng)是將制導(dǎo)回路和控制回路分開設(shè)計,未考慮兩回路間的耦合關(guān)系。若目標的速度較快且機動性較強,該設(shè)計方法容易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定和較大的脫靶量[1]。制導(dǎo)控制一體化設(shè)計[2]是將制導(dǎo)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)一起設(shè)計,考慮二者間的耦合關(guān)系,并充分利用視線角、姿態(tài)、過載等綜合信息,能有效提高導(dǎo)彈制導(dǎo)控制性能。

針對制導(dǎo)控制一體化設(shè)計問題,國內(nèi)外學者進行了深入研究,采用不同的理論完成了制導(dǎo)控制一體化設(shè)計,如小增益理論[3]、θ-D方法[4]、滑?？刂芠5]、自適應(yīng)控制[6]等。由于制導(dǎo)控制一體化模型具有嚴格反饋形式,反演設(shè)計方法被廣泛用于制導(dǎo)控制一體化設(shè)計中[7-8]。反演設(shè)計方法需要對虛擬控制量多次求導(dǎo),存在“指數(shù)膨脹”的問題。動態(tài)面控制通過引入一階濾波器來解決對虛擬控制量多次求導(dǎo)的問題,被用于制導(dǎo)控制一體化設(shè)計中[9-10]。

為增加戰(zhàn)斗部的毀傷效能,諸如反坦克導(dǎo)彈、反艦導(dǎo)彈、防空導(dǎo)彈等,需要以一定的攻擊角度命中目標[11]。因此,在制導(dǎo)控制一體化設(shè)計中也需要考慮攻擊角度約束的問題。文獻[12]基于滑模控制和動態(tài)逆控制,完成了帶攻擊角度約束的三維制導(dǎo)控制一體化設(shè)計,采用連續(xù)近似函數(shù)替代符號函數(shù)抑制滑?？刂频亩墩駟栴}。傳統(tǒng)的基于動態(tài)面控制的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計,只能保證系統(tǒng)狀態(tài)漸進收斂至期望值,且引入一階濾波器導(dǎo)致其快速性降低。

若存在目標大機動、系統(tǒng)內(nèi)部擾動及外界干擾等因素,控制量幅值會增大,可能會達到執(zhí)行機構(gòu)物理約束上限,從而導(dǎo)致控制量飽和。飽和問題的出現(xiàn)可能會導(dǎo)致控制性能下降甚至出現(xiàn)一些不可預(yù)測的結(jié)果[13]。因此,在制導(dǎo)控制一體化設(shè)計中,有必要考慮輸入飽和的問題。文獻[14]采用改進的飽和函數(shù)和一個輔助系統(tǒng)來處理飽和問題,將輔助系統(tǒng)狀態(tài)用于一體化控制律的設(shè)計和穩(wěn)定性分析。

制導(dǎo)控制一體化設(shè)計相關(guān)研究很多,但同時考慮攻擊角度約束、輸入飽和問題的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計的研究較少,同時由于目標機動、氣動系數(shù)的攝動以及通道之間耦合的影響,制導(dǎo)控制系統(tǒng)存在建模不確定性,在進行一體化設(shè)計時需要加以考慮。本文針對攻擊角度約束、輸入飽和和模型不確定性等問題,提出了一種有限時間收斂制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方法。通過導(dǎo)彈六自由度仿真驗證了算法的有效性。

1 問題描述

1.1 制導(dǎo)控制一體化設(shè)計模型

構(gòu)建制導(dǎo)控制一體化設(shè)計模型前,做如下假設(shè):

①導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段無動力飛行,且速度vm變化不大。

②導(dǎo)彈的速度傾斜角γv在末制導(dǎo)段為小角度,且sinγv≈0,cosγv≈1。

建立如圖1所示的三維慣性坐標系下導(dǎo)彈與目標的相對運動模型。圖中,Oxyz為慣性坐標系,Ox4y4z4為彈目視線坐標系,M和T分別表示導(dǎo)彈和目標的位置,ε和η分別為彈目視線傾角和偏角,R為彈目相對距離,r為R在慣性坐標系水平面上的投影,即r=Rcosε。

圖1 彈目三維運動關(guān)系

導(dǎo)彈和目標的相對運動方程可以描述為[15]

(1)

式中:at,y4,am,y4和at,z4,am,z4分別為目標和導(dǎo)彈的加速度在視線坐標系Oy4軸和Oz4軸上的分量。

根據(jù)假設(shè)①和假設(shè)②以及導(dǎo)彈質(zhì)心運動的動力學方程,可得導(dǎo)彈加速度在速度坐標系下的分量:

(2)

式中:m為導(dǎo)彈質(zhì)量,g為重力加速度,θm為導(dǎo)彈彈道傾角,Fy和Fz分別為升力和側(cè)向力。

(3)

導(dǎo)彈在飛行中舵偏角對升力和側(cè)向力的貢獻相比攻角和側(cè)滑角較小,因此可將其視為小量[16]。

結(jié)合式(1)和式(2),建立彈目相對運動方程:

(4)

式中:

(5)

根據(jù)導(dǎo)彈動力學方程,考慮主要因素,將次要因素視為不確定性的原則,構(gòu)建導(dǎo)彈動力學模型為

(6)

(7)

以縱向平面為例,制導(dǎo)末端導(dǎo)彈和目標速度矢量間的夾角為導(dǎo)彈攻擊角度θd,θd與終端視線角ε(tf)成一一對應(yīng)關(guān)系,即

(8)

式中:θt為目標航跡傾角。

因此,攻擊角度約束問題可以轉(zhuǎn)化為終端視線角約束問題。

(9)

導(dǎo)彈在飛行過程中,目標大幅機動、導(dǎo)彈自身的不確定性以及外界干擾等因素可能導(dǎo)致控制幅值變大,達到執(zhí)行機構(gòu)約束上限,出現(xiàn)控制量飽和的現(xiàn)象,飽和問題會使系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)變差,導(dǎo)致控制性能下降甚至破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性,進而導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰,因此在制導(dǎo)控制一體化設(shè)計中有必要考慮執(zhí)行機構(gòu)飽和的問題?？紤]輸入飽和問題,制導(dǎo)控制一體化俯仰通道設(shè)計模型(9)可重寫為

(10)

式中:sat(δz)為俯仰舵實際舵偏角,其定義為

(11)

式中:δz,max為δz的已知上界,即最大舵偏角。

實際控制律sat(δz)與控制指令δz存在突變的尖角|δz|=δz,max,為使反演設(shè)計方法能夠應(yīng)用于制導(dǎo)控制指令的設(shè)計,對飽和函數(shù)光滑處理[17]:

(12)

令dz=sat(δz)-g(δz),則:

sat(δz)=dz+g(δz)

(13)

|dz|≤δz,max[1-tanh(δz/δz,max)]=0.238δz,max

(14)

因此dz是有界的。結(jié)合式(10)、式(13),可得考慮輸入飽和的制導(dǎo)控制一體化俯仰通道設(shè)計模型:

(15)

參考俯仰通道設(shè)計模型,結(jié)合式(4)和式(6),建立制導(dǎo)控制一體化偏航通道設(shè)計模型:

(16)

根據(jù)式(6)建立制導(dǎo)控制一體化滾轉(zhuǎn)通道模型:

(17)

1.2 相關(guān)定義與引理

為后文公式推導(dǎo)和分析方便,引入如下相關(guān)定義和引理。

定義1為書寫簡便,定義符號[x]a=|x|asgn(x),其中,sgn(*)為符號函數(shù),且sgn(0)=0,a為實數(shù)。

(18)

(19)

式中:θ1∈(0,β1),θ2∈(0,β2)。收斂域滿足:

Ω={x|θ1Vα1-α2(x)+θ2V1-α1(x)<β3}

(20)

引理3[20]對任意實數(shù)xi,i=1,2,…,n,存在實數(shù)a(0

(21)

成立。

引理4[21]假定V(*)和χ(*)為定義在[0,tf)的光滑函數(shù),且V(t)≥0,N(χ)是一個Nussbaum增益函數(shù),若滿足不等式:

式中:K>0,P>0,M>0,ψ(t)>0,則V(*)和χ(*)在[0,tf)是有界的。

2 制導(dǎo)控制一體化設(shè)計

2.1 俯仰通道控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

制導(dǎo)控制一體化俯仰通道設(shè)計模型(15)中含有建模誤差和不確定性?，F(xiàn)有文獻一般采用滑?？刂频聂敯粜詠響?yīng)對模型的不確定性,或設(shè)計自適應(yīng)律來估計模型的不確定性,但這些方法會引起控制量的抖振現(xiàn)象,且參數(shù)選取需已知不確定性上界。針對該問題,采用文獻[22]提出的有限時間收斂干擾觀測器對模型中的不確定項進行估計:

(22)

針對非線性飽和問題,引入輔助系統(tǒng):

(23)

式中:δz,c為俯仰通道舵偏角控制指令,μ1>0。則俯仰通道一體化設(shè)計模型可寫為

(24)

制導(dǎo)控制一體化設(shè)計模型(24)具有嚴格的反饋結(jié)構(gòu),因此,可以采用反演控制結(jié)合終端滑?？刂七M行設(shè)計。具體設(shè)計過程如下。

①定義帶攻擊角度約束項的非奇異終端滑模面:

s11=x12+ρ1x11+ρ2φ(x11)

(25)

式中:ρ1>0,ρ2>0。

(26)

對式(25)微分得:

(27)

式中:

結(jié)合式(24)和式(27),可得:

(28)

設(shè)計虛擬控制律:

(29)

式中:00,l12>0。

為避免對控制律求導(dǎo)產(chǎn)生微分膨脹問題,同時保證系統(tǒng)有限時間快速收斂性,設(shè)計如下一階非線性濾波器:

(30)

式中:y11=x13,d-x13,c,x13,d(0)=x13,c(0),τ為濾波器時間常數(shù)。

②定義滑模面:

s12=x13-x13,d

(31)

設(shè)計虛擬控制律:

(32)

設(shè)計一階非線性濾波器:

(33)

式中:y12=x14,d-x14,c,x14,d(0)=x14,c(0)。

③定義滑模面:

s13=x14-x14,d

(34)

設(shè)計虛擬控制律:

(35)

設(shè)計一階非線性濾波器:

(36)

式中:y13=x15,d-x15,c,x15,d(0)=x15,c(0)。

④定義滑模面:

s14=g(δz)-x15,d

(37)

對s14求時間導(dǎo)數(shù),得:

(38)

式中:

(39)

設(shè)計控制律δz,c:

(40)

定理1對于系統(tǒng)(24),設(shè)計如式(40)所示的一體化制導(dǎo)控制律,使俯仰通道閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)x11和x12在有限時間內(nèi)收斂至原點的一個較小鄰域內(nèi)。

證明由式(25)～式(40)可得:

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù):

(48)

微分得:

(49)

基于Young不等式可得:

(50)

式中:

(51)

式(50)可寫為

(52)

結(jié)合引理3可得:

(53)

式中:ζ=ζ1+ζ2。

由于V1≥0,因此式(53)可寫為

(54)

對式(54)兩邊同時積分可得:

(55)

由引理4可知,V1和χ1是有界的,更進一步s1,s2,s3,s4,y1,y2,y3均有界。由式(53)可以得到如下2種形式:

(56)

(57)

對于式(56),若k-(ζ/V1)>0,則根據(jù)引理1可知,V1是有限時間收斂的,收斂域為

(58)

對于式(57),與式(56)分析類似,V1可有限時間收斂至區(qū)域:

(59)

①|(zhì)x1|≥δ,式(25)可寫為

(60)

定義Lyapunov函數(shù):

(61)

對式(61)求導(dǎo)并將式(60)代入,得:

(62)

合理選取參數(shù)k1,k2,使?1≤δ,則x1的收斂域為

|x11|≤max{?1,σ}=δ

(63)

結(jié)合式(25)可得x12的收斂域:

|x12|≤ρ1|x11|+ρ2|x11|b+|φ1|≤k1δ+k2δb+φ

(64)

②|x11|≤δ,式(25)可寫為

(65)

綜上所述,x11和x12可有限時間收斂至原點的一個較小鄰域:

(66)

證畢。

2.2 偏航和滾轉(zhuǎn)通道控制器設(shè)計

偏航通道一體化制導(dǎo)控制律設(shè)計為

(67)

設(shè)計滾轉(zhuǎn)通道一體化制導(dǎo)控制律:

(68)

3 仿真分析

本節(jié)對所提制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方法(PIGC)的有效性進行仿真驗證。在慣性坐標系下,導(dǎo)彈和目標的初始位置分別設(shè)定為(0,5 000,0)和(8 000,1 000,500),導(dǎo)彈速度vm=800 m/s,導(dǎo)彈的初始彈道傾角、彈道偏角、攻角、側(cè)滑角、滾轉(zhuǎn)角、俯仰角速率、偏航角速率和滾轉(zhuǎn)角速率分別為:θm0=-10°,ψv,m0=-5°,α0=10°,β0=5°,ωx,10=0.349 rad/s,ωy,10=-0.349 rad/s,ωz,10=0.524 rad/s。參考文獻[24],導(dǎo)彈動力學參數(shù)如表1所示。

表1 導(dǎo)彈動力學參數(shù)

控制器參數(shù)選取為:ρ1=0.6,ρ2=1,b=3/5,c=0.5,δ=0.01,l11=l12=3,l21=l22=8,l31=l32=20,l41=l42=15,m11=m12=33,m21=m22=12,m31=m32=10,m41=m42=10,μ1=μ2=μ3=5,n21=n22=12,n31=n32=10,n41=n42=10,γχ1=γχ2=γχ3=0.001,τ1=τ2=τ3=0.1。

仿真中引入基于傳統(tǒng)動態(tài)面控制的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計方法(DIGC)和文獻[24]提出的制導(dǎo)控制一體化魯棒設(shè)計方法(RIGC)。設(shè)定Δα=Δβ=Δγ=0.2sint,Δωx1=Δωy1=Δωz1=sint,舵偏角的變化范圍為[-10°,10°],期望視線傾角和偏角分別為-60°和0°。假設(shè)導(dǎo)彈的轉(zhuǎn)動慣量存在0.1sin(0.2πt)的不確定性,氣動力矩和力矩系數(shù)存在0.2sin(0.2πt)的不確定性。

仿真結(jié)果如表2和圖2～圖8所示。

圖8 舵偏角曲線

表2 不同一體化制導(dǎo)控制律的仿真結(jié)果

圖2 彈道軌跡

由圖2可以看出,在3種一體化制導(dǎo)控制律的作用下,導(dǎo)彈都能平穩(wěn)向目標飛行,彈道均較為光滑。由圖3和圖4可以看出,3種一體化制導(dǎo)控制律都能使彈目視線角ε和η逐漸收斂至期望值εd和ηd附近。其中,PIGC的收斂速度最快,體現(xiàn)了其有限時間快速收斂特性。DIGC和RIGC的彈目視線角在制導(dǎo)末段有一定的發(fā)散趨勢,尤其是DIGC發(fā)散較為明顯。這主要是由于PIGC采用擴張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)擾動和不確定進行了補償,增強了系統(tǒng)的魯棒性。而在制導(dǎo)末段DIGC和RIGC自身的魯棒性不能有效對抗干擾,因此產(chǎn)生發(fā)散現(xiàn)象。由圖5可以看出,3種一體化制導(dǎo)控制律的脫靶量,PIGC最小,RIGC次之,說明PIGC具有較高的制導(dǎo)精度。

圖3 彈目視線傾角曲線

圖4 彈目視線偏角曲線

圖5 彈目相對距離曲線

由圖6和圖7可以看出,在PIGC和RIGC的作用下,導(dǎo)彈攻角、側(cè)滑角、滾轉(zhuǎn)角以及姿態(tài)角速度能夠有限時間收斂至0附近,且PIGC收斂速度更快,收斂精度更高,而DIGC有一定的發(fā)散現(xiàn)象。由圖8可以看出,PIGC的3個通道的舵偏角均沒有超過最大限幅,且在后期均逐漸收斂至0附近。這是由于PIGC對輸入飽和問題進行了考慮和處理。DIGC和RIGC的俯仰和偏航通道舵偏角在制導(dǎo)初段都達到了幅值上限。

圖6 攻角、側(cè)滑角和滾轉(zhuǎn)角曲線

圖7 角速度曲線

表2給出了采用3種不同的一體化制導(dǎo)控制律下,攻擊時間、視線角偏差和脫靶量的仿真結(jié)果,可以看出,與DIGC和RIGC相比,PIGC的攻擊時間、視線角偏差和脫靶量均最小,具有較高的制導(dǎo)精度和角度約束精度。

綜合2種仿真情形的仿真結(jié)果分析,可以得出結(jié)論:在不同攻擊角度約束條件下,PIGC都能以期望的攻擊角度精確命中目標,脫靶量在1 m以內(nèi)。并且能使彈目視線角和攻角等狀態(tài)變量有限時間快速收斂,保證舵偏角在設(shè)定的幅值范圍內(nèi)變化。相比DIGC和RIGC,PIGC能以更短的時間、更小的脫靶量和更高的角度約束精度命中目標,且其狀態(tài)變量的收斂速度更快。仿真結(jié)果表明了PIGC的有效性和優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文針對攻擊角度約束、輸入飽和和模型不確定性等問題,提出了一種有限時間收斂的制導(dǎo)控制一體化三通道獨立設(shè)計方法。通過理論分析和仿真驗證,有如下結(jié)論:

①所提制導(dǎo)控制一體化算法能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂。在不同的攻擊角度約束條件下,都能保證導(dǎo)彈以期望的攻擊角度精確命中目標。相比現(xiàn)有制導(dǎo)控制一體化算法具有更高的制導(dǎo)精度和更好的收斂性能。

②采用有限時間干擾觀測器對模型不確定性進行估計和補償,有效提高了制導(dǎo)控制系統(tǒng)性能。

③所提制導(dǎo)控制一體化算法對輸入飽和問題進行了有效處理,能夠保證舵偏角的變化不超過設(shè)定的范圍。