楊雨薇，胡 陟，章 偉

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海201620)

0 引 言

近年來，四旋翼無人機(jī)由于其體積小、機(jī)動性強(qiáng)、具有靈活性等特點(diǎn)，得到了研究者們的廣泛關(guān)注和研究，無人機(jī)的諸多性能指標(biāo)飛速提高，控制技術(shù)得到極大的發(fā)展，其在軍事和民用領(lǐng)域發(fā)展十分迅速。在日常的生活中如航拍、空中載物、偵察監(jiān)測等各個方面逐步普及［1］。由于無人機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)精細(xì)，同時存在機(jī)載環(huán)境的溫度變化，機(jī)械振動等客觀因素，無人機(jī)較易發(fā)生損傷或失效，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)故障［2］。為了更大范圍的降低損失，快速檢測判斷無人機(jī)是否發(fā)生故障，保證系統(tǒng)安全性尤為重要［3］。

無人機(jī)故障通常分為執(zhí)行器故障與傳感器故障。目前為止，對具有執(zhí)行器故障系統(tǒng)的研究和四旋翼無人機(jī)執(zhí)行器故障問題有很好的借鑒意義。Chadli等人設(shè)計(jì)了H／H∞觀測器對故障進(jìn)行觀測［4］；為了提高觀測器對噪聲和干擾的魯棒性，湯文濤、胡志坤等人通過設(shè)計(jì)未知輸入觀測器對干擾和噪聲進(jìn)行解耦，實(shí)現(xiàn)了故障檢測與分離［5］；王振華等人通過將故障視為輔助狀態(tài)向量來構(gòu)造增強(qiáng)系統(tǒng)，基于增強(qiáng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)觀測器，解決了離散線性系統(tǒng)描述符系統(tǒng)的執(zhí)行器故障估計(jì)問題［6］；葉慧等人采用小波變換，不依賴系統(tǒng)模型，提高了故障的可分離性［7］；宮勛等針對四旋翼無人機(jī)可能存在執(zhí)行器故障的情況，使用并行降維觀測器構(gòu)建檢測與重構(gòu)算法，有效地實(shí)現(xiàn)對執(zhí)行器故障的檢測并將出現(xiàn)故障的執(zhí)行器進(jìn)行隔離，此外該控制算法的應(yīng)用可以有效地抑制擾動［8］；有文獻(xiàn)提出了一種新的基于自適應(yīng)觀測器的執(zhí)行器故障估計(jì)方法［9］。然而以上文獻(xiàn)考慮的問題主要集中在執(zhí)行器故障的穩(wěn)定控制問題，并且取得了很好的控制效果，但是四旋翼無人機(jī)性能沒有得到足夠的重視。文獻(xiàn)針對執(zhí)行器故障檢測，提出基于中心對稱多胞體的一種故障診斷與分離的方法，根據(jù)一般的離散數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)未知輸入觀測器，與原值對比得到殘差信號，基于中心對稱多胞體形成故障范圍閾值，通過殘差與閾值的比較，完成故障診斷［10］。但該文獻(xiàn)也只考慮了普通執(zhí)行器的故障問題，通常四旋翼無人機(jī)的模型為一個六維的連續(xù)方程組，本文在此基礎(chǔ)上，完成了模型的離散化與維度的擴(kuò)展，并通過仿真實(shí)驗(yàn)證明，該算法對于四旋翼無人機(jī)的2種不同執(zhí)行器故障模型的檢測是有效的。

1 四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)物理模型建立

為了便于四旋翼無人機(jī)的數(shù)學(xué)模型建立，且不失一般性，可做如下假設(shè)［11］:

（1）四旋翼無人機(jī)為剛性結(jié)構(gòu)，運(yùn)動過程中質(zhì)量保持不變；

（2）四旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)完全對稱；

（3）地面坐標(biāo)為慣性坐標(biāo)系，不計(jì)重力加速度隨高度的變化，不計(jì)地球曲率；

（4）電機(jī)的電壓-力矩函數(shù)為線性函數(shù)；

（5）四旋翼無人機(jī)的質(zhì)心嚴(yán)格位于結(jié)構(gòu)中心。

四旋翼無人機(jī)飛行姿態(tài)動力學(xué)模型，對其泰勒展開并做適當(dāng)?shù)慕匚蔡幚淼玫饺缦孪到y(tǒng)模型［12］，式（1）:

將模型（1）表示成一般的線性動態(tài)方程，式（2）:

其中，A、B、C為適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。狀態(tài)向量為輸出向量 為y＝［θ φ ψ］T； 控 制 輸 入 為u＝［Δu1Δu2Δu3Δu4］T。

2 四旋翼無人機(jī)執(zhí)行器故障系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.1 執(zhí)行器故障特征描述

執(zhí)行器由于外部干擾，潤滑失效等現(xiàn)象會產(chǎn)生故障。按執(zhí)行器故障的特點(diǎn)與嚴(yán)重程度，可分為突變加性故障、緩慢時變故障。

四旋翼無人機(jī)有多個執(zhí)行器，第i個執(zhí)行器發(fā)生故障時，其數(shù)學(xué)模型可表示為:

（a）突變加性故障fi＝b，其中，b為常量。

（b）緩慢時變故障fi＝ηi（t-ts），其中，ηi表示第i個執(zhí)行器的故障系數(shù)，為常量；ts為故障的起始時刻；t為故障發(fā)生的任意時刻。

2.2 中心對稱多胞體

中心對稱多胞體的符號定義及其特性:

中心對稱多胞體集合??Rn是一種特殊的凸多面體，首先給出中心對稱多胞體的數(shù)學(xué)定義:

定義一個r維中心對稱多胞體??Rn定義為以p∈Rn為中心的r維單位立方體Br＝［-1，+1］r的仿射變換，即式（5）:

其中，矩陣H∈Rn×r稱為?的生成矩陣，其決定了?的形狀和大小。

中心對稱多胞體的主要性質(zhì)［14］有:

性質(zhì):給定中心對稱多胞體?＝〈p，H〉，則有式（4）～（6）:

其中:p，p1，p2∈Rn，H，H1，H2∈Rn；⊙表示線性映射；L∈Rl×n為適當(dāng)維數(shù)的矩陣；H-∈Rn×n是對角矩陣；其對角元素為

2.3 四旋翼無人機(jī)帶有執(zhí)行器故障的模型

首先對系統(tǒng)（2）做離散化處理:

其中，x（k）∈Rnx是狀態(tài)向量；u（k）∈Rnu是輸入向量；y（k）∈Rny是輸出向量；D1，D2為已知適當(dāng)維數(shù)的矩陣；ω（k），υ（k）分別為系統(tǒng)受到的未知干擾與噪聲。

考慮系統(tǒng)存在執(zhí)行器故障時的離散時間線性模型表示為式（8）:

式中，F(xiàn)為已知的故障矩陣，f（k）∈Rnf表示執(zhí)行器故障。

假設(shè)，四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)有且只有一個執(zhí)行器發(fā)生故障，第i個執(zhí)行器發(fā)生故障時的系統(tǒng)模型為式（9）:

其中，F(xiàn)i表示故障矩陣F的第i列。

3 執(zhí)行器故障檢測

3.1 未知輸入觀測器設(shè)計(jì)

未知輸入觀測器本質(zhì)上是針對不確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)的觀測器，通常這類不確定系統(tǒng)可以描述為式（10）:

該類系統(tǒng)與嚴(yán)格正則的線性系統(tǒng)相比多出了一個Ed的未知輸入項(xiàng)。式中，E為未知輸入分布矩陣，d為未知干擾向量。在未知輸入觀測器的設(shè)計(jì)中，為了消除未知干擾d的影響，需要對干擾進(jìn)行重構(gòu)并完成解耦。

根據(jù)系統(tǒng)（7），得到:

為了消除干擾ω（k），必須滿足式（12）:

才能達(dá)成完全重構(gòu)干擾項(xiàng)的目的。在這個條件下，存在Mcd，式（13）:

用Mcd同時乘以式（11）的左右兩邊，得式（14）:

即可以估計(jì)得到式（15）:

設(shè)計(jì)Luenberger觀測器，式（16）:

觀測器方程中，無法事先知道y（k+1）。故假設(shè):

代入（15）得式（19）:

令P＝TG-LC，J＝TK，Q＝D1Mcd，故未知輸入觀測器方程為可以簡化為式（20）:

殘差信號可以表示為式（21）:

命題3.1［10］如果存在（I-QC）D1＝0，可得式（22）:

命題3.2［15］方程（I-QC）D1＝0的充要條件為式（23）:

故有:

式（20）是系統(tǒng)（7）的未知輸入觀測器的必要條件為:rank（CD1）＝rank（D1），（C，G1）矩陣對可觀測，

其中:

滿足以上條件的情況下，可以計(jì)算出相應(yīng)的未知輸入觀測器設(shè)計(jì)參數(shù)矩陣。

3.2 四旋翼無人機(jī)執(zhí)行器故障的區(qū)間估計(jì)

考慮帶有第i個執(zhí)行器發(fā)生故障的系統(tǒng)（9），設(shè)計(jì)相應(yīng)觀測器進(jìn)行故障解耦。設(shè)計(jì)觀測器如式（26）:

式中，zi（k）∈Rnx表示第i個未知輸入觀測器的狀態(tài)變量表示第i個未知輸入觀測器的狀態(tài)估計(jì)值；矩陣Pi，Q，Li為帶設(shè)計(jì)矩陣，且Pi，Li滿足式（27）:

由式（21）可知，第i個執(zhí)行器故障時，狀態(tài)估計(jì)誤差為式（28）:

已設(shè)計(jì)好的觀測器的殘差生成器為式（29）:

在進(jìn)行故障檢測之前，首先需要滿足以下假設(shè):

（1）系統(tǒng)（9）的未知輸入干擾項(xiàng)滿足:

（2）系統(tǒng)（9）的噪聲項(xiàng)滿足:

（3）系統(tǒng)（9）的狀態(tài)估計(jì)誤差初值滿足:

命題3.3［10］對于離散系統(tǒng)（9），若滿足上述假設(shè)，則存在合適的觀測器增益Li，使得k+1時刻地估計(jì)誤差為ei（k+1）∈〈0，Hei（k+1）〉，殘差滿足ri（k）∈〈0，Hri（k）〉，其中，中心對稱多胞體的生成矩陣為式（30）和式（31）:

通常在使用中心對稱多胞體對故障進(jìn)行檢測分析時，生成多胞體?的維數(shù)會不斷地增加，因此，需要對其進(jìn)行完成降維處理［16］。所以在無故障的情況下，殘差滿足式（32）:

通過中心對稱多胞體生成不考慮故障時的最大包絡(luò)，將其作為閾值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)采用無人機(jī)相關(guān)參數(shù)在MATLAB上進(jìn)行仿真。取仿真采樣周期為Δt＝0.01 s，則離散方程（7）中相應(yīng)的系統(tǒng)矩陣為:

在本次研究中，取［16］:

在滿足McdCD1＝Ikd×kd的前提下解Mcd，Q，T:

四旋翼無人機(jī)模型系統(tǒng)滿足（I-QC）D1＝0，矩陣G1為:

經(jīng)檢驗(yàn)，G1滿足（C，G1）可觀測的假設(shè)。

通過MATLAB工具箱對合適的極點(diǎn)進(jìn)行極點(diǎn)配置，即可以求得觀測器的增益矩陣L以及P為:

假設(shè)執(zhí)行器1在k＝50時發(fā)生突變故障，執(zhí)行器2在k＝50時發(fā)生緩慢時變故障:

當(dāng)執(zhí)行器1發(fā)生突變故障時仿真結(jié)果如圖1所示。顯然，圖1中存在有殘差超過相應(yīng)的閾值范圍，因此本文研究的算法可以適用于執(zhí)行器的突變故障分析。當(dāng)執(zhí)行器2發(fā)生緩慢時變故障時，故障診斷結(jié)果如圖2所示，同樣地，發(fā)生緩慢時變故障時依舊能夠很快速地診斷出該故障。

圖1 突變故障診斷結(jié)果Fig.1 Abrupt fault diagnosis result

圖2 緩慢時變故障診斷結(jié)果Fig.2 Slow time-varying fault diagnosis result

5 結(jié)束語

本文針對發(fā)生不同執(zhí)行器故障的四旋翼無人機(jī)提出了基于中心對稱多胞體形成閾值的方法進(jìn)行故障檢測。首先根據(jù)實(shí)際力學(xué)方程建立無人機(jī)系統(tǒng)模型，利用泰勒展開得到無人機(jī)的線性動態(tài)方程。通過設(shè)計(jì)全維未知輸入觀測器得到執(zhí)行器的故障估計(jì)，利用中心對稱多胞體形成故障閾值區(qū)間，通過分析比較故障值與故障區(qū)間對執(zhí)行器故障進(jìn)行檢測。根據(jù)本文設(shè)計(jì)的檢測算法，在MATLAB平臺上成功的檢測了執(zhí)行器發(fā)生的兩種不同故障。本文研究的故障類型僅限于突變故障和緩慢時變故障，其它類型的故障還有待研究。